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Engenharia Mecânica ·
Cálculo
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Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\nA Figura 3.10 ilustra a resolução desse exercício.\n\n3.6 Exercícios\n1. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n(f) lim f(x).\n2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n Intuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n3. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n(g) lim f(x).\n4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n6. Descrever analítica e graficamente uma função y = f(x) tal que lim f(x) não existe e lim f(x) existe.\n7. Definir uma função y = g(x) tal que lim x->2 = 4, mas g(x) não é definida em x = 2.\n8. Definir e fazer o gráfico de uma função y = h(x) tal que lim h(x) = 1 e lim h(x) = 2.\n9. Mostrar que existe o lim x->3 de f(x) = 4x - 5 em x = 3 e que é igual a 7.\n10. Mostrar que lim x->3 de f(x) = L. Determinar um número ε para δ dado tal que |f(x) - L| < ε sempre que 0 < |x - a| < δ. Dar exemplos de dois outros números positivos para δ, que também satisfazem a implicação dada.\n11. lim (2x + 4) = 8, ε = 0.01.\n12. lim (-3x + 7) = 10, ε = 0.5.\n13. lim x^2 - 4 = -4, ε = 0.1.\n14. lim 1/(2 - x) = -1, ε = 0.25.\n15. lim x^2 - 1/(x - 1) = 2, ε = 0.75.\n16. Fazer o gráfico das funções y = f(x) dadas, explorando diversas escalas para visualizar melhor o gráfico numa vizinhança da origem. Observando o gráfico, qual a sua conjectura sobre o lim f(x)? Comprove analiticamente se a sua conjectura é verdadeira. CAPÍTULO 3 Limite e continuidade 75\n\n(a) f(x) = sen 1\n\n(b) f(x) = xsen 1\n\n(c) f(x) = x²sen 1\n\n(d) f(x) = x³sen 1\n\n17. Mostrar que:\n\n(i) Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = f(a) para todo real a.\n\n(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g, então lim g(x) = g(a).\n\nCalcular os limites nos exercícios 18 a 37 usando as propriedades de Limites.\n\n18. lim (3 - 7x - 5x²).\n\n19. lim (3x² - 7x + 2).\n\n20. lim (x³ - 6x + 2).\n\n21. lim (2x + 7).\n\n22. lim [(x - 2)² . (x + 4)].\n\n23. lim (1 + x³)/(x + 2 - 1).\n\n24. lim (3x - 1).\n\n25. lim (t + 3)/(t + 2).\n\n26. lim (x² - 1)/(x - 1).\n\n27. lim (t² + 5t + 6)/(t + 2).\n\n28. lim (t² - 5t + 6)/(t - 2).\n\n29. lim (s + 4)/(2s).\n\n30. lim √(2x + 3).\n\n31. lim (3x + 2)²/³.\n\n32. lim 2x² - x/3x.\n\n33. lim √x - √2/(3x - 4).\n\n34. lim [2 sen x - cos x + cotg x].\n\n35. lim (e² + 4x).\n\n36. lim (2x + 3)¹/⁴.\n\n37. lim senh x/4. CAPÍTULO 3 Limite e continuidade 79\n\n3.8 Exercícios\n\n1. Seja f(x) = {x - 1, x ≤ 3\n {3x - 7, x > 3.\n\nCalcule:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n(f) lim f(x).\n\nEsboçar o gráfico de f(x).\n\n2. Seja h(x) = {x² - 2x + 1, x ≠ 3\n {0, x = 3.\n\nCalcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).\n\n3. Seja F(x) = |x - 4|. Calcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim F(x).\n\n(b) lim F(x).\n\n(c) lim F(x).\n\nEsboce o gráfico de F(x).