A distribuição de velocidade de escoamento de um fluido newtoniano num formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação u .= (3V / 2)[1 - (y / h) ^ 2] onde V a velocidade média. O fluido apresenta viscosidade . Admitindo V = 0, 6m / s eh 5mm, determine a) a tensão de cisalhamento em função da coordenada y (distância do plano central às placas), b) o valor dessa tensão na parede inferior do canal, c) o o valor dessa tensão no plano central do canal

Question

A distribuição de velocidade de escoamento de um fluido newtoniano num formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação u .= (3V / 2)[1 - (y / h) ^ 2] onde V a velocidade média. O fluido apresenta viscosidade . Admitindo V = 0, 6m / s eh 5mm, determine a) a tensão de cisalhamento em função da coordenada y (distância do plano central às placas), b) o valor dessa tensão na parede  inferior do canal, c) o o valor dessa tensão no plano central do canal

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo:

### Parte (a): Tensão de cisalhamento em função da coordenada $ y $

A tensão de cisalhamento ($ \tau $) para um fluido newtoniano é dada por:

$$ \tau = \mu \left( \frac{du}{dy} \right) $$

Onde:
- $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido.
- $ \frac{du}{dy} $ é o gradiente de velocidade.

A velocidade de escoamento $ u $ é dada por:

$$ u = \left( \frac{3V}{2} \right) \left[ 1 - \left( \frac{y}{h} \right)^2 \right] $$

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ y $:

$$ \frac{du}{dy} = \frac{d}{dy} \left( \frac{3V}{2} \left[ 1 - \left( \frac{y}{h} \right)^2 \right] \right) $$

Aplicando a regra da cadeia:

$$ \frac{du}{dy} = \frac{3V}{2} \cdot \left( -2 \cdot \frac{y}{h^2} \right) $$

Simplificando:

$$ \frac{du}{dy} = -\frac{3V}{2} \cdot \frac{2y}{h^2} = -\frac{3Vy}{h^2} $$

Agora, substituímos na fórmula da tensão de cisalhamento:

$$ \tau = \mu \left( -\frac{3Vy}{h^2} \right) $$

Portanto, a tensão de cisalhamento em função da coordenada $ y $ é:

$$ \tau(y) = -\frac{3\mu V y}{h^2} $$

### Parte (b): Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal

Na parede inferior do canal, $ y = \pm h $. Vamos considerar $ y = h $:

$$ \tau(h) = -\frac{3\mu V h}{h^2} = -\frac{3\mu V}{h} $$

Substituindo os valores dados:

- $ V = 0.6 \, \text{m/s} $
- $ h = 5 \, \text{mm} = 0.005 \, \text{m} $

Temos:

$$ \tau(h) = -\frac{3 \mu \cdot 0.6}{0.005} = -\frac{1.8 \mu}{0.005} = -360 \mu $$

Então, a tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é:

$$ \tau(h) = -360 \mu $$

### Parte (c): Tensão de cisalhamento no plano central do canal

No plano central do canal, $ y = 0 $:

$$ \tau(0) = -\frac{3\mu V \cdot 0}{h^2} = 0 $$

Portanto, a tensão de cisalhamento no plano central do canal é:

$$ \tau(0) = 0 $$

### Resumo das Respostas:

(a) A tensão de cisalhamento em função da coordenada $ y $ é:

$$ \tau(y) = -\frac{3\mu V y}{h^2} $$

(b) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é:

$$ \tau(h) = -360 \mu $$

(c) A tensão de cisalhamento no plano central do canal é:

$$ \tau(0) = 0 $$

A distribuição de velocidade de escoamento de um fluido newt...

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