Dada a função f(x) = 2x + 1 , sabe-se que f(0) + f(1) + f(2) + … + f(99) = a · 10n . Os valores de a e n podem ser, respectivamente:

a) 2 e 3
b) 1 e 5
c) 2 e 4
d) 1 e 4
e) 3 e 4

Q: Dada a função f(x) = 2x + 1 , sabe-se que f(0) + f(1) + f(2) + … + f(99) = a · 10n . Os valores de a e n podem ser, respectivamente: a) 2 e 3 b) 1 e 5 c) 2 e 4 d) 1 e 4 e) 3 e 4

Para resolver o problema, precisamos calcular a soma $ f(0) + f(1) + f(2) + \ldots + f(99) $, onde $ f(x) = 2x + 1 $. Primeiro, vamos encontrar uma expressão para a soma: \[ f(0) + f(1) + \ldots + f(99) = (2 \cdot 0 + 1) + (2 \cdot 1 + 1) + \ldots + (2 \cdot 99 + 1) \] Podemos reescrever isso como: \[ = (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + \ldots + 2 \cdot 99) + (1 + 1 + \ldots + 1) \] A primeira parte é uma soma aritmética dos múltiplos de 2: \[ 2(0 + 1 + 2 + \ldots + 99) \] A soma $0 + 1 + 2 + \ldots + 99$ é uma progressão aritmética com 100 termos. A soma dos primeiros $n$ números inteiros é dada por: \[ \frac{n(n+1)}{2} \] Portanto, \[ 0 + 1 + 2 + \ldots + 99 = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950 \] Assim, a soma dos múltiplos de 2 é: \[ 2 \cdot 4950 = 9900 \] A segunda parte da soma é simplesmente a soma de 100 números 1: \[ 1 \cdot 100 = 100 \] Portanto, a soma total é: \[ 9900 + 100 = 10000 \] Agora, precisamos expressar 10000 na forma $a \cdot 10^n$. Observamos que: \[ 10000 = 1 \cdot 10^4 \] Assim, $a = 1$ e $n = 4$. **Resposta: D** Os valores de $a$ e $n$ são, respectivamente, 1 e 4.

Question

Dada a função f(x) = 2x + 1 , sabe-se que f(0) + f(1) + f(2) + … + f(99) = a · 10n . Os valores de a e n podem ser, respectivamente:

a) 2 e 3
b) 1 e 5
c) 2 e 4
d) 1 e 4
e) 3 e 4

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a soma $ f(0) + f(1) + f(2) + \ldots + f(99) $, onde $ f(x) = 2x + 1 $.

Primeiro, vamos encontrar uma expressão para a soma:

$$
f(0) + f(1) + \ldots + f(99) = (2 \cdot 0 + 1) + (2 \cdot 1 + 1) + \ldots + (2 \cdot 99 + 1)
$$

Podemos reescrever isso como:

$$
= (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + \ldots + 2 \cdot 99) + (1 + 1 + \ldots + 1)
$$

A primeira parte é uma soma aritmética dos múltiplos de 2:

$$
2(0 + 1 + 2 + \ldots + 99)
$$

A soma $0 + 1 + 2 + \ldots + 99$ é uma progressão aritmética com 100 termos. A soma dos primeiros $n$ números inteiros é dada por:

$$
\frac{n(n+1)}{2}
$$

Portanto,

$$
0 + 1 + 2 + \ldots + 99 = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950
$$

Assim, a soma dos múltiplos de 2 é:

$$
2 \cdot 4950 = 9900
$$

A segunda parte da soma é simplesmente a soma de 100 números 1:

$$
1 \cdot 100 = 100
$$

Portanto, a soma total é:

$$
9900 + 100 = 10000
$$

Agora, precisamos expressar 10000 na forma $a \cdot 10^n$. Observamos que:

$$
10000 = 1 \cdot 10^4
$$

Assim, $a = 1$ e $n = 4$.

**Resposta: D**

Os valores de $a$ e $n$ são, respectivamente, 1 e 4.

Dada a função f(x) = 2x + 1 , sabe-se que f(0) + f(1) + f(2)...

Dada a função f(x) = 2x + 1 , sabe-se que f(0) + f(1) + f(2) + … + f(99) = a · 10n . Os valores de a e n podem ser, respectivamente:

a) 2 e 3 b) 1 e 5 c) 2 e 4 d) 1 e 4 e) 3 e 4

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