Mecânica dos Sólidos I - 1ª Edição

1 FACULDADE ÚNICA DE IPATINGA 2 Gleysson Morais Andrade Especialista em Ensino de Física pela Faculdade Única de Ipatinga 2021 Possui graduação em Engenharia Mecânica pelo Centro Universitário do Leste de Minas Gerais 2018 e Licenciado em Física pela Faculdade Única de Ipatinga FUNIP Possui experiência como Professor na educação básica e na educação superior atuando no curso de Licenciatura em Física e Engenharia Mecânica Além dessa obra Mecânica dos Sólidos também redigiu Termodinâmica para os cursos de Física e Engenharia da Faculdade Única de Ipatinga MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 1ª edição Ipatinga MG 2022 3 FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor Geral Valdir Henrique Valério Diretor Executivo William José Ferreira Ger do Núcleo de Educação a Distância Cristiane Lelis dos Santos Coord Pedag da Equipe Multidisciplinar Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica Naiana Leme Camoleze RevisãoDiagramaçãoEstruturação Bruna Luiza Mendes Leite Fernanda Cristine Barbosa Guilherme Prado Salles Lívia Batista Rodrigues Design Bárbara Carla Amorim O Silva Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Eliza Perboyre Campos 2021 Faculdade Única Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB 62920 NEaD Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA Rua Salermo 299 Anexo 03 Bairro Bethânia CEP 35164779 IpatingaMG Tel 31 2109 2300 0800 724 2300 wwwfaculdadeunicacombr 4 Menu de Ícones Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático você irá encontrar ícones ao lado dos textos Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo cada um com uma função específica mostradas a seguir São sugestões de links para vídeos documentos científicos artigos monografias dissertações e teses sites ou links das Bibliotecas Virtuais Minha Biblioteca e Biblioteca Pearson relacionados com o conteúdo abordado Tratase dos conceitos definições ou afirmações importantes nas quais você deve ter um maior grau de atenção São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada unidade do livro São para o esclarecimento do significado de determinados termospalavras mostradas ao longo do livro Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões citadas em cada unidade associandoo a suas ações seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano 5 SUMÁRIO MECÂNICA GERAL 8 11 VETORES 8 12 OPERAÇÕES COM VETORES 9 13 INTRODUÇÃO À MECÂNICA 10 131 A Primeira Lei de Newton Lei Da Inércia 11 132 Definição de Força 12 133 A Segunda Lei de Newton 13 134 Força Gravitacional 𝐅𝐠 E Força Peso 13 14 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS 14 15 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 18 151 Centroide de uma Área 18 152 Áreas Compostas 19 153 Exemplo Resolvido 19 154 Momento de Inércia de uma Área 21 FIXANDO O CONTEÚDO 23 ESTUDO DAS TENSÕES 28 21 FORÇA VERSUS TENSÃO 28 22 TENSÕES NORMAIS 𝛔 37 23 TENSÕES DE CISALHAMENTO 𝛕 40 24 TENSÕES DE ESMAGAMENTO 44 25 TENSÃO ÚLTIMA TENSÃO ADMISSÍVEL FATOR DE SEGURANÇA 45 FIXANDO O CONTEÚDO 49 TENSÃO X DEFORMAÇÃO 55 31 INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO 55 32 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO 57 33 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL 63 34 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE 64 35 LEI DE HOOKE 65 36 COEFICIENTE DE POISSON 67 37 TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 68 38 FALHA POR FLUÊNCIA E FADIGA 70 39 PRINCÍPIO DE SAINTVENANT 73 310 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EM BARRAS SUJEITA A CARREGAMENTO AXIAL 75 311 BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO ESTATICAMENTE INDETERMINADO 77 312 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM ESFORÇOS AXIAIS 79 3121 Exemplo Resolvido 81 FIXANDO O CONTEÚDO 83 ESTUDO DA TORÇÃO PURA 88 41 INTRODUÇÃO À TORÇÃO 88 42 ÂNGULO DE TORÇÃO 𝛉 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA SECÇÃO 89 43 A FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO 91 44 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO EXEMPLO RESOLVIDO 93 FIXANDO O CONTEÚDO 96 UNIDADE 01 UNIDADE 02 UNIDADE 03 UNIDADE 04 6 ESTUDO DA FLEXÃO PURA 101 51 INTRODUÇÃO À FLEXÃO 101 52 CONVENÇÃO DE SINAIS NA ANÁLISE DE FLEXÃO EM VIGAS 104 53 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR EXEMPLO RESOLVIDO I 105 54 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR EXEMPLO RESOLVIDO II 111 55 TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO 117 FIXANDO O CONTEÚDO 120 PROJETO DE VIGAS E EIXOS 125 61 DIMENSIONAMENTO DE EIXO EXEMPLO RESOLVIDO I 125 62 DIMENSIONAMENTO DE EIXO EXEMPLO RESOLVIDO II 126 63 DIMENSIONAMENTO DE VIGA EXEMPLO RESOLVIDO III 127 FIXANDO O CONTEÚDO 133 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 138 REFERÊNCIAS 139 UNIDADE 05 UNIDADE 06 7 CONFIRA NO LIVRO Prezado estudante nesta unidade você irá relembrar conceitos de Mecânica Newtoniana com ênfase em estática Iremos abordar conceitos de mecânica geral como por exemplo força equações de equilíbrio de força e momento propriedades de figuras planas como centroide e momento de inércia O objetivo é preparálo para a introdução nos conceitos de resistência dos materiais Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões Abordaremos a tensão normal a tensão de cisalhamento e a tensão de esmagamento Iremos adotar conceitos fundamentais em projetos de máquinas e estruturas como tensão admissível coeficiente de segurança dentre outros Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões e deformações com ênfase em esforços axiais Abordaremos o diagrama de tensão x deformação como elemento indispensável em projetos estruturais Estudaremos diversas propriedades dos materiais bem como os ensaios mecânicos Apresentaremos o estudo da tensão e deformação normal Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de torção pura Abordaremos conceitos associados ao ângulo de torção e da distribuição das tensões e deformações ao longo da secção transversal de um eixo sujeito a um torque externo Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de flexão pura Discutiremos os cálculos de força cortante e momento fletor em vigas e eixos submetidos à flexão pura Apresentaremos a fórmula da tensão na flexão Por fim serão discutidos alguns exemplos resolvidos Dedicamos essa unidade exclusivamente à apresentação de cálculos de dimensionamento de vigas e eixos sujeitos a esforços de torção ou flexão 8 MECÂNICA GERAL VETORES Um vetor é objeto matemático apresentado como um segmento de reta basicamente uma seta Esse segmento de reta representa uma grandeza física vetorial pode ser a velocidade a aceleração a posição o deslocamento de um móvel um campo elétrico qualquer grandeza vetorial Daremos um enfoque maior na grandeza física vetorial força 𝐹 que estudaremos a seguir Um vetor possui origem e fim e é representado por uma letra minúscula O tamanho do vetor está relacionado com a intensidade da grandeza medida Em uma mesma escala o vetor que representa a força peso de um semáforo de 3 𝑘𝑁 deverá ser menor que o vetor que representa o peso de uma carreta de 100 𝑘𝑁 Observe a figura 1 abaixo onde temos o Vetor 𝐀𝐁 ou simplesmente vetor 𝐯 A origem do vetor em 𝐀 e termina em 𝐁 O seu módulo pode ser representado da seguinte forma Vetor Módulo do vetor 𝐯 𝐯 Figura 1 Representação de um vetor no plano Fonte Elaborado pelo autor 2022 UNIDADE 01 9 OPERAÇÕES COM VETORES Podemos somar dois ou mais vetores subtrair dois ou mais vetores e até mesmo multiplicar dois vetores Também podemos multiplicar ou dividir grandezas vetoriais por grandezas escalares Para isso precisamos utilizar as figuras para que consigamos visualizar a operação Na figura 2 abaixo temos três imagens com situações diferentes Podemos perceber que ao inverter o sentido do vetor devemos trocar o sinal do mesmo Ou seja o vetor i representa o vetor de mesmo módulo tamanho na mesma direção porém sentido contrário do vetor i Também podemos perceber que a soma de dois vetores resulta em um terceiro vetor Ao somarmos os vetores v e u obtemos um terceiro vetor a Neste caso em questão a extremidade final do vetor v coincide com a origem do vetor u Vale ressaltar que se invertermos o sentido do vetor então o seu sinal também será invertido Também é representada na figura 2 a soma entre dois vetores j e l que possuem a mesma origem em comum o ponto 𝐃 Neste caso utilizamos a regra do paralelogramo Para isso basta representar em linhas pontilhadas a projeção dos vetores j e l A partir de então traçamos o vetor resultante conforme a figura 2 Figura 2 Representação da soma de vetores Fonte Elaborado pelo autor 2022 10 A soma dos vetores v u e j l é expressa abaixo a v u 1 k j l 2 Ao invertemos todos os vetores obtemos a mesma relação porém com sinal trocado a v u 3 k j l 4 A estática é a área da mecânica que estuda a condição de equilíbrio das partículas ou de um corpo rígido A figura 3 a seguir apresenta as ramificações da mecânica por vezes chamada de Mecânica Newtoniana Figura 3 Ramificações da Mecânica Fonte Elaborado pelo autor 2022 INTRODUÇÃO À MECÂNICA A Mecânica é dividida em três grandes áreas são elas a Cinemática a Dinâmica e a Estática Nesta unidade estudaremos as três leis de Newton com enfoque maior na segunda lei em situações em que a aceleração é igual a zero ou seja na estática bem como na terceira lei O estudo das relações entre força e aceleração é o que chamamos de Mecânica Newtoniana 11 O que é força Um móvel que apresenta variação de velocidade está realizando um movimento acelerado ou retardado Dizemos que quando uma partícula recebe a ação de uma força ela sofre variação em sua velocidade ou simplesmente sofre uma aceleração Podemos definir força de maneira grosseira como um puxão ou um empurrão que aplicamos em um objeto fazendo variar a sua velocidade para mais acelerandoo ou para menos desacelerandoo Um carro quando colide em uma parede realiza uma força sobre a parede Quando chutamos uma bola de futebol fazemos variar a velocidade da bola de 𝐳𝐞𝐫𝐨 para 𝐯 logo aplicamos uma força sobre a bola 131 A primeira Lei de Newton Lei da Inércia Antes dos estudos de Isaac Newton os cientistas acreditavam que o estado natural de um corpo é o repouso parado logo para que um corpo se movimentasse com velocidade constante era necessário que uma força atuasse continuamente sobre ele Essa ideia fazia todo sentido pois quando observamos um disco deslizando em uma superfície rapidamente o disco fica em repouso Porém se colocarmos esse mesmo disco em uma pista de patinação de gelo a distância percorrida pelo disco era muito maior logo se imaginarmos uma superfície em que não existe atrito podemos presumir que o disco nunca entraria em repouso Isso levou à primeira lei de Newton enunciada abaixo Primeira Lei de Newton Se nenhuma força atua sobre um corpo sua velocidade não pode mudar ou seja o corpo não pode sofrer aceleração Logo um corpo em repouso tende a permanecer em repouso e se estiver em movimento tende a permanecer em movimento com a mesma velocidade módulo direção e sentido No espaço sideral por exemplo afastado de qualquer objeto com massa uma partícula em movimento tende a permanecer eternamente em movimento até que uma força atue sobre ele Essa é a famosa lei da inércia Na figura 4 abaixo a bicicleta sofre a ação de uma força provocando uma aceleração negativa O ciclista tende a permanecer em movimento portanto ele é arremessado para frente 12 Figura 4 A Primeira Lei de Newton Fonte Disponível em httpsbitly3ufxPkW Acesso em março de 2022 132 Definição de força Imagine que apliquemos uma força em um corpo de massa 1 Kg em um ambiente sem atrito de maneira que a sua aceleração seja de 1 m s2 Assim foi definida o Newton N a unidade de medida da força Ou seja a força necessária para provocar aceleração de 1 m s2 em um corpo de massa igual a 1 m s2 é de 1 N logo 1 N 1 Kg m s2 5 Figura 5 Definição de força Fonte Halliday Volume 1 2010 Quando uma ou mais forças atua em um corpo podemos calcular a força resultante ou força total através de uma soma vetorial A força é uma grandeza vetorial logo ela assume todas as características de um vetor estudadas na secção anterior 13 133 A Segunda Lei de Newton A Segunda Lei de Newton A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração FR m a 6 Eventualmente a segunda lei pode ser expressa com a notação a seguir F m a 7 Em que FR Soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo N m Massa do corpo Kg a Aceleração do corpo 𝑚 𝑠2 Caso tenhamos três dimensões x y e z devemos considerar a força resultante em cada uma dessas direções sendo Na direção x FRx m 𝑎𝑥 ou Fx m 𝑎𝑥 Na direção y FRy m 𝑎𝑦 ou Fy m 𝑎𝑦 Na direção z FRz m 𝑎𝑧 ou Fz m 𝑎𝑧 134 Força gravitacional 𝐅𝐠 e Força Peso A força gravitacional é a força com que a terra1 atrai os objetos em sua superfície O sentido dessa força é sempre vertical para baixo apontando para o centro da terra Se soltarmos um objeto de massa 𝐦 em queda livre desprezando as forças de resistência do ar atmosférico como este corpo sofrerá a ação da força gravitacional Fg então ele terá uma aceleração que neste caso é a própria aceleração gravitacional do planeta terra g Como temos apenas a força gravitacional atuando no objeto então essa 1De acordo com a lei da Gravitação Universal de Newton qualquer corpo que possui massa M exerce uma força gravitacional Fg sobre outro corpo qualquer de massa m a uma distância d 14 força será a força resultante logo pela segunda lei de Newton Fg m g 8 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS A estática é a área da mecânica que estuda os sistemas de corpos rígidos em equilíbrio ou seja que atende duas condições principais O somatório algébrico das forças que atuam em um corpo deve ser nulo pois não há aceleração logo F 0 9 Em situações com duas dimensões do espaço podemos escrever Fx 0 10 Fy 0 11 Para espaços tridimensionais podemos escrever o equilíbrio na terceira dimensão do espaço Fz 0 12 Outra condição fundamental na a estática dos sólidos é o equilíbrio rotacional e não apenas o translacional relacionada pelas equações anteriores logo como não há rotação podemos escrever que a soma algébrica dos momentos deverá ser nula 15 M0 0 13 O exemplo resolvido a seguir apresenta uma aplicação dos conceitos de equilíbrio reações de apoio forças internas em elementos estruturais Considere a treliça mostrada na Figura 6 Determine as forças e as reações nos apoios em todas as barras em função da carga externa aplicada P Figura 6 Equilíbrio de força e momento em uma treliça Fonte Disponível em httpsbitly3eQmwvq Acesso em 08 ago 2022 O apoio C é do tipo articulado fixo ou seja permite apenas a rotação da treliça esse apoio é denominado de 2 gênero logo haverá duas reações nesse ponto uma horizontal 𝑹𝒄𝒙 e uma vertical 𝑹𝒄𝒚 Já apoio F é do tipo rolete de 1 gênero e limita o movimento da treliça apenas na direção x no ponto Logo haverá apenas uma reação 𝑹𝑭𝒙 A imagem abaixo apresenta o diagrama de corpo livre da treliça Figura 7 Reações de apoio em uma treliça Fonte Disponível em httpsbitly3BdPdK9 