Se log3(x - y) = 5 , então log5 (x + y) = 3, então log2 (3x - 8y) é igual a:

a) 9
b) 4 + log2 5
c) 8
d) 2+log210
e) 10

Question

Se log3(x - y) = 5 , então log5 (x + y) = 3, então log2 (3x - 8y) é igual a:

a) 9
b) 4 + log2 5
c) 8
d) 2+log210
e) 10

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para resolver o problema, vamos primeiro entender as equações dadas e fazer as substituições necessárias.

1. Da primeira equação:

$$
\log_3(x - y) = 5 
$$

Isso implica que:

$$
x - y = 3^5 = 243
$$

2. Da segunda equação:

$$
\log_5(x + y) = 3
$$

Isso implica que:

$$
x + y = 5^3 = 125
$$

Agora, temos um sistema de duas equações:

$$
x - y = 243
$$
$$
x + y = 125
$$

Para encontrar $ x $ e $ y $, somamos e subtraímos essas equações:

- Somando as equações:

$$
(x - y) + (x + y) = 243 + 125 
$$
$$
2x = 368 
$$
$$
x = 184
$$

- Subtraindo a segunda equação da primeira:

$$
(x - y) - (x + y) = 243 - 125 
$$
$$
-2y = 118 
$$
$$
y = -59
$$

Com $ x = 184 $ e $ y = -59 $, calculamos agora $ 3x - 8y $:

$$
3x - 8y = 3(184) - 8(-59)
$$
$$
= 552 + 472
$$
$$
= 1024
$$

Finalmente, calculamos $ \log_2(3x - 8y) $:

$$
\log_2(1024)
$$

Sabemos que $ 1024 = 2^{10} $, então:

$$
\log_2(1024) = 10
$$

Portanto, a resposta correta é:

**a) 9**

Se log3(x - y) = 5 , então log5 (x + y) = 3, então log2 (3x ...