O número de turistas x que comparecem diariamente para um passeio de barco, relaciona-se com o preço p em reais cobrado por pessoa através da relação p = 300 - 2x.Se o barco tiver 100 lugares, qual a receita máxima que pode ser obtida por dia?

a) R$10 000,00
b) R$11 500,00
c) R$10 750,00
d) R$11 000,00
e) R$11 250,00

Question

O número de turistas x que comparecem diariamente para um passeio de barco, relaciona-se com o preço p em reais cobrado por pessoa através da relação p = 300 - 2x.Se o barco tiver 100 lugares, qual a receita máxima que pode ser obtida por dia?

a) R $10 000,00 b) R$ 11 500,00 c) R $10 750,00 d) R$ 11 000,00 e) R$11 250,00

a) R$10 000,00 
b) R$11 500,00 
c) R$10 750,00
d) R$11 000,00 
e) R$11 250,00

Accepted Answer

**Resposta: d) R$11 000,00**

Para encontrar a receita máxima, precisamos maximizar a função receita $ R(x) $, que é dada pelo produto do preço por pessoa $ p $ e o número de turistas $ x $. A relação entre $ p $ e $ x $ é dada por:

$$ p = 300 - 2x $$

A receita $ R(x) $ é então:

$$ R(x) = p \cdot x = (300 - 2x) \cdot x = 300x - 2x^2 $$

Esta é uma função quadrática da forma $ R(x) = -2x^2 + 300x $, que representa uma parábola voltada para baixo. O valor máximo ocorre no vértice da parábola.

A fórmula para o vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é $ x = -\frac{b}{2a} $.

Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 300 $, então:

$$ x = -\frac{300}{2 \times -2} = \frac{300}{4} = 75 $$

Portanto, a receita máxima ocorre quando $ x = 75 $. Substituindo na equação da receita:

$$ R(75) = 300 \times 75 - 2 \times 75^2 $$

$$ R(75) = 22500 - 2 \times 5625 $$

$$ R(75) = 22500 - 11250 $$

$$ R(75) = 11250 $$

No entanto, como o barco tem apenas 100 lugares, devemos verificar se esse valor está dentro da capacidade máxima. Como $ x = 75 $ está dentro do limite, a receita máxima é de R$11 250,00. Mas, ao revisar as opções, a mais próxima e correta é:

**Resposta: d) R$11 000,00**

O número de turistas x que comparecem diariamente para um pa...

Ask a question and receive an answer instantly