Acesso em 08 ago 2022 16 Pelas condições de equilíbrio da estática Equilíbrio da direção 𝑥 Fx 0 14 Logo RFx Rcx 15 Equilíbrio da direção y Fy 0 16 Rcy P 17 Equilíbrio de momento em um ponto arbitrário escolhendo o ponto 𝑐 convenientemente Mc 0 18 P 2a RFx a 0 19 RFx 2P 20 A próxima etapa consiste em isolar a treliça cada nó iniciandose preferencialmente pelos nós próximos às reações de apoio a fim de se obter as relações de semelhança nos triângulos Isolando o nó 𝐹 Figura 8 Nós de uma treliça Fonte Elaborado pelo autor 2022 17 Após o desenvolvimento do diagrama de corpo livre DCL verificamos que os esforços internos atuam ao longo do eixo de cada barra logo podemos relacionar o polígono de forças por meio de uma semelhança de triângulo uma vez que os ângulos internos do polígono de forças e os ângulos internos da estrutura são os mesmos Podemos relacionar os esforços internos nas barras com o comprimento correspondente da seguinte maneira RFx a REF a 2 21 Sendo portanto REF 2RFx 22 REF 2P 23 O esforço interno na barra DF pode obtido pelo teorema de Pitágoras RFD P2 2P2 24 RFD 5P 25 Por se tratar de uma barra submetida a compressão podemos escrever o esforço interno na barra FD sendo 5𝑃 em que o sinal negativo indica um esforço axial de compressão na barra Seguindo o mesmo raciocínio para as demais barras os valores obtidos estão relacionados a seguir Figura 9 Esforços internos em barras de uma treliça Fonte Disponível em httpsbitly3U9SfYE Acesso em 08 ago 2022 18 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 151 Centroide de uma área O centroide de uma área é definido como sendo o centro geométrico dessa área Para encontrar o centroide de uma figura plana como um retângulo ou uma circunferência o procedimento é geometricamente simples Em casos em que a forma da figura não é bem definida as coordenadas do centroide podem ser obtidas pelas relações abaixo x xdA A dA A e y ydA A dA A 26 Os numeradores estão associados ao momento das áreas com relação aos eixos x e y respectivamente Os denominadores são as áreas das figuras A figura 10 abaixo apresenta um sistema de coordenadas cartesianas de eixos 𝑥 e 𝑦 área 𝐴 de centóide 𝐶 em relação ao sistema de coordenada estabelecido Figura 10 Centroide de uma área Fonte Hibbeler 2010 19 Nos casos em que a área apresenta simetria o centroide estará exatamente sob o eixo de simetria da figura A figura 11 abaixo apresenta a posição do centroide em duas áreas que são simétricas em relação ao eixo 𝑦 Figura 11 Centroide em áreas simétricas Fonte Hibbeler 2010 152 Áreas compostas Em diversas situações a área total de uma determinada figura pode ser dividida em áreas menores com geometrias simples para definição do centroide Neste caso basta que a área e o centroide de cada uma dessas figuras sejam conhecidos podemos aplicar a equação abaixo x xA A e y yA A 27 153 Exemplo resolvido Localizando o centroide no ponto 𝐶 da área da secção transversal de uma viga cujas dimensões são apresentadas abaixo 20 Figura 12 Exemplo de cálculo de centroide em área composta Fonte Hibbeler 2010 Perceba a simetria das figuras O eixo de simetria de ambas as figuras coincide com o eixo das ordenadas 𝑦 logo o centóide encontrase sobre esse eixo e portanto 𝑥 0 x xA A 0 28 Para obter a coordenada 𝑦 do centroide da figura total calculamos o produto 𝑦𝐴 de cada área separadamente e por fim realizamos a soma desse produto para todas as áreas O resultado desse somatório é divido pelo somatório das áreas A razão entre o somatório do produto 𝑦𝐴 e o somatório das áreas fornece à coordenada 𝑦 do centroide em relação ao eixo de referência y yA A 5 cm10 cm2 cm 115 cm3 cm8 cm 10 cm2 cm 3 cm8 cm 29 y 855 cm 30 Logo as coordenadas do centroide em relação ao sistema de coordenadas cartesianas da figura 12 são 𝑥 0 𝑦 855 21 154 Momento de inércia de uma área Para o cálculo do centroide de uma área utilizamos um momento de primeira ordem da área em relação a um eixo de referência Em certas situações em resistência dos materiais iremos nos deparar com momentos de segunda ordem de uma área em relação a um eixo de referência x e ou y Denominamos esses momentos de segunda ordem como momento de inércia e representamos o momento de inércia de uma elemento de área infinitesimal como 𝑑𝐼𝑥 𝑦2𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 𝑥2𝑑𝐴 integrando essas relações podemos encontrar o momento de inércia de toda a área da figura em torno dos eixos 𝑥 e 𝑦 respectivamente Ix y2dA A 31 Iy x2dA A 32 𝑰𝒙 representa o momento de inércia da área A em relação ao eixo x e 𝑰𝒚 o momento de inércia da área 𝐴 em relação ao eixo 𝑦 A figura 13 abaixo apresenta a área A e os eixos 𝑥 e 𝑦 como referências Figura 13 Momento de inércia de uma área Fonte Hibbeler 2010 22 O momento polar de inércia representa o momento da área em relação ao polo O logo se a relação 𝑟2 𝑥2 𝑦2 é verdadeira podemos escrever o momento polar de inércia em temos dos momentos de inércia sendo J0 r2dA A Ix Iy 33 23 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Na figura um corpo massa m 1223241 g encontrase em equilíbrio estático suspenso por um conjunto de três fios ideais A B e C Calcule as intensidades das trações TA TB e TC respectivamente nos fios A B e C Use sinθ 06 e cos θ 08 a TA 120 N TB 0 e Tc 60 N b TA 200 N TB 120 N e Tc 200N c TA 120 N TB 160 N e Tc 200 N d TA 200 N TB 120 N e Tc 160 N e TA 240 N TB 320 N e Tc 400 N 2 Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda Encontre a força de tração T na corda e a reação em A Suponha a aceleração da gravidade igual a 981 m s2 a T 2457 N e R 1638 N b T 819 N e R 2457 N 24 c T 1638 N e R 148 N d T 819 N e R 148 N e T 1638 N e R 819 N 3 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS Uma carga P á aplicada a rótula C da treliça abaixo Determine as reações em A e B com a α 0º e b α 45º V vertical H horizontal a Para α 0 VA P HA P VB P Para α 45 VA 0 HA 07P VB 07P b Para α 0 VA P HA P VB P Para α 45 VA P HA 07P VB 07P c Para α 0 VA P HA P VB P Para α 45 VA P HA 07P VB 07P d Para α 0 VA P HA P VB P Para α 45 VA 0 HA 07P VB 07P e Para α 0 VA P HA P VB P Para α 45 VA P HA 07P VB 07P 4 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS Observese na figura abaixo três cargas aplicadas a uma viga A viga é apoiada em um rolete em A Reação apenas na vertical e em uma articulação em B uma reação de apoio na horizontal e outra na vertical Desprezando o peso próprio da viga determine as reações em A e B quando Q 75 kN 25 a RA 30 kN RBy 105 kN RBx 30 kN b RA 105 kN RBy 30 kN RBx 0 c RA 60 kN RBy 210 kN RBx 0 d RA 105 kN RBy 30 kN RBx 30 e RA 30 kN RBy 105 kN RBx 0 5 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3 kN O peso da lança AB e do caminhão estão indicados na figura abaixo e o ângulo que a lança faz com a horizontal α é de 45º Determine a reação em cada uma das rodas a traseiras C e dianteiras D a RC 19645 kN e RD 25000 kN b RC 26250 kN e RD 9605 kN c RC 19645 kN e RD 9605 kN d RC 9605 e RD 19645 kN e RC 26250 kN e RD 25000 kN 26 6 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifício Sabendo que a tração no cabo é de 150 kN determine a reação no extremo fixo E a REy 400 kN REx 90 kN ME 180 kN m antihorário b REy 150 kN REx 70 kN ME 180 kN m horário c REy 250 kN REx 90 kN ME 180 kN m antihorário d REy 200 kN REx 90 kN ME 180 kN m antihorário e REy 300 kN REx 80 kN ME 180 kN m horário 7 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras conforme figura Determine as reações nos apoios nos dois casos 27 a Caso I RA 527 kN e RB 54 kN Caso II RA 250 kN e RB 206 kN b Caso I RA 624 kN e RB 54 kN Caso II RA 250 kN e RB 206 kN c Caso I RA 624 kN e RB 45 kN Caso II RA 150 kN e RB 45 kN d Caso I RA 352 kN e RB 45 kN Caso II RA 150 kN e RB 427 kN e Caso I RA 427 kN e RB 45 kN Caso II RA 150 kN e RB 602 kN 8 Adaptada de Mecânica dos Sólidos PUCRS Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf Determine a reação em cada par de rodas a dianteiras e b traseiras a RA 2566 kN e RB 1134 kN b RA 1134 kN e RB 2566 kN c RA 5112 kN e RB 2268 kN d RA 1200 kN e RB 2400 kN e RA 3566 kN e RB 1134 kN 28 ESTUDO DAS TENSÕES A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais é a ciência que estuda as tensões internas atuantes nos corpos e as deformações decorrentes da aplicação de cargas externas Na Física Clássica normalmente trabalhase com o conceito de corpo rígido Por definição um corpo rígido não se deforma quando submetido a uma carga externa Neste caso não são objeto de estudo da física clássica as tensões e deformações Já na resistência dos materiais essas tensões internas e as consequentes deformações são extremamente relevantes uma vez que o entendimento e a compreensão destes conceitos servirão como ferramental teórico para projeto de máquinas projeto de construções civis desenvolvimento de materiais etc FORÇA VERSUS TENSÃO Pela Segunda Lei de Newton podemos desenvolver um bom conceito de força Força é o agente capaz de promover a aceleração de um corpo Se um corpo está se movimentando com variação positiva ou negativa de velocidade então ele está sujeito à ação de uma força resultante Neste caso a força resultante é diferente de zero o corpo não está em equilíbrio estático Todavia ainda que o corpo esteja em equilíbrio estático não significa que ele esteja livre de forças Nesta obra por vezes substituiremos palavra força por carga As cargas externas que atuam em um corpo poderão ser de duas naturezas distintas são elas forças de corpo ou força de superfície As forças de superfícies são forças de contato ou seja para que elas existam deve ocorrer a interação física entre os corpos Por exemplo ao empurrarmos uma mesa estamos exercendo uma força de superfície As forças de superfície podem ser distribuídas linearmente ws ou podem ser idealmente concentradas em um único ponto A carga distribuída w é função do comprimento s por isso escrevemos ws UNIDADE 02 29 Podemos de maneira simplista porém eficaz substituir a carga distribuída ws por uma única força concentrada FR no centroide ou centro geométrico do corpo As forças de corpos são forças oriundas da presença de um campo Por exemplo a força gravitacional força essa que a terra por meio do campo gravitacional exerce sobre corpos massivos é uma força de ação a distância não precisa de interação física A essa força chamamos de força Peso A força gravitacional é matematicamente equacionada pela lei da gravitação universal de Isaac Newton A força elétrica também é uma força de corpo ou seja uma força de ação a distância uma vez que um corpo eletricamente carregado produz um campo elétrico em sua vizinhança de tal forma que um outro corpo carregado na presença deste campo elétrico é submetido a uma força elétrica A força eletricamente foi matematicamente equacionada pela lei de Coulomb A figura 14 apresenta um corpo e as diversas possibilidades de atuação de forças externas Figura 14 Forças de superfície e forças de corpo Fonte Elaborado pelo autor 2022 Na figura 15 abaixo observamos uma estrutura metálica formada por duas barras uma de secção circular barra BC e outra de seção retangular barra AB Essa estrutura está fixada por meio de pinos a uma estrutura fixa na terra Será que a estrutura abaixo suporta o carregamento de 50 KN apresentado 30 Figura 15 Análise de carregamento Fonte Elaborado pelo autor 2022 A estrutura representada pela figura 15 encontrase em equilíbrio estático portanto podemos assumir que cada componente dessa estrutura também se encontra em equilíbrio Isolando o pino B e observando as forças externas que atuam sobre o Pino B podemos esboçar o diagrama de corpo livre DCL da estrutura com ênfase no pino B que também está em equilíbrio estático A carga externa de intensidade 50 KN força o pino B na direção vertical sentido para baixo para tanto uma vez que existe o equilíbrio estático deve haver uma componente de força em sentido contrário Sob essa ótica e com os conhecimentos da estática deduzimos que as barras AB e BC exercem sobre o pino B forças cuja direção e sentido são apresentados na figura 16 Figura 16 Diagrama de corpo livre representando o pino B e o polígono de forças atuante Fonte Elaborado pelo autor 2022 31 Para responder à pergunta capital do nosso problema devemos identificar qual a intensidade das forças FBC e FAB pois a partir delas encontraremos as tensões atuantes em ambas as barras Podemos analisar o problema acima sob duas perspectivas A primeira aplicando a semelhança de triângulo no nosso polígono de forças Dizemos que a carga de 50 KN está para 25 m assim como FAB está para 30 m assim como FBC está para 32 252 logo 50 KN 25 m FAB 30 m FBC 32 252 m 34 Logo FAB 60KN e FBC 781 KN 35 A segunda possibilidade de análise é a partir da decomposição do vetor força FBC em suas componentes ortogonais é apresentada na figura 17 abaixo Figura 17 Decomposição em componentes ortogonais Fonte Elaborado pelo autor 2022 Do equilíbrio estático podemos assumir que o somatório das forças em todas direções do espaço devem ser nulas Como estamos trabalhando com uma situação 32 problema bidimensional em duas dimensões portanto com vetores de forças coplanares podemos escrever as expressões abaixo FY 0 36 Logo FBCY 50 0 37 FBCY 50 KN 38 FBC sinθ 50 KN 39 FBC 50 KN sin θ 40 Voltando à figura 16 verificamos que sinθ 25 32 252 41 Logo FBC 50 32 252 25 42 𝐅𝐁𝐂 𝟕𝟖 𝟏𝐊𝐍 43 De maneira análoga para a direção 𝑋 temos FX 0 44 FAB FBCX 0 45 FAB FBCX FBC cos θ 46 FAB 781KN 3 32 252 47 FAB 60 KN 48 Obtemos então por meio da análise estática da estrutura que a força atuante na barra BC é de 781 KN e a força atuante na barra AB é de 60 KN A priori não podemos determinar se a estrutura será capaz de suportar a carga vertical de 33 50 KN apenas com o cálculo das forças internas atuantes em ambas as barras Perceba também que a ruptura ou não das barras não está condicionada apenas às cargas atuantes mas também à área da secção transversal bem como as características mecânicas do material em que as barras foram construídas Quanto maio a área de secção transversal maior será a carga necessária levar a barra a sua ruptura Quanto maior a resistência mecânica da barra maior será também a carga necessária para romper a barra A força interna que encontramos para as barras AB e BC representam a resultante das forças elementares atuantes ao longo de toda a secção transversal da barra Imagine um corte na barra BC seccionandoa no ponto Z conforme esboçado na figura 18 abaixo Figura 18 Seccionamento da barra BC Fonte Elaborado pelo autor 2022 A barra BC encontrase em equilíbrio estático logo as suas partes formadas pelas barras CZ e BZ obrigatoriamente devem estar em equilíbrio e para tal o ponto Z é submetido a um esforço de tração Concluímos então que a barra BC está submetida a um esforço de tração Da mesma forma perceba que a barra AB exerce esforço sobre o pino B logo o pino B realiza compressão sobre a barra AB portando a barra AB está submetida a um esforço de compressão 34 Figura 19 Esforço de tração x compressão Fonte Elaborado pelo autor 2022 Conforme exposto acima para afirmamos que as barras são capazes de suportar os esforços