Considere uma progressão aritmética crescente de cinco termos, na qual o produto do primeiro com o quinto termo é 45, e a soma dos outros três termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos dessa progressão aritmética são, respectivamente, o primeiro e o segundo termos de uma progressão geométrica, é possível afirmar, corretamente, que o décimo termo da progressão geométrica assim definida vale

a) 12 288.
b) 30.
c) 6 144.
d) 60.
e) 3 072.

Question

Considere uma progressão aritmética crescente de cinco termos, na qual o produto do primeiro com o quinto termo é 45, e a soma dos outros três termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos dessa progressão aritmética são, respectivamente, o primeiro e o segundo termos de uma progressão geométrica, é possível afirmar, corretamente, que o décimo termo da progressão geométrica assim definida vale

a) 12 288. b) 30. c) 6 144. d) 60. e) 3 072.

a) 12 288. 
b) 30. 
c) 6 144.
d) 60.
e) 3 072.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos definir os termos da progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG).

Seja a PA com cinco termos: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, onde:

- $a_1 = a$
- $a_2 = a + d$
- $a_3 = a + 2d$
- $a_4 = a + 3d$
- $a_5 = a + 4d$

De acordo com o enunciado, temos as seguintes condições:

1. $a_1 \times a_5 = 45$
2. $a_2 + a_3 + a_4 = 27$
3. $a_2$ e $a_4$ são os dois primeiros termos de uma PG.

Vamos resolver cada condição:

1. Da primeira condição: 
   $$
   a \times (a + 4d) = 45
   $$
   $$
   a^2 + 4ad = 45
   $$

2. Da segunda condição:
   $$
   (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 27
   $$
   $$
   3a + 6d = 27
   $$
   $$
   a + 2d = 9
   $$

3. Da terceira condição, como $a_2$ e $a_4$ são termos de uma PG:
   $$
   \frac{a_4}{a_2} = \frac{a_2}{a_1}
   $$
   $$
   \frac{a + 3d}{a + d} = \frac{a + d}{a}
   $$

Agora, vamos resolver o sistema de equações:

Da equação $a + 2d = 9$, podemos expressar $a$ em função de $d$:
$$
a = 9 - 2d
$$

Substituindo na equação $a^2 + 4ad = 45$:
$$
(9 - 2d)^2 + 4(9 - 2d)d = 45
$$

Expandindo e simplificando:
$$
81 - 36d + 4d^2 + 36d - 8d^2 = 45
$$
$$
-4d^2 + 81 = 45
$$
$$
4d^2 = 36
$$
$$
d^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3 \text{ ou } d = -3
$$

Como a PA é crescente, $d = 3$.

Substituindo $d = 3$ em $a = 9 - 2d$:
$$
a = 9 - 2 \times 3 = 3
$$

Assim, os termos da PA são: $3, 6, 9, 12, 15$.

Os termos da PG são $6$ (segundo termo da PA) e $12$ (quarto termo da PA), com razão $r$:
$$
r = \frac{12}{6} = 2
$$

O décimo termo da PG, $b_{10}$, é dado por:
$$
b_{10} = 6 \cdot 2^{9} = 6 \cdot 512 = 3072
$$

**Resposta: e) 3 072.**

O décimo termo da progressão geométrica é 3 072.

Considere uma progressão aritmética crescente de cinco termo...

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