1. Em uma assembleia de 12 professores do IFAL, três são matemáticos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, incluindo, no mínimo, um professor de matemática?
a) 646 comissões
b) 668 comissões
c) 636 comissões
d) 676 comissões
e) 666 comissões

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos utilizar o conceito de combinações. Primeiro, precisamos calcular o número total de comissões de cinco membros que podem ser formadas sem qualquer restrição. Depois, subtraímos o número de comissões que podem ser formadas sem incluir nenhum professor de matemática.

1. **Total de Comissões Possíveis**: O número total de comissões de cinco membros que podem ser formadas a partir de 12 professores é dado pela combinação de 12 elementos tomados de 5 em 5, que é calculada pela fórmula:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

onde $n$ é o número total de elementos, $k$ é o número de elementos por grupo, e $n!$ denota o fatorial de $n$.

Assim, para calcular o total de comissões possíveis, temos:

$$C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!}$$

2. **Comissões Sem Matemáticos**: Para calcular o número de comissões que podem ser formadas sem incluir nenhum dos três professores de matemática, usamos os 9 professores restantes (12 totais menos os 3 matemáticos). O número de comissões de cinco membros que podem ser formadas apenas com esses professores é dado por:

$$C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}$$

3. **Comissões Com Pelo Menos Um Matemático**: Para encontrar o número de comissões que incluem pelo menos um matemático, subtraímos o número de comissões sem matemáticos do total de comissões possíveis:

$$Total - SemMatemáticos$$

Calculando cada parte:

$$C(12, 5) = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$$

$$C(9, 5) = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$$

Subtraindo o número de comissões sem matemáticos do total de comissões possíveis, temos:

$$792 - 126 = 666$$

Portanto, o número de comissões de cinco membros que podem ser formadas, incluindo pelo menos um professor de matemática, é de 666.

A resposta correta é a alternativa **(e) 666 comissões**.

1. Em uma assembleia de 12 professores do IFAL, três são mat...

Em uma assembleia de 12 professores do IFAL, três são matemáticos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, incluindo, no mínimo, um professor de matemática? a) 646 comissões b) 668 comissões c) 636 comissões d) 676 comissões e) 666 comissões

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