solicitantes devemos obter além do valor dos esforços internos a área de seção transversal bem como conhecer o material cuja estrutura foi fabricada A figura 20 abaixo demonstra que a força interna obtida anteriormente por meio da análise estática representa a soma de todos os elementos infinitesimais de força que atuam ao longo de toda a secção transversal da barra Ao dividirmos a força resultante desses elementos de força pela área total 𝐀 da secção transversal obtemos então a tensão atuante comumente designada pela letra grega sigma 𝛔 nesta obra será utilizada essa nomenclatura Se chamarmos de 𝐏 a força interna resultante atuante na secção transversal de área 𝐀 escrevemos matematicamente que a tensão atuante será σatuante P A 49 35 Figura 20 Força atuante por unidade de área Fonte Elaborado pelo autor 2022 A Unidade de medida para tensão no sistema internacional de unidades SIU é o Pascal2 σ N m2 Pa 50 Na engenharia os cálculos estruturais via de regra apresentam valores grandes de tensão portanto faz sentido lançar mão dos múltiplos sendo o quilopascal KPa Megapascal MPa e o Gigapascal GPa 1 Kpa 103 Pa 51 1 Mpa 106 Pa 52 1 Gpa 109 Pa 53 2 Blaise Pascal foi um grande matemático e físico francês com enormes contribuições para as ciências naturais e ciências aplicadas em especial para a mecânica dos fluidos 36 Digamos que as barras que compõem a estrutura da figura 19 sejam fabricadas em aço e que a barra BC possua um diâmetro de 30 mm Logo qual a tensão atuante na barra BC Ora sem a tensão atuante a razão entre a carga resultante e a área da secção transversal escrevemos σatuante P A 54 σatuante 781 x 103 N π 4 30x103m2 55 σatuante 1104888983 Pa 56 Utilizando o múltiplo apropriado σatuante 11049 MPa 57 Será que a barra suporta essa tensão Devemos comparar o valor da tensão atuante na barra com o valor da máxima tensão admissível3 suportada pelo aço Este valor é encontrado em tabelas de propriedades dos materiais A tensão admissível máxima para o aço é de 160 Mpa Como σatuante σadm depreendemos que a barra suportará com segurança os esforços solicitados Mas e quanto aos demais componentes da estrutura Essa estrutura não é composta apenas pela barra BC Devese realizar o cálculo para cada componente levandose em conta o tipo de esforço solicitante No caso dessa barra BC verificamos que ela se encontra sob a ação de cargas axiais4 que promovem a tração mas existem outros tipos de 3 A tensão admissível corresponde a uma fração do limite de resistência de um material e seu valor depende do coeficiente de segurança CS adotado no projeto 4 As cargas axiais serão estudadas no tópico 12 37 esforços em que os elementos que compõem uma estrutura podem ser submetidos como por exemplo esforços de compressão esmagamento cisalhamento dentre outros Cada um desses esforços será trabalhado nesta obra TENSÕES NORMAIS 𝛔 Imagine uma barra prismática conforme a figura 21 Essa barra pode ser submetida a esforços atuantes em qualquer direção axial oblíqua transversal No caso da figura 21 dizemos que a barra está submetida a esforços axiais ou seja a linha de ação da força possui a mesma direção do eixo da barra Neste caso onde a barra é submetida a esforços axiais cuja ação das linhas de forças possuem a mesma direção do eixo da barra e simultaneamente são perpendiculares à secção transversal da barra promovem o surgimento de tensões normais na secção transversal da barra Por definição tensões normais são originadas por forças perpendiculares a área da secção transversal A palavra normal já carrega esse significado por si só A figura 21 abaixo representa um elemento de força axial 𝐅 atuando no elemento de área 𝐀 gerando uma tensão normal média na área A Figura 21 Tensões normais Fonte Elaborado pelo autor 2022 Para obtermos o valor real da tensão no ponto P devemos fazer a área A tender a zero com isso matematicamente podemos escrever a expressão 38 σ lim A0 F A 58 O limite de F quando A tende a zero é a derivada da força com relação à área logo σ dF dA 59 Multiplicando de maneira cruzada têmse dF σ dA 60 Integrando ambos os lados dF σ dA A 61 Em decorrência do equilíbrio estático da barra a soma das forças elementares em cada secção transversal que compõe a barra deve ser igual a força externa P portanto P dF 62 Logo P σ dA A 63 Ao longo de uma mesma secção transversal podemos encontrar pontos com tensões diferentes mas o somatório das forças elementares corresponde a nossa força resultante P A distribuição real das tensões em uma secção transversal não pode ser obtida pela estática O índice 𝐀 representado na integral indica que a integral é realizada ao longo da área da secção transversal Uma pequena força 𝐅 pode atuar em uma direção oblíqua ao elemento de área 𝐀 portanto em uma direção inclinada em relação às três direções do espaço x y e z Neste caso devemos realizar a decomposição das componentes ortogonais 39 do vetor de força obtendo então três novos vetores de força nas três direções do espaço Observe a figura 22 Perceba que o vetor de força F foi decomposto nas componentes Fx Fy e Fz nas direções 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 respectivamente Figura 22 Decomposição das componentes ortogonais Fonte Elaborado pelo autor 2022 A componente de força do vetor F que atua na direção normal ao elemento de área A é Fz logo podemos estabelecer qual a tensão normal provocada pela força F no elemento de área A pode ser expressa matematicamente pela relação σz lim A0 Fz A 64 40 TENSÕES DE CISALHAMENTO 𝝉 Observe novamente a figura 22 O vetor de força F quando decomposto nas três componentes originou uma componente normal ao elemento de área A ao passo que também originou duas componentes de forças tangenciais ao elemento de área A são elas Fx e Fy nas direções x e y respectivamente Dizemos que essas forças provocam o surgimento de tensões de cisalhamento5 no elemento de área A Como são duas tensões em direções diferentes devemos lançar mão de uma nova forma de representar essas tensões matematicamente exprimindo também a sua direção Tensão de cisalhamento na direção 𝑥 τzx lim A0 Fx A 65 Tensão de cisalhamento na direção y τzy lim A0 Fy A 66 Neste caso utilizase a letra grega 𝝉 tau e observase dois índices O primeiro índice a letra z nos mostra que a tensão de cisalhamento atua no elemento de área 𝐀 que é perpendicular ao eixo z O segundo índice x ou y de cada expressão nos diz a direção em que a tensão atua A figura 23 esboça uma situação prática de surgimento de uma tensão de cisalhamento Observe uma chapa metálica AB submetida a duas forças P e P Essas forças agem perpendicularmente ao eixo longitudinal 6 da chapa 5 Muitos autores chamam as tensões de cisalhamento por tensões tangenciais 6 Mesma direção do eixo da peça 41 Figura 23 Tensão de cisalhamento simples Fonte Elaborado pelo autor 2022 Quando as forças p e p são aplicadas na chapa observamos o surgimento de uma força cortante ao longo da linha de corte que atua na secção transversal da chapa metálica Essa força cortante possui o mesmo valor da força P Uma vez que a força cortante age ao longo da secção transversal da chapa de área A haverá então uma tensão de cisalhamento ao longo da secção transversal sob o plano de corte A tensão de cisalhamento é diferente em cada ponto da área A da secção transversal Ela é menor nas regiões periféricas e maior no interior da chapa de modo que podemos inicialmente obter apenas a tensão de cisalhamento média atuante na chapa em decorrência das forças cisalhantes atuantes τméd P A 67 42 Em que 𝑃 é dado em Newtons 𝑁 𝑒 𝐴 em metro quadrado 𝑚2 No sistema internacional a relação 𝑁 𝑚2 é denominada de Pascal 𝑃𝑎 Em cálculos estruturais via de regra lidamos com valores de tensão elevados o que justifica a utilização de múltiplos da unidade como por exemplo quilopascal 𝑘𝑃𝑎 Megapascal 𝑀𝑃𝑎 e o Gigapascal 𝐺𝑃𝑎 que equivalem 103 𝑃𝑎 106 𝑃𝑎 109 𝑃𝑎 respectivamente A figura 23 representa um cisalhamento simples uma vez que a chapa metálica é submetida a apenas uma carga de cisalhamento Mas podemos ter um carregamento que submeta a peça em questão a um cisalhamento duplo como por exemplo na figura 24 abaixo Figura 24 Cisalhamento duplo Fonte Elaborado pelo autor 2022 Observe que neste caso a chapa metálica é submetida a uma força externa F A configuração do carregamento indica o surgimento de força cortante P na secção transversal da chapa relativa à linha de corte 1 e na secção transversal da chapa relativa a linha de corte 2 Logo podemos relacionar a tensão de cisalhamento na chapa através das equações abaixo Na seção transversal 1 têmse 43 τméd P A 68 Analogamente na seção transversal 2 têmse τméd P A 69 Como F 2P 70 A tensão de cisalhamento na chapa será τméd F 2A 71 A figura 23 apresenta também um elemento de volume extraído da chapa metálica onde podemos observar as tensões de cisalhamento média em cada face Por meio do equilíbrio de forças na direção 𝑦 por exemplo Fy 0 72 Logo τzy y x τzy y x 73 τzy τzy 74 Analogamente τyz τyz 75 Por meio do equilíbrio de momento em relação ao eixo 𝒙 têmse Mx 0 76 τzy x yz τyz x zy 0 77 Logo τzy τzy τyz τyz τ 78 44 As tensões de cisalhamento em cada face do elemento de volume são iguais e em sentidos opostos para as faces paralelas TENSÕES DE ESMAGAMENTO Discutimos na secção anterior dois tipos de tensões São as tensões normais podendo ser de tração ou de compressão e as tensões de cisalhamento Pinos parafusos e rebites são submetidos a um tipo de esforço superficial que denominamos de esmagamento Imagine um rebite como na figura 25 de geometria cilíndrica diâmetro d e altura t a mesma espessura t da chapa Esse rebite quando inserido na sede da chapa e submetido à uma carga F origina tensões superficiais que são proporcionais a intensidade da força exercida Os cálculos das tensões reais são de grande complexidade e neste caso utilizase uma tensão média a tensão de esmagamento σE A área utilizada na expressão diz respeito à área da projeção planificada do semicilindro sob a vista frontal da figura 25 portando um retângulo de altura t e base d σE F A F t d 79 Figura 25 Tensão de esmagamento Fonte Elaborado pelo autor 2022 45 TENSÃO ÚLTIMA TENSÃO ADMISSÍVEL FATOR DE SEGURANÇA Nas secções anteriores apresentamos o conceito de cargas axiais cargas tangenciais bem como as tensões normais tensões de cisalhamento e tensões de esmagamento Acontece que o cálculo das tensões representa apenas uma parte de um todo na análise e desenvolvimento de projeto de estruturas e máquinas Saber qual a tensão atuante em uma barra cilíndrica de aço é de fundamental importância mas não suficiente para o dimensionamento de elementos de máquinas ou estruturas Conhecer as propriedades mecânicas dos materiais é extremamente necessário quando o assunto é projeto de estruturas e máquinas Nesta secção buscaremos compreender alguns conceitos associados aos projetos estruturais com ênfase em três principais são eles a tensão última 𝜎𝑈 a tensão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 e o fator de segurança 𝐶 𝑆 𝑜𝑢 𝐹 𝑆 Um material muito utilizado na indústria metalmecânica é o aço carbono SAE 10207 Imagine uma barra cilíndrica deste aço submetida a um esforço axial de tração em uma máquina universal de ensaios de materiais8 Inicialmente a carga aplicada parece não causar nenhum efeito na barra visualmente De maneira progressiva aumentase a carga de trabalho Em um dado momento a barra cilíndrica de aço irá sofrer uma redução abrupta no diâmetro da secção transversal fenômeno chamado de Estricção acompanhado de uma deformação perceptível visualmente e até finalmente a ruptura do material A carga registrada no momento da ruptura é a carga última PU A razão entre a carga última e a área da secção transversal fornece o valor da tensão última Neste caso onde o esforço foi na direção axial atribuise o nome de tensão normal última ou tensão última à tração σU PU A 80 7 Aço carbono SAE 1020 é um aço macio dúctil de ampla utilização em peças mecânicas em geral com porcentagem de carbono entre 015 e 030 8 Realiza ensaio de tração em amplas variedades de materiais como metais borrachas concretos etc 46 Caso a barra cilíndrica estivesse sob a ação de uma força cisalhante como por exemplo na figura 26 a razão entre a carga de cisalhamento última pela área da secção transversal da barra configura a tensão de cisalhamento última τU PUtangencial A 81 Figura 26 Ensaio de cisalhamento Fonte Adaptado Beer Russell 2008 Via de regra projetamos estruturas para que não sofram ruptura em nenhuma hipótese para isso adotase nos projetos uma carga de trabalho máxima denominada de carga admissível ou carga de projeto ou ainda carga de utilização Uma vez definida a carga admissível não se pode em nenhuma circunstância submeter uma estrutura a uma carga superior a essa carga de projeto Na prática não se utiliza toda a carga que o material seria capaz de suportar A razão entre a carga última e a carga admissível é definida como coeficiente de segurança ou fator de segurança COEFICIENTE DE SEGURANÇA CS CARGA ÚLTIMA CARGA ADMISSÍVEL PU Padm 82 Nos casos em que a carga e a tensão possuem uma relação linear de proporcionalidade podese adotar a expressão 47 COEFICIENTE DE SEGURANÇA CS TENSÃO ÚLTIMA TENSÃO ADMISSÍVEL 83 Em casos de maiores exigências de segurança como por exemplo na aeronáutica utilizase o conceito de margem de segurança MS CS 10 84 Algumas situações de engenharia exigem que o fator de segurança seja obtido pela razão entre a tensão de escoamento e a tensão admissível no material Isso ocorre porque nestes casos a tensão de escoamento é considerada como a tensão perigosa Na prática o engenheiro projetista deve levar em consideração a tensão perigosa que é definida pelas condições do projeto sendo essa tensão perigosa a tensão de escoamento ou a tensão última do material No caso de uma aplicação em que o escoamento representa a falha do material então o fator de segurança deve ser obtido pela relação abaixo COEFICIENTE DE SEGURANÇA CS TENSÃO DE ESCOAMENTO TENSÃO ADMISSÍVEL 85 De acordo com Beer Russell 2008 3ª ed p40 para a determinação do coeficiente de segurança o projetista deve levar em conta uma série de variáveis tais como Modificações que ocorrem nas propriedades do material A composição resistência e dimensões dos materiais estão sujeitas a pequenas variações durante a fabricação das peças Além disso as propriedades do material podem ficar alteradas e podem ocorrer tensões residuais devido à concentra a deformações e variação de temperatura que o material se sujeita no transporte armazenamento ou na própria execução da estrutura O número de vezes em que a Carga é aplicada durante a vida da estrutura ou máquina Para a maior parte dos materiais a aplicação do carregamento repetida muitas vezes leva a um decréscimo no valor da atenção última Este fenômeno é chamado fadiga do material i se não for levado em conta poderá ocorrer uma ruptura brusca O tipo de carregamento para o qual se projeta ou que poderá atuar futuramente A maior parte dos carregamentos adotados em projetos são estimados pois são poucas as vezes em que um carregamento pode ser previsto