Pré-Cálculo para Engenharia: Equações e Simetria de Retas

1 de 4 OS 05 PréCálculo para Engenharia Nestas orientações voltaremos a falar de simetria em relação a uma reta Para isso vamos retomar alguns pontos importantes sobre as retas 1 Equação da reta A Aula 10 relembra propriedades da Geometria que são fundamentais tanto para o traçado de retas quanto para a determinação de sua equação Como para traçar uma reta bastam dois pontos então conhecendo a sua equação é fácil traçar a reta determinar dois pontos marcar no plano traçar a reta a partir dos pontos A determinação dos dois pontos se dá pela escolha de dois valores para por exemplo e o cálculo dos valores das ordenadas correspondentes a partir da fórmula dada pela equação da reta Exemplo 51 Se é a equação de uma reta então para determinar dois pontos escolhese dois valores para Por exemplo e Agora substituindo esses dois valores na equação é possível determinar as ordenadas correspondentes Ponto Figura 1 Pontos marcados Figura 2 Reta traçada a partir dos pontos O contrário ou seja a partir da representação gráfica ou conhecendose dois pontos determinar a equação da reta já não é tão simples assim Não é tão simples mas também não é impossível Como fazer então Vejamos OS 05 PréCálculo para Engenharia 2 de 8 Você deve ter reparado que assim como na Aula 8 a trigonometria é usada E observar a situação a partir de um desenho pode ajudar e muito Para as equações da reta a razão trigonométrica interessante é a tangente Há uma explicação matemática para esse fato mas você não precisa se preocupar em reproduzila Contudo é sempre interessante entender Na Aula 10 uma explicação é feita O fato é que a inclinação da reta está associada à tangente do ângulo que a reta faz com a parte positiva do Eixo X Na Figura 3 está representado um caso particular Para uma reta decrescente isto é que faz um ângulo maior do que com a parte positiva do Eixo X um raciocínio análogo pode ser feito Figura 3 Inclinação da Reta Da trigonometria sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente Assim dados dois pontos quaisquer e de uma reta a sua inclinação ou coeficiente angular é dada por Para determinar a equação de uma reta duas informações sobre ela são necessárias Essas informações podem ser por exemplo dois de seus pontos ou um ponto e o seu coeficiente angular Já sabemos como determinar o coeficiente a partir de dois pontos Agora precisamos entender como essa informação juntamente com um ponto permite a escrita de uma equação Mas isso foi feito na aula No quadro a seguir você encontra um resumo OS 05 PréCálculo para Engenharia 3 de 8 Se os pontos e definem uma reta não horizontal e não vertical então é a inclinação de e é a sua equação Repare que na equação que define a reta e são as coordenadas do ponto Mas você poderia usar as coordenadas de qualquer ponto que pertença à reta 11 Outras maneiras de representar a equação de uma reta Em Matemática é comum um mesmo objeto ser representado de mais de uma maneira Cabe a nós percebermos qual a representação mais adequadaideal em cada situação Por isso é tão importante saber diversas maneiras de representar um mesmo objeto Para começar a entender a diversidade de representações é interessante entender o que a equação representa a equação é uma forma de indicar todos os pontos que compõem a reta sem a necessidade de listálos até mesmo porque listar seria impossível Formas de representar a equação de uma reta Exemplo 52 Determinar a equação de reta que passa pelos pontos e Como sabemos que os pontos pertencem à reta então substituindo os valores na equação obtemos um sistema com duas incógnitas e e duas equações Resolvendo o sistema Igualando as equações Agora substituindo em qualquer uma das equações do sistema encontramos o valor de OS 05 PréCálculo para Engenharia 4 de 8 Logo a equação de reta que passa pelos pontos e é Observação O sistema pode ser resolvido como você preferir Para resolver utilizamos a equação na forma tente fazer usando a equação na forma com Compare com a equação encontrada anteriormente Como dito na Aula 11 a equação com tais que e não se anulem simultaneamente é a equação geral da reta Repare que as outras duas outras maneiras de representar uma reta evidenciam o coeficiente angular mas retas verticais não possuem esse coeficiente Pense nesse coeficiente como a tangente de um ângulo é possível calcular a tangente de um ângulo de Se preferir considere que é o que caracteriza uma reta vertical ou seja todos os pontos têm a mesma abscissa na fórmula que dá a inclinação da reta Por isso a equação geral é interessante uma vez que ela representa todas as retas verticais horizontais e inclinadas A seguir teceremos algumas observações sobre a inclinação das retas 12 O coeficiente angular