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Física ·
Cálculo 3
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01 Nos seguintes problemas determine se as sequências convergem ou divergem Se convergirem determine o limite a 1n sennn1infty b n2 1 3nn2 n1infty c 20n 1 n n1infty d 1 1nn n1infty e cos n1n2 n1infty f n 1 n n1infty 02 Calcule o limite limn nn n Justifique sua resposta 03 Encontre a série de Taylor em torno do ponto c dado para as seguintes funções e determine os valores de x para os quais ela converge a fx sen x c 0 b fx dx1 x4 c 0 04 Para a série de potências k0 1k x2k 2k 1 x22 x44 x66 faça o que se pede a Use o teste da razão para mostrar que a série converge absolutamente para todo x real b Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função fx k0 1k x2k 2k satisfaz fx fx c Verifique que f0 1 d Qual a função que satisfaz os dois itens anteriores 05 Considerando a função fx arctanx faça o que se pede a Escreva a série de Maclaurin para fx b Represente π4 como uma série de potências c Estime o grau do polinômio de Maclaurin que aproxima o valor de π com 3 casas decimais de precisão Cálculo 3 1 a 1n sen nn1 Sendo limn 1n sen n limn sen n Portanto a sequência diverge b n2 1 3nn2 n1 Sendo limn n2 13nn2 limn n2 13n2 6n LHôpital limn 2n 6n 6 LHôpital limn 26 13 0 A sequência diverge c 20 1 n n1 Sendo limn 20 1 n limn 20 1 n 20 0 A sequência é convergente d 1 1nn n1 Sendo limn 1 1nn limn eln11nn limn en ln11n elimn n ln11n elimn ln11n 1n elimn 111n 1n2 1n2 e0 1 limn ln1 1n limn lnn1n limn lnn1 ln n 0 limn 1x 0 e ltano limn lnn1 ln n 1n LHôpital limn 1 n1 1n 1n2 lim n n n 1 lim n 1 1 1n 1 Portanto lim n ln 1 3n n e1 1e 0 A sequência diverge e cos n 1 n2 n1 sendo lim n cos n 1 n2 cos lim n n 1 n2 cos lim n 1n 1n3 cos 0 1 0 A sequência diverge f n1 n n1 sendo lim n n1 n lim n n1 n n1 n n1 n lim n12 n2 n1 n lim n 1 n n1 n lim Δ n1 n 0 A sequência é convergente 2 temos que lim nn n sendo nn n nnnnnn 12345n n 1 nnnnn 1234n Concluímos que lim n nn n 3 a fx sen x com c 0 sendo fx fn0 n xn fx cos x fx sen x fx cos x fIVx sen x fVx cos x f0 0 f0 1 f0 0 f0 1 fIV0 0 e fV0 1 ou seja sen x x x3 3 x5 5 1n x2n1 2n1 e pelo teste da razão lim n an1 an lim n x2n11 2n11 2n1 x2n1 lim n x2 2n1 2n32n22n1 lim n x2 2n22n3 0 A série converge em toda a reta b temos que fx dx 1 x4 com c 0 Expandindo no integrando fx 1 1 x4 fx 4x3 1 x42 fx 32x6 1 x43 32x2 1 x42 fx 24x 1 x42 384x9 1 x44 288x5 1 x43 f IVx 1632x4 x4 13 24 x4 12 6144x2 x4 12 6912x6 x4 14 Ao realizar as derivadas pelo Wolfram vimos notar que f0 1 f0 24 4 f40 5 e f60 121 Ou seja 1 1 x4 1 4 x4 4 5 x8 5 12 x12 12 1 x4 x8 x12 5 Portanto 1 1 x4 sum from n0 to infinity of 1n x4n logo fx integral of sum from n0 to infinity of 1n x4n dx sum from n0 to infinity of 1n integral x4n dx fx sum from n0 to infinity of 1n x4n1 4n1 e agora pelo teste da razão limit as ninfinity of x4n11 4n11 4n1 x4n1 limit as ninfinity of x4 x4 1 Condição para ser convergente x4 1 1 x4 1 1 x 1 A série é convergente no intervalo 1 x 1 6 4 a Temos que sum from k0 to infinity of 1k x2k 2k e pelo teste da razão limit as kinfinity of x2k1 2k1 x2k 2k limit as kinfinity of x2k3 2k x2k 2k3 limit as kinfinity of x3 2k 2k 2k32k22k1 limit as kinfinity of x3 2k12k22k3 0 Converge para todo x b Fazendo fx sum from k0 to infinity of 1k x2k 2k 1 x22 x44 x66 fx 2x2 4x34 6x56 fx 22 12x24 30x46 5 dx 22 1 x²2 x⁴4 x⁶6 22 fx ou seja fx 22 fx 22 fx fx dx fx c Sada fx Σ 1k x2k2k 1 x²2 x⁴4 f0 1 0²2 0⁴4 f0 1 d A partir da EDO dx fx fx fx 0 Temos como solução fx cos x sen x u como f0 1 fx cos x 5 Temos que fx arctgx a A série de Maclaurin é fx Σ fn0n xⁿ então fx arctgx fx 1x²1 fx 2xx²1² fx 6x²2x²1³ f⁴x 24xx²1x²1⁴ e sada f0 0 f0 1 f0 0 f0 2 e f⁴0 0 Vemos que arctgx x x³3 x⁵5 Σ 1n x2n12n1 n0 to infinity b E agora fo zerto arctg1 π4 Σ 1n 12n12n1 n0 to infinity ou seja π4 Σ 1n2n1 n0 to infinity c Temos que Rₙx Mn1 x aⁿ¹ 10001 Jⁿ¹n1 0001 Jⁿ¹n1 fazendo n 1 t 0001 1t t 1000 n1 1000
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01 Nos seguintes problemas determine se as sequências convergem ou divergem Se convergirem determine o limite a 1n sennn1infty b n2 1 3nn2 n1infty c 20n 1 n n1infty d 1 1nn n1infty e cos n1n2 n1infty f n 1 n n1infty 02 Calcule o limite limn nn n Justifique sua resposta 03 Encontre a série de Taylor em torno do ponto c dado para as seguintes funções e determine os valores de x para os quais ela converge a fx sen x c 0 b fx dx1 x4 c 0 04 Para a série de potências k0 1k x2k 2k 1 x22 x44 x66 faça o que se pede a Use o teste da razão para mostrar que a série converge absolutamente para todo x real b Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função fx k0 1k x2k 2k satisfaz fx fx c Verifique que f0 1 d Qual a função que satisfaz os dois itens anteriores 05 Considerando a função fx arctanx faça o que se pede a Escreva a série de Maclaurin para fx b Represente π4 como uma série de potências c Estime o grau do polinômio de Maclaurin que aproxima o valor de π com 3 casas decimais de precisão Cálculo 3 1 a 1n sen nn1 Sendo limn 1n sen n limn sen n Portanto a sequência diverge b n2 1 3nn2 n1 Sendo limn n2 13nn2 limn n2 13n2 6n LHôpital limn 2n 6n 6 LHôpital limn 26 13 0 A sequência diverge c 20 1 n n1 Sendo limn 20 1 n limn 20 1 n 20 0 A sequência é convergente d 1 1nn n1 Sendo limn 1 1nn limn eln11nn limn en ln11n elimn n ln11n elimn ln11n 1n elimn 111n 1n2 1n2 e0 1 limn ln1 1n limn lnn1n limn lnn1 ln n 0 limn 1x 0 e ltano limn lnn1 ln n 1n LHôpital limn 1 n1 1n 1n2 lim n n n 1 lim n 1 1 1n 1 Portanto lim n ln 1 3n n e1 1e 0 A sequência diverge e cos n 1 n2 n1 sendo lim n cos n 1 n2 cos lim n n 1 n2 cos lim n 1n 1n3 cos 0 1 0 A sequência diverge f n1 n n1 sendo lim n n1 n lim n n1 n n1 n n1 n lim n12 n2 n1 n lim n 1 n n1 n lim Δ n1 n 0 A sequência é convergente 2 temos que lim nn n sendo nn n nnnnnn 12345n n 1 nnnnn 1234n Concluímos que lim n nn n 3 a fx sen x com c 0 sendo fx fn0 n xn fx cos x fx sen x fx cos x fIVx sen x fVx cos x f0 0 f0 1 f0 0 f0 1 fIV0 0 e fV0 1 ou seja sen x x x3 3 x5 5 1n x2n1 2n1 e pelo teste da razão lim n an1 an lim n x2n11 2n11 2n1 x2n1 lim n x2 2n1 2n32n22n1 lim n x2 2n22n3 0 A série converge em toda a reta b temos que fx dx 1 x4 com c 0 Expandindo no integrando fx 1 1 x4 fx 4x3 1 x42 fx 32x6 1 x43 32x2 1 x42 fx 24x 1 x42 384x9 1 x44 288x5 1 x43 f IVx 1632x4 x4 13 24 x4 12 6144x2 x4 12 6912x6 x4 14 Ao realizar as derivadas pelo Wolfram vimos notar que f0 1 f0 24 4 f40 5 e f60 121 Ou seja 1 1 x4 1 4 x4 4 5 x8 5 12 x12 12 1 x4 x8 x12 5 Portanto 1 1 x4 sum from n0 to infinity of 1n x4n logo fx integral of sum from n0 to infinity of 1n x4n dx sum from n0 to infinity of 1n integral x4n dx fx sum from n0 to infinity of 1n x4n1 4n1 e agora pelo teste da razão limit as ninfinity of x4n11 4n11 4n1 x4n1 limit as ninfinity of x4 x4 1 Condição para ser convergente x4 1 1 x4 1 1 x 1 A série é convergente no intervalo 1 x 1 6 4 a Temos que sum from k0 to infinity of 1k x2k 2k e pelo teste da razão limit as kinfinity of x2k1 2k1 x2k 2k limit as kinfinity of x2k3 2k x2k 2k3 limit as kinfinity of x3 2k 2k 2k32k22k1 limit as kinfinity of x3 2k12k22k3 0 Converge para todo x b Fazendo fx sum from k0 to infinity of 1k x2k 2k 1 x22 x44 x66 fx 2x2 4x34 6x56 fx 22 12x24 30x46 5 dx 22 1 x²2 x⁴4 x⁶6 22 fx ou seja fx 22 fx 22 fx fx dx fx c Sada fx Σ 1k x2k2k 1 x²2 x⁴4 f0 1 0²2 0⁴4 f0 1 d A partir da EDO dx fx fx fx 0 Temos como solução fx cos x sen x u como f0 1 fx cos x 5 Temos que fx arctgx a A série de Maclaurin é fx Σ fn0n xⁿ então fx arctgx fx 1x²1 fx 2xx²1² fx 6x²2x²1³ f⁴x 24xx²1x²1⁴ e sada f0 0 f0 1 f0 0 f0 2 e f⁴0 0 Vemos que arctgx x x³3 x⁵5 Σ 1n x2n12n1 n0 to infinity b E agora fo zerto arctg1 π4 Σ 1n 12n12n1 n0 to infinity ou seja π4 Σ 1n2n1 n0 to infinity c Temos que Rₙx Mn1 x aⁿ¹ 10001 Jⁿ¹n1 0001 Jⁿ¹n1 fazendo n 1 t 0001 1t t 1000 n1 1000