(UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos

verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos mediam, respectivamente, 30o e 105o, conforme ilustrado na figura a seguir.

Question

(UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos

verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos mediam, respectivamente, 30o e 105o, conforme ilustrado na figura a seguir.

verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos mediam, respectivamente, 30o e 105o, conforme ilustrado na figura a seguir.

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos utilizar as propriedades de triângulos e a trigonometria básica. Infelizmente, sem a figura mencionada, vamos assumir a configuração típica para estas medidas: o ponto $C$ está diretamente ao lado de $A$, formando uma linha reta paralela à margem do rio, e os ângulos dados são medidos a partir de $C$, sendo um ângulo $ACB = 30^\circ$ e o outro $BCA = 105^\circ$.

Com esses ângulos, podemos identificar que o ângulo $ABC$ é o complemento para completar $180^\circ$ em um triângulo, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$. Assim, calculamos o ângulo $ABC$ como:

$$ \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ $$

Temos agora um triângulo $ACB$ com os seguintes ângulos: $30^\circ$ em $C$, $105^\circ$ em $A$, e $45^\circ$ em $B$. A distância $AC$ é dada como $200$ metros. Para encontrar a distância $AB$ (a largura do rio), podemos usar a lei dos senos, que diz que a razão entre a medida de um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é constante para todos os lados e ângulos do triângulo.

$$ \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)} $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$ \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{200}{\sin(45^\circ)} $$

Simplificando com os valores de seno conhecidos ($\sin(30^\circ) = 0,5$ e $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$$ \frac{AB}{0,5} = \frac{200}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

$$ AB = 200 \cdot \frac{0,5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

$$ AB = 200 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ AB = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ AB = 100\sqrt{2} $$

Portanto, a distância entre os pontos $A$ e $B$, ou seja, a largura do rio onde a ponte será construída, é de $100\sqrt{2}$ metros, aproximadamente $141,42$ metros, considerando que $\sqrt{2} \approx 1,414$.

(UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um ...

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