de uma reta Observe as retas e representadas a seguir Figura 4 Comparando a inclinação de retas Repare que quanto maior o coeficiente da variável mais íngreme fica a reta Observemos um exemplo numérico no qual calculamos a ordenada nas três retas para uma mesma abscissa 1 de 4 Figura 5 Comparando a inclinação de retas com pontos Na tabela é possível observar que considerando um mesmo valor para abscissa os valores das ordenadas ficam maiores quanto maior é o coeficiente da variável Observe na Figura 5 os pontos marcados nos gráficos das três retas Uma outra observação importante de ser feita com relação ao coeficiente que da variável é entender o que acontece na reta quando ele muda de sinal Na Figura 6 estão traçadas as retas e Figura 6 Retas y x e y x Você deve ter notado que as retas são perpendiculares na próxima seção veremos uma relação entre os coeficientes de retas perpendiculares Por ora o que gostaríamos que notasse é que a reta é crescente enquanto a reta é decrescente É possível provar que retas crescentes estão associadas a equações cuja inclinação é positiva e as retas decrescentes a equações cuja inclinação é negativa Essa informação pode ser utilizada quando você estiver traçando as retas confira se os dados da equação estão de acordo com o que você traçou Para tanto pense na equação escrita de tal maneira que a inclinação esteja evidente isto é OS 05 PréCálculo para Engenharia 6 de 8 Observação também tem a inclinação evidente mas ainda é possível ajeitá la fazendo a distributiva 2 Relação entre os coeficientes de retas perpendiculares Nos comentários a seguir consideraremos as retas representadas por equações na forma com 21 Retas paralelas Como a inclinação de retas paralelas é a mesma o coeficiente da variável deve ser o mesmo é paralela a se e somente se 22 Retas perpendiculares É possível provar que dado o coeficiente da variável de uma reta o coeficiente da variável de uma reta perpendicular a ela é o seu simétrico inverso é perpendicular a se e somente se Exemplo 53 Determinar a equação da reta que passa pela origem e é paralela à reta determinada pelos pontos e Repare que não é preciso determinar a reta que passa por e basta determinar a sua inclinação Como a reta passa pela origem então a sua equação é Exemplo 54 Determinar a reta perpendicular à reta de equação no seu ponto de abscissa igual a 5 Primeiramente vamos determinar o ponto Agora é preciso reescrever a equação na forma para podermos determinar o coeficiente da variável da reta procurada OS 05 PréCálculo para Engenharia 7 de 8 Logo o coeficiente da variável da reta procurada é Ou seja a reta tem equação Para determinar o valor de substituímos o ponto na equação Portanto a equação é 3 Simetria em relação à bissetriz dos quadrantes impares A bissetriz dos quadrantes impares é a reta Assim como na semelhança em relação aos eixos coordenados agora a reta faz o papel de espelho Observe a Figura 7 Figura 7 Simetria em relação à reta y x Repare que a distância do ponto à reta é a mesma do ponto à reta Como indicado na Figura 7 pontos simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares têm as coordenadas trocadas Provase utilizando o fato de a reta que contém os pontos e ser perpendicular à reta Exemplo 55 Determinar a reta que é perpendicular à reta e passa pelo ponto simétrico de à em relação à bissetriz dos Quadrantes I e III Primeiramente vamos determinar o ponto como é o simétrico de em relação à reta então basta trocar as coordenadas Logo o ponto é Para determinar a reta precisamos da inclinação Para tanto precisamos da equação escrita na forma Logo a inclinação da reta procurada é Assim já temos Para determinar usaremos o ponto OS 05 PréCálculo para Engenharia 8 de 8 Portanto a reta é ou Quando estudarmos as funções inversas a noção de simetria em relação à bissetriz dos Quadrantes I e III será importante Para terminar estas orientações veja como a matemática particularmente as equações das retas pode ser útil na Contabilidade por exemplo Exemplo 56 Uma empresa investe R1 80000 em equipamentos O contador da empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos que é a estimativa de vida do equipamento Neste método o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante de tal forma que ao fim dos 10 anos o valor contábil será zero Suponhamos que o valor contábil do equipamento seja y ao fim de x anos Assim quando e quando O gráfico que dá a relação entre e é o segmento de reta no primeiro quadrante que une os pontos e Sendo a inclinação da reta então e a equação da reta é dada por com Conhecendo essa equação o contador pode fazer qualquer previsão para o valor contábil do equipamento no intervalo dos 10 anos Terminamos assim as orientações desta semana Bons estudos Ligue escreva compareça