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Engenharia de Transporte e Logística ·
Estática para Engenharia
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Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais Departamento de Computacao Disciplina Estatıstica Prof Guilherme Lopes de Oliveira Prova Substitutiva 20221 Valor 300 pontos 1a Questao 9 pontos Suponha que o nıvel de colesterol total X em pessoas sadias em determinada populacao possa ser descrito pela distribuicao Normal com media 140 mgdL e desvio padrao de 225 mgdL a Se for considerado que pessoas com nıvel de colesterol acima de 190 mgdL apresen tam problemas de saude qual a probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente segundo esse criterio b Qual o nıvel de colesterol total para o qual 5 das pessoas desta populacao estao abaixo dele c Qual a proporcao de pessoas sadias desta populacao com nıvel de colesterol situado a nao mais que 2 desviospadrao da media 2 Questao 60 pontos Quando a taxa de desemprego cresce os estudantes de ensino medio encontram maior competicao de estudantes de curso superior e de trabalhado res adultos pelos chamados empregos temporarios Em uma amostra aleatoria de 188 estudantes de ensino medio a procura de um emprego temporario 61 disseram que con seguiram encontrar algum trabalho Encontre um intervalo de 95 de confianca para a proporcao populacional de estudantes de ensino medio que conseguiram um emprego temporario Interprete o intervalo obtido 3 Questao 8 pontos Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado pro duto tem distribuicao Normal A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de producao se a media de consumo per capita fosse me nor que 8kg Caso contrario continuaria a fabricalo Foi realizada uma pesquisa de mercado com 25 indivıduos obtendo os dados a seguir 37 50 51 51 59 61 61 68 70 75 76 76 77 77 79 79 84 85 85 88 89 98 99 102 104 a Calcule a media mediana Q1 Q3 variˆancia e desviopadrao do consumo mensal per capita do produto com base na amostra b Com base nos dados obtidos qual a decisao da firma a respeito da retirada do produto da linha de producao Use um nıvel de 5 de significˆancia 1 4ª Questão 70 pontos Na tabela abaixo estão indicados o valor y do aluguel em mil reais e a idade x em anos desde a construção de cinco casas Tempo após construção anos x 5 7 10 13 20 Valor do aluguel mil reais y 6 5 4 3 2 a Estime a equação de regressão linear apropriada ao problema e interprete β0 e β1 b Usando o modelo ajustado por você no item b forneça uma previsão para o valor do aluguel para uma casa com 16 anos de idade c Calcule e interprete o coeficiente de determinação R2 FORMULÁRIO y ni1 yi n S2 ni1 yi y2 n 1 ni1 y2i ny2 n 1 S S2 L k100n Z Y μ σ Z Ŷ μ0 σn sob H0 N0 1 T Ŷ μ0 Sn sob H0 tn1 ICμ1α100 y zα2 σ n ICμ1α100 y tn1 α2 s n n zα2 σ erro 2 ICp1α100 p zα2 p1 p n p n de sucessos n Z p p0 p01p0n sob H0 N0 1 Yi β0 β1 Xi ϵi Ŷi β0 β1 Xi β0 Y β1 X R2 SQReg SQTotal β1 ni1 Xi Yi nX Y ni1 X2i nX2 SQTotal SQReg SQErro SQTotal ni1 Yi Y2 SQReg ni1 Ŷi Y2 valor p PU uobs ou valor p PU uobs ou valor p 2PU uobs onde U representa a distribuição de probabilidade da estatística de teste sob H0 e uobs é o valor observado da estatística de teste 1ª Questão Temos que μ140 mgd L σ225mg d L a Probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente P X190PZ 190140 225 P Z2221P Z222109868 00132 b Sabemos que PZ1645005 Temos que z xμ σ Então 1645x140 225 Logo x1029875mgdL c Porcentagem de pessoas sadias com nível de colesterol entre mais ou menos duas vezes o desvio padrão P 1402225 X 1402225P 95140 225 Z 185140 225 P 2Z2 P Z21P Z2097721097720954 4 2ª Questão p 61 188 IC p95 61 188 196 61 188 1 61 188 188 IC p950257503914 É possível afirmar com 95 de confiança que o intervalo construído contém a proporção populacional de estudantes do ensino médio que conseguiram um emprego temporário Isto é se construíssemos cem ICs como este é esperado que noventa e cinco deles contenham a proporção populacional 3ª Questão a Média x375010210 4 25 1881 25 7 5 Mediana Os dados já se encontram ordenados A mediana é o elemento do centro Med 77 Q1 Primeiro Quartil Q1 é valor que tem 25 dos dados abaixo dele Posição 25 100 256 logo Q1 61 Q3 Terceiro Quartil Q3 é valor que tem 75 dos dados abaixo dele ou 25 acima Posição 75 100 2519 logo Q3 85 Variância s² 1 251 37752²10475² 7306 24 30 Desvio padrão s3017 b Hipóteses H 0 μ8 kg H 1 μ8kg Estatística de teste T758 17 25 1471 t 24 Valor tabelado e área de rejeição Tc1711 Temos que T Tc logo a hipótese nula não deve ser rejeitada pelo teste tStudent ao nível de significância de 5 Não há evidências de que o consumo per capita seja menor que 8kg e a diretoria da fábrica não deve retirar o produto da linha de produção 4ª Questão Temos que X X n 520 5 55 5 11 Y Y n 62 5 20 5 4 X ²5²20²743 X Y56202184 a Os coeficientes estimados são β11845114 743511² 02609 β04026091168699 Equação da reta é dada por Y i6 86 9902609 Xi Observando a equação da reta podemos que notar que o coeficiente linear mostra que para uma casa nova o aluguel será de aproximadamente R686990 reais O coeficiente angular indica que para cada ano o valor do aluguel é reduzido em aproximadamente R26090 Entretanto cabe ressaltar que na estimação do modelo não foram utilizadas casas novas logo não é ideal fazer essa extrapolação e concluir sobre valores fora da faixa de valores utilizados para o ajuste da equação da reta b Uma casa com 16 anos de idade tem valor de aluguel previsto em R269550 Y i68699026091626955 c Os valores previstos para o modelo ajustado são 55654 50436 42609 34782 16519 A soma de quadrados total é dada por SQtotal64²24²10 A soma de quadrados da regressão é dada por SQreg556544 2165194 293935 Por fim o coeficiente de determinação é dado por R²93935 10 0939 4 O coeficiente de determinação mostra que modelo ajustado consegue explicar cerca de 9394 da variabilidade total do valor do aluguel 1ª Questão Temos que μ 140 mgdL σ 225 mgdL a Probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente 𝑃𝑋 190 𝑃 𝑍 190 140 225 𝑃𝑍 222 1 𝑃𝑍 222 1 09868 00132 b Sabemos que P𝑍 1645 005 Temos que z x μ σ Então 1645 x 140 225 Logo x 1029875 mgdL c Porcentagem de pessoas sadias com nível de colesterol entre mais ou menos duas vezes o desvio padrão 𝑃140 2 225 𝑋 140 2 225 𝑃 95 140 225 𝑍 185 140 225 𝑃2 𝑍 2 𝑃𝑍 2 1 𝑃𝑍 2 09772 109772 09544 2ª Questão 𝑝 61 188 𝐼𝐶p 95 61 188 196 61 188 1 61 188 188 𝐼𝐶p 95 02575 03914 É possível afirmar com 95 de confiança que o intervalo construído contém a proporção populacional de estudantes do ensino médio que conseguiram um emprego temporário Isto é se construíssemos cem ICs como este é esperado que noventa e cinco deles contenham a proporção populacional 3ª Questão a Média x 37 50 102 104 25 1881 25 75 Mediana Os dados já se encontram ordenados A mediana é o elemento do centro Med 77 Q1 Primeiro Quartil Q1 é valor que tem 25 dos dados abaixo dele Posição 25 100 25 6 logo Q1 61 Q3 Terceiro Quartil Q3 é valor que tem 75 dos dados abaixo dele ou 25 acima Posição 75 100 25 19 logo Q3 85 Variância s² 1 25 1 37 752² 104 75² 7306 24 30 Desvio padrão s 30 17 b Hipóteses 𝐻0 𝜇 8 𝑘𝑔 𝐻1 𝜇 8 𝑘𝑔 Estatística de teste T 75 8 17 25 1471 t24 Valor tabelado e área de rejeição Tc 1711 Temos que T Tc logo a hipótese nula não deve ser rejeitada pelo teste tStudent ao nível de significância de 5 Não há evidências de que o consumo per capita seja menor que 8kg e a diretoria da fábrica não deve retirar o produto da linha de produção 4ª Questão Temos que 𝑋 X n 520 5 55 5 11 Y Y n 62 5 20 5 4 X² 5² 20² 743 X Y 5 6 20 2 184 a Os coeficientes estimados são 𝛽1 184 5 11 4 743 5 11² 02609 𝛽0 4 02609 11 68699 Equação da reta é dada por 𝑌𝑖 68699 02609 𝑋𝑖 Observando a equação da reta podemos que notar que o coeficiente linear mostra que para uma casa nova o aluguel será de aproximadamente R686990 reais O coeficiente angular indica que para cada ano o valor do aluguel é reduzido em aproximadamente R26090 Entretanto cabe ressaltar que na estimação do modelo não foram utilizadas casas novas logo não é ideal fazer essa extrapolação e concluir sobre valores fora da faixa de valores utilizados para o ajuste da equação da reta b Uma casa com 16 anos de idade tem valor de aluguel previsto em R269550 𝑌𝑖 68699 02609 16 26955 c Os valores previstos para o modelo ajustado são 55654 50436 42609 34782 16519 A soma de quadrados total é dada por 𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 6 4² 2 4² 10 A soma de quadrados da regressão é dada por 𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔 55654 42 16519 42 93935 Por fim o coeficiente de determinação é dado por 𝑅² 93935 10 09394 O coeficiente de determinação mostra que modelo ajustado consegue explicar cerca de 9394 da variabilidade total do valor do aluguel
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Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais Departamento de Computacao Disciplina Estatıstica Prof Guilherme Lopes de Oliveira Prova Substitutiva 20221 Valor 300 pontos 1a Questao 9 pontos Suponha que o nıvel de colesterol total X em pessoas sadias em determinada populacao possa ser descrito pela distribuicao Normal com media 140 mgdL e desvio padrao de 225 mgdL a Se for considerado que pessoas com nıvel de colesterol acima de 190 mgdL apresen tam problemas de saude qual a probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente segundo esse criterio b Qual o nıvel de colesterol total para o qual 5 das pessoas desta populacao estao abaixo dele c Qual a proporcao de pessoas sadias desta populacao com nıvel de colesterol situado a nao mais que 2 desviospadrao da media 2 Questao 60 pontos Quando a taxa de desemprego cresce os estudantes de ensino medio encontram maior competicao de estudantes de curso superior e de trabalhado res adultos pelos chamados empregos temporarios Em uma amostra aleatoria de 188 estudantes de ensino medio a procura de um emprego temporario 61 disseram que con seguiram encontrar algum trabalho Encontre um intervalo de 95 de confianca para a proporcao populacional de estudantes de ensino medio que conseguiram um emprego temporario Interprete o intervalo obtido 3 Questao 8 pontos Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado pro duto tem distribuicao Normal A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de producao se a media de consumo per capita fosse me nor que 8kg Caso contrario continuaria a fabricalo Foi realizada uma pesquisa de mercado com 25 indivıduos obtendo os dados a seguir 37 50 51 51 59 61 61 68 70 75 76 76 77 77 79 79 84 85 85 88 89 98 99 102 104 a Calcule a media mediana Q1 Q3 variˆancia e desviopadrao do consumo mensal per capita do produto com base na amostra b Com base nos dados obtidos qual a decisao da firma a respeito da retirada do produto da linha de producao Use um nıvel de 5 de significˆancia 1 4ª Questão 70 pontos Na tabela abaixo estão indicados o valor y do aluguel em mil reais e a idade x em anos desde a construção de cinco casas Tempo após construção anos x 5 7 10 13 20 Valor do aluguel mil reais y 6 5 4 3 2 a Estime a equação de regressão linear apropriada ao problema e interprete β0 e β1 b Usando o modelo ajustado por você no item b forneça uma previsão para o valor do aluguel para uma casa com 16 anos de idade c Calcule e interprete o coeficiente de determinação R2 FORMULÁRIO y ni1 yi n S2 ni1 yi y2 n 1 ni1 y2i ny2 n 1 S S2 L k100n Z Y μ σ Z Ŷ μ0 σn sob H0 N0 1 T Ŷ μ0 Sn sob H0 tn1 ICμ1α100 y zα2 σ n ICμ1α100 y tn1 α2 s n n zα2 σ erro 2 ICp1α100 p zα2 p1 p n p n de sucessos n Z p p0 p01p0n sob H0 N0 1 Yi β0 β1 Xi ϵi Ŷi β0 β1 Xi β0 Y β1 X R2 SQReg SQTotal β1 ni1 Xi Yi nX Y ni1 X2i nX2 SQTotal SQReg SQErro SQTotal ni1 Yi Y2 SQReg ni1 Ŷi Y2 valor p PU uobs ou valor p PU uobs ou valor p 2PU uobs onde U representa a distribuição de probabilidade da estatística de teste sob H0 e uobs é o valor observado da estatística de teste 1ª Questão Temos que μ140 mgd L σ225mg d L a Probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente P X190PZ 190140 225 P Z2221P Z222109868 00132 b Sabemos que PZ1645005 Temos que z xμ σ Então 1645x140 225 Logo x1029875mgdL c Porcentagem de pessoas sadias com nível de colesterol entre mais ou menos duas vezes o desvio padrão P 1402225 X 1402225P 95140 225 Z 185140 225 P 2Z2 P Z21P Z2097721097720954 4 2ª Questão p 61 188 IC p95 61 188 196 61 188 1 61 188 188 IC p950257503914 É possível afirmar com 95 de confiança que o intervalo construído contém a proporção populacional de estudantes do ensino médio que conseguiram um emprego temporário Isto é se construíssemos cem ICs como este é esperado que noventa e cinco deles contenham a proporção populacional 3ª Questão a Média x375010210 4 25 1881 25 7 5 Mediana Os dados já se encontram ordenados A mediana é o elemento do centro Med 77 Q1 Primeiro Quartil Q1 é valor que tem 25 dos dados abaixo dele Posição 25 100 256 logo Q1 61 Q3 Terceiro Quartil Q3 é valor que tem 75 dos dados abaixo dele ou 25 acima Posição 75 100 2519 logo Q3 85 Variância s² 1 251 37752²10475² 7306 24 30 Desvio padrão s3017 b Hipóteses H 0 μ8 kg H 1 μ8kg Estatística de teste T758 17 25 1471 t 24 Valor tabelado e área de rejeição Tc1711 Temos que T Tc logo a hipótese nula não deve ser rejeitada pelo teste tStudent ao nível de significância de 5 Não há evidências de que o consumo per capita seja menor que 8kg e a diretoria da fábrica não deve retirar o produto da linha de produção 4ª Questão Temos que X X n 520 5 55 5 11 Y Y n 62 5 20 5 4 X ²5²20²743 X Y56202184 a Os coeficientes estimados são β11845114 743511² 02609 β04026091168699 Equação da reta é dada por Y i6 86 9902609 Xi Observando a equação da reta podemos que notar que o coeficiente linear mostra que para uma casa nova o aluguel será de aproximadamente R686990 reais O coeficiente angular indica que para cada ano o valor do aluguel é reduzido em aproximadamente R26090 Entretanto cabe ressaltar que na estimação do modelo não foram utilizadas casas novas logo não é ideal fazer essa extrapolação e concluir sobre valores fora da faixa de valores utilizados para o ajuste da equação da reta b Uma casa com 16 anos de idade tem valor de aluguel previsto em R269550 Y i68699026091626955 c Os valores previstos para o modelo ajustado são 55654 50436 42609 34782 16519 A soma de quadrados total é dada por SQtotal64²24²10 A soma de quadrados da regressão é dada por SQreg556544 2165194 293935 Por fim o coeficiente de determinação é dado por R²93935 10 0939 4 O coeficiente de determinação mostra que modelo ajustado consegue explicar cerca de 9394 da variabilidade total do valor do aluguel 1ª Questão Temos que μ 140 mgdL σ 225 mgdL a Probabilidade de uma pessoa sadia ser considerada doente 𝑃𝑋 190 𝑃 𝑍 190 140 225 𝑃𝑍 222 1 𝑃𝑍 222 1 09868 00132 b Sabemos que P𝑍 1645 005 Temos que z 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b Hipóteses 𝐻0 𝜇 8 𝑘𝑔 𝐻1 𝜇 8 𝑘𝑔 Estatística de teste T 75 8 17 25 1471 t24 Valor tabelado e área de rejeição Tc 1711 Temos que T Tc logo a hipótese nula não deve ser rejeitada pelo teste tStudent ao nível de significância de 5 Não há evidências de que o consumo per capita seja menor que 8kg e a diretoria da fábrica não deve retirar o produto da linha de produção 4ª Questão Temos que 𝑋 X n 520 5 55 5 11 Y Y n 62 5 20 5 4 X² 5² 20² 743 X Y 5 6 20 2 184 a Os coeficientes estimados são 𝛽1 184 5 11 4 743 5 11² 02609 𝛽0 4 02609 11 68699 Equação da reta é dada por 𝑌𝑖 68699 02609 𝑋𝑖 Observando a equação da reta podemos que notar que o coeficiente linear mostra que para uma casa nova o aluguel será de aproximadamente R686990 reais O coeficiente angular indica que para cada ano o valor do aluguel é reduzido em aproximadamente R26090 Entretanto cabe ressaltar que na estimação do modelo não foram utilizadas casas novas logo não é ideal fazer essa extrapolação e concluir sobre valores fora da faixa de valores utilizados para o ajuste da equação da reta b Uma casa com 16 anos de idade tem valor de aluguel previsto em R269550 𝑌𝑖 68699 02609 16 26955 c Os valores previstos para o modelo ajustado são 55654 50436 42609 34782 16519 A soma de quadrados total é dada por 𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 6 4² 2 4² 10 A soma de quadrados da regressão é dada por 𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔 55654 42 16519 42 93935 Por fim o coeficiente de determinação é dado por 𝑅² 93935 10 09394 O coeficiente de determinação mostra que modelo ajustado consegue explicar cerca de 9394 da variabilidade total do valor do aluguel