\n\n4. Seja f(x) = 2 + 15x - 11. Calcule se existir:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\nEsboce o gráfico de f(x). Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração 80\n\n5. Seja g(x) = { |x - 3|, x ≠ 3\n {0, x = 3.\n\n(a) Esboce o gráfico de g(x).\n\n(b) Achar, se existirem lim g(x), lim g(x) e lim g(x).\n\n6. Seja h(x) = {x/|x|, x ≠ 0\n {0, se x = 0.\n\nMostrar que h(x) não tem limite no ponto 0.\n\n7. Determinar limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x → 0.\n\n8. Verifique se lim 1/(x + 1) existe.\n\n9. Seja f(x) = {1/x, x < 0\n {0, 0 ≤ x < 1\n {2, x = 1\n {x, x > 1.\n\nEsboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n(f) lim f(x).\n\n(g) lim f(x).\n\n(h) lim f(x).\n\n10. Seja F(x) = (x² - 25)/(x - 5).\n\nCalcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n3.9 Cálculo de Limites\n\nAntes de apresentar os exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas.\n\nCostuma-se dizer que expressões indeterminadas são 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, 0^0, ∞^0, 1^∞. O que significam isto? x² + 3x - 10\n3x² - 5x - 2\n 2r² - 3r - 5\n2r - 5\n x² + (1 - a)x - a\nx - a\n lim \\frac{3x^5 - x^2 + 7}{2 - x} lim \\frac{5x^3 + 2}{7x^3 + 3} lim \\frac{x^2 + 3x}{x} Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\n\n(i) f(x) = e^x\n(j) f(x) = e^x - 1\n(k) f(x) = ln x\n(l) f(x) = tg x\n\n2. Constar, desenvolvendo exemplos graficamente, que as funções racionais do tipo f(x) = p(x) / q(x) com p(x) e q(x) polinômios, tais que a diferença entre o grau do numerador e o grau do denominador é igual 1, possuem assintotas inclinadas.\n\n3. Analisar graficamente a existência de assintotas para as seguintes funções:\n\n(a) f(x) = x^3 / e^x\n(b) f(x) = cos 2x / x^2\n(c) f(x) = tg x / x\n(d) f(x) = sen 7 / x\n(e) f(x) = sen 1 / 3x\n(f) f(x) = sen(x / 2) / x^2\n\nNos exercícios 5 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.\n\n5. lim x -> 0 sen 9x / x\n6. lim x -> 0 sen 4x / 3x CAPÍTULO 3 Limite e continuidade\n\n7. lim x -> 0 sen 10x / sen 7x\n8. lim x -> 0 sen ax / sen bx, b # 0.\n9. lim x -> 0 tg ax / x\n10. lim x -> 1 (x + 1 / (x + 1)^3)\n11. lim x -> 1 - cos x / x^2\n12. lim x -> 0 1 - cos x / x^2\n13. lim x -> 0 (x - 3) • cos πx.\n14. lim x -> 0 6x - sen 2x / 2x + 3 sen 4x.\n15. lim x -> 0 cos 2x + cos 3x / x^2\n16. lim x -> 0 1 - 2 cos x + cos 2x / x^2\n17. lim x -> 2 (2n + 3) / (2n + 1).\n18. lim x -> π/2 (1 + 1/tg x)^k.\n19. lim x -> 2 (1 + cos x) / (x - 2).\n20. lim x -> 1 (10 + x^3) / (4 - 3 + 3)\n21. lim x -> 2 x^2 - 1 / (x - 2).\n22. lim x -> 3 3^x - 1 / 3^3 - 1\n23. lim x -> 2 5^x - 25 / x - 2.\n24. lim x -> 1 sen 5(x - 1)^3.\n25. lim x -> 0 e^-ax - e^-bx / x.\n26. lim x -> 0 tg hax / x.\n27. lim x -> 0 sen ax - sen bx. Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\n\n3.18 Exercícios\n1. Investigue a continuidade nos pontos indicados:\n(a) f(x) = sen x / x, em x = 0.\n(b) f(x) = x - |x|, em x = 0.\n(c) f(x) = x^3 - 8 / x^2 - 4, em x = 2.\n(d) f(x) = 1 / sen 1/x, em x = 2.