A regência do verbo "aspirar" pode variar conforme o sentido em que é empregado. Quando "aspirar" é usado com o sentido de "ter aspirações, desejar", a regência correta é "aspirar a algo". Por outro lado, quando "aspirar" tem o significado de "sorver, inalar", a regência é direta, sem preposição.
Portanto, analisando as opções:
a. Ele aspira o cargo na empresa. (Incorreto, pois deveria ser "aspira a" se o sentido for ter aspirações ao cargo)
b. Ele aspira ao pó dos móveis. (Incorreto, o correto seria "Ele aspira o pó dos móveis" se o sentido for inalar)
c. Ele aspira a patente de sargento. (Correto, se o sentido for ter aspirações à patente)
d. Ele aspira um cargo na empresa. (Incorreto, pois deveria ser "aspira a" se o sentido for ter aspirações ao cargo)
e. Ele aspira à patente de sargento. (Correto, e mais adequado que a opção c, pois a crase confere clareza ao fato de que o verbo "aspirar" está sendo usado no sentido de desejar algo, indicando a preposição "a" mais o artigo definido feminino "a" antes de "patente", que é uma palavra feminina.)
Portanto, a opção correta é:
e. Ele aspira à patente de sargento.
