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Engenharia Mecatrônica ·
Álgebra Linear
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ou XXC XBC b Prémultiplicando ambos os membros da equação por X¹ vem X¹ XXC X¹ XBC X¹ X I IXC IBC IX X IB B XC BC c Pósmultiplicando ambos os membros da equação por C¹ vem XCC¹ BCC¹ CC¹ I XI BI XI X BI B X B A371 Problemas Propostos Nos problemas de 1 a 3 transformar na matriz unidade as matrizes dadas 1 A 3 5 1 2 b chamar a atenção para o número de determinantes de ordem n 2 que se deve calcular quando se faz o cálculo de um determinante de ordem n 3 pelo processo de desenvolvêlo por uma linha coluna Assim o cálculo de um determinante de ordem 3 implica calcular 3 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 4 implica calcular 4 3 12 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 5 implica calcular 5 4 3 60 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 6 implica calcular 6 5 4 3 36 determinantes de ordem 2 etc c Alertar para o fato de que quando n 4 é muito natural que enganos sejam cometidos e que portanto o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante Por essa razão e mesmo que o processo de triangulação seja menos trabalhoso atualmente se calcula um determinante por computador por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado A291 Problemas Propostos Dadas as matrizes A 3 4 1 5 2 9 7 8 6 B 4 1 3 3 0 1 7 2 4 e C 2 6 8 3 9 12 1 2 3 calcular pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento de uma linha ou coluna 1 det A 2 det B 3 det C 4 det A B 5 det A B 6 det 2A 3B 4C 7 det BC 8 det ACᵀ 9 det CB A 10 det C BA 11 Verificar se det A B det A det B 12 Verificar se det BC det B det C Dada a matriz A 2 3 1 1 0 1 2 3 1 1 1 2 4 3 5 1 13 Calcular det A pelo processo de triangulação 14 Calcular det A desenvolvendoo pela 2ª linha Nos problemas 15 a 22 resolver as equações 15 4 6 x 5 2 x 128 7 4 2x 16 3 5 7 2x x 3x 39 4 6 7 17 5 1 3 3x 0 1 100 7x 2 1 18 x3 x1 x4 4 5 3 7 9 10 7 3 de 6 Matrizes Determinantes Sistema de equações lineares 463 17 5 1 3 3x 0 1 100 7x 2 1 18 x 3 x 1 x 4 4 5 3 7 9 10 7 19 12 x 1 1 18 2x 3 2 10 15 2x 0 1 20 1 0 x 1 1 1 x 2 0 2 1 x 4 21 2 x 2 1 1 x 3 1 1 6 22 2 6 2 4 x 2 0 2x 8 4 2 de 7 Matrizes Determinantes Sistema de equações lineares 499 2 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 3 C 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 Nos problemas de 4 a 20 calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas 4 A 3 5 1 2 5 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 6 C 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 7 D 1 0 2 2 2 2 3 0 2 8 E 4 0 10 2 4 4 2 2 6 9 F 3 6 12 0 3 3 6 9 24 10 G 1 10 7 1 4 3 1 2 1 11 H 2 2 2 3 4 7 1 2 5 12 J 1 2 3 2 4 5 3 5 6 13 L 3 1 3 2 4 1 1 2 2 14 M 1 0 0 1 1 0 1 1 1 15 N 1 2 4 2 1 2 3 0 5 16 P 0 2 1 1 4 2 1 7 3 17 Q 1 1 1 3 3 4 3 4 3 18 R 2 0 0 0 3 0 0 0 7 19 S 0 0 5 0 6 0 9 0 0 20 1 2 0 8 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 21 Calcular o valor de K para que a matriz A 2 3 6 k não tenha inversa Nos problemas de 22 a 26 supondo as matrizes A B C e D quadradas de mesma ordem e inversíveis resolver as equações matriciais nas quais X é a variável 22 ADX ABC 23 DXT DC 24 ABCX2D2 ABCXD 25 D1 XD AC 26 CX 2B 3B Cálculo