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Engenharia de Controle e Automação ·
Álgebra Linear
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0.2 ATLAS 2\n\n7. Considere o paralelogramo EÔAIC. Mostre que o paralelogramo A tem largura se, e somente se, as diagonais do paralelogramo são ortogonais.\n\n8. Determine um vetor que tenha o mesmo sentido de e = (x1, y1) e cuja norma seja igual a 1; denote esse vetor de e' e vetor normalizado de e. Qual o vetor normalizado de e = (-1, 1)?\n\n0.2 Aulas 2:\nRetas e suas equações paramétricas e algébricas, circunferências.\n\n1 Problemas resolvidos:\nExemplos:\n(Ex.1) Dados dois pontos do plano A = (-1, -2) e B = (1, 2), (a) Determine sua equação paramétrica para a reta que passa por esses pontos; (b) Determine uma equação algébrica para a mesma reta.\n(Ex.2) Para o segmento AB, onde A = (1, -4) e B = (3, 2), determine:\n\n(b) a equação algébrica da reta que passa pelo ponto médio e tem a direção dada por v = (-1, 2);\n(b) o ângulo formado pelos reti na mesma AB.\n(Ex.3) Determine a relação entre as variáveis e as condições de modo que o ponto P = (x,y) seja equidistante do ponto F = (0, 1/4) e a reta r = y = -1/4.\n\nd(P,r) = |ax + by + c|\n√(a² + b²)\n\nResoluções:\n(Ex.1)\n\nA equação paramétrica da reta r é obtida escolhendo o ponto N = A e o vetor diretor da reta como sendo e = AB = B - A = (2, 4); já para a equação algébrica, o vetor N = AB = (-2, 4) é o vetor ortogonal à reta r.\nAssim, (a) a equação paramétrica é\n\nP = P0 + t e,\nonde P0 = (x0, y0).\n\nO que resulta na equação (x, y) = (1, -2) + t{2, 4}, ou seja r = (1 - 2, -2).\n(b) a equação algébrica\n\nP = (x, y); R = (x,y).\n\no que resulta na equação (1 - 10) + 2y = 0, ou seja (x - 1) + 2y = 0, qu,\ne finalmente escrita como a equação y = -1/2x + 2, onde, x + y = 2.\n(Ex.2) (a) A equação algébrica da reta é obtida como os pontos P = (x, y) ∈ R2 tais que M = (x - k1, y - k2) = 0, sendo N o vetor ortogonal à reta.\nO ponto médio de A = B e M = (x + B)/2. Assim\nM = [(−1 + 2)/2, (−1 + 1)/2] = (1/2, 0).\n\nOu seja, a equação da reta é:\n\nr: y = 2x + y = 0\n\n(b) O ângulo formado pela reta é o segmento 7B é igual ao ângulo entre o vetor diretor da reta, N e o vetor MF.\n\nMB = B - M = (3, 2) - (−2, −1) = (1, 3)\n\nco tang (1) = MB * 7B / MB = |1/√2|\ncont (1) = (2, 11/(√(2), 33√2)−). \n\nA condição para o ponto\nC = (P = (x, y), d(P, F) = d(P, R)).\n\nresulta na equação:\nC = (y - k2) = -4.\nAssim, elevando ambos os membros da equação obtida e realizando a simplificação, obtem-se a eqç. y = x2 e uma Parábola.\n\nProblemas propostos:\nExercícios.\n1. Determine as equações algébrica e paramétrica da reta que passa por P1 = (−2, -3) e tem direção dada pelo vetor v = (1, 2).\n2. Determine as equações algébrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos A = (−2, −1) e B = (1, 3).\n3. Determine a equação algébrica da circunferência de centro C = (1, 2) e raio igual a 3. Lembre-se que a definição de uma circunferência de centro C = (h, k) é dado r2 = (x − h)2 + (y − k)2.\n\nC = (P = (x, y); [C(F)] = r2 | ou seja, (√(x - h)² + (y - k)²) = r. 6. (a) Dados dois pontos do R2, A e B, determine C no segmento de reta que liga A a B que seja equidistante A a B.\n(b) Determine o ponto médio entre A = (−1, 3) e B = (−2, 4).\n(c) Determine a equação (paramétrica ou algébrica) da reta que passa pelo ponto médio de A = (1, 3) e R = (−4, 4), e que seja ortogonal ao segmento de reta AB.\n6. Considere a reta r: 2x − y = 0 e o ponto P0 = (3, 1). (a) Calcule a distância de P0 à r. (b) Determine a equação algébrica das retas r0 que passa por P0 e é ortogonal a r. (c) Determine a equação da circunferência tangente à reta r e ao centro P0.\n\n7. Estabeleça um critério para duas retas r e s serem paralelas, coincidentes, e concorrentes. Use esse critério para decidir o que ocorre com os seguintes pares de retas:\n(a) r1: 2x - 3y = 6; s: 4x - 2y = 2.\n(b) r2: 2x - 3y = 4; s: 4x - 2y = 2.\n(c) r3: 2x - 3y + 1 = 0; s: 2x - y = 2.
