Encontre a fração geratriz para cada dízima periódica:

a) 0,33333...

b) 0,212121...

c) 2,3616161...

Question

Encontre a fração geratriz para cada dízima periódica:

a) 0,33333...

b) 0,212121...

c) 2,3616161...

Accepted Answer

Vamos encontrar a fração geratriz para cada dízima periódica fornecida.

### a) $0,33333\ldots$

Seja $ x = 0,33333\ldots $.

Multiplicando ambos os lados da equação por 10:

$$ 10x = 3,33333\ldots $$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$ 10x - x = 3,33333\ldots - 0,33333\ldots $$
$$ 9x = 3 $$
$$ x = \frac{3}{9} $$
$$ x = \frac{1}{3} $$

Portanto, a fração geratriz de $0,33333\ldots$ é $\frac{1}{3}$.

### b) $0,212121\ldots$

Seja $ x = 0,212121\ldots $.

Multiplicando ambos os lados da equação por 100 (já que o período é de dois dígitos):

$$ 100x = 21,212121\ldots $$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$ 100x - x = 21,212121\ldots - 0,212121\ldots $$
$$ 99x = 21 $$
$$ x = \frac{21}{99} $$
$$ x = \frac{7}{33} $$ (simplificando a fração)

Portanto, a fração geratriz de $0,212121\ldots$ é $\frac{7}{33}$.

### c) $2,3616161\ldots$

Seja $ x = 2,3616161\ldots $.

Primeiro, separe a parte inteira e a parte decimal. Vamos tratar apenas a parte decimal primeiro.

Seja $ y = 0,3616161\ldots $.

Multiplicando ambos os lados da equação por 100 (já que o período é de dois dígitos):

$$ 100y = 36,1616161\ldots $$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$$ 100y - y = 36,1616161\ldots - 0,3616161\ldots $$
$$ 99y = 36 $$
$$ y = \frac{36}{99} $$
$$ y = \frac{4}{11} $$ (simplificando a fração)

Agora, combinamos a parte inteira com a fração geratriz da parte decimal:

$$ x = 2 + 0,3616161\ldots $$
$$ x = 2 + \frac{4}{11} $$
$$ x = \frac{22}{11} + \frac{4}{11} $$
$$ x = \frac{26}{11} $$

Portanto, a fração geratriz de $2,3616161\ldots$ é $\frac{26}{11}$.

Encontre a fração geratriz para cada dízima periódica: a) 0...