de Determinantes Dados A 3 4 1 5 2 9 7 8 6 B 4 1 3 3 0 1 7 2 4 C 2 6 8 3 9 12 1 2 3 1 Determinante de A detA 3 2 9 8 6 4 5 9 7 6 1 5 2 7 8 2 9 8 6 26 98 12 72 60 5 9 7 6 56 97 30 63 33 5 2 7 8 58 27 40 14 26 detA 360 433 1 26 180 132 26 22 2 Determinante de B detB 4 0 1 2 4 1 3 1 7 4 3 3 0 7 2 0 1 2 4 0 4 12 2 3 1 7 4 34 17 12 7 19 3 0 7 2 32 07 6 detB 42 119 36 8 19 18 9 3 Determinante de C detC 2 9 12 2 3 6 3 12 1 3 8 3 9 1 2 9 12 2 3 93 122 27 24 3 3 12 1 3 33 121 9 12 3 3 9 1 2 32 91 6 9 3 detC 23 63 83 6 18 24 0 4 Determinante de A B Somando as matrizes A B 3 4 4 1 1 3 5 3 2 0 9 1 7 7 8 2 6 4 7 3 4 2 2 8 14 10 2 Calculando o determinante detA B 7 2 8 10 2 3 2 8 14 2 4 2 2 14 10 2 8 10 2 22 810 4 80 76 2 8 14 2 22 814 4 112 108 2 2 14 10 210 214 20 28 8 detA B 776 3108 48 532 324 32 240 5 detA B A B 1 5 2 8 2 10 0 6 10 detA B 1 2 10 6 10 5 8 10 0 10 2 8 2 0 6 120 60 580 248 140 400 96 456 6 det2A 3B 4C Calculamos inicialmente 2A 6 8 2 10 4 18 14 16 12 3B 12 3 9 9 0 3 21 6 12 4C 8 24 32 12 36 48 4 8 12 Agora 2A 3B 6 12 8 3 2 9 10 9 4 0 18 3 14 21 16 6 12 12 6 11 7 19 4 21 7 10 24 Somando com 4C M 2A 3B 4C 6 8 11 24 7 32 19 12 4 36 21 48 7 4 10 8 24 12 2 35 25 7 32 27 11 2 12 Determinante detM 2 32 27 2 12 35 7 27 11 12 25 7 32 11 2 232 12 27 2 357 12 27 11 257 2 32 11 2384 54 3584 297 2514 352 2330 35213 25338 660 7455 8450 165 Resposta final det2A 3B 4C 165 7 detBC Usando a propriedade detAB detA detB temos detBC detB detC 90 0 8 detACT Sabemos que detCT detC logo detACT detA detC 22 0 0 9 detCBA Por associatividade e multiplicacao de determinantes detCBA detC detB detA 0 9 22 0 10 detCBA Mesma regra detCBA detC detB detA 0 11 Verificar se detA B det A det B detA B 240 det A det B 22 9 13 detA B det A det B 12 Verificar se detBC detB detC Sabemos que para matrizes quadradas de mesma ordem vale a propriedade detBC detB detC Se considerarmos as matrizes B e C dadas nas questoes anteriores temos detB 9 detC 0 detB detC 0 Alem disso ja havıamos calculado detBC 0 Portanto a igualdade e satisfeita neste caso Resposta final detBC detB detC e VERDADEIRA 4 13 Calcular det A pelo processo de triangulacao Seja A 2 3 1 1 0 1 2 3 1 1 1 2 4 3 5 1 Utilizando operacoes elementares para triangular 1 Trocar a linha 1 com a linha 3 troca muda o sinal 1 1 1 2 0 1 2 3 2 3 1 1 4 3 5 1 det muda de sinal 2 Zerar abaixo do pivˆo linha 1 L3 L3 2L1 L4 L4 4L1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 1 3 5 0 1 1 9 3 L3 L3 L2 L4 L4 L2 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 8 0 0 1 6 4 L4 L4 L3 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 8 0 0 0 2 Determinante produto da diagonal principal com sinal trocado pela troca de linha detA 1 1 1 2 17 14 Calcular det A desenvolvendo pela 2ª linha Desenvolvendo pela 2ª linha 5 detA 1 2 1 1 1 1 2 4 5 1 Desenvolvendo pela 1ª linha dessa submatriz 2 1 2 5 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 5 detA 1 2 1 2 5 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 5 1 21 1 2 5 1 1 2 4 1 5 1 4 1 21 10 1 8 5 4 1 22 9 1 17 Corrigindo o sinal dos cofatores 1 22 9 1 17 15 Resolver 4 6 x 5 2 x 7 4 2x 128 Expandindo pela 1ª linha 4 2 x 4 2x 6 5 x 7 2x x 5 2 7 4 42 2x x 4 65 2x x 7 x5 4 2 7 44x 4x 610x 7x x20 14 48x 617x x6 32x 102x 6x 64x Igualando 64x 128 x 2 