Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 2 cm. A área das regiões que são internas à circunferência e externas ao triângulo, em cm2 , é igual a

a) 2 - 3
b) 4 - 2.
c) 4 - 3.
d) 3 - 4.

Question

Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 2 cm. A área das regiões que são internas à circunferência e externas ao triângulo, em cm2 , é igual a

a) 2 - 3 b) 4 - 2. c) 4 - 3. d) 3 - 4.

a) 2 - 3
b) 4 - 2. 
c) 4 - 3. 
d) 3 - 4.

Accepted Answer

**Resposta: c) 4 - 3.**

Para resolver essa questão, precisamos calcular a área da circunferência e a área do triângulo equilátero inscrito nela.

1. **Área da circunferência:**
   A fórmula para a área de uma circunferência é $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio.
   $$
   A_{\text{circunferência}} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi
   $$

2. **Lado do triângulo equilátero:**
   Em um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, o raio da circunferência é igual ao raio da circunferência circunscrita ao triângulo. A relação entre o lado do triângulo $a$ e o raio $R$ é dada por:
   $$
   R = \frac{a}{\sqrt{3}}
   $$
   Portanto:
   $$
   a = 2\sqrt{3}
   $$

3. **Área do triângulo equilátero:**
   A fórmula para a área de um triângulo equilátero de lado $a$ é:
   $$
   A_{\text{triângulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2
   $$
   $$
   A_{\text{triângulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3}
   $$

4. **Área das regiões internas à circunferência e externas ao triângulo:**
   Subtraímos a área do triângulo da área da circunferência:
   $$
   A_{\text{região}} = 4\pi - 3\sqrt{3}
   $$

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão $4 - 3$ corresponde à área das regiões internas à circunferência e externas ao triângulo.

Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência ...