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Cálculo Numérico Prof Washington S da Silva CEFET RJ UnED Itaguaí Itaguaí 20201 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 1 99 Bibliografia básica CÁLCULO NUMÉRICO ASPECTOS TEÓRICOS E COMPUTACIONAIS 2a Edição Márcia A Gomes Ruggiero Vera Lúcia da Rocha Lopes Departamento de Matemática Aplicada IMECC UNICAMP Makron Books Pearson São Paulo Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 2 99 Interpolação Polinomial Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 3 99 Interpolação Polinomial Introdução Introdução A aproximação de funções por polinômios é uma das idéias mais antigas da análise numérica e ainda uma das mais usadas Os polinômios são facilmente computáveis suas derivadas e integrais são novamente polinômios suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade etc A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja obtida de vários modos entre os quais podemos citar Interpolação Método dos Mínimos Quadrados etc portanto é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 4 99 Interpolação Polinomial Introdução Introdução Os Métodos de Interpolação Polinomial são usados como uma aproximação para uma função f x principalmente nas seguintes situações 1 não conhecemos a expressão analítica de f x isto é sabemos apenas seu valor em alguns pontos x0 x1 x2 esta situação ocorre muito frequentemente na prática quando se trabalha com dados experimentais e necessitamos manipular f x como por exemplo calcular seu valor num ponto sua integral num determinado intervalo etc 2 f x é extremamente complicada e de difícil manejo Então às vezes é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos cálculos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 5 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em dados n 1 números ou pontos distintos reais ou complexos x0 x1 xn e n 1 números reais ou complexos y0 y1 yn números estes que em geral são n 1 valores de uma função y f x em x0 x1 xn determinarse um polinômio Pnx de grau no máximo n tal que Pnx0 y0 Pnx1 y1 Pnxn yn Tal polinômio existe e é único na hipótese de que os pontos x0 x1 xn sejam distintos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 6 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Teorema Dados n 1 pontos distintos x0 x1 xn reais ou complexos e n 1 valores y0 y1 yn existe um e só um polinômio Pnx de grau menor ou igual a n tal que Pnxk yk k 0 1 n 1 Definição Chamase polinômio de interpolação de uma função y f x sobre um conjunto de pontos distintos x0 x1 xn ao polinômio de grau no máximo n que coincide com f x em x0 x1 xn Tal polinômio será designado por Pnx Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 7 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Exemplo Dados os pares de pontos 1 15 0 8 3 1 determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pares de pontos Como n 2 devemos determinar P2x a0 a1x a2x2 tal que P2xk yk k 0 1 2 Resposta P2x 8 6x x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 8 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Observações 1 Observe que nos pontos tabelados o valor do polinômio encontrado e o valor da função devem coincidir Se os valores forem diferentes você terá cometido erros de cálculo 2 A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de sistemas é muito trabalhosa além de poder ocorrer erros de arredondamento fazendo com que a solução obtida seja irreal Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 9 99 Formula de Lagrange Sejam xo X1Xq 2 1 pontos distintos Consideremos para k 01n os seguintes polindmios Ly x de grau n Lyx x x0 X Xk1 Xk XK Xn 2 Xk X0 Xk Xk1X Xk41 Xk Xn Observe que J 0 kFi tes P52 3 a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 10 99 Formula de Lagrange Para valores dados fo fxo fi fx1 fp fxn de uma fundo y fx 0 polindmio n Px So fil x 4 k0 é de grau no maximo ne em vista de 3 satisfaz Prxe fk k01n Logo Px assim definido o polindmio de interpolado de fx sobre os pontos xo X1Xn A formula 4 é chamada Formula de Lagrange do Polindmio de Interpolacdo CAlculo Numérico Itaguai 20201 1199 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Conhecendose a seguinte tabela x 1 0 3 f x 15 8 1 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange 2 Calcule uma aproximação para f 1 usando o item 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 12 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Considere a tabela x 1 3 4 5 f x 0 6 24 60 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange sobre todos os pontos 2 Calcule uma aproximação para f 35 usando o item 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 13 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Construir o polinômio de interpolação na forma de Lagrange para a função y senπx escolhendo os pontos x0 0 x1 1 6 x2 1 2 Exemplo Calcular e31 usando a Fórmula de Lagrange sobre 3 pontos e a tabela x 24 26 28 30 32 34 36 38 ex 1102 1346 1644 2008 2453 2996 3659 4470 Observe que como queremos e31 usando 3 pontos devemos escolher 3 pontos consecutivos na vizinhança de 31 Opções x0 28 x1 30 e x2 32 ou x0 30 x1 32 e x2 34 Em ambos os casos o erro na aproximação será da mesma ordem de grandeza Resposta f 31 2220375 com x0 28 x1 30 e x2 32 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 14 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Fórmula de Newton O método de Lagrange para determinação do polinômio de interpolação de uma função y f x sobre um conjunto de pontos x0 x1 xn possui um inconveniente Sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n construído sobre n 1 pontos para um polinômio de grau n 1 construído sobre n 2 pontos todo o trabalho tem que ser praticamente refeito Seria interessante se houvesse possibilidade de conhecido o polinômio de grau n passarse para o de grau n 1 apenas acrescentandose mais um termo ao de grau n Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton do polinômio de interpolação Para a construção do polinômio de interpolação por este método precisamos da noção de diferença dividida de uma função Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 15 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Definição Sejam x0 x1 xn n 1 pontos distintos no intervalo a b e sejam f0 f1 fn n 1 valores de uma função y f x sobre x xk k 0 1 n Definese f xk f xk k 0 1 n f x0 x1 xn f x1x2xnf x0x1xn1 xnx0 onde f x0 x1 xn é a diferença dividida de ordem n da função f x sobre os pontos x0 x1 xn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 16 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Assim usando a definição temos que f x0 x1 f x1f x0 x1x0 f x0 x1 x2 f x1x2f x0x1 x2x0 f x0 x1 x2 x3 f x1x2x3f x0x1x2 x3x0 Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos envolvam apenas o valor da função nos pontos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 17 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Por exemplo f x0 x1 x2 f x1 x2 f x0 x1 x2 x0 f x2f x1 x2x1 f x1f x0 x1x0 x2 x0 Entretanto podemos calcular as diferenças divididas de um função de uma maneira mais simples Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 18 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas Para calcular as diferenças divididas de uma função f x sobre os pontos x0 x1 xn construímos a tabela de diferenças divididas da seguinte maneira 1 a primeira coluna é constituída dos pontos xk k 0 1 n 2 a segunda coluna contém os valores de f x nos pontos xk k 0 1 n 3 nas colunas 3 4 5 estão as diferenças divididas de ordem 1 2 3 Cada uma dessas diferenças é uma fração cujo numerador é sempre a diferença entre duas diferenças divididas consecutivas e de ordem imediatamente inferior e cujo denominador é a diferença entre os dois extremos dos pontos envolvidos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 19 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xi1 f xi xi1 xi2 x0 f x0 f x0 x1 f x1f x0 x1x0 x1 f x1 f x0 x1 x2 f x1x2f x0x1 x2x0 f x1 x2 f x2f x1 x2x1 x2 f x2 f x1 x2 x3 f x2x3f x1x2 x3x1 f x2 x3 f x3f x2 x3x2 x3 f x3 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 20 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas Exemplo Para a seguinte função tabelada x 