16 Resolver 3 5 7 2x x 3x 4 6 7 39 Expandindo pela 1ª linha 3 x 3x 6 7 5 2x 3x 4 7 7 2x x 4 6 3x 7 3x 6 52x 7 3x 4 72x 6 x 4 37x 18x 514x 12x 712x 4x 311x 52x 78x 33x 10x 56x 13x Igualando 13x 39 x 3 17 Resolver 5 1 3 3x 0 1 7x 2 1 100 Expandindo pela 1ª linha 5 0 1 2 1 1 3x 1 7x 1 3 3x 0 7x 2 50 1 1 2 13x 1 1 7x 33x 2 0 7x 52 3x 7x 36x 10 4x 18x 10 4x 18x 22x 10 Igualando 22x 10 100 22x 110 x 5 18 Resolver x 3 x 1 x 4 4 5 3 9 10 7 7 Expandindo pela 1ª linha x 3 5 3 x 1 4 3 x 4 4 5 10 7 9 7 9 10 Calculando os menores 5 3 57 310 35 30 5 10 7 4 3 47 39 28 27 1 9 7 4 5 410 59 40 45 5 9 10 Substituindo x 35 x 11 x 45 5x 15 x 1 5x 20 x 6 Igualando x 6 7 x 1 19 12 x 1 1 18 2x 3 2 15 2x 0 1 10 Expandindo pela primeira linha det 12 x 3 2 1 18 2x 2 1 18 2x 3 0 1 15 2x 1 15 2x 0 12 x31 20 18 2x1 215 2x 18 2x0 315 2x 12 x3 18 2x 30 4x 45 6x 36 3x 12 2x 45 6x 36 3x 12 2x 45 6x 93 11x Igualando a 10 15 93 11x 10 x 8311 7545 20 1 0 x 1 1 1 x 2 2 1 x 4 0 Expandindo pela 1ª linha det 1 1 x 2 x 1 1 1 1 x 4 2 1 11x4 1x 2 x 11 2 x 4 x 2 x 1 2 x 1 x 1 Igualando x 1 0 x 1 21 2 x 2 1 1 x 1 1 6 3 Expandindo pela primeira linha det 2 1 x x 1 x 2 1 1 1 6 1 6 1 1 26 x x6 x 20 12 2x 6x x² x² 8x 12 Igualando x² 8x 12 3 x² 8x 15 0 x 3 ou x 5 16 22 2 6 2 4 x 2 2x 8 4 0 Expandindo pela primeira linha det 2 x 2 6 4 2 2 4 x 8 4 2x 4 2x 8 2x4 28 644 22x 248 x2x 24x 16 616 4x 232 2x² 8x 32 96 24x 64 4x² 32x 4x² 64 Igualando a zero 32x 4x² 64 0 4x² 32x 64 0 x 4 Transformação de Matrizes na Identidade Método de GaussJordan Problema 1 Seja a matriz A 3 5 1 2 Queremos encontrar A¹ aplicando o método de GaussJordan Para isso montamos a matriz aumentada 3 5 1 0 1 2 0 1 Passo 1 Tornar o pivô da primeira linha igual a 1 Dividimos a primeira linha por 3 L₁ 13 L₁ 1 53 13 0 1 2 0 1 Passo 2 Eliminar o elemento abaixo do pivô Subtraímos L₁ da segunda linha L₂ L₂ L₁ 1 53 13 0 0 13 13 1 Passo 3 Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 Multiplicamos L₂ por 3 L₂ 3L₂ 1 53 13 0 0 1 1 3 Passo 4 Eliminar o elemento acima do pivô da segunda coluna Subtraímos 53 L₂ da linha 1 L₁ L₁ 53 L₂ Cálculo 13 53 1 13 53 2 e 0 53 3 0 5 5 Nova matriz 1 0 2 5 0 1 1 3 Resultado final A¹ 2 5 1 3 Cálculo da Matriz Inversa Problemas 4 a 17 Problema 4 A 3 5 1 2 Matriz aumentada 3 5 1 0 1 2 0 1 Passo 1 L₁ 13 L₁ 1 53 13 0 1 2 0 1 Passo 2 L₂ L₂ L₁ 1 53 13 0 0 13 13 1 Passo 3 L₂ 3L₂ 1 53 13 0 0 1 1 3 Passo 4 L₁ L₁ 53 L₂ 1 0 2 5 0 1 1 3 Resposta final A¹ 2 5 1 3 Problema 2 Seja B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 Matriz aumentada 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 3 5 4 0 0 1 Passo 1 Trocar L1 e L3 para evitar pivˆo negativo e facilitar os calculos L1 L3 3 5 4 0 0 1 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 2 Normalizar L1 dividindo por 3 L1 1 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 3 Eliminar o elemento da L3 com 3 L3 L3 3L1 Calculando 3 31 0 4 35 3 1 5 34 3 1 1 30 1 0 30 0 0 31 3 1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 4 L2 1 L2 L2 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 5 L3 L2 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 0 1 1 1 0 1 3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 3 1 1 1 Passo 6 L3 3 L3 1 3L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 7 Eliminar