Um ângulo raso foi dividido em três partes inversamente proporcionais aos números 1,3 e 6. Nessas condições, o menor ângulo mede?
L
Laryssa
29/11/24

Question

Um ângulo raso foi dividido em três partes inversamente proporcionais aos números 1,3 e 6. Nessas condições, o menor ângulo mede?

Accepted Answer

Um ângulo raso é um ângulo de 180 graus. Quando dizemos que ele foi dividido em três partes inversamente proporcionais aos números 1, 3 e 6, estamos dizendo que as medidas dos ângulos são inversamente proporcionais a esses números.

Para resolver isso, vamos usar a propriedade das proporções inversas. Se as medidas dos ângulos são inversamente proporcionais a 1, 3 e 6, então podemos dizer que:

$$
\text{Sejam } a, b, c \text{ as medidas dos ângulos, então: }
$$

$$
a = \frac{k}{1}, \quad b = \frac{k}{3}, \quad c = \frac{k}{6}
$$

onde $k$ é uma constante de proporcionalidade.

Sabemos que a soma dos ângulos é igual a 180 graus:

$$
a + b + c = 180
$$

Substituindo as expressões para $a$, $b$ e $c$:

$$
\frac{k}{1} + \frac{k}{3} + \frac{k}{6} = 180
$$

Para resolver essa equação, primeiro encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 1, 3 e 6, que é 6. Multiplicamos toda a equação por 6 para eliminar os denominadores:

$$
6 \times \frac{k}{1} + 6 \times \frac{k}{3} + 6 \times \frac{k}{6} = 6 \times 180
$$

$$
6k + 2k + k = 1080
$$

$$
9k = 1080
$$

Resolvendo para $k$:

$$
k = \frac{1080}{9} = 120
$$

Agora, calculamos cada ângulo:

$$
a = \frac{120}{1} = 120
$$
$$
b = \frac{120}{3} = 40
$$
$$
c = \frac{120}{6} = 20
$$

Portanto, o menor ângulo mede **20 graus**.