Transformadores 2

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CCGELE Coordenação de Engenharia Elétrica Conversão de Energia 1 20241 Atividade 2 Professor Julio Cesar Ferreira 1 Faça os exercícios das páginas 111 e 112 do livro Conversão de Energia disponível na biblioteca virtual do CEFETRJ httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao199239pdf98 2 A Figura 1 mostra uma máquina linear CC com uma tensão de bateria de 120 V uma resistência interna de 03 e uma densidade de fluxo magnético de 01 T 1 Figura 1 Máquina linear CC a Qual é a corrente máxima de partida dessa máquina Qual é a sua velocidade de regime permanente sem carga b Suponha que uma força de 30 N apontando para a direita fosse aplicada à barra Qual seria a velocidade de regime permanente Quanta potência a barra estaria produzindo ou consumindo Quanta potência a bateria estaria produzindo ou consumindo Explique a diferença entre esses dois últimos valores numéricos Essa máquina estaria funcionando como motor ou como gerador 1 Exercício baseado no exemplo 110 do livro Fundamentos de Máquinas Elétricas Stephen J Chapman c Agora suponha que uma força de 30N apontando para a esquerda fosse aplicada à barra Qual seria a nova velocidade de regime permanente Essa máquina seria um motor ou um gerador d Suponha que uma força apontando para a esquerda seja aplicada à barra Calcule a velocidade da barra em função da força para valores de 0 N a 50 N indo em passos de 10 N Faça um gráfico da velocidade da barra versus a força aplicada e Assuma que a barra esteja sem carga e que repentinamente entre em uma região onde o campo magnético está enfraquecido tendo o valor de 008 T Com que velocidade a barra se deslocará f Qual a solução caso seja necessário reduzir a corrente apenas na partida para 10 do valor uma redução de 90 Dada a expressão para a corrente i em função de λ e x E os valores dados a Energia Armazenada no Campo de Acoplamento A energia armazenada no campo de acoplamento magnético é dada por λ 3 20 Agora podemos calcular a indutância 3 2 004 0 064 𝐻 Agora substituindo os valores conhecidos na fórmula da energia armazenada 0128 J 𝑈 1 2 0 064 2 2 b Co Energia Armazenada no Campo de Acoplamento A coenergia armazenada no campo de acoplamento magnético é dada por 00082J 𝑊 1 2 3 20 2 0 04 2 A força eletromagnética pode ser obtida como a derivada parcial da coenergia em relação à posição 𝐹 3 2 2 0 04 0 41 é dirigida em direção oposta ao aumento da distância x a Energia armazenada no núcleo de ferro em mJ 1 Cálculo da indutância do núcleo Usando a lei de Faraday a força eletromotriz FEM induzida na bobina é dada por 𝐹𝐸𝑀 𝑁 𝑑Φ𝑑𝑡 Onde N número de espiras da bobina 250 Φ fluxo magnético através do núcleo A taxa de variação do fluxo magnético pode ser expressa como 𝑑Φ𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝐻𝑑𝑡 Onde A área do núcleo 4 cm2 4 104 m2 H intensidade do campo magnético no núcleo 700 Am A relação entre B e H no núcleo de ferro é aproximadamente linear até B 1 T 𝐵 µ₀ µᵣ 𝐻 Onde μ₀ permeabilidade magnética do vácuo 4π 107 Hm μᵣ permeabilidade relativa do núcleo de ferro aproximadamente 2000 para aço fundido Substituindo as equações acima obtemos 𝐹𝐸𝑀 𝑁 𝐴 µ₀ µᵣ 𝑑𝐻𝑑𝑡 A FEM na bobina é igual à tensão aplicada 30 V 30 𝑉 𝑁 𝐴 µ₀ µᵣ 𝑑𝐻𝑑𝑡 Isolando a indutância L da bobina 𝐿 𝑁 𝐴 µ₀ µᵣ 𝑅 Onde R resistência da bobina 2 Ω Substituindo os valores 𝐿 250 4 10 4 4π 10 7 2000 2 𝐿 3 14 𝑚𝐻 Cálculo da energia armazenada no núcleo A energia armazenada no núcleo de ferro W é dada por 𝑊 12 𝑉 𝐵 Onde V volume do núcleo altura área comprimento B intensidade do campo magnético no núcleo 1 T Substituindo os valores 𝑊 12 0 05 4 10 4 0 16 1 103 𝑊 4 0 𝑚𝐽 b Energia armazenada no gap em mJ 1 Cálculo da indutância do gap A indutância do gap Lg pode ser aproximada por 𝐿𝑔 µ₀ 𝑙 𝑔 Onde l comprimento do gap 5 mm 5 103 m Substituindo os valores 𝐿𝑔 4π 10 7 0 005 0 0005 𝐿𝑔 2 513 𝑚𝐻 Cálculo da energia armazenada no gap A energia