2 1 0 1 2 f x 2 29 30 31 62 construir a tabela de diferenças divididas Considere j i 1 k i 2 l i 3 e m i 4 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 21 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 22 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 1 29 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 23 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 24 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 25 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 3029 01 1 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 26 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 27 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 28 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 29 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 30 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 31 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 32 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 33 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 34 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 150 21 5 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 35 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 55 22 0 3130 10 1 150 21 5 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 36 99 Diferencas Divididas Teorema As diferencas divididas de ordem k de uma fungao fx satisfazem k k 1 flown 3 red m7 xi Xj i0 j0 Ji Corolario As diferencas divididas de ordem k de uma fungao fx satisfazem FIX0 x1 Xk FXjos Xiao Xu onde Xjy Xj5Xj qualquer permutaao de 01k Oo a DAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 37 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferenças Divididas Corolário As diferenças divididas de ordem k de uma função f x satisfazem f x0 x1 xk f x0 xi1 xi1 xk f x0 xj1 xj1 xk xj xi i j Observações 1 O primeiro Corolário afirma que a diferença dividida de f x é uma função simétrica de seus argumentos isto é independe da ordem dos pontos x0 x1 xk 2 O segundo Corolário afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos para construir a diferença dividida de uma função e não necessariamente o primeiro e o último Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 38 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja f x contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias num intervalo a b Sejam a x0 x1 xn b n 1 pontos Precisamos construir o polinômio Pnx que interpola f x em x0 x1 xn Iniciemos a construção obtendo P0x que interpola f x em x x0 E assim sucessivamente construiremos Pkx que interpola f x em x0 x1 xk com k 0 1 n Seja P0x o polinômio de grau 0 que interpola f x em x x0 Então P0x f x0 f x0 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 39 99 Forma de Newton Temos que para todo x a b x xo fx f fx f tro x fd Fleal 04 Flo xX Xo xX Xo x xo fxo x fx Fx fx fx x xo Fxo x we SS Pox Eox Note que Eox x xo fxo x 0 erro cometido ao se aproximar fx por Pox a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 40 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja agora construir P1x o polinômio de grau 1 que interpola f x em x0 e x1 Temos que f x0 x1 x f x1 x0 x f x0 x f x1 x0 x x1 f xf x0 xx0 f x1 x0 x x1 f x f x0 x x0f x1 x0 x x1x x0 f x0 x1 x f x f x0 x x0f x1 x0 x x1x x0 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 41 99 Forma de Newton fx xo x xo F x1 xo x x0 x x1 Ff xo x1 x a Pyx Ex x Assim Pix Fx x x0 fx0 x1 SeeE STS Pox Q1x Ex x x xo x x1 fx0 x1 x Note que de fato Px interpola fx em xo e x1 Com efeito basta notar que Pixo fxo e Pixi f x1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 42 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja agora construir P2x o polinômio de grau 2 que interpola f x em x0 x1 e x2 Temos que f x0 x1 x2 x f x2 x1 x0 x f x1 x0 x f x2 x1 x0 x x2 f x0xf x1x0 xx1 f x2 x1 x0 x x2 f xf x0 xx0 f x1x0 xx1 f x2 x1 x0 x x2 f x f x0 x x0f x1 x0 x x0x x1f x2 x1 x0 x x0x x1x x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 43 99 Forma de Newton fx Fxo x xo Ff x0 x1 x x0x x1 Fx0 x1 x2 x xox x1x x2 Fxo x1 x2 x Entao Pox Fx x x0 Fx0 x1 x x0x x1 Ff x0 x1 x2 ee OT Pix Q2x Eox x xox x1 x x2 F xo x1 x2 x Observe que assim como para Pix e Pox temos que Pxx Prix Qxx onde Qx um polindmio de grau k CAlculo Numérico Itaguai 20201 44 99 Forma de Newton Aplicando sucessivamente 0 mesmo raciocinio temos a forma de Newton para o polinédmio de grau n que interpola fx em xo X1 Xn Prx fxo x xo Fxo x1 x x0x x1 Fxo x1 x2 wee xX x0 x X1 K Xn1 FX0 X1 Xn E o erro é dado por Ex x x0x x1 Xn FX0 X15 Xn X Observe que tomando x xx k 01 e visto que fx Px Epx temos que F xk Pnxk Enxk Palxx Sj 0 CAlculo Numérico Itaguai 20201 45 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Exemplo Conhecendose a seguinte tabela x 1 0 3 f x 15 8 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Newton Exemplo Usando a forma de Newton determine o polinômio que interpola f x nos pontos dados abaixo x 1 0 2 f x 4 1 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 46 99 Estudo do Erro na Interpolacado Teorema Sejam xo X1 Xn n 1 pontos Seja fx com derivadas até ordem n 1 Vx xo Xn Entdo Vx xo xn temos que n fn1 Ex Fx Pal Te aie onde x0 Xn Teorema fn1 FX0 X15 5 Xn X Sea xe x0 Xn e x x0 Xn a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 47 99 Limitante Superior para o Erro de Truncamento Corolario Sob as hipoteses do primeiro Teorema se fx for continua em xo Xn podemos escrever a seguinte relacao M 1 Ex fx Prx x x Enx F Pal Th cea i0 onde My yt MAxxer FY x o 8 9a0 Calculo Numérico Itaguai 20201 48 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Limitante Superior para o Erro de Truncamento Corolário Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados ou seja x1 x0 x2 x1 xn xn1 h então Enx hn1Mn1 4n 1 Observe que o majorante acima independe do ponto x considerado x x0 xn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 49 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Exemplo Seja f x ex x 1 tabelada abaixo Obter f 07 por interpolação linear e fazer uma análise do erro x 0 05 1 15 2 f x 0 11487 27183 49811 83890 Temos que P1x f x0 x x0f x0 x1 Como x 07 05 1 então x0 05 e x1 1 Assim temos que P1x 11487 31392x 05 P107 17765 Neste caso temos condição de calcular o verdadeiro erro dado por E107 f 07 P107 00628 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 50 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Os corolários nos fornecem as seguintes majorações para o erro Em x 07 temos E107 07 0507 1M2 2 onde M2 máxx051f x e1 27183 Então E107 00815 De fato E107 00628 00815 Para todo x 05 1 temos E1x h2M2 8 05227183 8 00850 que também confirma o resultado para o erro exato Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 51 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Exercício Dada a tabela abaixo 1 Calcular e31 usando um polinômio de interporlação sobre 3 pontos 2 Dê um limitante para o erro cometido x 24 26 28 30 32 34 36 38 ex 1102 1346 1644 2008 2453 2996 3659 4470 Resposta f 31 2220375 com x0 28 x1 30 e x2 32 E231 123 102 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 52 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Funções Spline em Interpolação Se a função f x está tabelada em n 1 pontos uma alternativa é interpolar f x em grupos de poucos pontos obtendose polinômio de grau menor e impor condições para que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem A figura abaixo mostra o caso em que aproximamos a função por uma função linear por partes denotada S1x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 53 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Funções Spline em Interpolação Observe que a função S1x é contínua mas não é derivável em todo intervalo x0 x4 uma vez que S 1x não existe para x xi 1 i 3 Com efeito basta observar que sendo y a0 a1x e y b0 b1x as equações das retas que contém os intervalos xi1 xi e xi xi1 respectivamente com a1 b1 temos que lim xx i S1x S1xi x xi lim xxi a0 a1x a0 a1xi x xi a1 Enquanto lim xx i S1x S1xi x xi lim xxi b0 b1x b0 b1xi x xi b1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 54 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Spline Linear Definição A função spline linear interpolante de f x S1x nos nós x0 x1 xn pode ser escrita em cada subintervalo xi1 xi i 1 2 n como six f xi x xi1 xi xi1 f xi1 x xi xi xi1 x xi1 xi Com efeito basta tomar P1x na forma de Newton e abriloaté obter a forma acima considerando para isso no final x0 xi1 x1 xi e P1x six Observe que deve valer que sixi si1xi f xi Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 55 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Spline Linear Exemplo Achar a função spline linear que interpola a função tabelada abaixo x 1 2 5 7 f x 1 2 3 25 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 56 99 Integração Numérica Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 57 99 Integração Numérica Introdução Introdução Integrar numericamente uma função y f x num dado intervalo a b é integrar um polinômio Pnx que aproxime f x no dado intervalo Em particular se y f x for dada por uma tabela ou o que é o mesmo por um conjunto de pares ordenados x0 f x0 x1 f x1 xn f xn x0 a xn b podemos usar como polinômio de aproximação para a função y f x no intervalo a b o seu polinômio de interpolação Em particular o polinômio de interpolação para a função y f x no intervalo a b a x0 b xn é um polinômio de aproximação para f x em qualquer subintervalo xi xj 0 i n 0 j n do intervalo a b Podemos então usar o polinômio Pnx para integrar f x em qualquer desses subintervalos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 58 99 Integração Numérica Introdução Introdução As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y f x ao invés de f x são principalmente as seguintes 1 f x pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente impossível enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata 2 se conhece a solução analítica do resultado da integral mas seu cálculo só pode ser obtido aproximadamente 3 a função é dada simplesmente através de uma tabelaconjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experiências Aí não se conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 59 99 Formulas de NewtonCotes Nas férmulas de NewtonCotes a idéia de polindmio que aproxime fx razoavelmente é que este polindmio interpole fx em pontos de a b igualmente espacados Consideremos a partiado do intervalo a b em subintervalos de comprimento A x x41 0121 Assim b X41 Xj h OM As formulas fechadas de NewtonCotes sao formulas de integracdo do tipo b Xn n X09 a4Xnb e Fxdbe f Fxdx S Aifxi a 0 i0 sendo os coeficientes A determinados de acordo com o grau do polinédmio aproximador Existem ainda as formulas abertas de NewtonCotes construidas de maneira analoga as fechadas com xo Xn a 5 CAlculo Numérico Itaguai 20201 60 99 Regra dos Trapézios Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polindmio Px que interpola fx em xo x temos b bxyz Fxdx P1xdx a axo XL Foay5 0 5 ax xo h h x xo x x1 fx fxo roa SP roy PSP h he oh fx f Ff f xa Fo Flo Se 3 LF 0 FOa Que é a Area do trapézio de bases fxo e fx1 e altura h x1 xp CAlculo Numérico Itaguai 20201 61 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 62 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Observe que se o intervalo a b é pequeno a aproximação é razoável mas se a b é grande o erro também pode ser grande Na figura anterior a área entre a curva e a reta é o erro cometido ao calcularmos a integral de a até b Assim se o intervalo de integração é grande podemos dividir o intervalo a b em n subintervalos de amplitude h ba n de tal forma que x0 a xn b e em cada subintervalo xi xi1 i 0 1 n 1 aplicar a Regra do Trapézio O erro agora é a soma das áreas entre a curva e as retas como mostrado na figura a seguir Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 63 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 64 99 Regra dos Trapézios Observe ainda que quando h 0 estaremos tendendo ao resultado exato da integral pois o erro estara tendendo a zero Assim utilizando 0 que foi descrito obtemos Xn n1 Xp44 n1 h fxdx fxdx S 5 F xi Fxj41 0 i0 i i0 Na expressdo acima vemos que com excecdo da f calculada nos pontos xo X todas as demais aparecem duas vezes Portanto podemos escrever Xn h n1 Fxdx 5 Fx0 2 S F xi f xn 0 i1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 65 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios E assim obtemos a Regra dos Trapézios Repetida ou Generalizada Na prática só utilizamos esta regra Um limitante superior para o erro é dado por ETR nh3M2 12 onde n ba h e M2 máxxabf x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 66 99 Regra dos Trapézios Exemplo 1 Sejal J exdx Calcule uma aproximacdao para So e dx usando 10 subintervalos e a regra dos Trapézios Estime o erro cometido Qual o ntimero minimo de subdivis6es de modo que o erro seja inferior a 103 1 Os pontos x 01 com i 0110 devem dividir o intervalo 01 em 10 subintervalos com h 01 Aplicando a regra dos Trapézios Repetida temos 1 01 2 hi eXdx Je 25 eM e 1719713 0 2 é i1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 67 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Vimos que o erro ETR é dado por ETR nh3M2 12 Como n 1 0 01 10 e M2 máxx01ex e Segue que ETR 001 12 e 000227 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 68 99 Regra dos Trapézios 2 Devemos determinar n observe que n gh tal que E7R 107 Temos que 1 nhM he he 12 103 n E7p 10 Shc 1 p 7 VEtR S 5 12 12 e 1 e Oh Vi 12103 Logo basta tomar n 16 a a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 69 99 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Regra 13 de Simpson Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f x por um polinômio de grau 2 Seja P2x o polinômio que interpola f x nos pontos x0 a x1 x0 h e x2 x0 2h b P2x x x1x x2 h2h f x0 x x0x x2 hh f x1 x x0x x1 2hh f x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 70 99 Regra 13 de Simpson Assim b X2 f xo X2 fxdx Poxdx se x x1x x2 dx a Xo 2h XO Fx 72 fea x xox x2dx xO Fxo x2 fb2 x xox x1 dx 2h Ix As integrais podem ser resolvidas por exemplo fazendo a seguinte mudana de variaveis X Xo Zh x x zhe dx haz a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 71 99 Regra 13 de Simpson Entdo xX xX xo Zh xp h Zz 1h X Xo xo Zh xp 2h z 2h XxoSz0x x Sz1lexHxn7Z2 Resolvendo as integrais obtemos a regra 13 de Simpson x2 h Fxdbe 2 IF 00 4F oa Fl2 x0 Aplicando a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo a b xo xn e supondo xo X1Xn igualmente espacados com h x41 x n par isto condido necessaria pois cada parabola deve utilizar 3 pontos consecutivos temos em cada par de subintervalos CAlculo Numérico Itaguai 20201 72 99 Regra 13 de Simpson X2k h n Fxdx Fxon2 4F xn1 fo k12 X2k2 3 2 Entdo Xn 2 X2k 2 h f x dx f xdx y S 3 f xoxK2 Af xox1 fxox kal 7 2k2 k1 h 2 271 3 fx FX 4S Fx2K1 2 Fax k1 k1 E assim obtemos a Regra de 13 de Simpson Repetida ou Generalizada CAlculo Numérico Itaguai 20201 73 99 Regra 13 de Simpson Um limitante para o erro Esp é dado por nh M Esr 180 ba n h e Mg MAX xe fx9 x9 FO x Exemplo 1 ey Sejal J exdx 1 Calcule uma aproximacdao para Jo edx usando 10 subintervalos e a regra 13 de Simpson Estime o erro cometido Qual o nimero minimo de subdivisées de modo que o erro seja inferior a 103 a a 9ac CAlculo Numérico Itaguai 20201 74 99 Regra 13 de Simpson 1 Os pontos x 01 com i 0110 devem dividir o intervalo 0 1 em 10 subintervalos com h 01 Aplicando a regra de 13 de Simpson temos 1 01 5 4 x Yt 0 012k1 012k 1 ewes c e 2y e k1 k1 1 edx 171828278 0 Temos que My max efo1f x MaXxxI01e e 1001e 6 Ecp 2151 x 10 Esr Fe9 CAlculo Numérico Itaguai 20201 75 99 Regra 13 de Simpson 2 Devemos determinar n observe que n gh tal que Espr 107 Temos que 1 nhM hte hte 4180 103 n Ese 103 Sh n ESR1S G39 80 180 e 1 e n 197 h V 180103 Logo basta tomar n 2 Observe que para o mesmo problema temos que Esr ETR Alem disso vimos que usando a regra dos Trapézios deveriamos tomar n 16 para que o erro fosse inferior a 103 CAlculo Numérico Itaguai 20201 76 99 Exercicio Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson usando quatro e seis divis6es de a b Compare os resultados Para cada integral determine com quanta divis6es do intervalo no minimo podemos esperar obter erros menores que 107 2 4 14 1 a edx 6 Vxdx c tax 1 1 2 vx a a DAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 7799 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Exercícios Cálculo das integrais pela regra dos Trapézios e pela de Simpson usando quatro e seis divisões de a b a n 4 6 Trapézios 46950759 46815792 Simpson 4670873 46707894 b n 4 6 Trapézios 46550925 46614884 Simpson 46662207 46665612 c n 4 6 Trapézios 47683868 47077771 Simpson 46763744 46614894 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 78 99 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Exercícios Mínimo de divisões para obter erros menores que 105 n a b c Trapézios 249 238 1382 Simpson 10 20 80 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 79 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 80 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Muitos problemas encontrados em engenharia e outras ciências podem ser formulados em termos de equações diferenciais Por exemplo trajetórias balísticas teoria dos satélites artificiais estudo de redes elétricas curvaturas de vigas estabilidade de aviões teoria das vibrações reações químicas e outras aplicações estão relacionadas com equações diferenciais O objetivo desta seção é apresentar uma introdução à resolução de equações diferenciais ordinárias através de métodos numéricos A equação y f x y 5 é chamada Equação Diferencial de primeira ordem Nesta equação f é uma função real dada de duas variáveis reais x e y e y é uma função incógnita da variável independente x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 81 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Resolver 5 corresponde a se determinar uma função y yx diferenciável com x a b que satisfaça 5 Qualquer função que satisfaça 5 é uma solução dessa EDO Por exemplo a função yx Cex é para qualquer valor da constante C uma solução da equação diferencial y y Assim uma equação diferencial de primeira ordem possui um número infinito de soluções Contudo podemos selecionar uma solução particular se junto com a equação diferencial for dado o valor da solução yx em um ponto por exemplo yx0 y0 chamada condição inicial Se para a equação diferencial y y é dado que y0 1 então obtemos C 1 e assim a solução do problema de valor inicial PVI é yx ex Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 82 99 Introducdo A equacao diferencial juntamente com a condicdo inicial constituem um problema de valor inicial PVI isto é y fxy 6 yxo yo A grande maioria das equades encontradas na pratica ndo podem ser solucionadas analiticamente o recurso de que dispomos é 0 emprego de métodos numéricos Em muitos casos a teoria nos garante existéncia e unicidade de solucdo é 0 caso do PVI 6 por exemplo mas ndo sabemos qual é a expressdo analitica desta solucdo CAlculo Numérico Itaguai 20201 83 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Consideraremos o PVI 6 e a sequência de pontos xi definida por xi x0 ih i 0 1 n onde x0 a xn b e n b ah Dizemos que o comprimento h do intervalo é o tamanho do passo os pontos xi são os pontos da malha e n é o número de passos Uma propriedade importante dos métodos computacionais para a solução do PVI 6 é a discretização isto é desejamos obter a solução aproximada do PVI não num intervalo contínuo a x b mas sim num conjunto discreto de pontos xi i 0 1 n Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 84 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Denotaremos por yn uma aproximação para a solução teórica em xn isto é yn yxn Nosso objetivo é então determinarmos aproximações yn da solução verdadeira yxn nos pontos da malha Portanto a solução numérica será uma tabela de valores dos pares xn yn yn yxn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 85 99 Método de Taylor O primeiro método que discutiremos nado é exatamente um método numérico mas é algumas vezes usado em combinado com esquemas numéricos é de aplicabilidade quase que geral Consideremos o PVI 6 A funcdo f pode ser linear ou ndo mas vamos admitir que f seja continua e sucientemente derivavel em relacdo a xe y Seja yx a solucdo exata de 6 A expansdo em série de Taylor para yXp h em torno do ponto x é dada por kK hi peel yXn A YXn Xn y Ex 7 jl k 1 i1 onde xn x eo Ultimo termo é 0 erro de truncamento local CAlculo Numérico Itaguai 20201 86 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Método de Taylor Método de Taylor As derivadas na expansão 7 não são conhecidas explicitamente uma vez que a solução exata não é conhecida Contudo se f é suficientemente derivável elas podem ser obtidas considerandose a derivada total de y f x y com respeito a x tendo em mente que f é uma função implícita de y Podemos expressar qualquer derivada de y em termos de f x y e de suas derivadas parciais Contudo é claro que a menos que f x y seja uma função muito simples as derivadas totais de ordem mais elevada tornamse cada vez mais complexas Por razões práticas devese então limitar o número de termos na expansão 7 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 87 99 Método de Taylor Truncando entdo a expansdo 7 apos k 1 termos obtemos k hi yf VXn h Xn ily Xn i1 Esta equacdo pode ser interpretada como uma relacdo aproximada entre valores exatos da solucdo de 6 Uma relado exata entre valores aproximados da soludo de 6 pode ser obtida substituindose yxn por Yn e y xq por ys com i1k Fazendo isso obtemos k i i ht Ynt1 Yn yn 8 i1 que é chamado Método de Taylor de ordem k CAlculo Numérico Itaguai 20201 88 99 Método de Taylor Exemplo Calcular y21 usando o método de Taylor de 2 ordem para o PVI xy xy y22 O método de Taylor de 2 ordem é dado por h2 Yn1 Yn ynh Yn Tomando h 01 temos que y21 yx1 yi dado por 01 W W yt yo Yo01 oS Yo 2 0 y2 vo y2 a a DAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 89 99 Método de Taylor Temos que 2 wlaxyoy X 21 Ys yya1 YO x x 2 2 y2 1 og VI fy ri VY VL my VC 01 1 01 y1 yo yo01 Or 24 001 5 SS y21 yu yi 20025 a a z 9ac CAalculo Numérico Itaguai 20201 90 99 Métodos de RungeKutta de ordem R O método geral de RungeKutta de ordem R é definido por Yn1 Yn hXn Yn h Onde R xn Yn h So ciki 9 i1 a a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 9199 Métodos de RungeKutta ky fx y i1 k f xajhyh bik 123R jl i1 q bi i 23R jl Para se obter métodos de RungeKutta devemos determinar as constantes Cj aj bj a a NAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 92 99 Métodos de RungeKutta de 2 ordem Os métodos de RungeKutta de ordem 2 mais usados sdo a Método de Euler Modificado Yn1 Yn hk 10 Onde ky FXn Yn 1 1 kg fF Xn 5h Yn 5k o a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 93 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Métodos de RungeKutta Métodos de RungeKutta de 2a ordem a Método de Euler Melhorado mais usado yn1 yn h 2k1 k2 11 Onde k1 f xn yn k2 f xn h yn hk1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 94 99 Métodos de RungeKutta de 2 ordem Exemplo Usando o método de Euler Modificado resolva o PVI 1 29 0x03 h01 y0 2 nes Solucdo numérica Xn Yn 00 20000 01 20050 02 20190 03 20412 Soluao analitica yx 1xe a a DAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 95 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Os métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem mais usados sao 37 ordem h Yn41 Yn vals 3k3 12 ky fXn Yn 1 1 kg FX gyn hk 2 2 k3 f x gyn ud a a NAC CAalculo Numérico Itaguai 20201 96 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem 4 ordem é 0 método mais usado h Yn1 Yn Elki 2ko ka kal 13 ky fXn Yn ko f 1h 1 hk 20 Xn 9 n 5 1 k f 1h hk xX 3 nv 5 Yn 5 2 kg f Xn h Yn Akz a a DAC Calculo Numérico Itaguai 20201 9799 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Exercicio Use os métodos de RungeKutta de 3 e 47 ordem para resolver o PVI x2 YEXFE Qe x 03 h01 y0 2 Soluao analitica yx 1xe o a ac Calculo Numérico Itaguai 20201 98 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Exercicio Use o método de Euler Melhorado e os métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem para resolver o PV yyx 0x05 h01 y0 2 Solugdo analitica yx 1xe o a 9a0 Calculo Numérico Itaguai 20201 99 99
