Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com apenas 2/3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que Pedro ganhou na disputa foi

a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 14.

Question

Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com apenas 2/3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que Pedro ganhou na disputa foi

a) 6. b) 10. c) 12. d) 14.

a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 14.

Accepted Answer

**Resposta: c**

Vamos resolver o problema passo a passo:

1. Seja $ p $ o número inicial de cartões que Pedro tinha, e $ a $ o número inicial de cartões que André tinha. Sabemos que juntos eles tinham 20 cartões:

$$
   p + a = 20
   $$

2. Após a disputa, Pedro quadruplicou seu número de cartões, ou seja, ele ficou com $ 4p $ cartões.

3. André ficou com $ \frac{2}{3}a $ dos cartões que possuía inicialmente.

4. Como a quantidade total de cartões não mudou, podemos escrever a equação:

$$
   4p + \frac{2}{3}a = 20
   $$

5. Agora, temos um sistema de duas equações:

$$
   \begin{cases}
   p + a = 20 \
   4p + \frac{2}{3}a = 20
   \end{cases}
   $$

6. Da primeira equação, podemos expressar $ a $ em termos de $ p $:

$$
   a = 20 - p
   $$

7. Substituindo $ a = 20 - p $ na segunda equação:

$$
   4p + \frac{2}{3}(20 - p) = 20
   $$

8. Simplificando a equação:

$$
   4p + \frac{40}{3} - \frac{2}{3}p = 20
   $$

9. Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador:

$$
   12p + 40 - 2p = 60
   $$

10. Simplificando:

$$
    10p = 20
    $$

11. Resolvendo para $ p $:

$$
    p = 2
    $$

12. Substituindo $ p = 2 $ em $ a = 20 - p $:

$$
    a = 18
    $$

13. Inicialmente, Pedro tinha 2 cartões e André tinha 18 cartões. Após a disputa, Pedro ficou com $ 4 \times 2 = 8 $ cartões.

14. O número de cartões que Pedro ganhou é:

$$
    8 - 2 = 6
    $$

Portanto, o número de cartões que Pedro ganhou na disputa foi **6**.

Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em ...

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