Sejam An e Bn, com n e N*, valores definidos por:• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n−1• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n + 1)O valor de A30 + B30 é igual a

a) 229 + 261.
b) 229 + 260.
c) 230 − 960.
d) 230 + 960.
e) 230 + 959.

Q: Sejam An e Bn, com n e N*, valores definidos por:• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n−1• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n + 1)O valor de A30 + B30 é igual a a) 229 + 261. b) 229 + 260. c) 230 − 960. d) 230 + 960. e) 230 + 959.

Para resolver o problema, vamos calcular separadamente $ A_{30} $ e $ B_{30} $, e depois somá-los. **Cálculo de $ A_{30} $:** A sequência $ A_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1} $ é uma progressão geométrica com o primeiro termo $ a_1 = 1 $ e razão $ r = 2 $. A soma dos $ n $ primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por: \[ A_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1} \] Substituindo os valores: \[ A_{30} = \frac{1 \cdot (2^{30} - 1)}{2 - 1} = 2^{30} - 1 \] **Cálculo de $ B_{30} $:** A sequência $ B_n = 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n + 1) $ é uma progressão aritmética com o primeiro termo $ b_1 = 3 $, último termo $ b_n = 2n + 1 $, e razão $ d = 2 $. O número de termos $ n $ pode ser encontrado pela fórmula do termo geral da PA: \[ b_n = b_1 + (n-1) \cdot d \] Como $ b_n = 2n + 1 $, temos que: \[ 2n + 1 = 3 + (n-1) \cdot 2 \] Para determinar a soma, usamos a fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA: \[ B_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n) \] Substituindo os valores para $ n = 30 $: \[ B_{30} = \frac{30}{2} \cdot (3 + 61) = 15 \cdot 64 = 960 \] **Cálculo de $ A_{30} + B_{30} $:** \[ A_{30} + B_{30} = (2^{30} - 1) + 960 \] Agora, verificamos as alternativas. Sabemos que $ 2^{30} = 1073741824 $, então: \[ A_{30} = 1073741824 - 1 = 1073741823 \] Portanto, \[ A_{30} + B_{30} = 1073741823 + 960 = 1073742783 \] **Resposta correta:** **e) 230 + 959.** Esta resposta está correta pois $ 2^{30} + 959 $ é equivalente a $ 1073741823 + 960 $.

Question

Sejam An e Bn, com n e N*, valores definidos por:• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n−1• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n + 1)O valor de A30 + B30 é igual a

a) 229 + 261.
b) 229 + 260.
c) 230 − 960.
d) 230 + 960.
e) 230 + 959.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos calcular separadamente $ A_{30} $ e $ B_{30} $, e depois somá-los.

**Cálculo de $ A_{30} $:**

A sequência $ A_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1} $ é uma progressão geométrica com o primeiro termo $ a_1 = 1 $ e razão $ r = 2 $. A soma dos $ n $ primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por:

$$
A_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}
$$

Substituindo os valores:

$$
A_{30} = \frac{1 \cdot (2^{30} - 1)}{2 - 1} = 2^{30} - 1
$$

**Cálculo de $ B_{30} $:**

A sequência $ B_n = 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + (2n + 1) $ é uma progressão aritmética com o primeiro termo $ b_1 = 3 $, último termo $ b_n = 2n + 1 $, e razão $ d = 2 $.

O número de termos $ n $ pode ser encontrado pela fórmula do termo geral da PA:

$$
b_n = b_1 + (n-1) \cdot d
$$

Como $ b_n = 2n + 1 $, temos que:

$$
2n + 1 = 3 + (n-1) \cdot 2
$$

Para determinar a soma, usamos a fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA:

$$
B_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n)
$$

Substituindo os valores para $ n = 30 $:

$$
B_{30} = \frac{30}{2} \cdot (3 + 61) = 15 \cdot 64 = 960
$$

**Cálculo de $ A_{30} + B_{30} $:**

$$
A_{30} + B_{30} = (2^{30} - 1) + 960
$$

Agora, verificamos as alternativas. Sabemos que $ 2^{30} = 1073741824 $, então:

$$
A_{30} = 1073741824 - 1 = 1073741823
$$

Portanto,

$$
A_{30} + B_{30} = 1073741823 + 960 = 1073742783
$$

**Resposta correta:**

**e) 230 + 959.**

Esta resposta está correta pois $ 2^{30} + 959 $ é equivalente a $ 1073741823 + 960 $.

Sejam An e Bn, com n e N*, valores definidos por:• An = 1 + ...

Sejam An e Bn, com n e N*, valores definidos por:• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n−1• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n + 1)O valor de A30 + B30 é igual a

a) 229 + 261. b) 229 + 260. c) 230 − 960. d) 230 + 960. e) 230 + 959.

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