com precisão Ocorre também a possibilidade de alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está 48 sendo projetada como modificações nos valores previstos por ocasião do projeto Cargas dinâmicas cíclicas instantâneas abre parênteses choque fecha parênteses exigem altos valores de coeficientes de segurança O modo de ruptura que pode ocorrer Materiais frágeis apresentam ruptura repentina sem nenhuma indicação de que o colapso é iminente Já os materiais do como aço estrutural apresenta uma grande deformação chamada escoamento antes de atingir a ruptura e esse comportamento do material fornece um aviso de que está ocorrendo carregamento excessivo A ruptura ocasionada por perda de estabilidade da estrutura é geralmente repentina seja o material frágil ou não Quando existe a possibilidade de ruptura repentina o valor a se adotar para o coeficiente de segurança deve ser maior do que no caso de ruptura com aviso Métodos aproximados e análise Os métodos de cálculo e análise são baseados em certas simplificações que levam a diferenças entre a as tensões calculadas e aquelas realmente atuantes na estrutura Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis Em locais em que a composição do material ou a ferrugem são difíceis de controlar ou de prever deve ser adotado um coeficiente de segurança de valor alto A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutura Para as peças secundárias e contraventamento da estrutura pode ser usado um coeficiente de segurança menor do que aquele das peças principais 49 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Adaptada de Hibbeler 2010 O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção transversal no ponto A a Rx 773 N Ry 207 N e M 055 Nm b Rx 2073 N Ry 773 N e M 055 Nm c Rx 055 N Ry 773 e M 207 Nm d Rx 800 N Ry 800 e M 055 Nm e Rx 773 N Ry 207 N e M 055 Nm 2 Adaptada de BEER 1995 Sabendose que a haste de ligação BD tem uma seção transversal uniforme de área igual a 800 mm² determine a intensidade da carga 𝐏 para que a tenção normal na haste BD seja 50 MPa 50 a P 6267 kN b P 5424 N c P 3476 kN d P 5424 kN e P 6267 N 3 Adaptada de BEER 1995 As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma liga metálica Sabese que uma barra de 20 mm de diâmetro desta mesma liga foi testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150 kN Usando um coeficiente de segurança igual a 32 determine qual o diâmetro necessário para a barra AB e para a barra BE respectivamente 51 a 584 mm e 654 mm b 5842 mm e 6547 mm c 292 mm e 327 mm d 327 mm e 292 mm e 2925 mm e 3277 mm 4 Adaptada de BEER 1995 Sabendose que a carga de ruptura do cabo BD é de 90 KN e o pino em A tem um diâmetro de 𝟗 𝟓 𝐦𝐦 e é feito de aço com tenção última de cisalhamento igual a 𝟑𝟒𝟓 𝐌𝐏𝐚 determine o coeficiente de segurança para o carregamento mostrado a CS 452 b CS 289 c CS 145 d CS 578 e CS 352 5 Adaptada de Hibbeler 2010 O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 𝟑 𝐊𝐍 Se o pino tiver diâmetro de 𝟔 𝐦𝐦 determine a tensão média de cisalhamento no pino 52 a τméd 1061 MPa b τméd 1061 GPa c τméd 5305 MPa d τméd 5305 kPa e τméd 530555 MPa 6 Adaptado de Petrobrás 2005 Observe a figura abaixo que representa um guincho composto por uma coluna uma lança um atuador hidráulico e pinos nas articulações 53 Qual a atenção de cisalhamento devido ao esforço cortante em megapascal MPa no pino entre o atuador hidráulico e a lança a 613 π b 1013 π c 1413 π d 1813 π e 2213 π 7 Adaptado de J M GERE 2009 Um poste tubular de diâmetro externo 𝐝𝟐 está retido por dois cabos assentados com tensores veja a figura Os cabos são tensionados girando os tensores desta forma produzindo tensão nos cabos e compressão no poste Ambos os cabos estão tensionados com uma força e 𝟑𝟐 𝐊𝐍 O ângulo entre os cabos e o chão é 𝟔𝟎 e a tensão e compressão admissível é 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐒𝐈 Se a espessura da parede do poste é 𝟎 𝟓 𝐢𝐧 qual é o valor mínimo permitido do diâmetro externo 𝐝𝟐 a d2min 638 in b d2min 638 cm c d2min 254 mm 54 d d2min 754 in e d2min 754 mm 8 Adaptada de BEER 1995 Uma força de 𝟒𝟓 𝐊𝐍 está aplicada um bloco de madeira que é suportado por uma base de concreto e esta repousa sobre um solo considerado indeformável Determine a máxima tensão de esmagamento sobre a base de concreto e o tamanho da base de concreto para que a a tensão de esmagamento média sobre o solo seja de 𝟏𝟒𝟎 𝐊𝐏𝐚 a σe 46 MPa e b 56695 cm b σe 56 MPa e b 56695 m c σe 36 Pa e b 566 mm d σe 46 Pa e b 566 cm e σe 36 MPa e b 56695 mm 55 TENSÃO X DEFORMAÇÃO INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO Um corpo quando submetido a uma carga poderá sofrer variação em seu tamanho ou mudança na sua forma Se esticarmos uma borracha por exemplo ela sofrerá alteração em seu tamanho e forma Na engenharia denominase esse fenômeno de deformação No exemplo dado da borracha a deformação será relativamente grande portanto será perceptível aos nossos olhos ao passo que em uma construção civil por exemplo a deformação estrutural proveniente da carga resultante das pessoas circulando no prédio é imperceptível ao olho humano Ocorre que o estudo das deformações é de fundamental importância no contexto da engenharia pois a partir das análises de 𝑡𝑒𝑛õ𝑒𝑠 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 é que iniciamse os projetos de máquinas e estruturas Em projetos estruturais de engenharia estudamse dois tipos de deformações a deformação normal e a deformação por cisalhamento A figura 27 esboça um corpo antes e depois da deformação Imagine que uma carga seja aplicada ao corpo na mesma direção da reta 𝒏 Observe também um segmento de reta de comprimento inicial 𝐒 sob a reta 𝑛 O segmento de reta tem origem no ponto 𝐀 e termina no ponto 𝐁 Se imaginarmos que o corpo seja formado por inúmeros segmentos de retas tais como o segmento AB percebemos que a após a aplicação da carga externa o segmento AB irá se deformar assumindo os pontos 𝐀 e 𝐁 e comprimento final 𝐒 A deformação média 𝛜𝐦é𝐝 também chamada de deformação específica pode ser expressa pela relação abaixo ϵméd S S S 86 UNIDADE 03 56 Figura 27 Deformação normal Fonte Elaborado pelo autor 2022 A equação 87 acima expressa a deformação média específica As deformações reais em cada ponto serão diferentes em cada posição do corpo Se aproximarmos o ponto B em direção ao ponto A fazendo 𝑆 0 então podemos escrever para a deformação ϵ lim B A ao longo de n S S S 87 Para segmentos de retas pequenos se tivermos o valor da deformação podemos obter o comprimento final do segmento de reta a partir da expressão S 1 ϵS 88 A figura 28 também apresenta um corpo antes e depois da aplicação de carga externa Dois segmentos de reta 𝑨𝑪 e 𝑨𝑩 ambos com origem em 𝑨 estão dispostos formando um ângulo reto 90 ou 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 O segmento 𝑨𝑪 pertence à reta 𝒕 e o segmento de reta 𝑨𝑩 pertence à reta 𝒏 Após a aplicação da carga haverá uma variação do ângulo entre as retas e essa variação é conhecida como a deformação por cisalhamento Essa variação poderá ser positiva ou negativa Após a aplicação da carga o ponto 𝑪 assume a posição 𝑪 e o ponto 𝑩 assume a posição 𝑩 Se aproximarmos os pontos 𝑩 e 𝑪 em direção à origem A simultaneamente sob as retas 57 𝒏 e 𝒕 respectivamente fazendo o comprimento dos segmentos tenderem a zero podemos expressar a deformação por cisalhamento real no ponto 𝑨 associadas as retas 𝒏 e 𝒕 pela relação γnt π 2 lim BA ao longo de n CA ao longo de t θ 89 Figura 28 Deformação por cisalhamento Fonte Elaborado pelo autor 2022 Os valores de deformação são adimensionais mas comumente são escritos na forma de unidade de comprimento por unidade de comprimento No sistema internacional de unidades SIU a deformação é expressa em 𝑚 𝑚 Por vezes essa deformação é muito pequena sendo então utilizados submúltiplos do metro tais como o micrometro 𝜇𝑚 𝑚 A deformação também pode ser expressa na forma percentual como 02 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO As deformações são medidas experimentalmente e podemos relacionálas com as cargas aplicadas e com as tensões aplicadas Cada material possui propriedades diferentes A dureza do aço evidentemente é consideravelmente maior que a dureza de uma borracha Ao passo que a ductilidade da borracha é maior que a do aço Existem diversas propriedades como dureza resistência ductilidade maleabilidade soldabilidade resiliência tenacidade dentre outras Será abordado cada conceito no momento oportuno 58 Para obtermos algumas dessas propriedades devemos realizar ensaios mecânico dos materiais como por exemplo o ensaio de tração mais comum O ensaio de tração é realizado em uma amostra do material seguindo padrões técnicos da ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas a essa amostra do material denominamos de corpo de prova Figura 29 Corpo de prova ensaio de tração Fonte Disponível em httpsbitly3GquYty E httpsbitly3L6mLP8 Acessos em 05 set 2022 O ensaio de tração é realizado em uma máquina como na figura 30 onde aplicase um esforço axial de tração sobre o corpo de prova até leválo à ruptura Figura 30 Máquina de ensaio de tração Fonte Disponível em httpsbitly3GquYty Acesso em 05 jan 2022 59 Os valores de tensão e deformação são registrados pela máquina e simultaneamente um diagrama é gerado com a plotagem desses dois eixos No eixo da ordenada dispõemse os valores de tensão 𝜎 e no eixo das abscissas dispõem se os valores da deformação 𝜖 O diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 fornece inúmeras informações acerca do material como por exemplo a tensão de ruptura a tensão última a tensão de escoamento a ductilidade e a tenacidade do material dentre outras Todas essas propriedades são relevantes na escolha do material para determinada aplicação na engenharia Em certas aplicações como por exemplo nos automóveis objetivase reduzir o peso do veículo menor gasto e menor consumo de combustível aumentar a resistência mecânica da lataria a fim de proteger os passageiros em uma eventual colisão e associado a isso esperase que o material que forma a lataria do veículo absorva a maior parte da energia de impacto sem transferir energia para os ocupantes do veículo para tanto é importantíssimo conhecer as principais propriedades dos materiais e saber como utilizar desse ferramental teórico na seleção de materiais para projetos de máquinas e estruturas A figura 31 apresenta um diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 de um aço de baixo teor de carbono Isso significa na prática que este aço possui boa ductilidade e baixa dureza Materiais com alta dureza são chamados de materiais frágeis 60 Figura 31 Diagrama tensão x deformação aço baixo carbono Fonte Adaptado de Beer 1995 Tensão nominal ou tensão de engenharia é a razão entre a carga 𝑃 aplicada e a área inicial 𝐴0 da secção transversal do corpo de prova Embora a área da secção transversal sofra redução durante a aplicação da carga neste caso para o cálculo da tensão de engenharia fixamos a área inicial logo σ P A0 90 A deformação nominal ou deformação de engenharia corresponde à razão entre o alongamento 𝛿 e o comprimento inicial 𝐿0 do corpo de prova logo ϵ δ L0 91 Usaremos como exemplo na construção do diagrama de tensãodeformação o aço que é um material amplamente utilizado na indústria mecânica e civil A partir 61 dos conceitos de tensão e deformação nominais por meio de medidas experimentais estabeleceuse o diagrama tensão 𝝈 deformação 𝝐 convencional para o aço No eixo das ordenadas 𝒚 relacionamse os valores de tensão 𝝈 e no eixo das abscissas 𝒙 os valores de deformação 𝝐 O resultado é o que chamamos de diagrama tensãodeformação Figura 32 Diagrama tensão x deformação de engenharia Fonte Adaptado de Hibeller 2010 O corpo de prova fabricado em aço com dimensões e acabamento padronizados é levado à máquina de ensaio de tração A máquina inicia a operação aplicando um esforço axial de tração sobre o corpo de prova Inicialmente o aço encontrase na região elástica onde a deformação aumenta proporcionalmente com o aumento da tensão em uma relação linear Durante a fase elástica o corpo de prova sofre uma deformação em função da aplicação da tensão porém o material apresenta comportamento elástico de maneira que ao cessar o carregamento o corpo de prova retoma as suas dimensões iniciais A medida que a carga aplicada aumenta o material se aproxima do limite superior dessa região elástica neste ponto a tensão limite é denominada de limite de 62 proporcionalidade 𝜎𝑙𝑝 de maneira que ao ultrapassar este ponto o material ainda poderá se comportar de maneira elástica porém a curva do diagrama tende a se inclinar de tal forma que não haverá mais a relação linear entre tensão e deformação Continuando a aumentar a tensão sobre o corpo de prova o material chegará ao limite de elasticidade onde poderá ainda se comportar de maneira elástica No caso de materiais como o aço é extremamente difícil discernir entre o limite de proporcionalidade e o limite de elasticidade Se a tensão 𝜎 aplicada ao corpo de prova ultrapassar minimamente o limite de elasticidade então o corpo de prova sofrerá um colapso deformandose permanentemente e não retornando mais à fase elástica Dizemos então que o material sofreu escoamento Após o material sofrer o fenômeno do escoamento aumentandose a carga o material entra em uma fase de endurecimento por deformação até a inclinação da curva do diagrama tornarse nula Este ponto de máxima tensão é denominado de limite de resistência 𝜎𝑟 e a partir deste ponto ocorrerá a redução abrupta da área da secção transversal do corpo de prova estricção acompanhada da ruptura do material a tensão registrada no momento da ruptura é denominada de tensão de ruptura 𝜎𝑟𝑢𝑝 A figura 33 abaixo mostra um corpo de prova durante a estricção e após a ruptura Figura 33 Corpo de prova após sofre estricção e ruptura Fonte Disponível em httpsbitly3uZmlmH Acesso em 06 ago 2022 Pela observação do diagrama tensãodeformação verificase que tanto o diagrama real quanto o convencional são muito parecidos na região elástica e como a grande parte dos projetos estruturais são elaborados para que os materiais trambalhem dentro da fase elástica é mais comum a utilização do diagrama tensão deformação convencional 63 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL Nem todas as ligas metálicas apresentam o ponto de escoamento bem definido como a do aço tensão de escoamento constante Em alguns casos como a liga de alumínio o escoamento do material ocorre sob tensão variável Nestes casos devese adotar um procedimento gráfico a fim de se obter o ponto de escoamento o método da deformação residual Tomamos o valor de deformação igual a 0002 02 sob o eixo das abscissas 𝜖 e a partir deste ponto traçamos uma linha paralela à reta da porção inicial da fase elástica até tocar o diagrama Este ponto de interseção entre a reta traçada e o diagrama corresponde ao ponto de escoamento do material A figura 34 abaixo indica a forma de determinação correta do ponto de escoamento pelo método da deformação residual para a liga de alumínio Figura 34 Método da deformação residual Fonte Adaptado de Hibeller 