\n(e) f(x) = [x^2 sen 1/x, x # 0;\n0, x = 0, em x = 0.\n(f) f(x) = {1 - x^2, x < 1;\n-|x|, x > 1, em x = 1.\n(g) f(x) = {x^2 - 4 / x - 2, x # 2;\n0, x = 2, em x = 2.\n(h) f(x) = {x^2, x <= -1;\n1 - |x|, x < -1, em x = -1.\n(i) f(x) = x^2 - 3x + 7 / x^2 + 1, em x = 2.\n(j) f(x) = 2 / 3x^2 + x - 3, em x = -3.\n\n2. Determine, se existirem, os valores de x ∈ D(f), nos quais a função f(x) não é contínua.\n(a) f(x) = {x^2 - 1 / x^2 != 1;\n0, x = -1. (b) f(x) = \\frac{1 + \\cos x}{3 + \\sen x}\n(c) f(x) = \\frac{x - |x|}{x}\n(d) f(x) = \\begin{cases}\n\\sqrt{-x^2 + 5x + 6}, & x < -3 \\text{ e } x > -2 \\\\\n-1, & x = -3 \\ -3 \\leq x \\leq -2\n\\end{cases}\n(e) f(x) = \\begin{cases}\n1 - \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + 1}}, & x < 0 \\\\\n\\frac{1}{x^2 + 1}, & x \\geq 0\n\\end{cases}\n(f) f(x) = \\frac{2}{e^{-x}}\n(g) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}, & x \\neq 1 \\\\\n1, & x = 1\n\\end{cases}\n(h) f(x) = \\cos \\left(\\frac{x}{\\pi}\\right)\n\n3. \\text{Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:}\n(a) f(x) = \\begin{cases}\n0, & x \\leq 0 \\\\\nx, & x > 0\n\\end{cases}\n(b) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x^2 - 4}{x + 2}, & x \\neq -2 \\\\\n1, & x = -2\n\\end{cases}\n(c) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x}{|x|}, & x \\neq 0 \\\\\n-1, & x = 0\n\\end{cases}\n(d) f(x) = \\begin{cases}\\ln(x + 1), & x \\geq 0 \\\\\n-\\frac{1}{x}, & x < 0\n\\end{cases}\n(e) f(x) = \\frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 4x + 3}\n\n4. \\text{Calcule } p \\text{ de modo que as funções abaixo sejam contínuas.}\n(a) f(x) = \\frac{x^2 + px + 2}{3}, & x = 3\n(b) f(x) = \\frac{x + 2p}{p^2}, & x \\geq -1\n(c) f(x) = \\frac{x^2}{x \\neq 0}\n(d) f(x) = 2p - 7, & x = 0. 6. \\text{Prove que se } f(x) \\text{ e } g(x) \\text{ são contínuas em } x_0 = 3, \\text{ então também é } f + g \\text{ e } c f \\cdot g.\n7. \\text{Define funções } f, g \\text{ e } h \\text{ que satisfaçam:}\n(a) f \\text{ não é contínua em 2 pontos de seu domínio;}\n(b) g \\text{ e } h \\text{ continuam nos pontos de seu domínio mas não contínua em } \\mathbb{R};\n(c) h \\circ f \\text{ contínua em todos os pontos do domínio de } f.\n\\text{Faça o gráfico das funções } f, g, h \\text{ e } h \\circ f.\n8. \\text{Exemplo de duas funções } f \\text{ e } g \\text{ que não são contínuas no ponto } a = 0 \\text{ e tais que } h = f + g \\text{ é contínua neste ponto.}\n\\text{Faça o gráfico das funções } f, g \\text{ e } h. 9. \\text{Sejam } f_g \\text{ e } h \\text{ funções tais que, para todos } x, f(x) \\leq g(x) \\leq h(x). \\text{ Se } f \\text{ é contínua no ponto } x = a \\text{ e } g \text{ é contínua no ponto } a.\n10. \\text{Seja } A \\subseteq \\mathbb{R} \\text{ e } f : A \\to \\mathbb{R} \\text{ uma função definida no ponto } a. \\text{ Se } \\lim_{x \\to a} \\left(f(x) - f(a)\\right)/(x - a) = m, \\text{ prove que } f \\text{ é contínua no ponto } a.
