Qual o resultado da integral( x-1)(2x+1)dx

Q: Qual o resultado da integral( x-1)(2x+1)dx

Para resolver a integral $\int (x-1)(2x+1) \, dx$, precisamos primeiro expandir a expressão dentro da integral. Vamos fazer isso: \[ (x-1)(2x+1) = x \cdot 2x + x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1 = 2x^2 + x - 2x - 1 = 2x^2 - x - 1 \] Agora, podemos reescrever a integral como: \[ \int (2x^2 - x - 1) \, dx \] Vamos integrar cada termo separadamente: \[ \int 2x^2 \, dx - \int x \, dx - \int 1 \, dx \] A integral de $2x^2$ é: \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \int x^2 \, dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} \right) = \frac{2x^3}{3} \] A integral de $-x$ é: \[ \int -x \, dx = - \int x \, dx = - \left( \frac{x^2}{2} \right) = - \frac{x^2}{2} \] A integral de $-1$ é: \[ \int -1 \, dx = -x \] Somando todas as partes, obtemos: \[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C \] onde $C$ é a constante de integração. Portanto, o resultado da integral é: \[ \int (x-1)(2x+1) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C \]

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral $\int (x-1)(2x+1) \, dx$, precisamos primeiro expandir a expressão dentro da integral. Vamos fazer isso:

$$
(x-1)(2x+1) = x \cdot 2x + x \cdot 1 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 1 = 2x^2 + x - 2x - 1 = 2x^2 - x - 1
$$

Agora, podemos reescrever a integral como:

$$
\int (2x^2 - x - 1) \, dx
$$

Vamos integrar cada termo separadamente:

$$
\int 2x^2 \, dx - \int x \, dx - \int 1 \, dx
$$

A integral de $2x^2$ é:

$$
\int 2x^2 \, dx = 2 \int x^2 \, dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} \right) = \frac{2x^3}{3}
$$

A integral de $-x$ é:

$$
\int -x \, dx = - \int x \, dx = - \left( \frac{x^2}{2} \right) = - \frac{x^2}{2}
$$

A integral de $-1$ é:

$$
\int -1 \, dx = -x
$$

Somando todas as partes, obtemos:

$$
\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C
$$

onde $C$ é a constante de integração.

Portanto, o resultado da integral é:

$$
\int (x-1)(2x+1) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C
$$