Determine uma fórmula para a função quadrática cujo gráfico é apresentado.

Question

Accepted Answer

Para determinar as fórmulas das funções quadráticas a partir dos gráficos, vamos analisar os pontos dados.

### Função $ f(x) $

A função é uma parábola voltada para cima. Temos os pontos (0, 18) e (4, 2).

Vamos usar a forma geral da equação quadrática:

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

Substituindo os pontos:

1. Para (0, 18):
   $$ 18 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 18 $$

2. Para (4, 2):
   $$ 2 = a(4)^2 + b(4) + 18 $$
   $$ 2 = 16a + 4b + 18 $$
   $$ 16a + 4b = -16 $$
   $$ 4a + b = -4 $$

Como temos apenas duas equações, precisamos de mais um ponto ou outra informação para resolver completamente, mas podemos expressar $ b $ em termos de $ a $:

$$ b = -4 - 4a $$

### Função $ g(x) $

A função é uma parábola voltada para baixo. Temos os pontos (-2, 2), (0, 1), e (1, -2.5).

Usando a forma geral:

$$ g(x) = ax^2 + bx + c $$

Substituindo os pontos:

1. Para (-2, 2):
   $$ 2 = a(-2)^2 + b(-2) + c $$
   $$ 2 = 4a - 2b + c $$

2. Para (0, 1):
   $$ 1 = a(0)^2 + b(0) + c $$
   $$ c = 1 $$

3. Para (1, -2.5):
   $$ -2.5 = a(1)^2 + b(1) + 1 $$
   $$ -2.5 = a + b + 1 $$
   $$ a + b = -3.5 $$

Resolvendo o sistema:

- Da primeira equação: 
  $$ 2 = 4a - 2b + 1 $$
  $$ 1 = 4a - 2b $$
  $$ 4a - 2b = 1 $$

- Da terceira equação:
  $$ a + b = -3.5 $$

Multiplicando a segunda por 2 para eliminar $ b $:

$$ 2a + 2b = -7 $$

Somando com a primeira:

$$ 4a - 2b = 1 $$
$$ 2a + 2b = -7 $$

$$ 6a = -6 $$
$$ a = -1 $$

Substituindo em $ a + b = -3.5 $:

$$ -1 + b = -3.5 $$
$$ b = -2.5 $$

Assim, a equação da função $ g(x) $ é:

$$ g(x) = -x^2 - 2.5x + 1 $$

Determine uma fórmula para a função quadrática cujo gráfico ...

Determine uma fórmula para a função quadrática cujo gráfico é apresentado.

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