) Um cone é gerado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de seu maior cateto. A área lateral desse
cone é igual a15π cm2, e a medida de sua altura é igual a 4 cm.
Assim, o volume desse cone, em cm³, é igual a
a) 4π
b) 12π
c) 15π
d) 100π/3
e) 36π

Question

) Um cone é gerado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de seu maior cateto. A área lateral desse 
cone é igual a15π cm2, e a medida de sua altura é igual a 4 cm.
Assim, o volume desse cone, em cm³, é igual a
a) 4π
b) 12π
c) 15π
d) 100π/3
e) 36π

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos usar algumas fórmulas e conceitos de geometria.

Primeiro, vamos identificar as variáveis:
- A área lateral do cone é $15\pi$ cm².
- A altura do cone é 4 cm.

A fórmula da área lateral de um cone é:

$$
A_{\text{lateral}} = \pi r g
$$

onde $r$ é o raio da base do cone e $g$ é a geratriz do cone.

Sabemos que:

$$
\pi r g = 15\pi
$$

Podemos simplificar para:

$$
r g = 15
$$

Agora, precisamos encontrar a geratriz $g$. Sabemos que a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo original e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

$$
g = \sqrt{r^2 + h^2}
$$

onde $h$ é a altura do cone (4 cm):

$$
g = \sqrt{r^2 + 4^2} = \sqrt{r^2 + 16}
$$

Substituímos $g$ na equação $r g = 15$:

$$
r \sqrt{r^2 + 16} = 15
$$

Vamos resolver essa equação para $r$. Elevamos ambos os lados ao quadrado:

$$
r^2 (r^2 + 16) = 225
$$

Expandindo:

$$
r^2 r^2 + 16r^2 = 225
$$

$$
r^4 + 16r^2 - 225 = 0
$$

Essa é uma equação quadrática em $r^2$. Vamos fazer a substituição $u = r^2$:

$$
u^2 + 16u - 225 = 0
$$

Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

onde $a = 1$, $b = 16$ e $c = -225$:

$$
u = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
u = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 900}}{2}
$$

$$
u = \frac{-16 \pm \sqrt{1156}}{2}
$$

$$
u = \frac{-16 \pm 34}{2}
$$

As soluções são:

$$
u = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{ou} \quad u = \frac{-50}{2} = -25
$$

Como $u = r^2$ e deve ser positivo, temos:

$$
r^2 = 9 \implies r = 3
$$

Agora que temos $r = 3$ cm, podemos encontrar a geratriz $g$:

$$
g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$

Finalmente, podemos calcular o volume do cone usando a fórmula:

$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
$$

Substituindo os valores encontrados:

$$
V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4)
$$

$$
V = \frac{1}{3} \pi (9) (4)
$$

$$
V = 12\pi
$$

**Resposta: b)**

Portanto, o volume do cone é $12\pi$ cm³.

) Um cone é gerado a partir da rotação de um triângulo retân...

) Um cone é gerado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de seu maior cateto. A área lateral desse cone é igual a15π cm2, e a medida de sua altura é igual a 4 cm. Assim, o volume desse cone, em cm³, é igual a a) 4π b) 12π c) 15π d) 100π/3 e) 36π

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