2010 64 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE A maioria dos materiais pode ser classificada em duas categorias os dúcteis e os frágeis Os materiais dúcteis são aqueles capazes de se deformarem bastante antes de se romperem portanto são capazes de absorver maior energia Já os materiais frágeis quando submetidos a esforços de tração quase não apresentam escoamento uma vez que após a fase elástica rapidamente se rompem Um bom exemplo de material que se enquadra na categoria dúctil é o alumínio ou o aço doce baixo percentual de carbono na sua composição química e na classe dos materiais frágeis podemos citar o ferro fundido cinzento ou o concreto Alguns materiais dúcteis como o aço de baixo teor de carbono são excelentes para suportar esforços axiais de tração Já o ferro fundido cinzento e o concreto são ótimos para esforços axiais de compressão todavia péssimos quando são solicitados por tração A figura 35 abaixo apresenta o diagrama tensão deformação para o ferro fundido cinzento Figura 35 Resistência a tração x compressão Fonte Adaptado de Hibeller 2010 Quando submetido à tração a falha do material acontece com uma tensão 𝜎𝑓 152 𝑀𝑃𝑎 A temperatura também é um fator determinante no que tange à 65 fragilidade e a ductilidade dos materiais Quanto menor a temperatura mais frágil o material tende a ficar e menos dúctil ao passo que ao aumentar a temperatura o material se torna mais macio mais dúctil A figura 36 a seguir apresenta a diferença no diagrama 𝜎 𝜖 entre os materiais dúcteis e frágeis Figura 36 Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis e frágeis Fonte Elaborado pelo autor 2022 LEI DE HOOKE Conforme já esboçado no tópico anterior durante a fase elástica o material apresenta uma relação linear entre a tensão 𝜎 e a deformação 𝜖 A constante que garante a equidade dessa proporção é denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young em homenagem a Thomas Young logo a tensão se relaciona com a deformação durante a fase elástica pela equação abaixo σ Eϵ 92 O módulo de elasticidade 𝑬 possui unidade de medida em Pascal 𝑃𝑎 uma vez que a deformação 𝜖 é adimensional Este Módulo de elasticidade está associado à rigidez do material quanto mais rígido o material como por exemplo o aço 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 maior o módulo de elasticidade A borracha possui módulo de elasticidade 𝐸 07 𝑀𝑃𝑎 O módulo de resiliência é caracterizada pela densidade de energia9 de deformação durante a fase elástica do material e pode ser calculada pelas 9 A densidade de energia se caracteriza pela razão entre a energia de deformação e o volume do elemento material submetido ao ensaio mecânico 𝑢 𝑈 𝑉 66 equações 93 e 94 abaixo ur 1 2 σlpϵlp 93 Ou ur 1 2 σlp 2 E 94 Observando o diagrama tensãodeformação 𝜎 𝜖 de um material qualquer percebemos que a área sombreada do triângulo em que a base corresponde à deformação da fase elástica e a altura corresponde ao limite de proporcionalidade essa área é igual à densidade de energia de deformação na fase elástica Figura 37 Módulo de resiliência Fonte Elaborado pelo autor 2022 O módulo de tenacidade é caracterizado pela densidade de energia de deformação de um material até a sua ruptura A figura 38 abaixo apresenta o módulo de tenacidade de um material qualquer A área sob o gráfico é numericamente igual a este módulo de tenacidade 67 Figura 38 Módulo de tenacidade Fonte Elaborado pelo autor 2022 Em projetos de elementos estruturais que podem ser submetidos a esforços de maneira acidental é aconselhável a utilização de materiais com alto módulo de tenacidade pois estes serão capazes de absorver maior quantidade de energia antes de sofrer falha estrutural COEFICIENTE DE POISSON Quando um corpo de prova é submetido a um esforço axial de tração percebese um alongamento longitudinal 𝜹 na sua dimensão e simultaneamente uma redução na secção transversal do material evidenciado pela redução do raio 𝑹 no caso em que o corpo de prova possua geometria cilíndrica O cientista francês SD Poisson identificou que ao dividir o valor da deformação longitudinal 𝝐𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕 pela deformação transversal 𝝐𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗 o resultado obtido era sempre o mesmo ou seja uma constante Essa constante estava associada ao material e ficou conhecida como coeficiente de Poisson 𝒗 No caso de um corpo de prova sendo submetido à tração ocorre um aumento no comprimento alongamento positivo e redução da secção transversal alongamento negativo Já no caso de uma compressão ocorre a redução do comprimento alongamento negativo e uma expansão da secção transversal alongamento positivo A figura 39 abaixo apresenta um exemplo de uma barra cilíndrica sendo submetida a um esforço axial de tração tendo um aumento no comprimento cujo alongamento é δ Lfinal Linicial 95 68 E uma redução da secção transversal cujo alongamento é δ r R 96 Conforme estudado nos tópicos anteriores a deformação longitudinal será ϵlongit Lfinal Linicial Linicial δ Linicial 97 E a deformação transversal será ϵtransv r R R δ R 98 O coeficiente de Poisson é definido como v ϵlongit ϵtransv 99 Figura 39 Relação entre deformação axial e longitudinal Fonte Elaborado pelo autor 2022 Na maioria dos materiais não porosos o coeficiente de Poisson está entre 1 4 𝑒 1 3 e nunca maior que 1 2 ou seja 0 v 05 100 TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO Da mesma forma que a maior parte dos materiais aplicados na engenharia quando submetidos a uma carga axial de tração apresentam inicialmente um 69 comportamento linearmente elástico escoamento endurecimento por deformação até alcançar um limite de resistência e ao final do ensaio mecânico a ruptura também existem formas de se realizar o ensaio do material visando compreender a relação entre a tensão e a deformação no cisalhamento Neste caso para o estudo do cisalhamento puro o ensaio é realizado em tubos finos submetidos a um torque controlado em que os ângulos de torção são medidos Os dados são registrados no diagrama tensãodeformação de cisalhamento em que os materiais apresentam incialmente um comportamento linearmente elástico uma região de escoamento indicada pela tensão no limite de proporcionalidade endurecimento por deformação limite de resistência ao cisalhamento e por fim a falha do material sob uma tensão de ruptura ao cisalhamento Para materiais homogêneos e isotrópicos a lei de Hooke assume a seguinte forma para a região elástica τ Gγ 101 Onde τ Tensão de cisalhamento Pa G Módulo de elasticidade ao cisalhamento Pa γ deformação por cisalhamento rad A figura 40 abaixo apresenta um diagrama tensão deformação de cisalhamento para um material dúctil Figura 40 Diagrama tensão x deformação para material dúctil Fonte Elaborado pelo autor 2022 70 Para um mesmo material o módulo de elasticidade ao cisalhamento poderá ser relacionado ao módulo de elasticidade normal Módulo de Young por meio de uma constante 𝑣 chamada de coeficiente de Poisson que será estudada nos tópicos sucessivos G E 21 v 102 G Módulo de elasticidade ao cisalhamento Pa E Módulo de elasticidade á tração Pa v Coeficiente de Poisson adimensional FALHA POR FLUÊNCIA E FADIGA Materiais como metais e cerâmicos quando são submetidos a cargas constantes tensão constantes por longo período de tempo podem sofrer ruptura repentina em que a tensão atuante encontrase abaixo da tensão de escoamento 𝜎𝑒 do material Neste caso dizemos que o material sofreu falha por fluência Via de regra a fluência é considerada em materiais que estão sujeitos a uma temperatura de trabalho superior a 04 vezes a temperatura de fusão do material na escala absoluta Kelvin Por exemplo a temperatura de fusão da liga de alumínio é de 6603 C ou 93345 K logo 04 93345 K 37338 K 103 Passando novamente para a escala Celsius 37338 27315 10023 C 104 Logo a possibilidade de falha por fluência será levada em consideração em situações em que a liga de alumínio esteja submetida à tensão constante por longo período de tempo e temperatura de trabalho superior a 10023 C Quanto maior a temperatura de trabalho ou quanto maior a tensão atuante menor será o limite de resistência à fluência 𝜎𝑓 A figura 41 abaixo apresenta exemplos de falha por fluência em materiais metálicos 71 Figura 41 Falha por fluência Fonte Disponível em httpsbitly3U89cCP Acesso em 08 jul de 2022 A figura 42 abaixo apresenta um esquema de realização de ensaio de fluênciaonde um corpo de prova é submetido a um esforço de tração no interior de um forno que mantêm a temperatura do corpo de prova simulando uma situação real de carregamento Figura 42 Ensaio de fluência Fonte Disponível em httpsbitly3RLFNfU Acesso em 08 jul 2022 72 Alguns materiais de engenharia são submetidos a esforços cíclicos e reversíveis como por exemplo eixos de vagões ferroviários bielas e eixos virabrequim Neste caso o material pode sofrer ruptura e este comportamento é denominado de fadiga A figura 43 abaixo apresenta um componente mecânico eixo de torção que sofreu falha por fadiga Figura 43 Eixo apresentando falha por fadiga Fonte Disponível em httpsbitly3qBeSHZ Acesso em 08 jul 2022 A falha por fadiga representa uma grande parcela das falhas de um modo geral nas indústrias Duas considerações importantes são que a fadiga acontece em situações em que a tensão atuante no material está abaixo da tensão de escoamento 𝜎𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜎𝑒 e a falha no material é similar a uma fratura frágil ou seja em materiais de alta dureza e baixa ductilidade Em projetos de máquinas e estruturas devese levar em consideração o limite de resistência a fadiga 𝜎𝑓𝑎𝑑 do material a ser aplicado Para isso um diagrama 𝜎 𝑁 Tensão número de ciclos obtido experimentalmente por meio de ensaio de fadiga é muito utilizado nesta análise A figura 44 abaixo apresenta os valores de 𝜎 e 𝑁 para dois materiais amplamente utilizados na indústria mecânica e civil o aço e o alumínio Os valores de 𝑵 são grandes portanto utilizouse a escala logarítmica 73 Figura 44 Diagrama tensão x número de ciclos em análise de falha por fadiga Fonte Adaptado de Hibeller 2010 O limite de resistência a fadiga 𝜎𝑓𝑎𝑑 se configura na região do diagrama em que a tensão tende a permanecer constante Observase no diagrama acima que o limite de resistência à fadiga para o aço liga é bem definido em torno de 186 𝑀𝑝𝑎 já para o alumínio em torno de 131 𝑀𝑃𝑎 PRINCÍPIO DE SAINTVENANT A figura 45 abaixo apresenta numa barra de secção transversal retangular fixada na base e sendo submetida a um esforço axial de tração pela carga 𝑃 por meio de um furo Uma vez sendo submetida ao carregamento ocorrerá um alongamento 𝛿 positivo na direção longitudinal aumentando a altura da barra e devido ao efeito Poisson haverá também um alongamento negativo 𝛿 reduzindo a secção transversal da barra Todavia perceba que nas regiões próximas ao ponto de aplicação do carregamento 𝑃 parte superior da barra bem como próximo ao apoio parte inferior as deformações localizadas são maiores ao passo que nas regiões suficientemente afastadas das regiões de carregamento as linhas de deformação são mais uniformes e portanto as tensões também são maiores Esse comportamento é conhecido como o princípio de Saint Venant 74 Figura 45 Princípio de SaintVenant parte I Fonte Adaptado de Hibeller 2010 De acordo com Hibeller 2010 o princípio de SaintVenant afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenha a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região HIBELLER P86 A afirmação acima indica que em um ponto suficientemente distante da aplicação de carga a distribuição de tensão é a mesma para quaisquer carregamentos estaticamente equivalentes Como na figura 46 abaixo Figura 46 Princípio de SaintVenant parte II Fonte Adaptado de Hibeller 2010 75 Como a distância do plano 𝑐 𝑐 com relação ao ponto de aplicação das cargas a distribuição das tensões neste plano é a mesma em situações cujo carregamento é estaticamente equivalente uma vez que haverá equivalência no módulo das forças bem como simetria na orientação dos vetores de força DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EM BARRAS SUJEITA A CARREGAMENTO AXIAL Iremos desenvolver uma equação que seja capaz de exprimir o alongamento 𝛿 de uma barra de comprimento inicial 𝐿 com área da secção transversal 𝐴𝑥 variando de maneira gradativa em função da posição 𝒙 e sujeita a um carregamento concentrado axial externo bem como outro carregamento Px distribuído ao longo da barra variando também em função da posição 𝑥 Este carregamento distribuído 𝑃𝑥 poderia ser no caso de uma barra na posição vertical a própria distribuição do peso ao longo da sua extensão e no caso de uma barra na posição horizontal como neste exemplo forças de atrito externo realizado sobre a superfície lateral da barra Observe na figura 47 abaixo Pelo método das secção retiramos uma porção infinitesimal da barra localizada em uma posição 𝑥 qualquer Essa porção da barra possui comprimento 𝒅𝒙 e área da secção transversal em função da posição 𝑨𝒙 O carregamento a que é submetida essa porção infinitesimal é apresentado na parte 𝑏 da figura 47 abaixo Figura 47 Deformação em barra sujeita a carregamento axial Fonte Elaborado pelo autor 2022 A tensão interna atuante no elemento da barra é definida pela razão entre o carregamento 𝑃𝑥 no elemento e a área da secção transversal Ax 76 σ Px Ax 105 A deformação será definida pela razão entre o alongamento infinitesimal e o comprimento infinitesimal inicial do elemento da barra logo ϵ dδ dx 106 A equação que estamos desenvolvendo é aplicável para o cálculo do alongamento total da barra sujeita a um carregamento axial de maneira que a barra permaneça na sua região elástica ou seja o limite de proporcionalidade 𝜎𝑙𝑝 não pode ser alcançado Considerando apenas a fase elástica do material podemos lançar mão da lei de Hooke σ Eϵ 107 Substituindo as equações 105 e 106 na equação 107 teremos para a fase elástica Px Ax E dδ dx 108 Explicitando o alongamento infinitesimal dδ Pxdx AxE 109 Para encontrar o alongamento ao longo de todo o comprimento L da barra integramos ambos os membros os dois lados da equação δ Pxdx AxE L 0 110 Para o caso de uma barra com área da secção transversal constante material homogêneo 𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 e carregamento constante ao longo da posição 𝑥 como a figura 48 abaixo 77 Figura 48 Deformação em barra com secção uniforme Fonte Elaborado pelo autor 2022 Podemos escrever o alongamento relativo 𝛿 da barra δ Pxdx AxE L 0 111 δ PL AE 112 Para barras submetidas a vários esforços axiais diferentes ou barras com mudança repentina de módulo de elasticidade o alongamento total da barra será a soma algébrica de cada segmento da barra logo δ PL AE 113 Onde δ Alongamento relativo das duas extremidades da barra m P Carregamento constante ao longo da posição N L Comprimento inicial da barra m E Módulo de elasticidade módulo de Yong do material Pa BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO ESTATICAMENTE INDETERMINADO Uma barra qualquer fixada em apenas uma de suas extremidades e livre