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Cálculo Numérico Prof Washington S da Silva CEFET RJ UnED Itaguaí Itaguaí 20201 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 1 99 Bibliografia básica CÁLCULO NUMÉRICO ASPECTOS TEÓRICOS E COMPUTACIONAIS 2a Edição Márcia A Gomes Ruggiero Vera Lúcia da Rocha Lopes Departamento de Matemática Aplicada IMECC UNICAMP Makron Books Pearson São Paulo Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 2 99 Interpolação Polinomial Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 3 99 Interpolação Polinomial Introdução Introdução A aproximação de funções por polinômios é uma das idéias mais antigas da análise numérica e ainda uma das mais usadas Os polinômios são facilmente computáveis suas derivadas e integrais são novamente polinômios suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade etc A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja obtida de vários modos entre os quais podemos citar Interpolação Método dos Mínimos Quadrados etc portanto é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 4 99 Interpolação Polinomial Introdução Introdução Os Métodos de Interpolação Polinomial são usados como uma aproximação para uma função f x principalmente nas seguintes situações 1 não conhecemos a expressão analítica de f x isto é sabemos apenas seu valor em alguns pontos x0 x1 x2 esta situação ocorre muito frequentemente na prática quando se trabalha com dados experimentais e necessitamos manipular f x como por exemplo calcular seu valor num ponto sua integral num determinado intervalo etc 2 f x é extremamente complicada e de difícil manejo Então às vezes é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos cálculos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 5 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em dados n 1 números ou pontos distintos reais ou complexos x0 x1 xn e n 1 números reais ou complexos y0 y1 yn números estes que em geral são n 1 valores de uma função y f x em x0 x1 xn determinarse um polinômio Pnx de grau no máximo n tal que Pnx0 y0 Pnx1 y1 Pnxn yn Tal polinômio existe e é único na hipótese de que os pontos x0 x1 xn sejam distintos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 6 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Teorema Dados n 1 pontos distintos x0 x1 xn reais ou complexos e n 1 valores y0 y1 yn existe um e só um polinômio Pnx de grau menor ou igual a n tal que Pnxk yk k 0 1 n 1 Definição Chamase polinômio de interpolação de uma função y f x sobre um conjunto de pontos distintos x0 x1 xn ao polinômio de grau no máximo n que coincide com f x em x0 x1 xn Tal polinômio será designado por Pnx Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 7 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Exemplo Dados os pares de pontos 1 15 0 8 3 1 determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pares de pontos Como n 2 devemos determinar P2x a0 a1x a2x2 tal que P2xk yk k 0 1 2 Resposta P2x 8 6x x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 8 99 Interpolação Polinomial Introdução Polinômio de Interpolação Observações 1 Observe que nos pontos tabelados o valor do polinômio encontrado e o valor da função devem coincidir Se os valores forem diferentes você terá cometido erros de cálculo 2 A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de sistemas é muito trabalhosa além de poder ocorrer erros de arredondamento fazendo com que a solução obtida seja irreal Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 9 99 Formula de Lagrange Sejam xo X1Xq 2 1 pontos distintos Consideremos para k 01n os seguintes polindmios Ly x de grau n Lyx x x0 X Xk1 Xk XK Xn 2 Xk X0 Xk Xk1X Xk41 Xk Xn Observe que J 0 kFi tes P52 3 a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 10 99 Formula de Lagrange Para valores dados fo fxo fi fx1 fp fxn de uma fundo y fx 0 polindmio n Px So fil x 4 k0 é de grau no maximo ne em vista de 3 satisfaz Prxe fk k01n Logo Px assim definido o polindmio de interpolado de fx sobre os pontos xo X1Xn A formula 4 é chamada Formula de Lagrange do Polindmio de Interpolacdo CAlculo Numérico Itaguai 20201 1199 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Conhecendose a seguinte tabela x 1 0 3 f x 15 8 1 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange 2 Calcule uma aproximação para f 1 usando o item 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 12 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Considere a tabela x 1 3 4 5 f x 0 6 24 60 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange sobre todos os pontos 2 Calcule uma aproximação para f 35 usando o item 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 13 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Exemplo Construir o polinômio de interpolação na forma de Lagrange para a função y senπx escolhendo os pontos x0 0 x1 1 6 x2 1 2 Exemplo Calcular e31 usando a Fórmula de Lagrange sobre 3 pontos e a tabela x 24 26 28 30 32 34 36 38 ex 1102 1346 1644 2008 2453 2996 3659 4470 Observe que como queremos e31 usando 3 pontos devemos escolher 3 pontos consecutivos na vizinhança de 31 Opções x0 28 x1 30 e x2 32 ou x0 30 x1 32 e x2 34 Em ambos os casos o erro na aproximação será da mesma ordem de grandeza Resposta f 31 2220375 com x0 28 x1 30 e x2 32 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 14 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Fórmula de Newton O método de Lagrange para determinação do polinômio de interpolação de uma função y f x sobre um conjunto de pontos x0 x1 xn possui um inconveniente Sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n construído sobre n 1 pontos para um polinômio de grau n 1 construído sobre n 2 pontos todo o trabalho tem que ser praticamente refeito Seria interessante se houvesse possibilidade de conhecido o polinômio de grau n passarse para o de grau n 1 apenas acrescentandose mais um termo ao de grau n Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton do polinômio de interpolação Para a construção do polinômio de interpolação por este método precisamos da noção de diferença dividida de uma função Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 15 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Definição Sejam x0 x1 xn n 1 pontos distintos no intervalo a b e sejam f0 f1 fn n 1 valores de uma função y f x sobre x xk k 0 1 n Definese f xk f xk k 0 1 n f x0 x1 xn f x1x2xnf x0x1xn1 xnx0 onde f x0 x1 xn é a diferença dividida de ordem n da função f x sobre os pontos x0 x1 xn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 16 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Assim usando a definição temos que f x0 x1 f x1f x0 x1x0 f x0 x1 x2 f x1x2f x0x1 x2x0 f x0 x1 x2 x3 f x1x2x3f x0x1x2 x3x0 Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos envolvam apenas o valor da função nos pontos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 17 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferença Dividida Por exemplo f x0 x1 x2 f x1 x2 f x0 x1 x2 x0 f x2f x1 x2x1 f x1f x0 x1x0 x2 x0 Entretanto podemos calcular as diferenças divididas de um função de uma maneira mais simples Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 18 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas Para calcular as diferenças divididas de uma função f x sobre os pontos x0 x1 xn construímos a tabela de diferenças divididas da seguinte maneira 1 a primeira coluna é constituída dos pontos xk k 0 1 n 2 a segunda coluna contém os valores de f x nos pontos xk k 0 1 n 3 nas colunas 3 4 5 estão as diferenças divididas de ordem 1 2 3 Cada uma dessas diferenças é uma fração cujo numerador é sempre a diferença entre duas diferenças divididas consecutivas e de ordem imediatamente inferior e cujo denominador é a diferença entre os dois extremos dos pontos envolvidos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 19 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xi1 f xi xi1 xi2 x0 f x0 f x0 x1 f x1f x0 x1x0 x1 f x1 f x0 x1 x2 f x1x2f x0x1 x2x0 f x1 x2 f x2f x1 x2x1 x2 f x2 f x1 x2 x3 f x2x3f x1x2 x3x1 f x2 x3 f x3f x2 x3x2 x3 f x3 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 20 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas Exemplo Para a seguinte função tabelada x 2 1 0 1 2 f x 2 29 30 31 62 construir a tabela de diferenças divididas Considere j i 1 k i 2 l i 3 e m i 4 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 21 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 22 