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Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\nA Figura 3.10 ilustra a resolução desse exercício.\n\n3.6 Exercícios\n1. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n(f) lim f(x).\n2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n Intuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n3. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n(g) lim f(x).\n4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:\n Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\nIntuitivamente, encontre se existir:\n(a) lim f(x).\n(b) lim f(x).\n(c) lim f(x).\n(d) lim f(x).\n(e) lim f(x).\n6. Descrever analítica e graficamente uma função y = f(x) tal que lim f(x) não existe e lim f(x) existe.\n7. Definir uma função y = g(x) tal que lim x->2 = 4, mas g(x) não é definida em x = 2.\n8. Definir e fazer o gráfico de uma função y = h(x) tal que lim h(x) = 1 e lim h(x) = 2.\n9. Mostrar que existe o lim x->3 de f(x) = 4x - 5 em x = 3 e que é igual a 7.\n10. Mostrar que lim x->3 de f(x) = L. Determinar um número ε para δ dado tal que |f(x) - L| < ε sempre que 0 < |x - a| < δ. Dar exemplos de dois outros números positivos para δ, que também satisfazem a implicação dada.\n11. lim (2x + 4) = 8, ε = 0.01.\n12. lim (-3x + 7) = 10, ε = 0.5.\n13. lim x^2 - 4 = -4, ε = 0.1.\n14. lim 1/(2 - x) = -1, ε = 0.25.\n15. lim x^2 - 1/(x - 1) = 2, ε = 0.75.\n16. Fazer o gráfico das funções y = f(x) dadas, explorando diversas escalas para visualizar melhor o gráfico numa vizinhança da origem. Observando o gráfico, qual a sua conjectura sobre o lim f(x)? Comprove analiticamente se a sua conjectura é verdadeira. CAPÍTULO 3 Limite e continuidade 75\n\n(a) f(x) = sen 1\n\n(b) f(x) = xsen 1\n\n(c) f(x) = x²sen 1\n\n(d) f(x) = x³sen 1\n\n17. Mostrar que:\n\n(i) Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = f(a) para todo real a.\n\n(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g, então lim g(x) = g(a).\n\nCalcular os limites nos exercícios 18 a 37 usando as propriedades de Limites.\n\n18. lim (3 - 7x - 5x²).\n\n19. lim (3x² - 7x + 2).\n\n20. lim (x³ - 6x + 2).\n\n21. lim (2x + 7).\n\n22. lim [(x - 2)² . (x + 4)].\n\n23. lim (1 + x³)/(x + 2 - 1).\n\n24. lim (3x - 1).\n\n25. lim (t + 3)/(t + 2).\n\n26. lim (x² - 1)/(x - 1).\n\n27. lim (t² + 5t + 6)/(t + 2).\n\n28. lim (t² - 5t + 6)/(t - 2).\n\n29. lim (s + 4)/(2s).\n\n30. lim √(2x + 3).\n\n31. lim (3x + 2)²/³.\n\n32. lim 2x² - x/3x.\n\n33. lim √x - √2/(3x - 4).\n\n34. lim [2 sen x - cos x + cotg x].\n\n35. lim (e² + 4x).\n\n36. lim (2x + 3)¹/⁴.\n\n37. lim senh x/4. CAPÍTULO 3 Limite e continuidade 79\n\n3.8 Exercícios\n\n1. Seja f(x) = {x - 1, x ≤ 3\n {3x - 7, x > 3.\n\nCalcule:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n(f) lim f(x).\n\nEsboçar o gráfico de f(x).\n\n2. Seja h(x) = {x² - 2x + 1, x ≠ 3\n {0, x = 3.\n\nCalcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).\n\n3. Seja F(x) = |x - 4|. Calcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim F(x).\n\n(b) lim F(x).\n\n(c) lim F(x).\n\nEsboce o gráfico de F(x).