Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟐𝒙𝟐, tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋, 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐, 𝒔𝒆 𝒊 < 𝒋 e 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, 𝒔𝒆 𝒊 > 𝒋 e seja 𝑨−𝟏 a sua inversa. Sabendo que 𝒂 e 𝒃 são números reais não nulos, tais que 𝑨𝟐 = 𝒂𝑨−𝟏 + 𝒃𝑰, em que 𝑰 é a matriz identidade de ordem 2, podemos afirmar que 𝒂𝟐 − 𝟐𝒃 + 𝟏 é igual a

a) -1. b) -2. c) 0. d) 1. e) 2.

Question

Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟐𝒙𝟐, tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋, 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐, 𝒔𝒆 𝒊 < 𝒋 e 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, 𝒔𝒆 𝒊 > 𝒋 e seja 𝑨−𝟏 a sua inversa. Sabendo que 𝒂 e 𝒃 são números reais não nulos, tais que 𝑨𝟐 = 𝒂𝑨−𝟏 + 𝒃𝑰, em que 𝑰 é a matriz identidade de ordem 2, podemos afirmar que 𝒂𝟐 − 𝟐𝒃 + 𝟏 é igual a

a) -1. b) -2. c) 0. d) 1. e) 2.

a) -1.
b) -2.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos primeiro determinar a matriz $ A $ e sua inversa $ A^{-1} $.

Dada a matriz $ A = (a_{ij})_{2x2} $, temos:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

Para encontrar a inversa de $ A $, utilizamos a fórmula para a inversa de uma matriz $ 2 \times 2 $:

Se $ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $, então $ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $.

Para a matriz $ A $, calculamos o determinante:

$$
\det(A) = (1)(1) - (2)(0) = 1
$$

Portanto, a inversa é:

$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

Agora, calculamos $ A^2 $:

$$
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

Sabemos que:

$$
A^2 = aA^{-1} + bI
$$

Substituímos as matrizes conhecidas:

$$
\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

Igualando os elementos das matrizes, obtemos o sistema de equações:

1. $ 1 = a + b $
2. $ 4 = -2a $
3. $ 1 = a + b $

Da equação (2), resolvemos para $ a $:

$$
4 = -2a \implies a = -2
$$

Substituindo na equação (1):

$$
1 = -2 + b \implies b = 3
$$

Finalmente, calculamos $ a^2 - 2b + 1 $:

$$
a^2 - 2b + 1 = (-2)^2 - 2(3) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1
$$

**Resposta: a) -1**

Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟐𝒙𝟐, tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋,...

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