Trabalho para Resolver Octave

Instruções O trabalho deverá ser individual O trabalho deverá apresentar duas partes a parte de desenvolvimento do modelo e a parte de resolução numérica em Octave As partes devem conter os seguintes itens Primeira Parte Modelagem Matemática a Defina as hipóteses simplificadoras para resolução deste problema b Obtenha a equação governante EDO que prevê o comportamento da variável em análise ex temperatura concentração pressão Segunda Parte Resolução do Problema em Octave a Resolva as equaçãoões pelos métodos de Euler defina o melhor passo e RungeKutta compare e discuta os resultados com gráficos O trabalho escrito deve conter os seguintes tópicos a O enunciado descrito abaixo b Modelagem fazer passoapasso começando pelas hipóteses c Resolução numérica Inserir os gráficos gerados resultados e fazer análise e discussão Os códigos devem estar no anexo d Conclusão O trabalho deve ser postado no Ulife até as 2359 horas do dia 10062022 Caso seja entregue após este horário será descontado 10 ponto para cada dia de atraso PROBLEMA PROPOSTO REAÇÃO QUÍMICA EM BATELADA SEMI ALIMENTADA Um reator processa uma reação elementar A 2B C em fase líquida e com fornecimento de calor através de uma resistência elétrica Re O processo ocorre de forma contínua porém na corrente de saída há uma válvula que regula a vazão de saída do produto C O fluxo que passa pela válvula pode ser representado por CV h e com isto a vazão de entrada dos reagentes no tanque é um pouco maior que a vazão de saída Com base nestas informações obtenha os modelos que representam as operações transientes deste sistema Resolva as EDOs pelos métodos de Euler e RungeKutta Assuma os valores dos parâmetros para seu processo Informações adicionais A expressão para a taxa da reação para cada espécie é r Ak CA 1 CB 2 r BkC A 1 CB 2 rCk C A 1 CB 2 Primeira Parte Questão A Hipóteses simplificadoras Mistura ideal a concentração de cada componente é uniforme Propriedades físicas constantes Vazões de entrada dos reagentes A e B são constantes Vazões de entrada dos reagentes A e B são estequiométricas A reação não ocorre no sentido inverso Não há vazão de entrada do componente C A eficiência da reação é 100 todos os reagentes se transformam no produto Vazão de saída do produto C dada pela hidrostática Questão B Balanço de massa do componente A 𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐴𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐴𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑟𝐴𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 0 0 𝑟𝐴𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑀𝐴 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐴𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 Balanço de massa do componente B 𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐵𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐵𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑟𝐵𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 0 0 𝑟𝐵𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑀𝐵 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐵𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 Balanço de massa do componente C 𝑑𝑀𝐶 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐶𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑟𝐶𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑀𝐶 𝑑𝑡 0 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐶𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 0 𝑑𝑀𝐶 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐶𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 Usando as concentrações 𝑀𝐴 𝑉 𝐶𝐴 𝑀𝐵 𝑉 𝐶𝐵 𝑀𝐶 𝑉 𝐶𝐶 Substituindo 