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Engenharia da Mobilidade ·
Álgebra Linear
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Questão 11 Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira V ou falsa F Não é preciso justificar 1 Se λ 0 é autovalor de T V V então T não pode ser injetora 2 A união do vetor nulo com o conjunto dos autovetores da transformação T V V associados ao autovalor λ forma o núcleo da transformação S T λI 3 Se T V V é diagonalizável então T é isomorfismo 4 Se T V V é isomorfismo então T é diagonalizável 5 Qualquer base de um espaço V pode ser ortonormalizada pelo processo de GramSchmidt 6 Existe transformação linear injetora T IR² IR³ 7 Não existe transformação linear sobrejetora T IR² IR³ 8 Sendo o produto interno definido em V é possível terse dois vetores ortogonais tais que v1 v2 0 9 Se a transformação linear T P₃ M32 é sobrejetora então T também é injetora 10 a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ 1 é um produto interno para o espaço IR³ 11 Se T V V é ortogonal então T é isomorfismo 12 Se T V V é isomorfismo então T é ortogonal Questão 12 Encontre a solução geral yt da equação diferencial y y y y 0 a reescrevendo a equação diferencial de ordem 3 acima como um sistema de 3 equações diferenciais de ordem 1 b encontrando uma base de autovetores da matriz dos coeficientes do sistema e escrevendo a solução geral yt como combinação linear das soluções LI dadas pelos autovetores encontrados Questão 11 1 V 2 V 3 V 4 F 5 V 6 V 7 V 8 F 9 F 10 F 11 F 12 V Questão 12 a x₁ x₂ x₂ x₃ x₃ x₁ x₂ x₃ t³ t² t 1 0 Fórmula de Euler t² t 1 t 1 0 e1t cost isent t² 1t 1 0 t² 1 ou t 1 xt c₁ et c₂ cos t c₃ sen t t i b x₁ x₂ x₂ x₃ x₃ x₁ x₂ x₃ x₁ x₂ x₃ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 x₁ x₂ x₃ Pλ det A λI det λ 1 0 0 λ 1 1 1 1λ λ² λ³ 1 λ Pλ λ³ λ² λ 1 λ 1λ² 1 λ₁ 1 λ₂ i e λ₃ i λ₁ 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 ε₁ 0 ε₂ 0 ε₃ ε₁ ε₃ ε₂ ε₃ Autovetores α α α α IR x₁ 1 et 1 1 λ i AV i V 0 1 0 a i a 0 0 1 b b 1 1 1 c c Autovetor bi a tomando a1 ci bi e c1 v abc i c 1 Pela Formula de Euler i ei t ei t cos t i sent 1 1 cos t i sent cos t sent i cos t i sent sent i cos t sent i cos t i 1 cos t i se ne cos t sent χ2 c1 cos t c2 sent sent cos t cos t sent Precisamos de apenas um dos autovalores para que o sistema seja LI logo a solução geral é Xt 1 e6 c1 cos t c2 sent 1 sent cos t 1 cos t sent Scanned with CamScanner
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Questão 11 Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira V ou falsa F Não é preciso justificar 1 Se λ 0 é autovalor de T V V então T não pode ser injetora 2 A união do vetor nulo com o conjunto dos autovetores da transformação T V V associados ao autovalor λ forma o núcleo da transformação S T λI 3 Se T V V é diagonalizável então T é isomorfismo 4 Se T V V é isomorfismo então T é diagonalizável 5 Qualquer base de um espaço V pode ser ortonormalizada pelo processo de GramSchmidt 6 Existe transformação linear injetora T IR² IR³ 7 Não existe transformação linear sobrejetora T IR² IR³ 8 Sendo o produto interno definido em V é possível terse dois vetores ortogonais tais que v1 v2 0 9 Se a transformação linear T P₃ M32 é sobrejetora então T também é injetora 10 a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₁a₂ b₁b₂ c₁c₂ 1 é um produto interno para o espaço IR³ 11 Se T V V é ortogonal então T é isomorfismo 12 Se T V V é isomorfismo então T é ortogonal Questão 12 Encontre a solução geral yt da equação diferencial y y y y 0 a reescrevendo a equação diferencial de ordem 3 acima como um sistema de 3 equações diferenciais de ordem 1 b encontrando uma base de autovetores da matriz dos coeficientes do sistema e escrevendo a solução geral yt como combinação linear das soluções LI dadas pelos autovetores encontrados Questão 11 1 V 2 V 3 V 4 F 5 V 6 V 7 V 8 F 9 F 10 F 11 F 12 V Questão 12 a x₁ x₂ x₂ x₃ x₃ x₁ x₂ x₃ t³ t² t 1 0 Fórmula de Euler t² t 1 t 1 0 e1t cost isent t² 1t 1 0 t² 1 ou t 1 xt c₁ et c₂ cos t c₃ sen t t i b x₁ x₂ x₂ x₃ x₃ x₁ x₂ x₃ x₁ x₂ x₃ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 x₁ x₂ x₃ Pλ det A λI det λ 1 0 0 λ 1 1 1 1λ λ² λ³ 1 λ Pλ λ³ λ² λ 1 λ 1λ² 1 λ₁ 1 λ₂ i e λ₃ i λ₁ 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 ε₁ 0 ε₂ 0 ε₃ ε₁ ε₃ ε₂ ε₃ Autovetores α α α α IR x₁ 1 et 1 1 λ i AV i V 0 1 0 a i a 0 0 1 b b 1 1 1 c c Autovetor bi a tomando a1 ci bi e c1 v abc i c 1 Pela Formula de Euler i ei t ei t cos t i sent 1 1 cos t i sent cos t sent i cos t i sent sent i cos t sent i cos t i 1 cos t i se ne cos t sent χ2 c1 cos t c2 sent sent cos t cos t sent Precisamos de apenas um dos autovalores para que o sistema seja LI logo a solução geral é Xt 1 e6 c1 cos t c2 sent 1 sent cos t 1 cos t sent Scanned with CamScanner