Determine os zeros das seguintes funções quadrática
a) (x) = x2 - 12x + 30
b) f(x) =x2 + 4x-21
c) f(x)=-x2 - 22x-36
d) f(x) = 6x2 -5x+3
e) f(x) = x2 + 2x + 3
f) f(x) = -4x2 + 4
g) f(x) = x2+3x-28
h) f(x) = 3x2 - 4x + 1
i) f(x) = x2 - 7x+12
j) f(x) = -x2 - 8x + 4
k) f(x) = x2 - 5x + 6
l) f(x) = 2x2-14
m) f(x) = 3x3 + 3
n) f(x) = 2x2 + 8

Question

Determine os zeros das seguintes funções quadrática
a) (x) = x2 - 12x + 30
b) f(x) =x2 + 4x-21
c) f(x)=-x2 - 22x-36 
d) f(x) = 6x2 -5x+3 
e) f(x) = x2 + 2x + 3 
f) f(x) = -4x2 + 4 
g) f(x) = x2+3x-28 
h) f(x) = 3x2 - 4x + 1 
i) f(x) = x2 - 7x+12 
j) f(x) = -x2 - 8x + 4 
k) f(x) = x2 - 5x + 6 
l) f(x) = 2x2-14 
m) f(x) = 3x3 + 3 
n) f(x) = 2x2 + 8

Accepted Answer

Para determinar os zeros de uma função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $, usamos a fórmula quadrática:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das funções fornecidas:

### a) $ f(x) = x^2 - 12x + 30 $

$$
a = 1, \quad b = -12, \quad c = 30
$$

$$
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}
$$

### b) $ f(x) = x^2 + 4x - 21 $

$$
a = 1, \quad b = 4, \quad c = -21
$$

$$
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}
$$

$$
x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = -7
$$

### c) $ f(x) = -x^2 - 22x - 36 $

$$
a = -1, \quad b = -22, \quad c = -36
$$

$$
x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-36)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 144}}{-2} = \frac{22 \pm \sqrt{340}}{-2} = \frac{22 \pm 2\sqrt{85}}{-2} = -11 \mp \sqrt{85}
$$

### d) $ f(x) = 6x^2 - 5x + 3 $

$$
a = 6, \quad b = -5, \quad c = 3
$$

$$
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 72}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{-47}}{12}
$$

Como o discriminante é negativo ($-47$), não há raízes reais.

### e) $ f(x) = x^2 + 2x + 3 $

$$
a = 1, \quad b = 2, \quad c = 3
$$

$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}
$$

Como o discriminante é negativo ($-8$), não há raízes reais.

### f) $ f(x) = -4x^2 + 4 $

$$
a = -4, \quad b = 0, \quad c = 4
$$

$$
x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 4}}{2 \cdot (-4)} = \frac{\pm \sqrt{64}}{-8} = \frac{\pm 8}{-8} = \pm 1
$$

### g) $ f(x) = x^2 + 3x - 28 $

$$
a = 1, \quad b = 3, \quad c = -28
$$

$$
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}
$$

$$
x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = -7
$$

### h) $ f(x) = 3x^2 - 4x + 1 $

$$
a = 3, \quad b = -4, \quad c = 1
$$

$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}
$$

$$
x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}
$$

### i) $ f(x) = x^2 - 7x + 12 $

$$
a = 1, \quad b = -7, \quad c = 12
$$

$$
x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}
$$

$$
x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3
$$

### j) $ f(x) = -x^2 - 8x + 4 $

$$
a = -1, \quad b = -8, \quad c = 4
$$

$$
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{-2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{-2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{-2} = -4 \mp 2\sqrt{5}
$$

### k) $ f(x) = x^2 - 5x + 6 $

$$
a = 1, \quad b = -5, \quad c = 6
$$

$$
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}
$$

$$
x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2
$$

### l) $ f(x) = 2x^2 - 14 $

$$
a = 2, \quad b = 0, \quad c = -14
$$

$$
x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2 \cdot 2} = \frac{\pm \sqrt{112}}{4} = \frac{\pm 4\sqrt{7}}{4} = \pm \sqrt{7}
$$

### m) $ f(x) = 3x^3 + 3 $

Essa não é uma função quadrática, mas uma cúbica. Portanto, os métodos para encontrar os zeros são diferentes. Vamos resolver a equação $ 3x^3 + 3 = 0 $:

$$
3x^3 + 3 = 0 \implies 3x^3 = -3 \implies x^3 = -1 \implies x = -1
$$

### n) $ f(x) = 2x^2 + 8 $

$$
a = 2, \quad b = 0, \quad c = 8
$$

$$
x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2} = \frac{\pm \sqrt{-64}}{4}
$$

Como o discriminante é negativo ($-64$), não há raízes reais.

Resumindo os zeros das funções quadráticas:

a) $ x = 6 \pm \sqrt{6} $

b) $ x = 3, -7 $

c) $ x = -11 \mp \sqrt{85} $

d) Não há raízes reais.

e) Não há raízes reais.

f) $ x = \pm 1 $

g) $ x = 4, -7 $

h) $ x = 1, \frac{1}{3} $

i) $ x = 4, 3 $

j) $ x = -4 \mp 2\sqrt{5} $

k) $ x = 3, 2 $

l) $ x = \pm \sqrt{7} $

m) $ x = -1 $ (não é função quadrática)

n) Não há raízes reais.

Determine os zeros das seguintes funções quadrática a) (x) ...

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