𝑉 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐶𝐴 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐴𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑉 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝐶𝐵 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐵𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑉 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐶𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 Expressando o volume em função da altura 𝑉 𝐴 ℎ 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 Substituindo 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐶𝐴 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐴𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝐶𝐵 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝐵𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑟𝐶𝑐𝑟𝑖𝑎çã𝑜 Usando as taxas de reação 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐶𝐴 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝐶𝐵 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 Considerando a vazão de saída 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐹𝐶𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐶𝐴 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝐶𝐵 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶 𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝐶𝑉 ℎ 𝑘 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 Parâmetros adotados 𝐴 1 𝑚2 𝐶𝑉 05 𝑘 1 𝐹𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 1 𝐹𝐵𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 1 Logo 𝑑ℎ 𝑑𝑡 2 ℎ ℎ 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 𝐶𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑡 1 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 ℎ 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 𝐶𝐵 𝑑ℎ 𝑑𝑡 1 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 ℎ 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶 𝑑ℎ 𝑑𝑡 05ℎ 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 Substituindo a primeira equação nas demais 𝑑ℎ 𝑑𝑡 2 ℎ 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑡 1 𝐶𝐴ℎ 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 2𝐶𝐴 ℎ 𝑑𝐶𝐵 𝑑𝑡 1 𝐶𝐵ℎ 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 2𝐶𝐵 ℎ 𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑡 𝐶𝐶ℎ 𝐶𝐴 𝐶𝐵 2 05ℎ 2𝐶𝐶 ℎ Condições iniciais 𝐶𝐴0 1 𝐶𝐵0 1 𝐶𝐶0 1 ℎ0 1 Segunda Parte Código para simular pelo método de Euler octave406 Parâmetros do problema dt 01 passo de tempo tfinal 50 tempo final t 0dttfinal vetor de tempo Condições iniciais h0 1 Alteração na condição inicial de h Ca0 1 Alteração nas condições iniciais de Ca Cb Cc Cb0 1 Cc0 1 Vetores para armazenar as soluções h zerossizet Ca zerossizet Cb zerossizet Cc zerossizet Condições iniciais h1 h0 Ca1 Ca0 Cb1 Cb0 Cc1 Cc0 Método de Euler for i 1lengtht1 Equações diferenciais dhdt 2 sqrthi dCadt 1 Cai sqrthi Cai Cbi2 2 Cai hi dCbdt 1 Cbi sqrthi Cai Cbi2 2 Cbi hi dCcdt Cci sqrthi Cai Cbi2 05 sqrthi 2 Cci hi Atualização das variáveis hi1 hi dt dhdt Cai1 Cai dt dCadt Cbi1 Cbi dt dCbdt Cci1 Cci dt dCcdt end Plot figure subplot221 plott h xlabelTempo ylabelh titleAltura do Líquido h subplot222 plott Ca xlabelTempo ylabelCA titleConcentração de A CA subplot223 plott Cb xlabelTempo ylabelCB titleConcentração de B CB subplot224 plott Cc xlabelTempo ylabelCC titleConcentração de C CC Código para simular pelo método de Runge Kutta octave1 Parâmetros do problema dt 01 passo de tempo tfinal 50 tempo final t 0dttfinal vetor de tempo Condições iniciais h0 1 Alteração na condição inicial de h Ca0 1 Alteração nas condições iniciais de Ca Cb Cc Cb0 1 Cc0 1 Vetores para armazenar as soluções h zerossizet Ca