\n\n4. Seja f(x) = 2 + 15x - 11. Calcule se existir:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\nEsboce o gráfico de f(x). Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração 80\n\n5. Seja g(x) = { |x - 3|, x ≠ 3\n {0, x = 3.\n\n(a) Esboce o gráfico de g(x).\n\n(b) Achar, se existirem lim g(x), lim g(x) e lim g(x).\n\n6. Seja h(x) = {x/|x|, x ≠ 0\n {0, se x = 0.\n\nMostrar que h(x) não tem limite no ponto 0.\n\n7. Determinar limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x → 0.\n\n8. Verifique se lim 1/(x + 1) existe.\n\n9. Seja f(x) = {1/x, x < 0\n {0, 0 ≤ x < 1\n {2, x = 1\n {x, x > 1.\n\nEsboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n(f) lim f(x).\n\n(g) lim f(x).\n\n(h) lim f(x).\n\n10. Seja F(x) = (x² - 25)/(x - 5).\n\nCalcule os limites indicados se existirem:\n\n(a) lim f(x).\n\n(b) lim f(x).\n\n(c) lim f(x).\n\n(d) lim f(x).\n\n(e) lim f(x).\n\n3.9 Cálculo de Limites\n\nAntes de apresentar os exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas.\n\nCostuma-se dizer que expressões indeterminadas são 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, 0^0, ∞^0, 1^∞. O que significam isto? x² + 3x - 10\n3x² - 5x - 2\n 2r² - 3r - 5\n2r - 5\n x² + (1 - a)x - a\nx - a\n lim \\frac{3x^5 - x^2 + 7}{2 - x} lim \\frac{5x^3 + 2}{7x^3 + 3} lim \\frac{x^2 + 3x}{x} Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\n\n(i) f(x) = e^x\n(j) f(x) = e^x - 1\n(k) f(x) = ln x\n(l) f(x) = tg x\n\n2. Constar, desenvolvendo exemplos graficamente, que as funções racionais do tipo f(x) = p(x) / q(x) com p(x) e q(x) polinômios, tais que a diferença entre o grau do numerador e o grau do denominador é igual 1, possuem assintotas inclinadas.\n\n3. Analisar graficamente a existência de assintotas para as seguintes funções:\n\n(a) f(x) = x^3 / e^x\n(b) f(x) = cos 2x / x^2\n(c) f(x) = tg x / x\n(d) f(x) = sen 7 / x\n(e) f(x) = sen 1 / 3x\n(f) f(x) = sen(x / 2) / x^2\n\nNos exercícios 5 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.\n\n5. lim x -> 0 sen 9x / x\n6. lim x -> 0 sen 4x / 3x CAPÍTULO 3 Limite e continuidade\n\n7. lim x -> 0 sen 10x / sen 7x\n8. lim x -> 0 sen ax / sen bx, b # 0.\n9. lim x -> 0 tg ax / x\n10. lim x -> 1 (x + 1 / (x + 1)^3)\n11. lim x -> 1 - cos x / x^2\n12. lim x -> 0 1 - cos x / x^2\n13. lim x -> 0 (x - 3) • cos πx.\n14. lim x -> 0 6x - sen 2x / 2x + 3 sen 4x.\n15. lim x -> 0 cos 2x + cos 3x / x^2\n16. lim x -> 0 1 - 2 cos x + cos 2x / x^2\n17. lim x -> 2 (2n + 3) / (2n + 1).\n18. lim x -> π/2 (1 + 1/tg x)^k.\n19. lim x -> 2 (1 + cos x) / (x - 2).\n20. lim x -> 1 (10 + x^3) / (4 - 3 + 3)\n21. lim x -> 2 x^2 - 1 / (x - 2).\n22. lim x -> 3 3^x - 1 / 3^3 - 1\n23. lim x -> 2 5^x - 25 / x - 2.\n24. lim x -> 1 sen 5(x - 1)^3.\n25. lim x -> 0 e^-ax - e^-bx / x.\n26. lim x -> 0 tg hax / x.\n27. lim x -> 0 sen ax - sen bx. Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração\n\n3.18 Exercícios\n1. Investigue a continuidade nos pontos indicados:\n(a) f(x) = sen x / x, em x = 0.\n(b) f(x) = x - |x|, em x = 0.