Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 onde a tangente é horizontal.
I
Ivy
28/06/24

Q: Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 onde a tangente é horizontal.

Para encontrar os pontos sobre a curva $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ onde a tangente é horizontal, primeiro determinamos a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A tangente será horizontal nos pontos onde essa derivada é igual a zero, pois a derivada representa a inclinação da tangente à curva. 1. **Calcular a derivada:** A função dada é $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $. Aplicando a regra de derivação: \[ \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 6x - 12 \] 2. **Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:** \[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \] Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] 3. **Resolver a equação quadrática:** A equação $ x^2 + x - 2 = 0 $ pode ser resolvida fatorando-a: \[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0 \] Isso nos dá duas soluções: \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 4. **Substituir os valores de $ x $ na equação original para encontrar $ y $:** - Para $ x = -2 $: \[ y = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21 \] Portanto, o ponto é $ (-2, 21) $. - Para $ x = 1 $: \[ y = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6 \] Portanto, o ponto é $ (1, -6) $. Portanto, os pontos sobre a curva onde a tangente é horizontal são $ (-2, 21) $ e $ (1, -6) $.

Question

Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 onde a tangente é horizontal.

Accepted Answer

Para encontrar os pontos sobre a curva $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $ onde a tangente é horizontal, primeiro determinamos a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A tangente será horizontal nos pontos onde essa derivada é igual a zero, pois a derivada representa a inclinação da tangente à curva.

1. **Calcular a derivada:**
   A função dada é $ y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1 $.
   
   Aplicando a regra de derivação:
   $$
   \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 6x - 12
   $$

2. **Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:**
   $$
   6x^2 + 6x - 12 = 0
   $$

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
   $$
   x^2 + x - 2 = 0
   $$

3. **Resolver a equação quadrática:**
   A equação $ x^2 + x - 2 = 0 $ pode ser resolvida fatorando-a:
   $$
   x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0
   $$

Isso nos dá duas soluções:
   $$
   x + 2 = 0 \implies x = -2
   $$
   $$
   x - 1 = 0 \implies x = 1
   $$

4. **Substituir os valores de $ x $ na equação original para encontrar $ y $:**
   - Para $ x = -2 $:
     $$
     y = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21
     $$
     Portanto, o ponto é $ (-2, 21) $.

- Para $ x = 1 $:
     $$
     y = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 2 + 3 - 12 + 1 = -6
     $$
     Portanto, o ponto é $ (1, -6) $.

Portanto, os pontos sobre a curva onde a tangente é horizontal são $ (-2, 21) $ e $ (1, -6) $.

Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 onde a tangente é horizontal.

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