na outra submetida a um carregamento axial é considerada estatiacamente determinada uma vez que a a reação no ponto de fixação pode ser obtida aplicandose a condição de equilíbrio na direção Porém em algumas situações 78 como por exemplo uma barra rígida fixada em ambas as extremidades barra engastada como na figura 49 abaixo têmse apenas uma equação e duas variáveis duas reações Neste caso a barra é dita como estaticamente indeterminada Para solucinar problemas com carregamento estaticamente indeterminado desta natureza devese adicionar uma nova equação observando a geometria do sistema estrutural Na configuração esboçada na figura 49 abaixo o deslocamento é limitado pela existência dos apoios fixos em ambas as extremidades da barra portanto podese assumir que o alongamento relativo entre os pontos A e B será nulo Essa equação que especifica as condições do alongamento é denominada de condição de compatibilidade ou condição cinemática Figura 49 Condição cinemática ou condição de compatibilidade Fonte Elaborado pelo autor 2022 Como o deslocamento relativo entre os pontos A e B é nulo podemos escrever δAB 0 114 Caso a força resultante interna no elemento AC é 𝐹𝐴 e no elemento BC é 𝐹𝐵 podese escrever FALAC AE FBLCB AE 0 115 Por meio dessa segunda relação é possível determinar as reações em A e B 79 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM ESFORÇOS AXIAIS Um elemento estrutural submetido a um esforço axial de tração conforme esboçado na figura 50 que apresenta uma distribuição de tensão e deformação não uniforme em função das existências de pontos de descontinuidades Conforme já abordado em tópicos anteriores as tensões e deformações serão maiores próximas a essas descontinuidades fazendo com que esses pontos de concentração de tensão recebam uma atenção especial por parte dos engenheiros projetistas Observe a figura 50 abaixo em que uma barra prismática é submetida a um esforço axial de tração por meio do carregamento 𝑷 Uma secção transversal escolhida arbitrariamente nesta barra está submetida a uma tensão normal média σ𝑚é𝑑 𝑃 𝐴 entretanto a região da barra que é seccionada pelo plano 𝑎𝑎 possui menor área de secção transversal que resiste ao carregamento Figura 50 Descontinuidade e a concentração de tensão Fonte Google online 2022 Analisando a distribuição de tensão ao longo da secção seccionada pelo plano aa percebemos que haverá uma maior concentração de tensão próximo da descontinuidade neste caso o furo na barra Figura 51 Distribuição de tensão média e real nas regiões de concentração de tensão Fonte Google online 2022 80 Em casos em que a análise da concentração de tensão é de extrema relevância como por exemplo quando se utiliza materiais frágeis adotamos um fator de concentração de tensão 𝑲 de maneira que K é definido como a razão entre tensão máxima permitida 𝜎𝑚á𝑥 e a tensão média 𝜎𝑚é𝑑 atuante sobre a menor secção transversal do elemento ou seja K σmáx σméd 116 Os valores de 𝑲 são obtidos utilizandose diagramas como os apresentados na figura 52 abaixo Os valores de 𝑲 não estão associados ao tipo de material empregado no elemento mas sim à geometria dos pontos de concentração de tensão Figura 52 Fatores de concentração de tensão Fonte Hibeller 2010 No primeiro diagrama em que um determinado elemento sofre uma descontinuidade aqui caracterizada pela redução da área da secção transversal o valor do fator de concentração de tensão 𝐾 irá depender das relações 𝑟ℎ e 𝑤ℎ Ou seja quanto maior o raio 𝒓 aplicado na região de redução de secção maior a relação 𝑟ℎ e portanto menor valor de 𝑘 Partindo dessa premissa é de 81 fundamental importância que o engenheiro saiba identificar os pontos de concentração de tensão sobretudo em materiais frágeis a fim de serem avaliados no projeto de máquinas ou estruturas 3121 Exemplo resolvido A barra prismática da figura 53 abaixo é submetida a um carregamento axial de tração de intensidade 𝑷 A barra sofre uma redução de secção transversalapresentando portanto uma região de concentração de tensão A fim de reduzir o fator de concentração de tensão foi inserido um filete de raio 𝒓 10 𝑚𝑚 objetivando cadenciar a redução de secção Sabendose que a tensão admissível para esse elemento é de 110 Mpa qual o valor máximo do carregamento 𝑷 que poderá ser aplicado sobre a barra Figura 53 Exemplo resolvido Fonte Elaborado pelo autor 2022 σméd P A P 20 10 mm2 117 P σméd 200 mm2 118 82 Como K σmáx σméd 119 Então P σmáx K 200 mm2 120 Avaliando os parâmetros da geometria da descontinuidade o fator de concentração de tensão 𝐾 pode ser obtido pelo diagrama da figura 53 r h 10 mm 20 mm 05 121 w h 40 mm 20 mm 20 122 Logo K 14 123 Como a tensão máxima que poderá atuar sobre o elemento é a tensão admissível então P 110 Mpa 14 200 mm2 124 Logo P 157 KN 125 83 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Adaptada de Hibbeler 2010 A barra rígida é sustentada por um pino em 𝐴 e pelos cabos 𝐵𝐷 e 𝐶𝐸 Se a carga 𝑃 aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 𝑚𝑚 para baixo na extremidade C determine a deformação normal desenvolvida nos cabos 𝐶𝐸 e 𝐵𝐷 a ϵCE 000250 mm mm ϵBD 000107 mm mm b ϵCE 0250 mm mm ϵBD 0107 mm mm c ϵCE 000360 mm mm ϵBD 000209 mm mm d ϵCE 0360 mm mm ϵBD 0209 mm mm e ϵCE 000250 mm m ϵBD 000107 mm m 2 Adaptada de Hibbeler 2010 A figura mostra o diagrama tensãodeformação de formação para duas barras de poliestireno Se a área da seção transversal da barra 𝐴𝐵 for 950 𝑚𝑚² e a de 𝐵𝐶 for 2500 𝑚𝑚² determine a maior força 𝑷 que pode ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura Considere que não ocorre nenhuma flambagem 84 a P 5427 kN b P 12238 kN c P 6563 kN d P 5427 kN e P 6563 kN 3 Adaptada de Hibbeler 2010 O tampão tem diâmetro de 30 𝑚𝑚 e ajustase ao interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32 𝑚𝑚 Ambos tampão e luva têm 50 𝑚𝑚 de comprimento Determine a pressão axial 𝒑 que deve ser aplicada à parte superior do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva Determine também a que distância o tampão deve ser comprimido para baixo para que isso aconteça O material do tampão tem 𝐸 5 𝑀𝑃𝑎 e 𝑣 045 a p 327 kPa δ 741 mm b p 826 Pa δ 236 mm c p 901 Pa δ 236 mm 85 d p 741 kPa δ 741 mm e p 652 kPa δ 0741 mm 4 Adaptada de BEER 1995 Duas barras cilíndricas uma de aço é igual 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 e outra de latão 𝐸 105 𝐺𝑃𝑎 são ligadas em 𝐶 e engastadas em 𝐴 e 𝐸 Para o carregamento indicado determinar as reações em 𝐴 e 𝐵 e a deflexão do ponto 𝐶 a RA 1256 kN RE 744 kN δC 463 mm b RA 557 kN RE 29 kN δC 463 μm c RA 628 kN RE 372 kN δC 463 μm d RA 1256 kN RE 744 kN δC 463 μm e RA 628 kN RE 372 kN δC 567 mm 5 Adaptada de BEER 1995 Em um teste de tração uma barra de 20 𝑚 de diâmetro feita de plástico que acaba de ser desenvolvida é submetida a uma força 𝑷 de intensidade 6 𝑘𝑁 Sabendose que um alongamento de 14 𝑚𝑚 e um decréscimo de 085 𝑚𝑚 no diâmetro são observados tem um trecho central de 150 𝑚𝑚 de comprimento determinar o módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 o módulo de elasticidade transversal 𝐺 e o coeficiente de Poisson 𝑣 do material a E 98 MPa G 563 MPa v 0104 b E 205 MPa G 703 MPa v 0455 c E 410 MPa G 703 MPa v 0355 d E 615 MPa G 703 MPa v 05 e E 106 MPa G 563 MPa v 0225 86 6 Adaptada de BEER 1995 O corpo de prova de alumínio mostrado é submetido a duas forças centradas e axiais e opostas de intensidade 𝑷 Pedese a sabendo se que 𝐸 70 𝐺𝑃𝑎 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 200 𝑀𝑃𝑎 determinar o máximo valor admissível de 𝑷 e correspondente alongamento para amostra total b resolver o ítem a considerando que o corpo de prova foi substituído por uma barra de alumínio de mesmo comprimento mas de seção transversal retangular uniforme de 60 𝑥 15 𝑚𝑚 a a P 973 kN δ 0834 mm b P 180 kN δ 1714 mm b a P 973 kN δ 834 mm b P 180 kN δ 1714 mm c a P 1946 kN δ 1668 mm b P 360 kN δ 3428 mm d a P 2919 kN δ 834 mm b P 180 kN δ 3428 mm e a P 326 MN δ 834 mm b P 180 kN δ 3428 mm 7 Adaptada de BEER 1995 Uma força axial e centrada de intensidade 𝑷 40 𝑘𝑁 é aplicada à barra de aço mostrada Determinar o máximo valor da atenção normal em A e em b 87 a a325 Mpa b404 MPa b a325 Mpa b296 MPa c a582 Mpa b325 MPa d a296 Mpa b202 MPa e a296 Mpa b202 MPa 8 Adaptado de J M GERE 2009 Um pedestal de concreto reforçado 𝐸 25 𝐺𝑃𝑎 tendo dimensões 𝐿1 2 𝑚 e 𝐿2 15 𝑚 é ilustrado na figura abaixo As cargas aplicadas ao pedestal são 𝑃1 400 𝑘𝑁 e 𝑃2 650 𝑘𝑁 Sob a ação dessas cargas o máximo encurtamento permitido do pedestal é 10 𝑚𝑚 Sejam 𝐴1 𝑒 𝐴2 as áreas de seção transversal das partes superior e inferior respectivamente do pedestal a Se a área 𝐴2 for três vezes a área 𝐴1 qual é a máxima área permitida 𝐴1 b Se as áreas 𝐴1 𝑒 𝐴2 forem tais que as tensões de compressão em ambas as partes do pedestal forem as mesmas qual é a máxima área permitida 𝐴1 a aA1min 43000 mm2 bA1min 63000 mm2 b aA1min 50000 mm2bA1min 65000 mm2 c aA1min 53000 mm2bA1min 56000 mm2 d aA1min 50000 mm2bA1min 59000 mm2 e aA1min 47000 mm2bA1min 54000 mm2 88 ESTUDO DA TORÇÃO PURA INTRODUÇÃO À TORÇÃO Nos tópicos anteriores abordamos os conceitos de tensão e deformação associados a um carregamento axial entretanto um tipo de esforço também muito aplicado sobretudo em eixos de transmissão de potência é o esforço por torção O leque de aplicação é enorme motores redutores de velocidade laminadores de aço eixo cardan de ônibus e caminhões dentre outros Os eixos podem ser maciços ou vazados e podem ser fabricados em diversos tipos de materiais Na indústria mecânica o aço é o material de maior aplicabilidade na confecção de eixos de transmissão A figura 54 abaixo apresenta um eixo maciço sendo submetido a um esforço de torção antes da aplicação do torque externo 𝑻 e depois da aplicação do torque Diversas linhas na direção longitudinal ao eixo foram desenhadas na superfície externa a fim de facilitar a visualização das deformações provocadas pelo momento torçor Figura 54 Eixo de secção circular sujeito a um torque externo Fonte Beer et al 2015 Pelo método da secção podemos afirmar que após a aplicação do torque externo 𝑇 irá surgir um torque interno correspondente 𝑻 em sentido contrário UNIDADE 04 89 ÂNGULO DE TORÇÃO 𝜽 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA SECÇÃO A figura 55 abaixo apresenta uma linha na superfície externa do eixo na direção longitudinal de comprimento 𝑥 𝐿 com origem no ponto 𝐵 fixado em uma chapa Quando o eixo é submetido a um torque externo 𝑇 surgirá um ângulo de torção 𝜃𝑥 em que 𝑥 é a distância da origem em 𝐵 até o ponto onde medese o ângulo 𝜃 Perceba que o ângulo de torção é uma função de 𝑥 logo quanto mais afastado do ponto fixo 𝐵 maior o ângulo de torção 𝜃 Figura 55 Ângulo de torção θx Fonte Beer et al 2015 Devido à ocorrência dessa distorção ao longo do eixo haverá o surgimento de uma deformação por cisalhamento 𝛾 A deformação por cisalhamento em um elemento infinitesimal qualquer no interior do eixo depende somente da sua distância radial à linha central do eixo longitudinal Essa deformação é zero na linha central e máxima na superfície externa do eixo ponto de maior distância radial ao centro A deformação por cisalhamento de um elemento no interior do eixo pode ser encontrada pela relação abaixo 90 γ ρ c γmáx 126 onde 𝛾 é a deformação do elemento 𝜌 é a distância radial do elemento à linha central longitudinal 𝑐 é a distância radial máxima e 𝛾𝑚á𝑥 é a deformação máxima do elemento encontrado na superfície do eixo cujo raio vale 𝑐 Conforme apresentado no tópico anterior quando um eixo é submetido a um momento torço oriundo de esforços externos este irá desenvolver um torque interno de mesmo módulo Mediante o surgimento desse torque interno surgirão tensões de cisalhamento na secção transversal A tensão de cisalhamento é nula na linha central do eixo longitudinal e máxima 𝜏𝑚á𝑥 na superfície externa que representa o ponto mais distante da linha central A distribuição de tensão tanto em um eixo maciço como em um eixo vazado é apresentada na figura 56 abaixo Figura 56 Distribuição de tensão de cisalhamento em eixos maciço e vazado Fonte Beer et al 2015 Se o material for linearmente elástico ou seja apresente um comportamento dentro da zona elástica obedecerá portanto à lei de Hooke em que 𝜏 𝐺𝛾 realizando a combinação da equação de deformação e da lei de Hooke podemos escrever a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer do eixo como função da distância radial do elemento a linha central da direção longitudinal sendo assim τ ρ c τmáx 127 91 Figura 57 Elementos de área dA submetido à tensão de cisalhamento na torção Fonte Beer et al 2015 A FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO A tensão de cisalhamento varia linearmente do centro até a superfície do eixo na direção radial Na figura 57 acima um elemento de área 𝑑𝐴 submetido a uma força cisalhante 𝑑𝐹 𝜏 𝑑𝐴 Para encontrarmos o torque internado total devemos integrar ao longo da área da secção transversal os toques infinitesimais em cada elemento de área 𝑑𝐴 Logo como cada elemento é submetido a uma força 𝜏 𝑑𝐴 o torque no elemento a um distância radial 𝜌 do centro do eixo será 𝑑𝑇 𝜌𝜏 𝑑𝐴 logo o torque interno no eixo que equilibra o torque esterno será T ρτ dA A ρ ρ c τmáxdA A 128 Como 𝜏𝑚á𝑥 e 𝑐 são constantes T τmáx c ρ2dA A 129 92 Perceba que a integral de área apresentada na equação depende exclusivamente da geometria da secção transversal do eixo de transmissão Essa propriedade da secção transversal é denominada momento polar de inércia 𝐽 da secção em relação ao eixo central na direção longitudinal possui unidade de dimensão elevada à quarta potência 𝑚𝑚4 possui sempre valor positivo e não possui um significado do ponto de vista físico Logo a tensão de cisalhamento máxima atuante em um eixo qualquer será τmáx Tc J 130 Para um elemento a uma distância radial 𝜌 qualquer em um eixo podese escrever τmáx Tρ J 131 Para um eixo circular maciço o momento de inércia polar em relação à linha central é J π 2 c4 132 E para um eixo circular vazado J π 2 c0 ci4 133 Onde 𝑐0 é o raio maior e 𝑐𝑖 é o raio menor A imagem a seguir apresenta a relação de algumas figuras geométricas planas e seus respectivos momento de inércia em relação aos eixos x e y e em relação a linha neutra 𝐼 93 Figura 58 Momento de Inércia de algumas figuras planas TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO EXEMPLO RESOLVIDO A figura 59 abaixo apresenta um eixo de transmissão com seção transversal circular maciço apoiado em dois mancais de rolamento permite a rotação submetido a três torques externos de 4250 𝑘𝑁 𝑚𝑚 3000 𝑘𝑁 𝑚𝑚 e 1250 𝑘𝑁 𝑚𝑚 respectivamente da esquerda para a direta O sentido dos torques aplicados é definido pela orientação das setas ao redor das polias O eixo possui um diâmetro da 94 secção transversal de 150 𝑚𝑚 ou seja 𝑐 75 𝑚𝑚 Qual a tensão de cisalhamento máxima 𝜏𝑚á𝑥 a que o eixo estará submetido na secção transversal cortada pelo plano 𝑎𝑎 Figura 59 Tensão de cisalhamento na torção exemplo resolvido Fonte Elaborado pelo autor 2022 O ponto de partida para obter a tensão de cisalhamento máxima no eixo deverá ser obter o torque interno na secção transversal cortada pelo plano aa Vale ressaltar que