No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a mediatriz do segmento AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares em um ponto cuja soma das coordenadas é:

a)
b)
c)
d)
e)

Question

No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a mediatriz do segmento AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares em um ponto cuja soma das coordenadas é:

a) 
b) 
c) 
d) 
e)

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar a mediatriz do segmento $AB$ e a bissetriz dos quadrantes ímpares, e então determinar o ponto de interseção entre essas duas retas.

1. **Encontrar a mediatriz do segmento $AB$:**

- Primeiro, calculamos o ponto médio $M$ do segmento $AB$:
     $$
     M = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(-1, 3\right)
     $$

- Em seguida, encontramos o coeficiente angular da reta $AB$:
     $$
     m_{AB} = \frac{2 - 4}{-3 - 1} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
     $$

- A mediatriz é perpendicular a $AB$, então seu coeficiente angular será o oposto do inverso de $m_{AB}$:
     $$
     m_{\text{mediatriz}} = -2
     $$

- A equação da mediatriz, passando por $M(-1, 3)$, é:
     $$
     y - 3 = -2(x + 1)
     $$
     $$
     y = -2x - 2 + 3
     $$
     $$
     y = -2x + 1
     $$

2. **Encontrar a bissetriz dos quadrantes ímpares:**

- A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta $y = x$.

3. **Determinar o ponto de interseção:**

- Igualamos as equações das duas retas para encontrar o ponto de interseção:
     $$
     y = -2x + 1
     $$
     $$
     y = x
     $$

- Substituímos $y = x$ na primeira equação:
     $$
     x = -2x + 1
     $$
     $$
     3x = 1
     $$
     $$
     x = \frac{1}{3}
     $$

- Substituímos o valor de $x$ na equação $y = x$:
     $$
     y = \frac{1}{3}
     $$

- O ponto de interseção é $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

4. **Calcular a soma das coordenadas desse ponto:**

$$
   \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
   $$

Portanto, a soma das coordenadas do ponto de interseção é $\frac{2}{3}$.

**Resposta: e)**

No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a m...

No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a mediatriz do segmento AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares em um ponto cuja soma das coordenadas é:

a) b) c) d) e)

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No plano cartesiano, dados os pontos A(1, 4) e B(-3, 2), a mediatriz do segmento AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares em um ponto cuja soma das coordenadas é: a) b) c) d) e)

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