Um fluido viscoso está confinado entre dois cilindros concêntricos longos. O torque por unidade de comprimento (T’)
necessário para girar o cilindro interno a uma velocidade angular (Ω) é função dos raios (a e b) dos cilindros, da
viscosidade (μ) e da velocidade angular (Ω). Determine a função adimensional equivalente. O que acontece com T’ se
tanto a como b forem duplicados?

Question

Accepted Answer

Para determinar a função adimensional equivalente que relaciona o torque por unidade de comprimento ($T'$) necessário para girar o cilindro interno a uma velocidade angular ($\Omega$), com os raios dos cilindros ($a$ e $b$), a viscosidade ($\mu$) e a velocidade angular ($\Omega$), utilizamos a análise dimensional.

As variáveis envolvidas são:
- Torque por unidade de comprimento, $T'$ [ML$^2$T$^{-2}$],
- Velocidade angular, $\Omega$ [T$^{-1}$],
- Raio do cilindro interno, $a$ [L],
- Raio do cilindro externo, $b$ [L],
- Viscosidade, $\mu$ [ML$^{-1}$T$^{-1}$].

O objetivo é encontrar uma relação adimensional entre essas variáveis. Podemos começar identificando as dimensões básicas (M, L, T) em termos das variáveis fornecidas.

A equação geral para o torque por unidade de comprimento pode ser escrita como:
$$ T' = f(a, b, \mu, \Omega) $$

Para formar um grupo adimensional, podemos usar o Teorema de Buckingham Pi. Sabendo que temos 5 variáveis (incluindo $T'$) e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), esperamos obter $5 - 3 = 2$ grupos adimensionais.

Escolhendo $\mu$, $a$ e $\Omega$ como variáveis repetitivas (porque juntas elas cobrem todas as dimensões fundamentais M, L, T), podemos tentar formar os grupos adimensionais.

Um provável grupo adimensional ($\Pi_1$) envolvendo $T'$ pode ser formado pela combinação dessas variáveis para cancelar as dimensões. Uma possibilidade é:
$$ \Pi_1 = \frac{T'}{\mu a^2 \Omega} $$
Essa relação fornece uma maneira de relacionar o torque por unidade de comprimento com as outras variáveis de forma adimensional.

Outro grupo adimensional ($\Pi_2$) pode envolver a relação entre os raios dos cilindros, tal como:
$$ \Pi_2 = \frac{a}{b} $$
ou
$$ \Pi_2 = \frac{b}{a} $$

Portanto, a função adimensional equivalente pode ser expressa como uma função dos grupos adimensionais:
$$ F(\Pi_1, \Pi_2) = 0 $$
ou, substituindo pelas formas dos grupos adimensionais,
$$ F\left(\frac{T'}{\mu a^2 \Omega}, \frac{a}{b}\right) = 0 $$

Agora, considerando o que acontece se tanto $a$ quanto $b$ forem duplicados:

Se dobrarmos os valores de $a$ e $b$ (ou seja, $a' = 2a$ e $b' = 2b$), o grupo adimensional $\Pi_2$ permanecerá inalterado, pois:
$$ \Pi_2' = \frac{a'}{b'} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} $$

Isso significa que a relação geométrica entre os cilindros não muda, e portanto, o efeito dessa alteração nos grupos adimensionais é nulo no contexto da relação funcional adimensional. Em outras palavras, a escala geométrica dos cilindros não afeta a forma funcional da relação adimensional entre o torque necessário, a viscosidade, e a velocidade angular, desde que a relação entre os raios dos cilindros permaneça constante.

Um fluido viscoso está confinado entre dois cilindros concên...

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