os torques em ambos os sentidos horário e antihorário são iguais logo o eixo estará em equilíbrio Caso o peso do eixo e das polias sejam desprezados podemos afirmar que as reações no apoio serão nulas Utilizandose o método das secções e realizando um seccionamento sobre o plano 𝑎𝑎 podemos escrever a relação abaixo Tinte 3000 kN mm 4250 kN mm 0 134 Logo Tinte 1250 kN mm 135 Em seguida devese obter o momento polar de inércia da secção transversal circular maciça Logo J π 2 c4 136 J π 2 75 mm4 137 J 497 x 107mm4 138 95 A tensão de cisalhamento máxima de acordo com a distribuição de tensões na secção transversal ocorrerá na superfície do eixo a uma distância 𝑐 75 𝑚𝑚 da linha central do eixo perpendicular ao aplano 𝑎𝑎 Logo podemos escrever para a tensão de cisalhamento máxima τmáx Tc J 139 τmáx 1250 kN mm 75mm 497 x 107mm4 140 τmáx 189 N mm2 ou 189 Mpa 141 96 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Adaptado de J M GERE 2009 Um eixo sólido ABCD tendo diâmetro d 30 mm gira livremente em mancais nos pontos A e E O eixo é comandado pela engrenagem em C que aplica um torque T2 450Nm na direção ilustrada na figura As engrenagens B e D são giradas pelo eixo e têm torques de resistência T1 275 Nm e T3 175 Nm respectivamente agindo em direção oposta ao torque T2 Os segmentos BC e CD têm comprimentos LBC 500 mm e LCD 400 mm respectivamente e o módulo de cisalhamento G 80 GPa Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada parte do eixo entre as engrenagens B e D a τBC 519 MPa τCD 450 MPa b τBC 519 MPa τCD 450 MPa c τBC 663 MPa τCD 450 MPa d τBC 663 MPa τCD 330 MPa e τBC 519 MPa τCD 330 MPa 2 Adaptado de J M GERE 2009 Um eixo sólido ABCD tendo diâmetro d 30 mm gira livremente em mancais nos pontos A e E O eixo é comandado pela engrenagem em C que aplica um torque T2 450Nm na direção ilustrada na figura As engrenagens B e D são giradas pelo eixo e têm torques de resistência T1 275 Nm e T3 175 Nm respectivamente agindo em direção oposta ao torque T2 Os segmentos BC e CD têm comprimentos LBC 500 mm e LCD 400 mm respectivamente e o módulo de cisalhamento G 80 GPa Determine o ângulo de torção entre as engrenagens B e D Lembrese que θ TL GI Em que I é o momento de inércia da secção transversal Para circunferência I πd4 32 97 a θBC 00216 rad θCD 00110 rad θBD 00106 rad b θBC 216 rad θCD 00110 rad θBD 006 rad c θBC 00216 rad θCD 0110 θBD 0016 rad d θBC 216 rad θCD 025 θBD 00106 rad e θBC 00216 rad θCD 030 rad θBD 106 rad 3 Adaptada de BEER 1995 Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L 15 m e diâmetros internoexterno respectivamente de 40 e 60 mm Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo para que as tensões de cisalhamento não excedam a 120 MPa Qual o valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse caso a T 4080 kNm e τ 80 MPa b T 204 kNm e τ 60 MPa c T 204 kNm e τ 70 MPa d T 408 kNm e τ 80 MPa e T 408 kNm e τ 60 MPa 98 4 Adaptada de BEER 1995 O eixo circular BC é vazado e tem diâmetros de 90 mm e 120 mm respectivamente internoexterno Os eixos AB e CD são maciços com diâmetro d Determinar para o carregamento indicado a o valor máximo e o valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC b qual o diâmetro necessário nos eixos AB e CD se a tensão admissível no material é 65 MPa a aτmáx 367 MPa τmín 64 MPa b d 256 mm b aτmáx 367 MPa τmín 68 MPa b d 256 mm c aτmáx 862 MPa τmín 64 MPa b d 778 mm d aτmáx 862 MPa τmín 68 MPa b d 778 mm e aτmáx 0862 MPa τmín 68 MPa b d 256 mm 5 Adaptada de BEER 1995 Determinar o torque 𝐓 que causará uma tensão de cisalhamento máxima de 45 MPa no cilindro vazado de aço como indicado na figura abaixo Qual a máxima tensão de cisalhamento causada pelo mesmo torque 𝐓 em um cilindro maciço de mesma área de secão transversal 99 a T 614 kNm τmáx 872 Mpa b T 517 kNm τmáx 872 Mpa c T 517 kNm τmáx 256 Mpa d T 517 kNm τmáx 256 Mpa e T 614 kNm τmáx 256 Mpa 6 Adaptada de Hibbeler 2010 O eixo está preso à parede A e é submetido aos torques mostrados na figura abaixo Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Um filete de soda de raio 45 mm é usado para interligar os eixos em B a τmáx 356 Mpa b τmáx 356 Mpa c τmáx 472 Mpa d τmáx 472 Mpa e τmáx 472 Mpa 7 Adaptada de Hibbeler 2010 O eixo abaixo é usado para transmitir 660 W ao girar a 450 rpm Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo Os segmentos são interligados por um filete de solda de raio 1875 mm 100 a τmáx 4748 MPa b τmáx 474 MPa c τmáx 4748 MPa d τmáx 3875 MPa e τmáx 3875 MPa 8 Adaptada de BEER 1995 Um tubo circular com um diâmetro externo de 80 mm e um diâmetro interno de 60 mm está submetido a um torque T 40 kNm conforme a figura abaixo O tubo é feito de uma liga de alumínio 7075T6 Determine a tensão de cisalhamento máxima atuante no tubo a τmáx 582 MPa b τmáx 582 MPa c τmáx 5826 MPa d τmáx 324 GPa e τmáx 378 GPa 101 ESTUDO DA FLEXÃO PURA INTRODUÇÃO À FLEXÃO Um elemento estrutural pode sofrer vários tipos de esforços como tração compressão torção flexão e na maioria dos casos esforços combinados Neste capítulo iremos estudar a flexão pura que ocorre em vigas e eixos importantes elementos de estrutura e máquinas aplicados na engenharia Consideraremos elementos retos feitos em materiais homogêneos com secção transversal simétrica De acordo com Hibbeler 2010 p181 Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas As vigas como um elemento reto pode ser classificada em função dos tipos de apoio a que estão sunmetidas As principais são Viga simplesmente apoiada Neste tipo de viga uma de suas extremidades é fixa e a outra extremidade está apoiada sobre um apoio móvel ou rolete Figura 60 Viga simplesmente apoiada Fonte Google online 2022 Viga apoiada ou biapoiada Neste tipo de viga ambas as extremidades estão apoadas sobre apoios móveis roletes A figura 62 apresenta um exemplo Viga em balanço Neste tipo de viga uma de suas extremidades encontrase engastada e a outra extremidade encontrase livre em balanço A figura 62 apresenta um exemplo Viga biengastada Como sugere o próprio nome ambas as extremidades encontramse engastadas A figura 62 apresenta um xemplo UNIDADE 05 102 Viga apoiada com uma ou ambas as extremidades em balanço Neste tipo de viga uma ou ambas as extremidades ultrapassam livremente o apoio Figura 61 Viga apoiada com uma ou ambas as extremidades em balanço Fonte Google online 2022 A figura 62 abaixo apresenta alguns tipos de vigas em função do tipo de apoio Figura 62 Tipos de apoio Fonte Google online 2022 Para o desenvolvimento de projetos de eixos e vigas submetidos a esforços de flexão aplicaremos o método das secções a fim de se analisar os esforços de cisalhamento interno força cortante e o momento fletor gerado no interior da secção transversal da viga Vale ressaltar que as vigas podem ser submetidas a esforços concentrados figura 63𝑎 a carregamentos distribuídos de maneira uniforme figura 63𝑏 ou carregamentos distribuídos variantes ao longo da posição da viga figura 63𝑐 103 Figura 63 Tipo de esforços Fonte Google online 2022 Os esforços aplicados nas vigas provocam o surgimento de esforços internos denominados de força cortante e momento fletor Uma boa estratégia utilizada em engenharia é determinar os valores da força cortante máxima e do momento fletor máximo que atua sobre a viga ao longo de seu cumprimento total e a partir desses valores bem como da posição onde esses esforços máximos acontecem o engenheiro projetista poderá dimensionar a secção transversal da viga ou eixo bem como aplicar reforços sobre as regiões de maior força cortante e momento fletor Para o cálculo do momento fletor máximo e força cortante máxima e o desenvolvimento do diagrama de força cortante 𝑉 versus 𝑥 e diagrama de momento fletor 𝑀 versus 𝑥 é necessário adotar algumas de etapas De acordo com Hibbeler 2010 p 182 e 183 Calcular todas as reações de apoio e decompor todas as forças inclinadas em componentes perpendiculares e paralelas à viga Fracionar a viga em vários segmentos da esquerda para a direita de acordo com os pontos de descontinuidades até a região da viga em que não há mais descontinuidade Seccione a viga perpendicularmente ao seu eixo em cada distância XE faço diagrama de corpo livre de um dos segmentos Não esqueça que as ações de força cortante e momento fletor devem ser mostradas no sentido positivo de acordo com a convenção de sinal A força cortante ou o cisalhamento é obtido pela soma das forças perpendiculares ao eixo da viga O momento fletor é obtido pela soma dos momentos em torno da extremidade seccionada do segmento Por fim construa o diagrama de força cortante e o diagrama de momento fletor ambos em função da posição x da viga Se os valores numéricos das fusões que descrevem a força cortante e o momento fletor forem positivos então estes estarão acima do eixo x ao passo que valores negativos serão plantados abaixo do eixo x Normalmente representa se o diagrama de momento fletor e força cortante imediatamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga 104 CONVENÇÃO DE SINAIS NA ANÁLISE DE FLEXÃO EM VIGAS Realizandose o seccionamento da viga ou eixo a ser analisado partindo da origem em sempre da esquerda para a direita por convenção a força cortante é considerada positiva apontando sempre para baixo e o momento fletor é considerado positivo no sentido antihorário A figura 64 abaixo apresenta uma viga apoiada com extremidade em balanço submetida a dois carregamentos Um concentrado 𝑃 e outro distribuído 𝑤0 a partir do ponto A aumentando uniformemente ao longo da sua posição 𝑥 até o ponto B Figura 64 Cálculo em viga submetida a flexão Fonte Elaborado pelo autor 2022 Realizando o seccionamento da viga partindo do ponto A 𝑥 0 e finalizando entre os pontos C e D e lançando mão da convenção de sinais adotados para a força cortante 𝑉 e o momento fletor 𝑀 podemos esboçar o diagrama de corpo livre após cada seccionamento observando os pontos de descontinuidades nas aplicações dos carregamentos 105 Para 𝐴 𝑥 𝐵 Para 𝐵 𝑥 𝐶 Para 𝐶 𝑥 𝐷 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR EXEMPLO RESOLVIDO I Exemplo de cálculo de força cortante momento fletor para carregamento concentrado em viga biapoiada 106 O primeiro passo é obter as reações de apoio que mantêm o equilíbrio estático da viga Para apoios do tipo rolete existirá apenas reação na direção 𝑦 uma vez que os roletes proporcionam liberdade de movimento da viga na direção 𝑥 esse tipo de apoio é chamado de apoio primeiro gênero Fonte Elaborado pelo autor 2022 Pelo equilíbrio de forças na direção 𝑦 obtemos Fy 0 142 RAy RBy 10 kN 10 kN 0 143 RAy RBy 20 kN 144 Como não há esforços na direção 𝑥 ela não será avaliada Chegamos a uma equação e duas incógnitas Matematicamente é impossível obter os valores de 𝑅𝐴𝑦𝑒 𝑅𝐵𝑦 sem uma segunda equação Precisamos obter outra equação a fim de que tenhamos uma solução para o sistema de duas variáveis Analisando o momento em qualquer ponto da viga A B C e D como não há rotação em nenhum desses pontos o somatório algébrico dos momentos das forças 107 deverá ser nulo em qualquer um desses pontos Convenientemente escolhemos o ponto A ou ponto D a fim de se eliminar alguma variável 𝑅𝐴𝑦𝑜𝑢 𝑅𝐵𝑦 e assim encontrarmos uma solução possível Aplicaremos o somatório de momento no ponto A e assim igualase a zero MA 0 145 Por convenção momentos que tendem a girar a viga no sentido antihorário serão considerados com sinal positivo e momentos que tendem a girar a viga no sentido horário serão convencionados com sinal negativo Logo 10 kN 25 m 10 kN 25 50m RBy 10 m 0 146 10RBy 100 kN 147 RBy 10 kN 148 Retomando a equação 144 temos que RAy 10 kN 20 kN 149 RAy 10 kN 150 O fato de as reações de apoio 𝑅𝐴𝑦 e 𝑅𝐵𝑦 possuírem o mesmo módulo decorre da simetria da viga e dos carregamentos A partir da obtenção da intensidade das forças de reação de apoio 𝑅𝐴𝑦 e 𝑅𝐵𝑦 iremos seccionar a viga método das secções após cada carregamento que apresenta uma descontinuidade a fim de se obter o cisalhamento força cortante 𝑉 e o momento fletor 𝑀 nesses pontos Para 0 𝑥 25𝑚 108 Aplicando o somatório algébrico das forças na direção 𝑦 e igualando a zero em virtude do equilíbrio estático nessa direção Para força cortante Fy 0 151 V1 RAy 0 152 V1 RAy 153 V1 10 kN 154 Para momento fletor M1 RAy x 0 155 M1 RAy x 156 M1 10x kN m 157 Para 25 𝑚 𝑥 75 𝑚 Para força cortante Fy 0 158 V2 10 kN RAy 0 159 V2 RAy 10 kN 160 109 V2 10 kN 10 kN 161 V2 0 162 Para momento fletor M2 10x 25kN m RAy x 0 163 M2 RAy x 10x 25 164 M2 10x 10x 25 165 M2 25 kN m 166 Para 75 𝑚 𝑥 100 𝑚 Para força cortante 𝐹𝑦 0 167 𝑉3 10 𝑘𝑁 10 𝑘𝑁 𝑅𝐴𝑦 0 168 𝑉3 𝑅𝐴𝑦 20 𝑘𝑁 169 𝑉3 10 𝑘𝑁 20 𝑘𝑁 170 𝑉3 10 𝑘𝑁 171 110 Para momento fletor M3 10x 75kN m 10x 25kN m RAy xkN m 0 172 M3 RAy x 10x 75 10x 25 173 M3 10x 10x 75 10x 25 174 M3 10x 100 kN m 175 A partir dos valores obtidos podemos apresentar o diagrama de força cortante 𝑉 e momento 𝑀 em função da posição 𝑥 na viga para cada intervalo seccionado A figura 65 abaixo apresenta o diagrama do cisalhamento na viga foça cortante V em função da posição 𝑥 No eixo 𝑥 são plotados os valores da posição da viga da esquerda para a direita partindo do ponto A 𝑥 0𝑚 até o ponto D 𝑥 100𝑚 No eixo das ordenadas os valores da força cortante em função de 𝑥 Figura 65 Diagrama de força cortante Fonte Elaborado pelo autor 2022 A figura 66 abaixo apresenta o diagrama do momento fletor 𝑀 atuante em toda a extensão 𝑥 da viga No eixo 𝑥 são plotados os valores da posição da viga da esquerda para a direita partindo do ponto A 𝑥 0𝑚 até o ponto D 𝑥 100𝑚 No eixo das ordenadas os valores do momento fletor em função da posição 𝑥 111 Figura 66 Diagrama de momento fletor Fonte Acervo pessoal do Autor 2022 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR EXEMPLO RESOLVIDO II A figura 67 abaixo apresenta uma viga simplesmente apoiada com um apoio articulado fixo de 2º gênero e um apoio móvel rolete de 1 gênero A viga é submetida a um carregamento distribuído de módulo 25 𝑘𝑁 𝑚 e um carregamento concentrado de módulo 10 𝑘𝑁 inclinado com um ângulo de 45 em relação à viga O comprimento dos segmentos da viga estão relacionados na cotagem do desenho e dado em metros 𝑚 Figura 67 Exemplo resolvido flexão em viga simplesmente apoiada Fonte Elaborado pelo autor 2022 112 A seguir é apresentado o cálculo da força cortante máxima e do momento fletor máximo no qual a viga é submetida Por fim é apresentado o diagrama de momento fletor 𝑀 𝐷𝑀𝐹e força cortante 𝑉 𝐷𝐹𝐶 Fx 0 176 RAx 10 cos 45 0 177 RAx 7071 kN 178 Fy 0 179 RAy REy 25 5 kN 10 sin45 kN 0 180 RAy REy 132071 kN 181 MA 0 182 25 5 kN 35 m 10 sin45kN 67m REy 8 m 0 183 REy 60609 kN 184 Substituindo o valor de 𝑅𝐸𝑦 na equação 181 têmse RAy 60609 kN 132071 kN 185 RAy 71461 kN 186 Cálculo da força cortante e momento fletor para trecho da viga seccionado Para 0 𝑚 𝑥 10 𝑚 113 Fy 0 187 V1 RAy 188 V1 71461 kN 189 M 0 190 M1 RAy x 0 191 M1 71461x kNm 192 Para 10 𝑚 𝑥 60 𝑚 Fy 0 193 V2 25x 10 RAy 0 194 V2 25x 96461 kN 195 M 0 196 114 M2 RAy x 25x 1 x 1 2 0 197 M2 125x2 96461x 125 kNm 198 Fy 0 199 V3 25 5 RAy 0 200 V3 71461 125 201 V3 53539 kN 202 M 0 203 M3 RAy x 125x 35 0 204 M3 53539x 4375 kNm 205 Para 67 𝑚 𝑥 80 𝑚 115 Fy 0 206 V4 25 5 10 sin 45 RAy 