armazenada no gap Wg é dada por 𝑊𝑔 12 𝐿𝑔 𝐼2 Onde I corrente na bobina pode ser calculada usando a lei de Ohm I V R Substituindo os valores 𝐼 30 𝑉 2 Ω 15 𝐴 𝑊𝑔 12 2 513 10 3 152 𝑊𝑔 1 13 𝑚𝐽 c Indutância da bobina em mH A indutância total da bobina Ltotal é a soma da indutância do núcleo Ln e da indutância do gap Lg 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐿𝑛 𝐿𝑔 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐿𝑛 𝐿𝑔 3 14 𝑚𝐻 2 513 𝑚𝐻 𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 5 65 𝑚𝐻 Para resolver este problema podemos usar a lei de Ampère para encontrar a força eletromagnética e as relações de tensão corrente e resistência para encontrar a corrente na bobina Vamos resolver cada parte do problema a Para calcular a força eletromagnética podemos usar a lei de Ampère que diz que a força por unidade de comprimento 𝐹 em uma bobina é dada por Onde N é o número de espiras l é o comprimento do gap Substituindo os valores obtemos Agora podemos calcular a força F 3772 2 x 4π x 107 x 00049 F 1753 kN b Para encontrar a corrente na bobina quando a tensão aplicada é 120 V rms podemos usar a relação Vrms Irms x R onde Vrms é a tensão rms Irms é a corrente rms e R é a resistência Como a tensão é 120 V rms e a resistência é 8 ohms temos 120 Irms x 8 Irms 120 8 15 A c Para calcular a força média podemos usar a relação Fmédia B x Irms x A onde A é a área do gap Substituindo os valores temos Fmédia 377 x 15 x 00049 Fmédia 0279 N Para resolver esses problemas precisamos usar as equações do conversor em rotação Dadas as condições fornecidas podemos calcular as indutâncias de eixo direto e em quadratura da bobina 1 e em seguida usar esses valores para encontrar o conjugado eletromagnético a Para calcular a indutância de eixo direto Ld podemos usar a seguinte fórmula c precisamos calcular o conjugado eletromagnético Podemos usar a fórmula a Para calcular a indutância mútua máxima entre as bobinas em mH podemos usar a fórmula Lm 2 π μ0 N1 N2 g A Onde Lm Indutância mútua em Henry H N1 Número de espiras na bobina do estator N2 Número de espiras na bobina do rotor μ0 Permeabilidade magnética do vácuo 4π x 107 Hm g Entreferro entre o estator e o rotor em metros A Área da superfície do rotor em metros quadrados Substituindo os valores na fórmula N1 200 espiras informação fornecida anteriormente N2 100 espiras informação fornecida anteriormente μ0 4π x 107 Hm permeabilidade magnética do vácuo valor constante g 1 MH1 entreferro entre o estator e o rotor valor fornecido anteriormente A 0012566 m² área da superfície do rotor valor calculado anteriormente Lm 2 π 4π x 107 Hm 200 espiras 100 espiras 1 MH1 0012566 m² Lm 03142 H b Para calcular o conjugado quando 𝜃10 podemos usar a fórmula N1 e N2 Número de voltas espiras nas bobinas do estator e do rotor respectivamente I1 e I2 Correntes fluindo nas bobinas do estator e do rotor respectivamente μ0 Permeabilidade magnética do vácuo valor constante A Área da superfície do rotor θ Posição angular do rotor relativa ao estator senθ Considera a variação do torque dependendo da posição angular do rotor Substituindo os valores conhecidos T 200 turns 100 turns 50 A 10 A 4π 107 Hm 0012566 m² sin10 𝑇 25 132 10 3 𝑁𝑚 Antes da máquina partir a barra está parada portanto pode se concluir então que 𝑣 0 𝑚𝑠 εind 0 volts Então I V εind R I 120 0 03 400 A Sabemos que quando a barra atinge o regime permanente a força líquida sobre ela é nula Quando isso ocorre a tensão induzida na barra será igual a tensão da fonte reduzindo a corrente que circula pelo circuito a zero Então como e usando a eq ε𝑖𝑛𝑑 𝑉 120 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 v εind B L v 120 01 x 10 120ms Aplicando uma força de 30 N apontando para a direita sobre a barra o regime permanente será alcançado quando a força induzida Find for igual e oposta à força aplicada Assim a força total que atua sobre a barra é nula I Find B L 30 01 x 10 30 A Neste caso a corrente está fluindo para cima