No mês de novembro, a procura de produtos natalinos aumentam por conta das festas de confraternização de fim de ano e as indústrias começam a enviarem para as lojas seus estoques produzidos durante o ano. Em fevereiro de 2014, uma indústria de produtos natalinos produziu 400 produtos e a cada mês essa produção cresce em progressão aritmética. Sabendo que no mês de novembro de 2014 o estoque passou a ter 26500 peças, quantas peças a indústria produziu em setembro de 2014?

a) 3900
b) 4000
c) 4300
d) 4400
e) 4500

Question

No mês de novembro, a procura de produtos natalinos aumentam por conta das festas de confraternização de fim de ano e as indústrias começam a enviarem para as lojas seus estoques produzidos durante o ano. Em fevereiro de 2014, uma indústria de produtos natalinos produziu 400 produtos e a cada mês essa produção cresce em progressão aritmética. Sabendo que no mês de novembro de 2014 o estoque passou a ter 26500 peças, quantas peças a indústria produziu em setembro de 2014?

a) 3900 b) 4000 c) 4300 d) 4400 e) 4500

a) 3900
b) 4000
c) 4300
d) 4400
e) 4500

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos entender que a produção mensal de produtos natalinos aumenta em progressão aritmética. Vamos calcular a quantidade de peças produzidas em setembro de 2014.

1. **Identificar os dados do problema:**
   - Produção em fevereiro de 2014 (primeiro termo $a_1$): 400 peças.
   - A produção cresce em progressão aritmética.
   - Em novembro de 2014, o estoque total é de 26500 peças.

2. **Identificar a sequência de meses:**
   - Fevereiro é o 1º mês de produção.
   - Novembro é o 10º mês de produção.

3. **Fórmula da soma dos termos de uma PA:**
   $$
   S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
   $$
   Onde $S_n$ é a soma dos termos, $n$ é o número de termos, $a_1$ é o primeiro termo e $a_n$ é o enésimo termo.

4. **Calcular a soma dos 10 primeiros meses:**
   $$
   26500 = \frac{10}{2} \times (400 + a_{10})
   $$

5. **Resolver a equação para $a_{10}$:**
   $$
   26500 = 5 \times (400 + a_{10})
   $$
   $$
   26500 = 2000 + 5a_{10}
   $$
   $$
   24500 = 5a_{10}
   $$
   $$
   a_{10} = 4900
   $$

6. **Calcular a razão da PA:**
   Como $a_{10} = a_1 + 9 \cdot r$, temos:
   $$
   4900 = 400 + 9r
   $$
   $$
   4500 = 9r
   $$
   $$
   r = 500
   $$

7. **Calcular a produção em setembro de 2014 (8º mês):**
   $$
   a_8 = a_1 + 7r
   $$
   $$
   a_8 = 400 + 7 \times 500
   $$
   $$
   a_8 = 400 + 3500
   $$
   $$
   a_8 = 3900
   $$

**Resposta: a) 3900**

A indústria produziu 3900 peças em setembro de 2014.

No mês de novembro, a procura de produtos natalinos aumentam...

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