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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC AO INTERNACIONAL DA LUSOFONIA AFROBRASILEIRA INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS E DA NATUREZA LICENCIATURA EM MATEM ATICA Introducao as variaveis complexas 2º Lista de Exercıcios 1 Prove que Q Qi a bi a b Q e um subconjunto de C denso e com interior vazio 2 Seja X C a Se X e conexo e X Y X entao Y e conexo b Se C e uma componente conexa de X entao C e fechada em X 3 Se S rcisθ C 0 r θ prove que C S e conexo 4 Mostre que a uniao de um numero fnito d conjuntos compactos e compacto 5 Se A C e um aberto limitado mostre que A nao e compacto exibindo uma cobertura aberta de A que nao admita subcobertura finita 6 Se K L C sao compactos prove que existem z0 K e w0 L tais que dK L z0 w0 7 Se z 1 2 3 2 i calcule a 1 z z2 b z z22 8 a Se z nao e imaginario puro prove que w z iz z iz e imaginario puro b Determine todos os complexos z tais que z iz 0 c Se z 0 determine o valor maximo de k z z z z 9 Mostre que o cırculo Czo r z C z zo r pode ser escrito como zz αz αz β 0 onde α C e β R 10 Represente no Plano Complexo os conjuntos A B C D E e F dados respectiva mente por a A z C z 1 i 1 b B z C z 2 i z i c C z C z 3 3i 2 d D z C z 3 3i 2 e E z C z 1 i z 3 i 8 f F z C z 2 z 2 2 11 Determine a imagem das curvas parametrizadas abaixo pela funcao fz 1 z z 0 a αt 1 it t 0 b αt 1 ti t R c αt 2cost isent t 0 2π 12 Dada uma funcao complexa fz com domınio Domf A a imagem inversa de B C que representaremos por f 1B e o conjunto f 1B z A fz B Se fz z2 e B z C Rez 2 determine f 1B 13 Determine a imagem pela funcao fz 1 z dos seguintes conjuntos a A z C 0 Rez k b B z C 0 Imz k c C z C 2 Rez 4 14 Indique o domınio das seguintes func oes complexas de variavel complexa a fz z z 3i b fz 1 z22 c fz x x2y2 ixy d fz lnx x 2yi 15 Determine as func oes parte real e parte imaginaria das seguintes func oes complexas de variavel complexa a fz 2iz 6z b gz z2 c hz zz Calcule f1 3i g3i e h2 2i 16 Determine todos os subconjuntos S C satisfazendo as seguintes condic oes S n onde n N Existe M 1 tal que 1M z M para todo z S z w S zw S 17 Seja f D C uma funcao complexa de variavel complexa fx yi ux y vx yi e seja z0 um ponto interior a D Mostre que para z x yi e z0 x0 y0i se tem lim zz0 fz lim xyx0y0 ux y i lim xyx0y0 vx y 18 Encontre se possıvel lim z0 z z 2 19 Se X C e f X C é uma função contínua prove que a função g X C dada por gz fztambém é contínua 20 Sejam F₁F₂ C fechados e fⱼ Fⱼ C j 1 2 funções contínuas e tais que f₁z f₂z para todo z F₁ F₂ Prove que também é contínua a função f F₁ F₂ C dada por fz f₁z se z F₁ f₂z se z F₂ 21 Dados X Y C uma função f X Y é uma homeomorfismo se f for contínua e bijetiva com inversa contínua Dois subconjuntos X e Y de C são ditos homeomorfos se existir um homeomorfismo f X Y Prove que um homeomorfismo de X em Y estabelece uma correspondencia biunívoca entre as componentes conexas de X e de Y 22 Se f C C S₁0 é uma função contínua prove que fz 1 para todo z C ou fz 1 para todo z C 23 Dado A C aberto uma exaustão de A é uma família Kₙ n N de conjuntos compactos satisfazendo as seguintes condições A ₙ1 Kₙ Kₙ₁ IntKₙ para todo n 1 Prove que a Kₙ z A dz A 1n Bₙ0 é uma exaustão de A b Se Kₙ n N é uma exaustão de A e K A é compacto então existe n 1 tal que K Kₙ 24 Seja fz aₙzⁿ a₁z a₀ um polinômio de coeficientes complexos e z C uma raiz de f Se A maxa₀ aₙ₁ prove que z 1 Aaₙ 25 Se K C é compacto e f K C é uma função contínua então existem pontos z₁ e z₂ em K tais que fz₁ minfz z K e fz₂ Maxfz z K Definição 1 Dado X C uma função f X C é uniformemente contínua se a seguinte condição for satisfeita para todo ϵ 0 dado existe δ 0 tal que z w Xz w δ fz fw ϵ Definição 2 Dado X C uma função f X C é lipschitz se existir uma constante c 0 tal que fz fw cz wz w X 26 Se K C é compacto e f K C é continua então f é uniformemente continua Definicao 3 Dados subconjuntos nao vazios X e Y de C definimos a distˆancia entre X e Y por dX Y infz w z X w Y Em particular se X z entao denotamos dX Y simplesmente por dz Y 27 Dado X C temos a dz X dz X para todo z C b dz X 0 z X para todo z C c A funcao f C R dada por fz dz X e lipschitz donde uniformenmente contınua Mais precisamente para z w C temse dz X dw X z w 28 Se K F C sao disjuntos com K compacto e F fechado entao dK F 0 Bom Trabalho 4
