Questão 2. (Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100
e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados.
A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a
divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir
5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos
reprovados 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para
aprovação?

Question

Questão 2. (Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100
e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados.
A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a
divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir
5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos
reprovados 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para
aprovação?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar cada parte separadamente.

### a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.

1. **Número de alunos reprovados:** 8  
   **Média das notas dos reprovados:** 65

Portanto, a soma das notas dos reprovados é:
   $$
   S_{\text{reprovados}} = 8 \times 65 = 520
   $$

2. **Número de alunos aprovados:** 20 - 8 = 12  
   **Média das notas dos aprovados:** 77

Portanto, a soma das notas dos aprovados é:
   $$
   S_{\text{aprovados}} = 12 \times 77 = 924
   $$

3. **Soma total das notas da classe antes dos 5 pontos extras:**
   $$
   S_{\text{total}} = S_{\text{reprovados}} + S_{\text{aprovados}} = 520 + 924 = 1444
   $$

4. **Média aritmética da classe:**
   $$
   \text{Média da classe} = \frac{S_{\text{total}}}{20} = \frac{1444}{20} = 72,2
   $$

### b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

Após a atribuição dos 5 pontos extras:

- **Nova média dos reprovados:** 68,8  
  Isso significa que a nova soma das notas dos reprovados é:
  $$
  S'_{\text{reprovados}} = 8 \times 68,8 = 550,4
  $$

- Cada aluno reprovado recebeu 5 pontos a mais, então inicialmente suas somas eram:
  $$
  S_{\text{reprovados}} + (8 \times 5) = 550,4 \quad \Rightarrow \quad S_{\text{reprovados}} = 550,4 - 40 = 510,4
  $$

No entanto, como sabemos que a soma inicial era 520, isso confirma o cálculo correto dos pontos adicionais.

Agora, para saber quantos alunos inicialmente reprovados atingiram a nota para aprovação:

- **Nota mínima para aprovação:** 70
- Antes dos 5 pontos, os alunos tinham no máximo 65.
- Após adicionar 5 pontos, a nova nota máxima dos reprovados seria 70.

Como a média dos reprovados após os 5 pontos é inferior a 70 (68,8), podemos concluir que nenhum aluno reprovado inicialmente atingiu nota para aprovação.

**Resposta: 0 alunos inicialmente reprovados atingiram nota para aprovação.**

Questão 2. (Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas...

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