na barra pois a força induzida está apontando para a esquerda Assim usando a regra da mão direita concluímos que a corrente flui para cima Agora necessitamos calcular qual a tensão induzida na barra Ela é dada por εind V R I 120 03 x 30 129 V Com esses dados podemos calcular a velocidade de deslocamento da barra ou v εind B L 129 01 x 10 129 ms Como a corrente flui para cima na barra ou seja a corrente sai pelo positivo da tensão induzida então a barra está produzindo potência da ordem de P εind I 129 x 30 3870 W Note o sinal negativo da potência indicando que a barra está fornecendo potência ao circuito conforme a convenção adotada Na fonte de tensão que alimenta o circuito a corrente entra no polo positivo da fonte Desta forma a fonte está consumindo potência fornecida pela barra Seu valor é P V I 120 x 30 3600 W Observe que existe uma diferença entre a potência produzida pela barra e a potência consumida pela fonte Isto devido à presença do resistor R que dissipa uma potência de P R I2 03 x 302 270 W Sabemos que pelo teorema da conservação da energia a soma algébrica das potências deve ser igual a zero Assim P 3870 3600 270 0 W Devemos salientar que como a barra está produzindo potência então essa máquina está operando como gerador Nova Velocidade de Regime Permanente Ao aplicar uma força de 30 N para a esquerda a velocidade de regime permanente da barra será 129 ms ou seja na direção oposta à força aplicada Explicação 1 Força Induzida A força induzida Find agora estará apontando para a direita buscando se opor à força aplicada Essa força é calculada da mesma maneira anterior I Find B L 30 01 10 30 A 2 Direção da Corrente A corrente agora fluirá para baixo na barra de acordo com a regra da mão direita 3 Tensão Induzida A tensão induzida εind na barra deve ser 4 Velocidade de Regime Permanente A velocidade de regime permanente v é calculada da mesma maneira v εind B L 111 01 10 111 ms Agora essa máquina atua como motor convertendo energia da bateria em energia mecânica de movimento na barra Máquina como Motor ou Gerador Com a força de 30 N para a esquerda a máquina está funcionando como um motor A barra absorve energia do circuito para gerar movimento consumindo potência Análise da Velocidade da Barra em Função da Força Aplicada 0 N a 50 N Dados do Problema Força aplicada F variando de 0 N a 50 N em passos de 10 N Direção da força para a esquerda inverte a análise anterior Campo magnético B 01 T Comprimento da barra L 10 m Resistência do circuito R 03 Ω Tensão da fonte V 120 V Cálculo da Velocidade da Barra Para cada valor de força aplicada F seguiremos os passos 1 Força Induzida Find Find F B L 2 Direção da Corrente A corrente fluirá para baixo na barra regra da mão direita 3 Tensão Induzida εind εind V R I onde I Find B L 4 Velocidade da Barra v v εind B L montando a tabela de resultado temos assim podemos montar o gráfico Se a barra estiver inicialmente sem carga então eind VB Se a barra atingir repentinamente uma região de campo magnético mais fraco ocorrerá um transitório Contudo tão logo o transitório tenha passado eind irá igualar novamente VB Esse fato pode ser usado para determinar a velocidade final da barra A velocidade inicial era de 120 ms A velocidade final é Assim quando o fluxo enfraquece no motor linear a velocidade da barra aumenta O mesmo comportamento ocorre em motores CC reais quando o fluxo de campo de um motor CC enfraquece ele gira mais rapidamente Aqui novamente a máquina linear comportase de modo muito similar a um motor CC real Se for necessário reduzir a corrente apenas na partida para 10 do seu valor normal uma redução de 90 isso pode ser alcançado através do uso de um resistor em série com a barra durante a partidaresistor de partida Este resistor adicional limitará a corrente na partida e pode ser posteriormente bypassado quando a barra estiver em regime permanente Para reduzir a corrente para 10 do valor normal podemos usar a fórmula da lei de Ohm