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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC AO INTERNACIONAL DA LUSOFONIA AFROBRASILEIRA INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS E DA NATUREZA LICENCIATURA EM MATEM ATICA Introducao as variaveis complexas 2º Lista de Exercıcios 1 Prove que Q Qi a bi a b Q e um subconjunto de C denso e com interior vazio 2 Seja X C a Se X e conexo e X Y X entao Y e conexo b Se C e uma componente conexa de X entao C e fechada em X 3 Se S rcisθ C 0 r θ prove que C S e conexo 4 Mostre que a uniao de um numero fnito d conjuntos compactos e compacto 5 Se A C e um aberto limitado mostre que A nao e compacto exibindo uma cobertura aberta de A que nao admita subcobertura finita 6 Se K L C sao compactos prove que existem z0 K e w0 L tais que dK L z0 w0 7 Se z 1 2 3 2 i calcule a 1 z z2 b z z22 8 a Se z nao e imaginario puro prove que w z iz z iz e imaginario puro b Determine todos os complexos z tais que z iz 0 c Se z 0 determine o valor maximo de k z z z z 9 Mostre que o cırculo Czo r z C z zo r pode ser escrito como zz αz αz β 0 onde α C e β R 10 Represente no Plano Complexo os conjuntos A B C D E e F dados respectiva mente por a A z C z 1 i 1 b B z C z 2 i z i c C z C z 3 3i 2 d D z C z 3 3i 2 e E z C z 1 i z 3 i 8 f F z C z 2 z 2 2 11 Determine a imagem das curvas parametrizadas abaixo pela funcao fz 1 z z 0 a αt 1 it t 0 b αt 1 ti t R c αt 2cost isent t 0 2π 12 Dada uma funcao complexa fz com domınio Domf A a imagem inversa de B C que representaremos por f 1B e o conjunto f 1B z A fz B Se fz z2 e B z C Rez 2 determine f 1B 13 Determine a imagem pela funcao fz 1 z dos seguintes conjuntos a A z C 0 Rez k b B z C 0 Imz k c C z C 2 Rez 4 14 Indique o domınio das seguintes func oes complexas de variavel complexa a fz z z 3i b fz 1 z22 c fz x x2y2 ixy d fz lnx x 2yi 15 Determine as func oes parte real e parte imaginaria das seguintes func oes complexas de variavel complexa a fz 2iz 6z b gz z2 c hz zz Calcule f1 3i g3i e h2 2i 16 Determine todos os subconjuntos S C satisfazendo as seguintes condic oes S n onde n N Existe M 1 tal que 1M z M para todo z S z w S zw S 17 Seja f D C uma funcao complexa de variavel complexa fx yi ux y vx yi e seja z0 um ponto interior a D Mostre que para z x yi e z0 x0 y0i se tem lim zz0 fz lim xyx0y0 ux y i lim xyx0y0 vx y 18 Encontre se possıvel lim z0 z z 2 19 Se X C e f X C é uma função contínua prove que a função g X C dada por gz fztambém é contínua 20 Sejam F₁F₂ C fechados e fⱼ Fⱼ C j 1 2 funções contínuas e tais que f₁z f₂z para todo z F₁ F₂ Prove que também é contínua a função f F₁ F₂ C dada por fz f₁z se z F₁ f₂z se z F₂ 21 Dados X Y C uma função f X Y é uma homeomorfismo se f for contínua e bijetiva com inversa contínua Dois subconjuntos X e Y de C são ditos homeomorfos se existir um homeomorfismo f X Y Prove que um homeomorfismo de X em Y estabelece uma correspondencia biunívoca entre as componentes conexas de X e de Y 22 Se f C C S₁0 é uma função contínua prove que fz 1 para todo z C ou fz 1 para todo z C 23 Dado A C aberto uma exaustão de A é uma família Kₙ n N de conjuntos compactos satisfazendo as seguintes condições A ₙ1 Kₙ Kₙ₁ IntKₙ para todo n 1 Prove que a Kₙ z A dz A 1n Bₙ0 é uma exaustão de A b Se Kₙ n N é uma exaustão de A e K A é compacto então existe n 1 tal que K Kₙ 24 Seja fz aₙzⁿ a₁z a₀ um polinômio de coeficientes complexos e z C uma raiz de f Se A maxa₀ aₙ₁ prove que z 1 Aaₙ 25 Se K C é compacto e f K C é uma função contínua então existem pontos z₁ e z₂ em K tais que fz₁ minfz z K e fz₂ Maxfz z K Definição 1 Dado X C uma função f X C é uniformemente contínua se a seguinte condição for satisfeita para todo ϵ 0 dado existe δ 0 tal que z w Xz w δ fz fw ϵ Definição 2 Dado X C uma função f X C é lipschitz se existir uma constante c 0 tal que fz fw cz wz w X 26 Se K C é compacto e f K C é continua então f é uniformemente continua Definicao 3 Dados subconjuntos nao vazios X e Y de C definimos a distˆancia entre X e Y por dX Y infz w z X w Y Em particular se X z entao denotamos dX Y simplesmente por dz Y 27 Dado X C temos a dz X dz X para todo z C b dz X 0 z X para todo z C c A funcao f C R dada por fz dz X e lipschitz donde uniformenmente contınua Mais precisamente para z w C temse dz X dw X z w 28 Se K F C sao disjuntos com K compacto e F fechado entao dK F 0 Bom Trabalho 4