zerossizet Cb zerossizet Cc zerossizet Condições iniciais h1 h0 Ca1 Ca0 Cb1 Cb0 Cc1 Cc0 Método de RungeKutta de 2ª ordem RK2 for i 1lengtht1 Avaliação no ponto inicial k1h 2 sqrthi k1Ca 1 Cai sqrthi Cai Cbi2 2 Cai hi k1Cb 1 Cbi sqrthi Cai Cbi2 2 Cbi hi k1Cc Cci sqrthi Cai Cbi2 05 sqrthi 2 Cci hi Avaliação no ponto médio hmid hi 05 dt k1h Camid Cai 05 dt k1Ca Cbmid Cbi 05 dt k1Cb Ccmid Cci 05 dt k1Cc k2h 2 sqrthmid k2Ca 1 Camid sqrthmid Camid Cbmid2 2 Camid hmid k2Cb 1 Cbmid sqrthmid Camid Cbmid2 2 Cbmid hmid k2Cc Ccmid sqrthmid Camid Cbmid2 05 sqrthmid 2 Ccmid hmid Atualização das variáveis hi1 hi dt k2h Cai1 Cai dt k2Ca Cbi1 Cbi dt k2Cb Cci1 Cci dt k2Cc end Plot figure subplot221 plott h xlabelTempo ylabelh titleAltura do Líquido h subplot222 plott Ca xlabelTempo ylabelCA titleConcentração de A CA subplot223 plott Cb xlabelTempo ylabelCB titleConcentração de B CB subplot224 plott Cc xlabelTempo ylabelCC titleConcentração de C CC Discussão O sistema apresenta transientes temporais em torno de 20 segundos após esse período as concentrações e altura do reservatório se estabilizam porque a taxa de incremento dos componentes A e B se iguala à taxa de consumo dos mesmos a taxa de incremento de massa se iguala à taxa de retirada de massa e a altura se estabiliza a concentração de C no reservatório diminui indicando sua retirada pela válvula Conclusão Balanços de massa e de outros tipos são ferramentas poderosas para modelar sistemas físicos reais capturando características transientes e permanentes Os métodos numéricos são ferramentas muito úteis simular modelamentos de sistemas permitindo resolver problemas muito complexos de resolver analiticamente A simplicidade da resposta está atrelada à simplicidade das hipóteses simplificadores hipóteses mais realistas como mistura não homogênea parâmetros variáveis com a temperatura e pressão não linearidades nos diversos componentes aumentam muito a complexidade do problema mas ainda são solúveis numericamente e as respostas obtida é muito mais precisa em todos os aspectos Primeira Parte Questão A Hipóteses simplificadoras Mistura ideal a concentração de cada componente é uniforme Propriedades físicas constantes Vazões de entrada dos reagentes A e B são constantes Vazões de entrada dos reagentes A e B são estequiométricas A reação não ocorre no sentido inverso Não há vazão de entrada do componente C A eficiência da reação é 100 todos os reagentes se transformam no produto Vazão de saída do produto C dada pela hidrostática Questão B Balanço de massa do componente A d M A dt F A entradaF A saídar A criaçãor A consumo d M A dt F A entrada00r A consumo d M A dt F A entradar A consumo Balanço de massa do componente B d M B dt FBentradaF Bsaídar B criaçãor Bconsumo d M B dt FBentrada00r B consumo d M B dt FBentradar B consumo Balanço de massa do componente C d M C dt FC entradaFC saídarC criaçãorC consumo d M C dt 0FC saídarC criação0 d M C dt FC saídarC criação Usando as concentrações M AV C A M BV CB M CV CC Substituindo V dC A dt CA dV dt F A entradar A consumo V dCB dt CB dV dt FB entradar Bconsumo V dCC dt CC dV dt FC saídarC criação Expressando o volume em função da altura VA h dV dt A dh dt F A entradaFB entradaFC saída Substituindo Ah dC A dt CA A dh dt F A entradar A consumo Ah dCB dt CB A dh dt FBentradar B consumo Ah dCC dt CC A dh dt FC saídarC criação Usando as taxas de reação Ah dC A dt CA A dh dt F A entradak C ACB 2 Ah dCB dt CB A dh dt FBentradak CACB 2 Ah dCC dt CC A dh dt FC saídak CA CB 2 Considerando a vazão de saída A dh dt FA entradaFB entradaFC saída Ah dC A dt CA A dh dt F A entradak C ACB 2 Ah dCB dt CB A dh dt FBentradak CACB 2 Ah dCC dt CC A dh dt CV hk C ACB 