acima da terceira coluna L2 L2 L2 2L3 L1 L1 L1 4 3L3 L2 2 21 0 1 21 3 1 3 0 21 3 2 3 L1 4 3 4 31 0 0 4 31 3 4 9 1 3 4 31 3 5 9 1 5 3 0 2 3 1 5 9 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Resposta B1 2 3 1 5 9 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 4 Problema 3 Queremos encontrar a inversa da matriz C 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 Montamos a matriz aumentada C I4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da coluna 1 O pivˆo a11 1 ja esta correto Vamos eliminar os elementos abaixo dele L2 L2 2 L1 L3 L3 1 L1 Aplicando as operacoes L2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 L3 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 Passo 2 Eliminar elementos abaixo do pivˆo da coluna 2 O pivˆo a22 1 esta correto L3 L3 2 L2 L4 L4 1 L2 L3 0 2 2 1 20 0 20 1 22 0 21 1 20 0 20 0 0 1 0 3 2 1 0 5 L4 0 1 1 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1 Passo 3 Eliminar o elemento abaixo do pivˆo da coluna 3 O pivˆo a33 1 esta correto L4 L4 2 L3 L4 0 0 2 21 1 20 2 23 1 22 0 21 1 20 0 0 0 1 4 3 2 1 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 0 0 0 1 4 3 2 1 Passo 4 Eliminar os elementos acima dos pivˆos Como a matriz original era triangular inferior com diagonal unitaria e ja zeramos os elementos abaixo da diagonal tambem nao ha elementos acima para eliminar todos ja sao zero Portanto a matriz da esquerda ja e a identidade Resposta final C1 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 Observacao Este tipo de matriz e chamada de matriz de Jordan inferior com unidades na diagonal e sua inversa tem um padrao triangular inferior com coeficientes crescentes 6 No visible text other than page number 7 Problema 5 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 Matriz aumentada 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 3 5 4 0 0 1 Passo 1 L1 L3 3 5 4 0 0 1 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 2 L1 1 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 3 L3 L3 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 4 L2 1 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 5 L3 L3 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 3 1 1 1 Passo 6 L3 1 3 L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 7 L2 L2 2L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 8 L1 L1 4 3L3 1 5 3 0 2 3 4 9 5 9 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 8 Passo 9 L1 L1 5 3L2 1 0 0 2 3 5 3 2 3 4 9 5 3 1 3 5 9 5 3 2 3 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Fazendo os calculos finais L1 1 0 0 2 3 10 9 4 9 5 9 5 9 10 9 1 0 0 16 9 1 5 9 Resposta final B1 16 9 1 5 9 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 9 Problema 6 C 1 0 0 2 1 0 4 3 2 Matriz aumentada 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 4 3 2 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo de a11 L2 L2 2L1 L3 L3 4L1 L2 2 21 1 20 0 20 0 21 1 20 0 20 0 1 0 2 1 0 L3 4 41 3 40 2 40 0 41 0 40 1 40 0 3 2 4 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 3 2 4 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo de a22 L3 L3 3L2 L3 0 3 31 2 30 4 6 0 3 1 0 0 0 2 2 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 2 2 3 1 Passo 3 Tornar o pivˆo da ultima linha igual a 1 L3 1 2L3 0 0 1 1 3 2 