Um comerciante tem uma papelaria vai distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em sua loja.Considerando que cada criança vai receber pelo menos uma caneta, o número total de possibilidades desse evento é

a) 84
b) 150
c) 210
d) 512
e) 5040

Question

Um comerciante tem uma papelaria vai distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em sua loja.Considerando que cada criança vai receber pelo menos uma caneta, o número total de possibilidades desse evento é

a) 84 b) 150 c) 210 d) 512 e) 5040

a) 84
b) 150
c) 210
d) 512
e) 5040

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para resolver este problema, podemos usar o princípio das partições de inteiros. Precisamos repartir 10 canetas entre 4 crianças, com a condição de que cada criança receba pelo menos uma caneta.

Primeiro, damos uma caneta para cada criança, o que já utiliza 4 canetas. Restam então 6 canetas para distribuir livremente entre as 4 crianças.

Agora, precisamos encontrar o número de soluções inteiras não negativas da equação:

$$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6 $$

onde $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ representam o número de canetas adicionais que cada criança pode receber.

Usamos o método das combinações com repetição (ou "stars and bars"), que nos dá a fórmula:

$$
\binom{n+k-1}{k-1}
$$

onde $ n $ é o número total de itens a serem distribuídos (6 canetas restantes) e $ k $ é o número de categorias (4 crianças).

Substituindo os valores:

$$
\binom{6+4-1}{4-1} = \binom{9}{3} = 84
$$

Portanto, o número total de maneiras de distribuir as canetas é 84.

Um comerciante tem uma papelaria vai distribuir 10 canetas i...