Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1
) possui raio interno 28.000 cm e o cilindro de alumínio (αal=24×10−6∘C−1
) possui raio 28.028 cm, ambos à temperatura de 77∘C
.

Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?

Question

Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1
) possui raio interno 28.000 cm e o cilindro de alumínio  (αal=24×10−6∘C−1
) possui raio 28.028 cm, ambos  à temperatura de 77∘C
.

Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a temperatura em que o raio interno do anel de latão se iguala ao raio externo do cilindro de alumínio. Vamos usar a fórmula da dilatação térmica linear:

$$
L = L_0 (1 + \alpha \Delta T)
$$

onde:
- $ L $ é o comprimento final,
- $ L_0 $ é o comprimento inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Vamos definir as variáveis para o anel de latão e o cilindro de alumínio:

- Para o anel de latão:
  - $ R_{\text{latão},0} = 28.000 \, \text{cm} $
  - $ \alpha_{\text{latão}} = 19 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1} $

- Para o cilindro de alumínio:
  - $ R_{\text{alumínio},0} = 28.028 \, \text{cm} $
  - $ \alpha_{\text{alumínio}} = 24 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1} $

A temperatura inicial é $ T_0 = 77 \, \text{°C} $.

Queremos encontrar a temperatura $ T $ em que os raios são iguais, ou seja, quando:

$$
R_{\text{latão}} = R_{\text{alumínio}}
$$

Aplicando a fórmula da dilatação térmica linear para ambos:

$$
R_{\text{latão}} = 28.000 (1 + 19 \times 10^{-6} (T - 77))
$$

$$
R_{\text{alumínio}} = 28.028 (1 + 24 \times 10^{-6} (T - 77))
$$

Igualando os dois raios:

$$
28.000 (1 + 19 \times 10^{-6} (T - 77)) = 28.028 (1 + 24 \times 10^{-6} (T - 77))
$$

Vamos resolver essa equação para $ T $:

1. Expandir os termos:
   $$
   28.000 + 28.000 \cdot 19 \times 10^{-6} (T - 77) = 28.028 + 28.028 \cdot 24 \times 10^{-6} (T - 77)
   $$

2. Simplificar os coeficientes:
   $$
   28.000 + 0.532 (T - 77) = 28.028 + 0.672672 (T - 77)
   $$

3. Isolar $ T $:
   $$
   28.000 + 0.532T - 0.532 \cdot 77 = 28.028 + 0.672672T - 0.672672 \cdot 77
   $$

4. Simplificar:
   $$
   28.000 + 0.532T - 40.964 = 28.028 + 0.672672T - 51.905744
   $$

5. Agrupar termos semelhantes:
   $$
   -12.964 + 0.532T = -23.877744 + 0.672672T
   $$

6. Isolar $ T $:
   $$
   10.913744 = 0.140672T
   $$

7. Dividir ambos os lados pelo coeficiente de $ T $:
   $$
   T = \frac{10.913744}{0.140672}
   $$

8. Calcular $ T $:
   $$
   T \approx 77.57 \, \text{°C}
   $$

Portanto, a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro é aproximadamente **77.57°C**.

Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1 ) possui raio interno ...

Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1 ) possui raio interno 28.000 cm e o cilindro de alumínio (αal=24×10−6∘C−1 ) possui raio 28.028 cm, ambos à temperatura de 77∘C .

Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?

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Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1 ) possui raio interno ...

Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1 ) possui raio interno 28.000 cm e o cilindro de alumínio (αal=24×10−6∘C−1 ) possui raio 28.028 cm, ambos à temperatura de 77∘C . Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?

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Um anel de latão (αlatão=19×10−6∘C−1 ) possui raio interno 28.000 cm e o cilindro de alumínio (αal=24×10−6∘C−1 ) possui raio 28.028 cm, ambos à temperatura de 77∘C .

Qual deve ser a temperatura comum em Celsius para que o anel consiga deslizar sem folgas pelo cilindro?