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 1 29 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 23 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 24 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 25 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 3029 01 1 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 26 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 27 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 28 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 29 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 30 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 31 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 32 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 33 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 34 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 3130 10 1 150 21 5 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 35 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Tabela de Diferenças Divididas xi f xi f xi xj f xi xj xk f xi xl f xi xm 2 2 292 12 31 1 29 131 02 15 3029 01 1 015 12 5 0 30 11 11 0 55 22 0 3130 10 1 150 21 5 1 31 311 20 15 6231 21 31 2 62 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 36 99 Diferencas Divididas Teorema As diferencas divididas de ordem k de uma fungao fx satisfazem k k 1 flown 3 red m7 xi Xj i0 j0 Ji Corolario As diferencas divididas de ordem k de uma fungao fx satisfazem FIX0 x1 Xk FXjos Xiao Xu onde Xjy Xj5Xj qualquer permutaao de 01k Oo a DAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 37 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Diferenças Divididas Corolário As diferenças divididas de ordem k de uma função f x satisfazem f x0 x1 xk f x0 xi1 xi1 xk f x0 xj1 xj1 xk xj xi i j Observações 1 O primeiro Corolário afirma que a diferença dividida de f x é uma função simétrica de seus argumentos isto é independe da ordem dos pontos x0 x1 xk 2 O segundo Corolário afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos para construir a diferença dividida de uma função e não necessariamente o primeiro e o último Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 38 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja f x contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias num intervalo a b Sejam a x0 x1 xn b n 1 pontos Precisamos construir o polinômio Pnx que interpola f x em x0 x1 xn Iniciemos a construção obtendo P0x que interpola f x em x x0 E assim sucessivamente construiremos Pkx que interpola f x em x0 x1 xk com k 0 1 n Seja P0x o polinômio de grau 0 que interpola f x em x x0 Então P0x f x0 f x0 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 39 99 Forma de Newton Temos que para todo x a b x xo fx f fx f tro x fd Fleal 04 Flo xX Xo xX Xo x xo fxo x fx Fx fx fx x xo Fxo x we SS Pox Eox Note que Eox x xo fxo x 0 erro cometido ao se aproximar fx por Pox a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 40 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja agora construir P1x o polinômio de grau 1 que interpola f x em x0 e x1 Temos que f x0 x1 x f x1 x0 x f x0 x f x1 x0 x x1 f xf x0 xx0 f x1 x0 x x1 f x f x0 x x0f x1 x0 x x1x x0 f x0 x1 x f x f x0 x x0f x1 x0 x x1x x0 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 41 99 Forma de Newton fx xo x xo F x1 xo x x0 x x1 Ff xo x1 x a Pyx Ex x Assim Pix Fx x x0 fx0 x1 SeeE STS Pox Q1x Ex x x xo x x1 fx0 x1 x Note que de fato Px interpola fx em xo e x1 Com efeito basta notar que Pixo fxo e Pixi f x1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 42 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Seja agora construir P2x o polinômio de grau 2 que interpola f x em x0 x1 e x2 Temos que f x0 x1 x2 x f x2 x1 x0 x f x1 x0 x f x2 x1 x0 x x2 f x0xf x1x0 xx1 f x2 x1 x0 x x2 f xf x0 xx0 f x1x0 xx1 f x2 x1 x0 x x2 f x f x0 x x0f x1 x0 x x0x x1f x2 x1 x0 x x0x x1x x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 43 99 Forma de Newton fx Fxo x xo Ff x0 x1 x x0x x1 Fx0 x1 x2 x xox x1x x2 Fxo x1 x2 x Entao Pox Fx x x0 Fx0 x1 x x0x x1 Ff x0 x1 x2 ee OT Pix Q2x Eox x xox x1 x x2 F xo x1 x2 x Observe que assim como para Pix e Pox temos que Pxx Prix Qxx onde Qx um polindmio de grau k CAlculo Numérico Itaguai 20201 44 99 Forma de Newton Aplicando sucessivamente 0 mesmo raciocinio temos a forma de Newton para o polinédmio de grau n que interpola fx em xo X1 Xn Prx fxo x xo Fxo x1 x x0x x1 Fxo x1 x2 wee xX x0 x X1 K Xn1 FX0 X1 Xn E o erro é dado por Ex x x0x x1 Xn FX0 X15 Xn X Observe que tomando x xx k 01 e visto que fx Px Epx temos que F xk Pnxk Enxk Palxx Sj 0 CAlculo Numérico Itaguai 20201 45 99 Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Forma de Newton Exemplo Conhecendose a seguinte tabela x 1 0 3 f x 15 8 1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Newton Exemplo Usando a forma de Newton determine o polinômio que interpola f x nos pontos dados abaixo x 1 0 2 f x 4 1 1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 46 99 Estudo do Erro na Interpolacado Teorema Sejam xo X1 Xn n 1 pontos Seja fx com derivadas até ordem n 1 Vx xo Xn Entdo Vx xo xn temos que n fn1 Ex Fx Pal Te aie onde x0 Xn Teorema fn1 FX0 X15 5 Xn X Sea xe x0 Xn e x x0 Xn a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 47 99 Limitante Superior para o Erro de Truncamento Corolario Sob as hipoteses do primeiro Teorema se fx for continua em xo Xn podemos escrever a seguinte relacao M 1 Ex fx Prx x x Enx F Pal Th cea i0 onde My yt MAxxer FY x o 8 9a0 Calculo Numérico Itaguai 20201 48 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Limitante Superior para o Erro de Truncamento Corolário Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados ou seja x1 x0 x2 x1 xn xn1 h então Enx hn1Mn1 4n 1 Observe que o majorante acima independe do ponto x considerado x x0 xn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 49 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Exemplo Seja f x ex x 1 tabelada abaixo Obter f 07 por interpolação linear e fazer uma análise do erro x 0 05 1 15 2 f x 0 11487 27183 49811 83890 Temos que P1x f x0 x x0f x0 x1 Como x 07 05 1 então x0 05 e x1 1 Assim temos que P1x 11487 31392x 05 P107 17765 Neste caso temos condição de calcular o verdadeiro erro dado por E107 f 07 P107 00628 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 50 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Os corolários nos fornecem as seguintes majorações para o erro Em x 07 temos E107 07 0507 1M2 2 onde M2 máxx051f x e1 27183 Então E107 00815 De fato E107 00628 00815 Para todo x 05 1 temos E1x h2M2 8 05227183 8 00850 que também confirma o resultado para o erro exato Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 51 99 Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação Estudo do Erro na Interpolação Exercício Dada a tabela abaixo 1 Calcular e31 usando um polinômio de interporlação sobre 3 pontos 2 Dê um limitante para o erro cometido x 24 26 28 30 32 34 36 38 ex 1102 1346 1644 2008 2453 2996 3659 4470 Resposta f 31 2220375 com x0 28 x1 30 e x2 32 E231 123 102 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 52 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Funções Spline em Interpolação Se a função f x está tabelada em n 1 pontos uma alternativa é interpolar f x em grupos de poucos pontos obtendose polinômio de grau menor e impor condições para que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem A figura abaixo mostra o caso em que aproximamos a função por uma função linear por partes denotada S1x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 53 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Funções Spline em Interpolação Observe que a função S1x é contínua mas não é derivável em todo intervalo x0 x4 uma vez que S 1x não existe para x xi 1 i 3 Com efeito basta observar que sendo y a0 a1x e y b0 b1x as equações das retas que contém os intervalos xi1 xi e xi xi1 respectivamente com a1 b1 temos que lim xx i S1x S1xi x xi lim xxi a0 a1x a0 a1xi x xi a1 Enquanto lim xx i S1x S1xi x xi lim xxi b0 b1x b0 b1xi x xi b1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 54 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Spline Linear Definição A função spline linear interpolante de f x S1x