Daniel emprestou R$ 21.250,00 a seu amigo Leonardo. O pagamento do valor total emprestado, sem o acréscimo de juros, será feito em uma sequência de 10 parcelas mensais, na qual os valores das parcelas constituem uma progressão aritmética crescente de razão r. Se o valor da primeira parcela é R$ 1.000,00, a soma dos valores da oitava, nona e décima parcelas é igual a

a) R$ 8.250,00.
b) R$ 9.000,00
c) R$ 8.750,00.
d) R$ 7.800,00.
e) R$ 8.600,00.

Question

Daniel emprestou R$ 21.250,00 a seu amigo Leonardo. O pagamento do valor total emprestado, sem o acréscimo de juros, será feito em uma sequência de 10 parcelas mensais, na qual os valores das parcelas constituem uma progressão aritmética crescente de razão r. Se o valor da primeira parcela é R$ 1.000,00, a soma dos valores da oitava, nona e décima parcelas é igual a a) R$ 8.250,00. b) R$ 9.000,00 c) R$ 8.750,00. d) R$ 7.800,00. e) R$ 8.600,00.

T

Thiago

23/09/24

a) R$ 8.250,00.
b) R$ 9.000,00
c) R$ 8.750,00.
d) R$ 7.800,00.
e) R$ 8.600,00.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as propriedades da progressão aritmética (PA). Sabemos que:

1. O valor total emprestado é R$ 21.250,00.
2. As parcelas formam uma PA de 10 termos com a primeira parcela $a_1 = R\$ 1.000,00$.
3. A soma das parcelas é igual ao valor total emprestado.

A fórmula para a soma dos termos de uma PA é:

$$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) $$

onde $S_n$ é a soma dos $n$ termos, $a_1$ é o primeiro termo, e $a_n$ é o último termo.

Para 10 parcelas, temos:

$$ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (1000 + a_{10}) = 21.250 $$

$$ 5 \cdot (1000 + a_{10}) = 21.250 $$

$$ 1000 + a_{10} = \frac{21.250}{5} $$

$$ 1000 + a_{10} = 4.250 $$

$$ a_{10} = 4.250 - 1000 $$

$$ a_{10} = 3.250 $$

Agora, sabemos que a décima parcela $a_{10} = 1000 + 9r = 3.250$.

$$ 9r = 3.250 - 1000 $$

$$ 9r = 2.250 $$

$$ r = \frac{2.250}{9} $$

$$ r = 250 $$

Agora, podemos calcular os valores das oitava, nona e décima parcelas:

- Oitava parcela: $a_8 = a_1 + 7r = 1000 + 7 \cdot 250 = 1000 + 1750 = 2.750$
- Nona parcela: $a_9 = a_1 + 8r = 1000 + 8 \cdot 250 = 1000 + 2000 = 3.000$
- Décima parcela: $a_{10} = 3.250$

A soma das oitava, nona e décima parcelas é:

$$ a_8 + a_9 + a_{10} = 2.750 + 3.000 + 3.250 = 9.000 $$

**Resposta: b) R$ 9.000,00**

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