2 Parâmetros adotados A1m 2 CV05 k1 F A entrada1 FB entrada1 Logo dh dt 2h h dC A dt C A dh dt 1CA CB 2 h dCB dt CB dh dt 1C ACB 2 h dCC dt CC dh dt 05hC ACB 2 Substituindo a primeira equação nas demais dh dt 2h dC A dt 1CA hC ACB 22C A h dCB dt 1CBhC ACB 22CB h dCC dt CChCA CB 205h2CC h Condições iniciais C A 01 CB 01 CC0 1 h 0 1 Segunda Parte Código para simular pelo método de Euler octave406 Parâmetros do problema dt 01 passo de tempo tfinal 50 tempo final t 0dttfinal vetor de tempo Condições iniciais h0 1 Alteração na condição inicial de h Ca0 1 Alteração nas condições iniciais de Ca Cb Cc Cb0 1 Cc0 1 Vetores para armazenar as soluções h zerossizet Ca zerossizet Cb zerossizet Cc zerossizet Condições iniciais h1 h0 Ca1 Ca0 Cb1 Cb0 Cc1 Cc0 Método de Euler for i 1lengtht1 Equações diferenciais dhdt 2 sqrthi dCadt 1 Cai sqrthi Cai Cbi2 2 Cai hi dCbdt 1 Cbi sqrthi Cai Cbi2 2 Cbi hi dCcdt Cci sqrthi Cai Cbi2 05 sqrthi 2 Cci hi Atualização das variáveis hi1 hi dt dhdt Cai1 Cai dt dCadt Cbi1 Cbi dt dCbdt Cci1 Cci dt dCcdt end Plot figure subplot221 plott h xlabelTempo ylabelh titleAltura do Líquido h subplot222 plott Ca xlabelTempo ylabelCA titleConcentração de A CA subplot223 plott Cb xlabelTempo ylabelCB titleConcentração de B CB subplot224 plott Cc xlabelTempo ylabelCC titleConcentração de C CC Código para simular pelo método de Runge Kutta octave1 Parâmetros do problema dt 01 passo de tempo tfinal 50 tempo final t 0dttfinal vetor de tempo Condições iniciais h0 1 Alteração na condição inicial de h Ca0 1 Alteração nas condições iniciais de Ca Cb Cc Cb0 1 Cc0 1 Vetores para armazenar as soluções h zerossizet Ca zerossizet Cb zerossizet Cc zerossizet Condições iniciais h1 h0 Ca1 Ca0 Cb1 Cb0 Cc1 Cc0 Método de RungeKutta de 2ª ordem RK2 for i 1lengtht1 Avaliação no ponto inicial k1h 2 sqrthi k1Ca 1 Cai sqrthi Cai Cbi2 2 Cai hi k1Cb 1 Cbi sqrthi Cai Cbi2 2 Cbi hi k1Cc Cci sqrthi Cai Cbi2 05 sqrthi 2 Cci hi Avaliação no ponto médio hmid hi 05 dt k1h Camid Cai 05 dt k1Ca Cbmid Cbi 05 dt k1Cb Ccmid Cci 05 dt k1Cc k2h 2 sqrthmid k2Ca 1 Camid sqrthmid Camid Cbmid2 2 Camid hmid k2Cb 1 Cbmid sqrthmid Camid Cbmid2 2 Cbmid hmid k2Cc Ccmid sqrthmid Camid Cbmid2 05 sqrthmid 2 Ccmid hmid Atualização das variáveis hi1 hi dt k2h Cai1 Cai dt k2Ca Cbi1 Cbi dt k2Cb Cci1 Cci dt k2Cc end Plot figure subplot221 plott h xlabelTempo ylabelh titleAltura do Líquido h subplot222 plott Ca xlabelTempo ylabelCA titleConcentração de A CA subplot223 plott Cb xlabelTempo ylabelCB titleConcentração de B CB subplot224 plott Cc xlabelTempo ylabelCC titleConcentração de C CC Discussão O sistema apresenta transientes temporais em torno de 20 segundos após esse período as concentrações e altura do reservatório se estabilizam porque a taxa de incremento dos componentes A e B se iguala à taxa de consumo dos mesmos a taxa de incremento de massa se iguala à taxa de retirada de massa e a altura se estabiliza a concentração de C no reservatório diminui indicando sua retirada pela válvula Conclusão Balanços de massa e de outros tipos são ferramentas poderosas para modelar sistemas físicos reais capturando características transientes e permanentes Os métodos numéricos são ferramentas muito úteis simular modelamentos de sistemas permitindo resolver problemas muito complexos de resolver analiticamente A simplicidade da resposta está atrelada à simplicidade das hipóteses simplificadores hipóteses mais realistas como mistura não homogênea parâmetros variáveis com a temperatura e pressão não linearidades nos diversos componentes aumentam muito a complexidade do problema mas ainda são solúveis numericamente e as respostas obtida é muito mais precisa em todos os aspectos