uma empresa de Loteria introduziu um novo jogo de dados nele os jogadores apostam em um dado de seis Faces dependendo do número que cai recebem uma continha em dinheiro se o dado cai no número 1 o jogador ganha r$ 2 se cai no número dois ganha r$ 4 se cai no número três não ganha nada se cai no número quatro ganha um real se cai no número 5 perde r$ 2 se cai no número 6 ganha r$ 3 qual é o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada
F
Fabricio
27/05/24

Question

uma empresa de Loteria introduziu um novo jogo de dados nele os jogadores apostam em um dado de seis Faces dependendo do número que cai recebem uma continha em dinheiro se o dado cai no número 1 o jogador ganha r$ 2 se cai no número dois ganha r$ 4 se cai no número três não ganha nada se cai no número quatro ganha um real se cai no número 5 perde r$ 2 se cai no número 6 ganha r$ 3 qual é o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada

F

Fabricio

27/05/24

Accepted Answer

Para calcular o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada, precisamos considerar todos os possíveis resultados e suas respectivas probabilidades.

Dado que o dado tem 6 faces, a probabilidade de cair em qualquer número específico é $ \frac{1}{6} $.

Vamos definir $ X $ como a variável aleatória que representa os ganhos do jogador. Os valores de $ X $ e suas respectivas probabilidades são:

$$
\begin{array}{c|c}
\text{Número no dado} & \text{Ganhos} \
\hline
1 & 2 \
2 & 4 \
3 & 0 \
4 & 1 \
5 & -2 \
6 & 3 \
\end{array}
$$

A probabilidade de cada resultado é $ \frac{1}{6} $.

O valor esperado $ E(X) $ é calculado pela fórmula:

$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$

Onde $ x_i $ são os possíveis valores de $ X $ e $ P(x_i) $ são as probabilidades associadas a esses valores.

Portanto:

$$
E(X) = 2 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6}
$$

Simplificando:

$$
E(X) = \frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{0}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6} + \frac{3}{6}
$$

$$
E(X) = \frac{2 + 4 + 0 + 1 - 2 + 3}{6}
$$

$$
E(X) = \frac{8}{6}
$$

$$
E(X) = \frac{4}{3} \approx 1.33
$$

Portanto, o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada é de aproximadamente R\$ 1,33.