(UFJF-MG) Sobre os elementos do conjunto solução da equação |x²| - 4|x| - 5 = 0, podemos dizer que:

a) são um número natural e um número inteiro.

b) são números naturais.

c) o único elemento é um número natural.

d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional.

e) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio.

Q: (UFJF-MG) Sobre os elementos do conjunto solução da equação |x²| - 4|x| - 5 = 0, podemos dizer que: a) são um número natural e um número inteiro. b) são números naturais. c) o único elemento é um número natural. d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional. e) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio.

Para resolver a equação $|x|^2 - 4|x| - 5 = 0$, vamos fazer uma substituição: seja $y = |x|$. Assim, a equação se torna: \[y^2 - 4y - 5 = 0\] Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] onde $a = 1$, $b = -4$ e $c = -5$. \[y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}\] \[y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\] \[y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}\] \[y = \frac{4 \pm 6}{2}\] As soluções para $y$ são: \[y = \frac{10}{2} = 5\] \[y = \frac{-2}{2} = -1\] Como $y = |x|$ e o módulo não pode ser negativo, descartamos $y = -1$. Assim, $y = 5$. Portanto, $|x| = 5$, o que implica $x = 5$ ou $x = -5$. Os números $5$ e $-5$ são inteiros. Logo, a alternativa correta é: **Resposta: a)** são um número natural e um número inteiro.

Question

(UFJF-MG) Sobre os elementos do conjunto solução da equação |x²| - 4|x| - 5 = 0, podemos dizer que:

a) são um número natural e um número inteiro.

b) são números naturais.

c) o único elemento é um número natural.

d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional.

e) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio.

Accepted Answer

Para resolver a equação $|x|^2 - 4|x| - 5 = 0$, vamos fazer uma substituição: seja $y = |x|$. Assim, a equação se torna:

$$y^2 - 4y - 5 = 0$$

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

onde $a = 1$, $b = -4$ e $c = -5$.

$$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$$

$$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$y = \frac{4 \pm 6}{2}$$

As soluções para $y$ são:

$$y = \frac{10}{2} = 5$$
$$y = \frac{-2}{2} = -1$$

Como $y = |x|$ e o módulo não pode ser negativo, descartamos $y = -1$. Assim, $y = 5$.

Portanto, $|x| = 5$, o que implica $x = 5$ ou $x = -5$.

Os números $5$ e $-5$ são inteiros. Logo, a alternativa correta é:

**Resposta: a)** são um número natural e um número inteiro.

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