·
Física ·
Álgebra Linear
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1 40pts Considere a transformação linear T R² R² de rotação de π4 rad do plano Determine as imagens por T dos vetores u 30 e v 0 12 geradores de um retângulo 2 60pts Nos itens a seguir considere o operador linear T R² R² dado por Txy x y x y Determine a A matriz canônica do operador T b Uma base para Núcleo de T e a dimensão do Núcleo de T c A dimensão da imagem de T d O operador T é injetivo O operador T é sobrejetivo O operador T é um isomorfismo sobre o espaço vetorial R² Justifique sua resposta e Determine todos os autovalores do operador T e os respectivos autovetores associados f O operador T é diagonalizável Justifique sua resposta Em caso afirmativo determine uma base de espectral de autovetores para o R² e diagonalize o operador T Sugestão Use a fórmula D P¹TP Boa Sorte 1 Sabemos que a transfo Linear T IR² IR² de rotação π4 é dada por Txy cos π4 sen π4 sen π4 cos π4x y com sqa Txy 22 22 22 22x y Assim T30 22 22 22 223 0 322 322 T0 12 22 22 22 220 12 24 24 2 T IR² IR² dado por Txy xy xy a T10 11 110101 T01 11 110101 Portanto T 1 1 1 1 T não é injetivo pois KerT 00 T não é sobrejetivo pois dim Im T 1 e para ser sobrejetivo teriamos Im T R2 ou seja dim Im T deveria ser 2 Portanto T não é isomorfismo pois não ser injetivo e sobrejetivo Encontraremos os autovetores associados a λ 2 Para isso basta encontrar xy tais que Txy 2xy 1 1 1 1x y 21 0 0 1x y 0 0 1 1 1 1 2 0 0 2x y 0 0 1 1 1 1x y 0 0 b Txy 00 xy xy 00 xy 0 x y xy 0 Ker T xy R2 Txy 00 xy R2 xy xy 00 xy R2 x y Ker T xx R2 x R 11 R2 x R Portanto u 11 gera o núcleo de T Como é um vetor não nulo e também LI logo 11 é uma base de Ker T concluindo que dimensão do núcleo de T é 1 dim Ker T 1 Obs Aqui estou escrevendo Ker T para o núcleo de T mas use para a notação que o professora usa durante as aulas c Pelo teorema do núcleo e da imagem temos que dim R2 dim Ker T dim Im T 2 1 dim Im T dim Im T 1 f Té diagonalizavel se escolhermos 11 11 que são as bases dos autores associados aos autovalores 2 e 0 respectivamente Assim β11 11 é uma base de IR² e temos DTβ 2 0 0 0 11110101 P 1 1 1 1 11 110101 10 1211 1211 P1 12 12 12 12 01 1211 1211 Assim DP1TP isto é 2 0 0 0 12 12 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1
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