nos nós x0 x1 xn pode ser escrita em cada subintervalo xi1 xi i 1 2 n como six f xi x xi1 xi xi1 f xi1 x xi xi xi1 x xi1 xi Com efeito basta tomar P1x na forma de Newton e abriloaté obter a forma acima considerando para isso no final x0 xi1 x1 xi e P1x six Observe que deve valer que sixi si1xi f xi Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 55 99 Interpolação Polinomial Spline Linear Spline Linear Exemplo Achar a função spline linear que interpola a função tabelada abaixo x 1 2 5 7 f x 1 2 3 25 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 56 99 Integração Numérica Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 57 99 Integração Numérica Introdução Introdução Integrar numericamente uma função y f x num dado intervalo a b é integrar um polinômio Pnx que aproxime f x no dado intervalo Em particular se y f x for dada por uma tabela ou o que é o mesmo por um conjunto de pares ordenados x0 f x0 x1 f x1 xn f xn x0 a xn b podemos usar como polinômio de aproximação para a função y f x no intervalo a b o seu polinômio de interpolação Em particular o polinômio de interpolação para a função y f x no intervalo a b a x0 b xn é um polinômio de aproximação para f x em qualquer subintervalo xi xj 0 i n 0 j n do intervalo a b Podemos então usar o polinômio Pnx para integrar f x em qualquer desses subintervalos Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 58 99 Integração Numérica Introdução Introdução As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y f x ao invés de f x são principalmente as seguintes 1 f x pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente impossível enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata 2 se conhece a solução analítica do resultado da integral mas seu cálculo só pode ser obtido aproximadamente 3 a função é dada simplesmente através de uma tabelaconjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experiências Aí não se conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 59 99 Formulas de NewtonCotes Nas férmulas de NewtonCotes a idéia de polindmio que aproxime fx razoavelmente é que este polindmio interpole fx em pontos de a b igualmente espacados Consideremos a partiado do intervalo a b em subintervalos de comprimento A x x41 0121 Assim b X41 Xj h OM As formulas fechadas de NewtonCotes sao formulas de integracdo do tipo b Xn n X09 a4Xnb e Fxdbe f Fxdx S Aifxi a 0 i0 sendo os coeficientes A determinados de acordo com o grau do polinédmio aproximador Existem ainda as formulas abertas de NewtonCotes construidas de maneira analoga as fechadas com xo Xn a 5 CAlculo Numérico Itaguai 20201 60 99 Regra dos Trapézios Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polindmio Px que interpola fx em xo x temos b bxyz Fxdx P1xdx a axo XL Foay5 0 5 ax xo h h x xo x x1 fx fxo roa SP roy PSP h he oh fx f Ff f xa Fo Flo Se 3 LF 0 FOa Que é a Area do trapézio de bases fxo e fx1 e altura h x1 xp CAlculo Numérico Itaguai 20201 61 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 62 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Observe que se o intervalo a b é pequeno a aproximação é razoável mas se a b é grande o erro também pode ser grande Na figura anterior a área entre a curva e a reta é o erro cometido ao calcularmos a integral de a até b Assim se o intervalo de integração é grande podemos dividir o intervalo a b em n subintervalos de amplitude h ba n de tal forma que x0 a xn b e em cada subintervalo xi xi1 i 0 1 n 1 aplicar a Regra do Trapézio O erro agora é a soma das áreas entre a curva e as retas como mostrado na figura a seguir Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 63 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 64 99 Regra dos Trapézios Observe ainda que quando h 0 estaremos tendendo ao resultado exato da integral pois o erro estara tendendo a zero Assim utilizando 0 que foi descrito obtemos Xn n1 Xp44 n1 h fxdx fxdx S 5 F xi Fxj41 0 i0 i i0 Na expressdo acima vemos que com excecdo da f calculada nos pontos xo X todas as demais aparecem duas vezes Portanto podemos escrever Xn h n1 Fxdx 5 Fx0 2 S F xi f xn 0 i1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 65 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios E assim obtemos a Regra dos Trapézios Repetida ou Generalizada Na prática só utilizamos esta regra Um limitante superior para o erro é dado por ETR nh3M2 12 onde n ba h e M2 máxxabf x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 66 99 Regra dos Trapézios Exemplo 1 Sejal J exdx Calcule uma aproximacdao para So e dx usando 10 subintervalos e a regra dos Trapézios Estime o erro cometido Qual o ntimero minimo de subdivis6es de modo que o erro seja inferior a 103 1 Os pontos x 01 com i 0110 devem dividir o intervalo 01 em 10 subintervalos com h 01 Aplicando a regra dos Trapézios Repetida temos 1 01 2 hi eXdx Je 25 eM e 1719713 0 2 é i1 CAlculo Numérico Itaguai 20201 67 99 Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Vimos que o erro ETR é dado por ETR nh3M2 12 Como n 1 0 01 10 e M2 máxx01ex e Segue que ETR 001 12 e 000227 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 68 99 Regra dos Trapézios 2 Devemos determinar n observe que n gh tal que E7R 107 Temos que 1 nhM he he 12 103 n E7p 10 Shc 1 p 7 VEtR S 5 12 12 e 1 e Oh Vi 12103 Logo basta tomar n 16 a a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 69 99 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Regra 13 de Simpson Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f x por um polinômio de grau 2 Seja P2x o polinômio que interpola f x nos pontos x0 a x1 x0 h e x2 x0 2h b P2x x x1x x2 h2h f x0 x x0x x2 hh f x1 x x0x x1 2hh f x2 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 70 99 Regra 13 de Simpson Assim b X2 f xo X2 fxdx Poxdx se x x1x x2 dx a Xo 2h XO Fx 72 fea x xox x2dx xO Fxo x2 fb2 x xox x1 dx 2h Ix As integrais podem ser resolvidas por exemplo fazendo a seguinte mudana de variaveis X Xo Zh x x zhe dx haz a a AAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 71 99 Regra 13 de Simpson Entdo xX xX xo Zh xp h Zz 1h X Xo xo Zh xp 2h z 2h XxoSz0x x Sz1lexHxn7Z2 Resolvendo as integrais obtemos a regra 13 de Simpson x2 h Fxdbe 2 IF 00 4F oa Fl2 x0 Aplicando a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo a b xo xn e supondo xo X1Xn igualmente espacados com h x41 x n par isto condido necessaria pois cada parabola deve utilizar 3 pontos consecutivos temos em cada par de subintervalos CAlculo Numérico Itaguai 20201 72 99 Regra 13 de Simpson X2k h n Fxdx Fxon2 4F xn1 fo k12 X2k2 3 2 Entdo Xn 2 X2k 2 h f x dx f xdx y S 3 f xoxK2 Af xox1 fxox kal 7 2k2 k1 h 2 271 3 fx FX 4S Fx2K1 2 Fax k1 k1 E assim obtemos a Regra de 13 de Simpson Repetida ou Generalizada CAlculo Numérico Itaguai 20201 73 99 Regra 13 de Simpson Um limitante para o erro Esp é dado por nh M Esr 180 ba n h e Mg MAX xe fx9 x9 FO x Exemplo 1 ey Sejal J exdx 1 Calcule uma aproximacdao para Jo edx usando 10 subintervalos e a regra 13 de Simpson Estime o erro cometido Qual o nimero minimo de subdivisées de modo que o erro seja inferior a 103 a a 9ac CAlculo Numérico Itaguai 20201 74 99 Regra 13 de Simpson 1 Os pontos x 01 com i 0110 devem dividir o intervalo 0 1 em 10 subintervalos com h 01 Aplicando a regra de 13 de Simpson temos 1 01 5 4 x Yt 0 012k1 012k 1 ewes c e 2y e k1 k1 1 edx 171828278 0 Temos que My max efo1f x MaXxxI01e e 1001e 6 Ecp 2151 x 10 Esr Fe9 CAlculo Numérico Itaguai 20201 75 99 Regra 13 de Simpson 2 Devemos determinar n observe que n gh tal que Espr 107 Temos que 1 nhM hte hte 4180 103 n Ese 103 Sh n ESR1S G39 80 180 e 1 e n 197 h V 180103 Logo basta tomar n 2 Observe que para o mesmo problema temos que Esr ETR Alem disso vimos que usando a regra dos Trapézios deveriamos tomar n 16 para que o erro fosse inferior a 103 CAlculo Numérico Itaguai 20201 76 99 Exercicio Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson usando quatro e seis divis6es de a b Compare os resultados Para cada integral determine com quanta divis6es do intervalo no minimo podemos esperar obter erros menores que 107 2 4 14 1 a edx 6 Vxdx c tax 1 1 2 vx a a DAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 7799 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Exercícios Cálculo