(2) [1,0] A distribuição de temperatura numa superfície plana triangular de concreto é
definida pela equação: 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥
2𝑦/2) + (𝑧
2
/3), com T em °C, x, y e z em
decímetros. A superfície triangular é a porção do plano 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6 incluído no
primeiro octante. Calcular a taxa de transferência de calor por condução através da
superfície da placa.

Question

(2) [1,0] A distribuição de temperatura numa superfície plana triangular de concreto é
definida pela equação: 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥
2𝑦/2) + (𝑧
2
/3), com T em °C, x, y e z em
decímetros. A superfície triangular é a porção do plano 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6 incluído no
primeiro octante. Calcular a taxa de transferência de calor por condução através da
superfície da placa.

Accepted Answer

Para calcular a taxa de transferência de calor por condução através da superfície da placa triangular, podemos usar a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:

$$ q = -k \nabla T \cdot \mathbf{n} $$

onde:
- $ q $ é a taxa de transferência de calor por unidade de área,
- $ k $ é a condutividade térmica do material (que não foi fornecida na questão),
- $ \nabla T $ é o gradiente de temperatura,
- $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente de temperatura $ \nabla T $. A função de temperatura é dada por:

$$ T(x, y, z) = \frac{x^2 y}{2} + \frac{z^2}{3} $$

O gradiente $ \nabla T $ é calculado como:

$$
\nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right)
$$

Calculando as derivadas parciais:

1. $ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^2 y}{2} + \frac{z^2}{3} \right) = xy $

2. $ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^2 y}{2} + \frac{z^2}{3} \right) = \frac{x^2}{2} $

3. $ \frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{x^2 y}{2} + \frac{z^2}{3} \right) = \frac{2z}{3} $

Portanto, o gradiente é:

$$
\nabla T = (xy, \frac{x^2}{2}, \frac{2z}{3})
$$

Agora, precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície triangular. A equação do plano é:

$$ 2x + 2y + z = 6 $$

O vetor normal a este plano é dado pelo vetor dos coeficientes das variáveis na equação do plano:

$$ \mathbf{n} = (2, 2, 1) $$

A taxa de transferência de calor por condução $ q $ é então dada por:

$$ q = -k \nabla T \cdot \mathbf{n} = -k (xy, \frac{x^2}{2}, \frac{2z}{3}) \cdot (2, 2, 1) $$

Calculando o produto escalar:

$$
q = -k (2xy + x^2 + \frac{2z}{3})
$$

Finalmente, para calcular a taxa total de transferência de calor através da superfície, precisaríamos integrar $ q $ sobre a área da superfície triangular no primeiro octante, mas sem valores específicos ou a condutividade térmica, não podemos calcular um valor numérico exato. Se $ k $ e os limites da área fossem fornecidos, poderíamos prosseguir com a integração.