\n(c) f(x) = x^3 - 8 / x^2 - 4, em x = 2.\n(d) f(x) = 1 / sen 1/x, em x = 2.\n(e) f(x) = [x^2 sen 1/x, x # 0;\n0, x = 0, em x = 0.\n(f) f(x) = {1 - x^2, x < 1;\n-|x|, x > 1, em x = 1.\n(g) f(x) = {x^2 - 4 / x - 2, x # 2;\n0, x = 2, em x = 2.\n(h) f(x) = {x^2, x <= -1;\n1 - |x|, x < -1, em x = -1.\n(i) f(x) = x^2 - 3x + 7 / x^2 + 1, em x = 2.\n(j) f(x) = 2 / 3x^2 + x - 3, em x = -3.\n\n2. Determine, se existirem, os valores de x ∈ D(f), nos quais a função f(x) não é contínua.\n(a) f(x) = {x^2 - 1 / x^2 != 1;\n0, x = -1. (b) f(x) = \\frac{1 + \\cos x}{3 + \\sen x}\n(c) f(x) = \\frac{x - |x|}{x}\n(d) f(x) = \\begin{cases}\n\\sqrt{-x^2 + 5x + 6}, & x < -3 \\text{ e } x > -2 \\\\\n-1, & x = -3 \\ -3 \\leq x \\leq -2\n\\end{cases}\n(e) f(x) = \\begin{cases}\n1 - \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + 1}}, & x < 0 \\\\\n\\frac{1}{x^2 + 1}, & x \\geq 0\n\\end{cases}\n(f) f(x) = \\frac{2}{e^{-x}}\n(g) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}, & x \\neq 1 \\\\\n1, & x = 1\n\\end{cases}\n(h) f(x) = \\cos \\left(\\frac{x}{\\pi}\\right)\n\n3. \\text{Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:}\n(a) f(x) = \\begin{cases}\n0, & x \\leq 0 \\\\\nx, & x > 0\n\\end{cases}\n(b) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x^2 - 4}{x + 2}, & x \\neq -2 \\\\\n1, & x = -2\n\\end{cases}\n(c) f(x) = \\begin{cases}\n\\frac{x}{|x|}, & x \\neq 0 \\\\\n-1, & x = 0\n\\end{cases}\n(d) f(x) = \\begin{cases}\\ln(x + 1), & x \\geq 0 \\\\\n-\\frac{1}{x}, & x < 0\n\\end{cases}\n(e) f(x) = \\frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 4x + 3}\n\n4. \\text{Calcule } p \\text{ de modo que as funções abaixo sejam contínuas.}\n(a) f(x) = \\frac{x^2 + px + 2}{3}, & x = 3\n(b) f(x) = \\frac{x + 2p}{p^2}, & x \\geq -1\n(c) f(x) = \\frac{x^2}{x \\neq 0}\n(d) f(x) = 2p - 7, & x = 0. 6. \\text{Prove que se } f(x) \\text{ e } g(x) \\text{ são contínuas em } x_0 = 3, \\text{ então também é } f + g \\text{ e } c f \\cdot g.\n7. \\text{Define funções } f, g \\text{ e } h \\text{ que satisfaçam:}\n(a) f \\text{ não é contínua em 2 pontos de seu domínio;}\n(b) g \\text{ e } h \\text{ continuam nos pontos de seu domínio mas não contínua em } \\mathbb{R};\n(c) h \\circ f \\text{ contínua em todos os pontos do domínio de } f.\n\\text{Faça o gráfico das funções } f, g, h \\text{ e } h \\circ f.\n8. \\text{Exemplo de duas funções } f \\text{ e } g \\text{ que não são contínuas no ponto } a = 0 \\text{ e tais que } h = f + g \\text{ é contínua neste ponto.}\n\\text{Faça o gráfico das funções } f, g \\text{ e } h. 9. \\text{Sejam } f_g \\text{ e } h \\text{ funções tais que, para todos } x, f(x) \\leq g(x) \\leq h(x). \\text{ Se } f \\text{ é contínua no ponto } x = a \\text{ e } g \text{ é contínua no ponto } a.\n10. \\text{Seja } A \\subseteq \\mathbb{R} \\text{ e } f : A \\to \\mathbb{R} \\text{ uma função definida no ponto } a. \\text{ Se } \\lim_{x \\to a} \\left(f(x) - f(a)\\right)/(x - a) = m, \\text{ prove que } f \\text{ é contínua no ponto } a.