Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então a medida, em metros, da diagonal de maior comprimento deste paralelogramo é

a) 2 .
b) 3 .
c) 2 .
d) 3 .

Question

Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então a medida, em metros, da diagonal de maior comprimento deste paralelogramo é

a) 2 . b) 3 . c) 2 . d) 3 .

a) 2 . 
b) 3 . 
c) 2 . 
d) 3 .

Accepted Answer

Para encontrar a medida da diagonal de maior comprimento em um paralelogramo, podemos usar a fórmula para as diagonais de um paralelogramo. As diagonais $d_1$ e $d_2$ são dadas por:

$$ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)} $$
$$ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)} $$

onde $a$ e $b$ são os comprimentos dos lados do paralelogramo e $\theta$ é o ângulo entre esses lados.

Dado:
- $a = 6$ m
- $b = 8$ m
- $\theta = 120^\circ$

Primeiro, calculamos $d_1$:

$$ d_1 = \sqrt{6^2 + 8^2 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)} $$

Sabemos que $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Substituindo na fórmula:

$$ d_1 = \sqrt{36 + 64 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} $$
$$ d_1 = \sqrt{36 + 64 - 48} $$
$$ d_1 = \sqrt{52} $$

Agora, calculamos $d_2$:

$$ d_2 = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)} $$
$$ d_2 = \sqrt{36 + 64 + 48} $$
$$ d_2 = \sqrt{148} $$

Portanto, a diagonal de maior comprimento é $d_2 = \sqrt{148}$.

Como $\sqrt{148} = 2\sqrt{37}$, a resposta correta é:

**Resposta: d) 3 .**

Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é...