No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectivamente 3m e 2m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a 1m e U é o ponto médio do lado PS, então, a medida, em graus, do ângulo VÛR é

a) 40.
b) 35.
c) 50.
d) 45.

Question

No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectivamente 3m e 2m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a 1m e U é o ponto médio do lado PS, então, a medida, em graus, do ângulo VÛR é

a) 40. b) 35. c) 50. d) 45.

a) 40. 
b) 35. 
c) 50. 
d) 45.

Accepted Answer

**Resposta: D**

Para resolver este problema, vamos analisar a situação com base nas informações dadas.

1. Temos um retângulo PQRS onde PQ = 3m e QR = 2m.
2. V é um ponto no lado PQ tal que VQ = 1m. Isso significa que PV = 2m.
3. U é o ponto médio do lado PS. Como PS = QR = 2m, então PU = US = 1m.

Agora, vamos posicionar o retângulo no plano cartesiano para facilitar os cálculos:

- P(0, 0)
- Q(3, 0)
- R(3, 2)
- S(0, 2)

Com base nisso, podemos determinar as coordenadas de V e U:

- V(2, 0) (já que VQ = 1m, V está a 2m de P ao longo do eixo x)
- U(0, 1) (ponto médio de PS)

Agora, precisamos encontrar o ângulo $VÛR$.

Para encontrar o ângulo $VÛR$, podemos usar o produto escalar entre os vetores $\overrightarrow{VU}$ e $\overrightarrow{UR}$:

- $\overrightarrow{VU} = U - V = (0, 1) - (2, 0) = (-2, 1)$
- $\overrightarrow{UR} = R - U = (3, 2) - (0, 1) = (3, 1)$

O produto escalar $\overrightarrow{VU} \cdot \overrightarrow{UR}$ é dado por:
$$
(-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -6 + 1 = -5
$$

As normas dos vetores são:
$$
|\overrightarrow{VU}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
$$
$$
|\overrightarrow{UR}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
$$

O cosseno do ângulo $\theta$ entre os vetores é dado por:
$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{VU} \cdot \overrightarrow{UR}}{|\overrightarrow{VU}| \cdot |\overrightarrow{UR}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

Isso implica que:
$$
\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

O ângulo cujo cosseno é $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ é $135^\circ$. No entanto, como estamos considerando o menor ângulo entre os vetores, que é o ângulo interno no retângulo, temos que subtrair de $180^\circ$:

$$
180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
$$

Portanto, a medida do ângulo $VÛR$ é $45^\circ$.

**Resposta: D**

No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectiva...