A viga é feita de três tábuas pregadas juntas, como
mostrado na figura ao lado. Se o momento que age na seção
transversal é M= 600 N.m, calcule as tensões máximas de
tração e de compressão da viga.

Question

A viga é feita de três tábuas pregadas juntas, como
mostrado na figura ao lado. Se o momento que age na seção
transversal é M= 600 N.m, calcule as tensões máximas de
tração e de compressão da viga.

Accepted Answer

Para calcular as tensões máximas de tração e compressão em uma viga sujeita a um momento fletor $M$, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Determinar o momento de inércia da seção transversal ($I$)**:
   A seção transversal da viga é composta por três tábuas. Vamos supor que cada tábua tem largura $b$ e altura $h$. A disposição das tábuas influencia no cálculo do momento de inércia.

Se as tábuas são dispostas de forma que duas estejam na vertical e uma na horizontal (como em um T invertido), o momento de inércia total $I$ será a soma dos momentos de inércia individuais das tábuas, considerando o Teorema dos Eixos Paralelos para as tábuas deslocadas do eixo neutro.

2. **Calcular a tensão máxima ($\sigma_{\text{máx}}$)**:
   A tensão máxima ocorre nas fibras mais distantes do eixo neutro e pode ser calculada usando a fórmula:
   $$
   \sigma_{\text{máx}} = \frac{M \cdot c}{I}
   $$
   onde:
   - $M$ é o momento fletor (600 N.m).
   - $c$ é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante.
   - $I$ é o momento de inércia da seção transversal.

Vamos considerar um exemplo específico para ilustrar o cálculo:

### Exemplo
Suponha que cada tábua tem as seguintes dimensões:
- Largura ($b$) = 0,1 m
- Altura ($h$) = 0,3 m

### Passo 1: Calcular o momento de inércia ($I$)
Para a disposição das tábuas, vamos considerar duas tábuas verticais e uma horizontal no meio. O momento de inércia de uma tábua vertical é dado por:
$$
I_{\text{vertical}} = \frac{b h^3}{12}
$$
Para duas tábuas verticais:
$$
I_{\text{total, vertical}} = 2 \times \frac{0,1 \times 0,3^3}{12} = 2 \times \frac{0,1 \times 0,027}{12} = 2 \times 0,000225 = 0,00045 \, \text{m}^4
$$

Para a tábua horizontal, considerando o eixo neutro passando pelo centro da seção transversal:
$$
I_{\text{horizontal}} = \frac{h b^3}{12}
$$
$$
I_{\text{horizontal}} = \frac{0,1 \times 0,3^3}{12} = \frac{0,1 \times 0,027}{12} = 0,000225 \, \text{m}^4
$$

### Passo 2: Calcular a distância $c$
A distância $c$ é metade da altura total da seção. Se a altura total é a soma das alturas das tábuas verticais:
$$
c = \frac{2 \times 0,3}{2} = 0,3 \, \text{m}
$$

### Passo 3: Calcular a tensão máxima ($\sigma_{\text{máx}}$)
O momento de inércia total $I$ é a soma dos momentos de inércia das tábuas:
$$
I_{\text{total}} = I_{\text{total, vertical}} + I_{\text{horizontal}} = 0,00045 + 0,000225 = 0,000675 \, \text{m}^4
$$

Finalmente, a tensão máxima é:
$$
\sigma_{\text{máx}} = \frac{M \cdot c}{I} = \frac{600 \times 0,3}{0,000675} = \frac{180}{0,000675} \approx 266667 \, \text{Pa} = 266,67 \, \text{kPa}
$$

Portanto, as tensões máximas de tração e compressão da viga são aproximadamente $266,67 \, \text{kPa}$.

A viga é feita de três tábuas pregadas juntas, como mostrado na figura ao lado. Se o momento que age na seção transversal é M= 600 N.m, calcule as tensões máximas de tração e de compressão da viga.