Interpolação Polinomial em Cálculo Numérico

Cálculo Numérico profadaohenriquegmailcom Cálculo Numérico 1 Interpolação Polinomial Interpolação Polinomial Interpolação polinomial é um caso particular do problema geral de interpolação no qual a família de funções é constituída de polinômios Interpolação Polinomial A escolha de polinômios como funções interpolantes é natural por diversos motivos entre eles se p é um polinômio de grau n o valor px para um x real é calculado através de n1 operações de multiplicação e n1 operações de adição Interpolação Polinomial Para tanto podese usar o algoritmo de Horner1 Dado um polinômio p de grau n da forma Interpolação Polinomial é possível reescrevêlo como a sequência de operações dada por Interpolação Polinomial Também derivadas e primitivas de polinômios são também polinômios cuja relação algébrica com o original é simples Além disso o teorema da aproximação de Weierstrass estabelece que qualquer função contínua definida em um intervalo fechado pode ser aproximada uniformemente por um polinômio tão bem quanto se queira Interpolação Polinomial Weierstrass Seja f uma função contínua definida no intervalo fechado ab e seja δ um número positivo Então existe um polinômio p tal que para todo x ab Interpolação Polinomial Observe que para o problema ser bem determinado é necessário restringirmos o grau dos polinômios Dado um conjunto de n pontos a serem interpolados Interpolação Polinomial a família de polinômios Deve ser escolhida onde isto é a família dos polinômios reais de grau menor ou igual a n1 Interpolação Polinomial Assim dado um conjunto com n pontos Interpolação Polinomial A interpolação polinomial é o método mais utilizado onde é utilizado um polinômio como função interpoladora A fórmula geral para um polinômio de ordem n é dada por Interpolação Polinomial Verificouse a temperatura em graus de um freezer durante quatro horas gerando o seguinte conjunto de pontos 1 0 2 5 3 6 4 8 Plote no Scilab o conjunto de pontos e estime a temperatura do freezer no momento 25 Explique como você chegou no valor obtido Interpolação Polinomial A interpolação ajuda a resolver este tipo de problema Interpolação Polinomial Para um conjunto de dados formados por n pontos haverá um único polinômio interpolador de ordem n1 que atravessa todos os ponto Por exemplo existe uma única reta que atravessa dois pontos e uma única parábola que atravessa três pontos Interpolação Polinomial A interpolação polinomial consiste em determinar este polinômio de ordem n1 que se ajusta aos n pontos Interpolação Polinomial Polinômio Interpolador via Sistema Linear Suponha que se queira determinar o polinômio interpolador de ordem 3 que interpola os valores de temperatura amostrados no freezer A cúbica fx abaixo deverá satisfazer todos os pontos ou seja Interpolação Polinomial Polinômio Interpolador via Sistema Linear Interpolação Polinomial A forma geral da matriz dos coeficientes que calcula os coeficientes do polinômio interpolador de ordem n1 conhecida como matriz de Vandermonde não confundir com Voldemort é dada por Interpolação Polinomial Polinômio Interpolador via Sistema Linear Fica claro que as substituições geram um sistema de equações lineares que matricialmente pode ser representado como Interpolação Polinomial Exercício Solucione o sistema de equações lineares acima no Scilab e plote o polinômio obtido junto com os pontos amostrados Utilize a cúbica para obter um valor aproximado da temperatura para o momento 25 e compare com o resultado obtido no exercício anterior Dica utilize a divisão à esquerda x AB para obter os coeficientes do interpolador Interpolação Polinomial Exercício Solucione o sistema de equações lineares acima no Scilab e plote o polinômio obtido junto com os pontos amostrados Utilize a cúbica para obter um valor aproximado da temperatura para o momento 25 e compare com o resultado obtido no exercício anterior Dica utilize a divisão à esquerda x AB para obter os coeficientes do interpolador