das integrais pela regra dos Trapézios e pela de Simpson usando quatro e seis divisões de a b a n 4 6 Trapézios 46950759 46815792 Simpson 4670873 46707894 b n 4 6 Trapézios 46550925 46614884 Simpson 46662207 46665612 c n 4 6 Trapézios 47683868 47077771 Simpson 46763744 46614894 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 78 99 Integração Numérica Regra 13 de Simpson Exercícios Mínimo de divisões para obter erros menores que 105 n a b c Trapézios 249 238 1382 Simpson 10 20 80 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 79 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Sumário 1 Interpolação Polinomial Introdução Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Estudo do Erro na Interpolação Spline Linear 2 Integração Numérica Introdução Regra dos Trapézios Regra 13 de Simpson 3 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Método de Taylor Métodos de RungeKutta Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 80 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Muitos problemas encontrados em engenharia e outras ciências podem ser formulados em termos de equações diferenciais Por exemplo trajetórias balísticas teoria dos satélites artificiais estudo de redes elétricas curvaturas de vigas estabilidade de aviões teoria das vibrações reações químicas e outras aplicações estão relacionadas com equações diferenciais O objetivo desta seção é apresentar uma introdução à resolução de equações diferenciais ordinárias através de métodos numéricos A equação y f x y 5 é chamada Equação Diferencial de primeira ordem Nesta equação f é uma função real dada de duas variáveis reais x e y e y é uma função incógnita da variável independente x Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 81 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Resolver 5 corresponde a se determinar uma função y yx diferenciável com x a b que satisfaça 5 Qualquer função que satisfaça 5 é uma solução dessa EDO Por exemplo a função yx Cex é para qualquer valor da constante C uma solução da equação diferencial y y Assim uma equação diferencial de primeira ordem possui um número infinito de soluções Contudo podemos selecionar uma solução particular se junto com a equação diferencial for dado o valor da solução yx em um ponto por exemplo yx0 y0 chamada condição inicial Se para a equação diferencial y y é dado que y0 1 então obtemos C 1 e assim a solução do problema de valor inicial PVI é yx ex Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 82 99 Introducdo A equacao diferencial juntamente com a condicdo inicial constituem um problema de valor inicial PVI isto é y fxy 6 yxo yo A grande maioria das equades encontradas na pratica ndo podem ser solucionadas analiticamente o recurso de que dispomos é 0 emprego de métodos numéricos Em muitos casos a teoria nos garante existéncia e unicidade de solucdo é 0 caso do PVI 6 por exemplo mas ndo sabemos qual é a expressdo analitica desta solucdo CAlculo Numérico Itaguai 20201 83 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Consideraremos o PVI 6 e a sequência de pontos xi definida por xi x0 ih i 0 1 n onde x0 a xn b e n b ah Dizemos que o comprimento h do intervalo é o tamanho do passo os pontos xi são os pontos da malha e n é o número de passos Uma propriedade importante dos métodos computacionais para a solução do PVI 6 é a discretização isto é desejamos obter a solução aproximada do PVI não num intervalo contínuo a x b mas sim num conjunto discreto de pontos xi i 0 1 n Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 84 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Introdução Denotaremos por yn uma aproximação para a solução teórica em xn isto é yn yxn Nosso objetivo é então determinarmos aproximações yn da solução verdadeira yxn nos pontos da malha Portanto a solução numérica será uma tabela de valores dos pares xn yn yn yxn Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 85 99 Método de Taylor O primeiro método que discutiremos nado é exatamente um método numérico mas é algumas vezes usado em combinado com esquemas numéricos é de aplicabilidade quase que geral Consideremos o PVI 6 A funcdo f pode ser linear ou ndo mas vamos admitir que f seja continua e sucientemente derivavel em relacdo a xe y Seja yx a solucdo exata de 6 A expansdo em série de Taylor para yXp h em torno do ponto x é dada por kK hi peel yXn A YXn Xn y Ex 7 jl k 1 i1 onde xn x eo Ultimo termo é 0 erro de truncamento local CAlculo Numérico Itaguai 20201 86 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Método de Taylor Método de Taylor As derivadas na expansão 7 não são conhecidas explicitamente uma vez que a solução exata não é conhecida Contudo se f é suficientemente derivável elas podem ser obtidas considerandose a derivada total de y f x y com respeito a x tendo em mente que f é uma função implícita de y Podemos expressar qualquer derivada de y em termos de f x y e de suas derivadas parciais Contudo é claro que a menos que f x y seja uma função muito simples as derivadas totais de ordem mais elevada tornamse cada vez mais complexas Por razões práticas devese então limitar o número de termos na expansão 7 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 87 99 Método de Taylor Truncando entdo a expansdo 7 apos k 1 termos obtemos k hi yf VXn h Xn ily Xn i1 Esta equacdo pode ser interpretada como uma relacdo aproximada entre valores exatos da solucdo de 6 Uma relado exata entre valores aproximados da soludo de 6 pode ser obtida substituindose yxn por Yn e y xq por ys com i1k Fazendo isso obtemos k i i ht Ynt1 Yn yn 8 i1 que é chamado Método de Taylor de ordem k CAlculo Numérico Itaguai 20201 88 99 Método de Taylor Exemplo Calcular y21 usando o método de Taylor de 2 ordem para o PVI xy xy y22 O método de Taylor de 2 ordem é dado por h2 Yn1 Yn ynh Yn Tomando h 01 temos que y21 yx1 yi dado por 01 W W yt yo Yo01 oS Yo 2 0 y2 vo y2 a a DAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 89 99 Método de Taylor Temos que 2 wlaxyoy X 21 Ys yya1 YO x x 2 2 y2 1 og VI fy ri VY VL my VC 01 1 01 y1 yo yo01 Or 24 001 5 SS y21 yu yi 20025 a a z 9ac CAalculo Numérico Itaguai 20201 90 99 Métodos de RungeKutta de ordem R O método geral de RungeKutta de ordem R é definido por Yn1 Yn hXn Yn h Onde R xn Yn h So ciki 9 i1 a a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 9199 Métodos de RungeKutta ky fx y i1 k f xajhyh bik 123R jl i1 q bi i 23R jl Para se obter métodos de RungeKutta devemos determinar as constantes Cj aj bj a a NAC CAlculo Numérico Itaguai 20201 92 99 Métodos de RungeKutta de 2 ordem Os métodos de RungeKutta de ordem 2 mais usados sdo a Método de Euler Modificado Yn1 Yn hk 10 Onde ky FXn Yn 1 1 kg fF Xn 5h Yn 5k o a NAC Calculo Numérico Itaguai 20201 93 99 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Métodos de RungeKutta Métodos de RungeKutta de 2a ordem a Método de Euler Melhorado mais usado yn1 yn h 2k1 k2 11 Onde k1 f xn yn k2 f xn h yn hk1 Prof Washington CEFET RJ Itaguaí Cálculo Numérico Itaguaí 20201 94 99 Métodos de RungeKutta de 2 ordem Exemplo Usando o método de Euler Modificado resolva o PVI 1 29 0x03 h01 y0 2 nes Solucdo numérica Xn Yn 00 20000 01 20050 02 20190 03 20412 Soluao analitica yx 1xe a a DAG CAlculo Numérico Itaguai 20201 95 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Os métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem mais usados sao 37 ordem h Yn41 Yn vals 3k3 12 ky fXn Yn 1 1 kg FX gyn hk 2 2 k3 f x gyn ud a a NAC CAalculo Numérico Itaguai 20201 96 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem 4 ordem é 0 método mais usado h Yn1 Yn Elki 2ko ka kal 13 ky fXn Yn ko f 1h 1 hk 20 Xn 9 n 5 1 k f 1h hk xX 3 nv 5 Yn 5 2 kg f Xn h Yn Akz a a DAC Calculo Numérico Itaguai 20201 9799 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Exercicio Use os métodos de RungeKutta de 3 e 47 ordem para resolver o PVI x2 YEXFE Qe x 03 h01 y0 2 Soluao analitica yx 1xe o a ac Calculo Numérico Itaguai 20201 98 99 Métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem Exercicio Use o método de Euler Melhorado e os métodos de RungeKutta de 3 e 4 ordem para resolver o PV yyx 0x05 h01 y0 2 Solugdo analitica yx 1xe o a 9a0 Calculo Numérico Itaguai 20201 99 99