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0.2 ATLAS 2\n\n7. Considere o paralelogramo EÔAIC. Mostre que o paralelogramo A tem largura se, e somente se, as diagonais do paralelogramo são ortogonais.\n\n8. Determine um vetor que tenha o mesmo sentido de e = (x1, y1) e cuja norma seja igual a 1; denote esse vetor de e' e vetor normalizado de e. Qual o vetor normalizado de e = (-1, 1)?\n\n0.2 Aulas 2:\nRetas e suas equações paramétricas e algébricas, circunferências.\n\n1 Problemas resolvidos:\nExemplos:\n(Ex.1) Dados dois pontos do plano A = (-1, -2) e B = (1, 2), (a) Determine sua equação paramétrica para a reta que passa por esses pontos; (b) Determine uma equação algébrica para a mesma reta.\n(Ex.2) Para o segmento AB, onde A = (1, -4) e B = (3, 2), determine:\n\n(b) a equação algébrica da reta que passa pelo ponto médio e tem a direção dada por v = (-1, 2);\n(b) o ângulo formado pelos reti na mesma AB.\n(Ex.3) Determine a relação entre as variáveis e as condições de modo que o ponto P = (x,y) seja equidistante do ponto F = (0, 1/4) e a reta r = y = -1/4.\n\nd(P,r) = |ax + by + c|\n√(a² + b²)\n\nResoluções:\n(Ex.1)\n\nA equação paramétrica da reta r é obtida escolhendo o ponto N = A e o vetor diretor da reta como sendo e = AB = B - A = (2, 4); já para a equação algébrica, o vetor N = AB = (-2, 4) é o vetor ortogonal à reta r.\nAssim, (a) a equação paramétrica é\n\nP = P0 + t e,\nonde P0 = (x0, y0).\n\nO que resulta na equação (x, y) = (1, -2) + t{2, 4}, ou seja r = (1 - 2, -2).\n(b) a equação algébrica\n\nP = (x, y); R = (x,y).\n\no que resulta na equação (1 - 10) + 2y = 0, ou seja (x - 1) + 2y = 0, qu,\ne finalmente escrita como a equação y = -1/2x + 2, onde, x + y = 2.\n(Ex.2) (a) A equação algébrica da reta é obtida como os pontos P = (x, y) ∈ R2 tais que M = (x - k1, y - k2) = 0, sendo N o vetor ortogonal à reta.\nO ponto médio de A = B e M = (x + B)/2. Assim\nM = [(−1 + 2)/2, (−1 + 1)/2] = (1/2, 0).\n\nOu seja, a equação da reta é:\n\nr: y = 2x + y = 0\n\n(b) O ângulo formado pela reta é o segmento 7B é igual ao ângulo entre o vetor diretor da reta, N e o vetor MF.\n\nMB = B - M = (3, 2) - (−2, −1) = (1, 3)\n\nco tang (1) = MB * 7B / MB = |1/√2|\ncont (1) = (2, 11/(√(2), 33√2)−). \n\nA condição para o ponto\nC = (P = (x, y), d(P, F) = d(P, R)).\n\nresulta na equação:\nC = (y - k2) = -4.\nAssim, elevando ambos os membros da equação obtida e realizando a simplificação, obtem-se a eqç. y = x2 e uma Parábola.\n\nProblemas propostos:\nExercícios.\n1. Determine as equações algébrica e paramétrica da reta que passa por P1 = (−2, -3) e tem direção dada pelo vetor v = (1, 2).\n2. Determine as equações algébrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos A = (−2, −1) e B = (1, 3).\n3. Determine a equação algébrica da circunferência de centro C = (1, 2) e raio igual a 3. Lembre-se que a definição de uma circunferência de centro C = (h, k) é dado r2 = (x − h)2 + (y − k)2.\n\nC = (P = (x, y); [C(F)] = r2 | ou seja, (√(x - h)² + (y - k)²) = r. 6. (a) Dados dois pontos do R2, A e B, determine C no segmento de reta que liga A a B que seja equidistante A a B.\n(b) Determine o ponto médio entre A = (−1, 3) e B = (−2, 4).\n(c) Determine a equação (paramétrica ou algébrica) da reta que passa pelo ponto médio de A = (1, 3) e R = (−4, 4), e que seja ortogonal ao segmento de reta AB.\n6. Considere a reta r: 2x − y = 0 e o ponto P0 = (3, 1). (a) Calcule a distância de P0 à r. (b) Determine a equação algébrica das retas r0 que passa por P0 e é ortogonal a r. (c) Determine a equação da circunferência tangente à reta r e ao centro P0.\n\n7. Estabeleça um critério para duas retas r e s serem paralelas, coincidentes, e concorrentes. Use esse critério para decidir o que ocorre com os seguintes pares de retas:\n(a) r1: 2x - 3y = 6; s: 4x - 2y = 2.\n(b) r2: 2x - 3y = 4; s: 4x - 2y = 2.\n(c) r3: 2x - 3y + 1 = 0; s: 2x - y = 2.