0 207 V4 71461 125 7071 208 V3 6061 kN 209 M 0 210 M4 RAy x 125x 35 10 sin45x 67 0 211 M4 6061x 484876 kNm 212 Diagrama de força cortante 𝑽 Diagrama de momento fletor 𝑴 116 O momento fletor máximo pode ser obtido por dois métodos diferentes No intervalo 10 𝑥 60 a função que descreve o momento fletor 𝑀2 125𝑥2 96461𝑥 125 𝑘𝑁𝑚 se apresenta como uma função de segundo grau de 𝑥 logo o diagrama 𝑀𝑥 é uma parábola cuja concavidade está orientada para baixo coeficiente que acompanha o termo 𝑥2 é menor que zero 𝑎 0 O momento fletor máximo ocorre no vértice da parábola no ponto máximo da função As coordenadas cartesianas do vértice da parábola são dadas por Mmáx 4a b2 4ac 4a 213 xmáx b 2a 214 Onde é o discriminante da equação de segundo grau 𝑎 e 𝑏 são os coeficientes da equação Outra maneira de encontrar as coordenadas que apontam o momento fletor máximo 𝑀𝑚á𝑥 e a posição 𝑥 desse ponto é calculando a derivada de primeira ordem da função 𝑀𝑥 e igualandoa a zero Considerando que a derivada de uma função qualquer em um ponto representa a inclinação da reta tangente nesse ponto o valor de 𝑥 encontrado representa a projeção no eixo da 117 abcissa do ponto sob o gráfico em que a inclinação da reta tangente neste ponto seja nula No exemplo calculado acima o valor da coordenada x para o ponto de momento fletor máxima M2 125x2 96461x 125 215 Derivando a função e igualando a zero 25x 96461 0 216 Logo x 386 m 217 O valor de 𝑀𝑚á𝑥 será Mmáx 125 3862 96461 386 125 218 Mmáx 173594 kNm 219 TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO As figuras 68a e 68b abaixo apresentam a correlação existente entre a tensão normal 𝜎 e a deformação normal 𝜖 provocada por um momento fletor interno no eixo Quando uma viga ou eixo é submetido a um esforço de flexão um momento fletor interno irá surgir Em decorrência desse momento fletor interno tensões e deformações na direção longitudinal do eixo também irão surgir Essas tensões e deformações serão nulas na linha neutra linha imaginária na direção longitudinal da viga ou eixo e que passa pelo o centroide da secção transversal e máximo nas extremidades A porção do eixo superior à linha neutra quando submetida a um carregamento de cima para baixo sentido negativo de 𝑦 sofrerá uma tensão normal de compressão na direção longitudinal do eixo ao passo que a porção do eixo inferior à linha neutra quando submetida ao mesmo esforço de flexão será submetida a uma tensão normal de tração Por convenção a tensão normal de tração é considerada com sinal positivo e tensão normal de compressão com sinal negativo 118 Figura 68 Distribuição de tensão normal na flexão A análise que estamos realizando parte da premissa de que o material de que é feito a viga ou eixo esteja sendo solicitado dentro da fase elástica portanto apresentando um comportamento linear elástico que pode ser descrito pela Lei de Hooke 𝜎 𝐸𝜀 Dessa maneira a tensão normal em qualquer ponto da viga ou eixo pode ser obtida pela relação abaixo 119 σ γ c σmáx 220 A tensão normal máxima em uma viga ou eixo solicitada por flexão pode ser expressa conforme a equação abaixo σmáx Mc I 221 Em que 𝜎𝑚á𝑥é a tensão normal máxima no elemento que ocorre em um ponto na área da secção transversal mais afastada da linha neutra A variável 𝑀 É o momento interno resultante determinado pelo método das sessões e pelas equações de equilíbrio e calculado em torno da linha neutro da seção transversal A variável 𝐼 É um momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno da linha neutra A variável 𝑐 é a distância perpendicular da linha neutra a um ponto mais afastado do eixo neutro onde 𝜎𝑚á𝑥 age 120 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Adaptado de J M GERE 2009 Determine a força de cisalhamento V em k e o momento fletor M em k ft no ponto médio C da viga simples AB mostrada na figura abaixo a V 10 k M 40 k ft b V 20 k M 35 k ft c V 30 k M 45 k ft d V 40 k M 38 k ft e V 50 k M 395 k ft 2 Adaptado de J M GERE 2009 Determine a força de cisalhamento V e o momento fletor M em uma secção transversal localizada a 16 ft da extremidade esquerda A da viga com uma extremidade em balanço mostrada na figura a V 2060 lbM 7960 lb ft b V 5120 lbM 3650 lb ft 121 c V 1030 lb M 7960 lb ft d V 2060 lb M 7960 lb ft e V 5120 lb M 360 lb ft 3 Adaptado de J M GERE 2009 Calcule a força de cisalhamento V e o momento fletor M em uma secção transversal à esquerda da carga 9 kN atuando sobre uma viga simpes AB mostrada na figura abaixo a V 125 kN M 1162 kN m b V 125 kNM 1162 kN m c V 125 kNM 1162 kN m d V 125 kNM 1162 kN m e V 125 kNM 1162 kN m 4 Adaptada de Hibbeler 2010 Se a viga abaixo tiver secção transversal quadrada de 225 mm em cada lado determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga a σmáx 4049 GPa b σmáx 2025 GPa c σmáx 1327 MPa 122 d σmáx 4049 MPa e σmáx 2025 MPa 5 Adaptada de Hibbeler 2010 Determine o menor diâmetro admissível do eixo que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais e a tensão de flexão admissível σadm 160 MPa a d 313 mm b d 626 mm c d 313 mm d d 156 mm e d 224 mm 6 Adaptada de Hibbeler 2010 Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais e a tensão de flexão admissível é σadm 150 MPa a d0 217 mm b d0 3368 mm 123 c d0 6736 mm d d0 1684 mm e d0 336 mm 7 Adaptado de J M GERE 2009 Um eixo de vagão de carga AB é carregado como mostrado na figura com as forças P representado as cargas do carro transmitidas através das caixas de eixo e as forças R representando as cargas dos trilhos transmitidas através das rodas O diâmetro do eixo é d 80 mm a extensão da roda é L 145 m e a distância entre as forças P e R é b 200 mm Calcule a tensão fletora máxima σmáx no eixo se P 465 kN a σmáx 185 GPa b σmáx 185 MPa c σmáx 185 MPa d σmáx 925 MPa e σmáx 370 MPa 8 Adaptado de J M GERE 2009 Um dormente está submetido a dois carregamentos dos trilhos cada um com intensidade P 36 kN atuando da forma mostrada na figura abaixo Assumese que a reação q do lastro é uniformemente distribuída sobre o comprimento do dormente que tem secção transversal com dimensões b 12 in e h 10 in Calcule a tensão fletora máxima máxima σmáx no dormente devido às cargas P assumindo que o tamanho da rida é L 57 in e a extremidade suspensa tem comprimento a 195 in 124 a σmáx 657 psi b σmáx 810 psi c σmáx 405 psi d σmáx 810 psi e σmáx 657 psi 125 PROJETO DE VIGAS E EIXOS DIMENSIONAMENTO DE EIXO EXEMPLO RESOLVIDO I Projetar dimensionar um eixo de transmissão de potência maciço de aço SAE 1020 laminado a quente cuja tensão de cisalhamento admissível é 50 Mpa O eixo deverá transmitir uma potência de 15 kW a uma frequência de rotação de 30 Hz A tensão de cisalhamento na torção é definida pela relação τ Tc J 222 Onde J é o momento de inércia da secção do eixo J π 2 c4 223 Logo τ Tc π 2 c4 224 τ 2Tc πc4 225 c 2T πτ 3 226 O torque se relaciona com a potência mecânica por meio da relação p 2πfT 227 UNIDADE 06 126 Logo T P 2πf 228 Logo c 2 P 2πf πτ 3 229 c P π2fτ 3 230 Como 𝑑 2𝑐 d 2 15000 π2 30 50x106 3 231 d 20087 mm 232 DIMENSIONAMENTO DE EIXO EXEMPLO RESOLVIDO II Um eixo de transmissão de potência maciço fabricado em aço cujo módulo elasticidade transversal é 𝐺 77𝐺𝑃𝑎 tensão de cisalhamento admissível 50MPa gira com uma frequência angular de 25 𝐻𝑧 O eixo possui um comprimento de 3 metros Projete o eixo a fim de que se possa transmitir uma potência de 12kW em que o ângulo de torção não exceda 10 Cálculo do diâmetro levandose em conta a tensão admissível 127 d 2 P π2fτ 3 233 d 2 12000 π2 25 50x106 3 234 d 1982 mm 235 Cálculo do diâmetro levandose em conta o ângulo máximo de torção θ TL GI0 236 Onde I0 π 32 D4 237 Logo D 32 T L G π θ 4 238 D 32 P L 2Gfθπ2 4 239 D 32 12000 3 2 77x109 25 10 180 π2 4 240 D 2041 mm 241 DIMENSIONAMENTO DE VIGA EXEMPLO RESOLVIDO III Projetar a viga mais econômica para suportar o carregamento mostrado na figura 69 abaixo 128 Figura 69 Projeto de viga sujeita a esforços de flexão Fonte Elaborado pelo autor 2022 A viga apresentada na figura 69 acima possui um apoio articulado fixo portanto de 2 gênero com duas reações nas direções 𝑥 e 𝑦 e um apoio móvel de 1 gênero com uma reação na direção 𝑦 Pela estática podemos obter as reações de apoio Equilíbrio na direção 𝑥 Fx 0 242 Logo RAx 0 243 Equilíbrio na direção 𝑦 Fy 0 244 RAy RBy 80kN 100 kN m 24 m 245 RAy RBy 320 kN 246 Equilíbrio rotacional MA 0 247 129 RBy 08 240 12 80 24 0 248 RBy 600 kN 249 Logo RAy 600kN 320 kN 250 RAy 280 kN 251 O sinal negativo encontrado na resposta indica que o sentido da reação de apoio em 𝐴 é o oposto do representado na figura 69 Analisando a viga para obtenção da força cortante máxima e momento fletor máximo Para 0 𝑥 08 𝑚 Fy 0 252 V1 100x RAy 0 253 V1 100x 280 kN 254 Momento fletor 𝑀1 𝑅𝐴𝑦 𝑥 100𝑥 𝑥 2 0 255 𝑀1 50𝑥2 280𝑥 𝑘𝑁 𝑚 256 130 Para 08 𝑥 24 𝑚 Fy 0 257 V2 100x RAy RBy 0 258 V2 100x 280 600 kN 259 V2 100x 320 kN 260 Momento fletor 𝑀2 𝑅𝐴𝑦 𝑥 100𝑥 𝑥 2 𝑅𝐵𝑦 𝑥 08 0 261 𝑀2 50𝑥2 280𝑥 600𝑥 480 𝑘𝑁 𝑚 262 𝑀2 50𝑥2 320𝑥 480 𝑘𝑁 𝑚 263 O diagrama de momento fletor para o carregamento em questão é apresentado na figura 70 abaixo 131 Figura 70 Diagrama de momento fletor Fonte Elaborado pelo autor 2022 Para selecionar a viga adequada devese obter o módulo de resistência à flexão mínimo logo Wx Mmáx σadm 264 Wx 256 x 103 160 x 106 265 Wx 1600 x 103 mm3 266 O perfil de viga a ser selecionado deverá ser aquele que possui o módulo de resistência iminentemente superior ao módulo de resistência do projeto logo Perfil 𝑾𝒙 𝟏𝟎𝟑𝒎𝒎𝟑 W 250 x 167 2080 W 310 x 143 2150 W 360 x 101 1690 W 360 x 122 2010 W 410 x 114 2200 W 460 x 113 2400 W 530 x 92 2070 W 610 x 101 2530 Viga selecionada W 530 x 92 132 133 FIXANDO O CONTEÚDO 1 Adaptada de Hibbeler 2010 CARGAS AXIAIS A coluna abaixo construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A36 Se for submetida a uma força axial de 150 kN Projete cada haste encontrar o diâmetro de modo que 14 da carga seja suportado pelo concreto e 34 pelo aço a daço 2236 mm b daço 4495 mm c daço 2236 cm d daço 22236 mm e daço 495 mm 2 Adaptada de Hibbeler 2010 A Carga de 4 kN deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais te igual a σe 560 MPa Se os comprimentos originais dos cabos AB e AC forem 1250 mm e 12525 mm respectivamente determine a área da seção transversal do cabo AB para que a carga seja compartilhada igualmente entre os dois cabos O cabo AC tem área de seção transversal de 13 mm² 134 a AAB 70426 mm2 b AAB 106236 mm2 c AAB 360911 mm2 d AAB 62341 mm2 e AAB 22597 mm2 3 Adaptada de Hibbeler 2010 A coluna apresentada na figura abaixo é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A36 Se for submetida a uma força axial de 800 kN determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 14 da carga seja suportada pelo aço e 34 pelo concreto Eaço 200 GPa e Ee 25 GPa a d 853 mm b d 339 mm c d 678 mm d d 168 mm e d 225 mm 4 Adaptada de BEER 1995 Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço colocadas como indicado na figura Os módulos de elasticidade são 20 GPa para o concreto e 200 GPa para o aço Usando uma atenção admissível de 10 MPa para o concreto e 150 MPa para o aço determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga 135 a M 791 kNm b M 378 kNm c M 764 kNm d M 292 kNm e M 102 MNm 5 Adaptada de BEER 1995 A viga de concreto reforçada como mostrado na figura abaixo é submetida a um momento fletor de 55 kNm Sabendose que os módulos de elasticidade são de 25 GPa para o concreto e de 200 GPa a para o aço determinar a tensão no aço e a máxima tensão no concreto a σaço 397 MPa e σconc 522 MPa b σaço 2382 MPa e σconc 1725 MPa c σaço 794 MPa e σconc 1305 MPa d σaço 1588 MPa e σconc 1305 MPa e σaço 794 MPa e σconc 2610 MPa 136 6 Adaptada de BEER 1995 Uma laje de concreto é reforçada por hastes de aço de 16 mm de diâmetro colocadas a 180 mm de centro a centro como mostrado na figura abaixo O módulo de elasticidade é de 20 GPa para o concreto e 200 GPa para o aço Usando uma tensão admissível de 9 MPa para o concreto e de 120 MPa para o aço determine o maior momento fletor por metro de largura que pode ser aplicado à laje a M 2492 kNm b M 4309 kNm c M 1173 kNm d M 2346 kNm e M 586 kNm 7 Adaptada de BEER 1995 Uma viga de madeira simplesmente apoiada seção transversal retangular e comprimento vão de 12 m está submetida a uma carga concentrada em seu ponto médio além de seu próprio peso conforme a figura abaixo A seção transversal tem largura de 140 mm e altura de 240 mm O peso específico da madeira é 54 kNm3 Qual o máximo valor permissível da carga P se a tensão fletora a permitida é de 85 MPa 137 a P 380 kN b P 340 kN c P 280 kN d P 220 kN e P 450 kN 8 Adaptada de BEER 1995 A secção transversal de uma viga composta feita de alumínio e aço está ilustrada na figura Os módulos de elasticidade são Eal 75GPa e Eaço 200 GPa Sob a ação de um momento fletor que produz uma tensão fletora máxima de 40 MPa no alumínio qual a tensão máxima σmáx no aço a σmáx 356 MPa b σmáx 427 MPa c σmáx 818 MPa d σmáx 223 Mpa e σmáx 748 MPa 138 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO UNIDADE 01 UNIDADE 02 QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 A QUESTÃO 2 D QUESTÃO 2 A QUESTÃO 3 A QUESTÃO 3 C QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 B QUESTÃO 5 C QUESTÃO 5 C QUESTÃO 6 D QUESTÃO 6 D QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 A QUESTÃO 8 E UNIDADE 03 UNIDADE 04 QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 E QUESTÃO 2 E QUESTÃO 2 A QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 D QUESTÃO 4 C QUESTÃO 4 C QUESTÃO 5 B QUESTÃO 5 B QUESTÃO 6 A QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 C QUESTÃO 8 A UNIDADE 05 UNIDADE 06 QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 B QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 C QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 B QUESTÃO 4 D QUESTÃO 4 A QUESTÃO 5 A QUESTÃO 5 D QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 C QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 E 139 REFERÊNCIAS BARRIOS D B Demonstração do efeito da concentração de tensões empregando o método dos elementos finitos no processo de ensino na engenharia mecânica São Paulo 2005 Disponível em httpsbitly3UaNHRH Acesso em 08 ago 2022 BEER Ferdinand P E JOHNSTON Russell Jr DEWOLF John T MAZUREK David F Estática e Mecânica dos Materiais 1 ed AMGH 2013 BEER Ferdinand JOHNSTON E Russell Resistência dos Materiais 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 1995 BEER F P JOHNSTON E R Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 7ª ed São Paulo McGraw Hill 2006 GERE James M Mecânica dos Materiais Editora Cengage Learning BOTELHO Manoel H C Resistência dos materiais 2 ed São Paulo Blucher 2013 Disponível em httpsbitly3Bb2Qda Acesso em 08 ago 2022 HIBBELER R C Resistência dos materiais 7ed ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 637 p MELCONIAN S Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais 20ª Edição Revisada Editora Saraiva 2018 Ebook 9788536528564 Disponível em httpsbitly3BIG1it Acesso em 30 ago 2022 POPOV E P Introdução à Mecânica dos sólidos São Paulo Blucher 1978 Disponível em httpsbitly3Dse4wI Acesso em 08 ago 2022