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 3 2 1 2 Passo 4 Substituir acima do pivˆo da terceira coluna L2 L2 0 L3 sem alteracaoL1 L1 0 L3 sem alteracao Resposta final C1 1 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 10 Problema 7 D 1 0 2 2 1 0 3 0 2 Matriz aumentada 1 0 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 3 0 2 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 2L1 L3 L3 3L1 L2 2 21 1 20 0 22 0 21 1 20 0 20 0 1 4 2 1 0 L3 3 31 0 30 2 32 0 31 0 30 1 30 0 0 4 3 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 4 3 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 L2 0 1 4 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 4 3 0 1 Passo 3 Tornar a33 1 L3 1 4 L3 0 0 1 3 4 0 1 4 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 1 3 4 0 1 4 Passo 4 Eliminar acima do pivˆo da terceira coluna L1 L1 2L3 L2 L2 4L3 11 L1 1 0 0 1 23 4 0 20 0 21 4 1 0 0 1 2 0 1 2 L2 0 1 0 2 43 4 1 40 0 41 4 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 3 4 0 1 4 Resposta final D1 1 2 0 1 2 1 1 1 3 4 0 1 4 12 Problema 8 E 4 0 10 2 4 6 2 2 2 Matriz aumentada 4 0 10 1 0 0 2 4 6 0 1 0 2 2 2 0 0 1 Passo 1 L1 1 4L1 1 0 5 2 1 4 0 0 2 4 6 0 1 0 2 2 2 0 0 1 Passo 2 Eliminar elementos da coluna 1 L2 L2 2L1 L3 L3 2L1 Resultado 1 0 5 2 1 4 0 0 0 4 1 1 2 1 0 0 2 7 1 2 0 1 Passo 3 Tornar a22 1 L2 1 4L2 0 1 1 4 1 8 1 4 0 Nova matriz 1 0 5 2 1 4 0 0 0 1 1 4 1 8 1 4 0 0 2 7 1 2 0 1 Passo 4 L3 L3 2L2 L3 0 0 7 21 4 1 2 21 8 0 21 4 1 20 0 0 65 3 4 1 2 1 Passo 5 L3 2 13 L3 L3 0 0 1 6 13 1 13 2 13 Passo 6 Zerar elementos acima do pivˆo da 3a coluna L1 L1 5 2L3 L2 L2 1 4L3 Resultado final E1 1 4 5 26 5 13 1 8 29 104 1 52 6 13 1 13 2 13 13 Problema 9 F 3 6 12 0 3 6 6 9 24 Nosso objetivo é verificar se F possui inversa ou seja se é invertível Para isso devemos verificar se ela é nãosingular isto é se detF 0 ou de forma equivalente se as linhas são linearmente independentes Vamos analisar a dependência entre as linhas Passo 1 Comparação entre linhas Note que A linha 2 é um múltiplo da linha 1 L2 13 L1 0 3 6 13 3 6 12 A linha 3 também é múltiplo da linha 1 L3 2 L1 6 9 24 2 3 6 12 Conclusão Como todas as linhas são múltiplos umas das outras o posto da matriz F é 1 ou seja ela possui apenas uma linha linearmente independente Logo F é uma matriz singular e portanto A matriz F não possuí inversa Observação Também poderíamos ter calculado o determinante e mostrado que detF 0 confirmando a nãoinversibilidade Problema 10 G 1 2 1 1 0 2 3 1 1 Matriz aumentada 1 2 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 3 1 1 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 L1 L3 L3 3L1 L2 0 2 1 1 1 0L3 0 5 2 3 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 5 2 3 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 1 2L2 L2 0 1 1 2 1 2 1 2 0 Passo 3 Eliminar elemento a32 L3 L3 5L2 L3 0 0 2 51 2 3 51 2 0 51 2 1 50 0 0 45 05 25 1 Passo 4 Tornar a33 1 L3 2 9 L3 L3 0 0 1 1 9 5 9 2 9 Passo 5 Zerar acima de a33 L1 L1 L3 L1 1 2 0 1 1 9 0 5 9 0 2 9 1 2 0 8 9 5 9 2 9 L2 L2 1 2L3 L2 0 1 0 1 2 1 18 1 2 5 18 0 1 9 0 1 0 10 18 4 18 2 18 0 1 0 5 9 2 9 1 9 15 Passo 6 Zerar a12 L1 L1 2L2 1 0 0 8 9 25 9 5 9 22 9 2 9 21 9 1 0 0 2 9 1 9 4 9 Resposta final G1 2 9 1 9 4 9 5 9 2 9 1 9 1 9 5 9 2 9 16 Problema 11 H 1 2 3 0 1 4 2 3 5 Matriz aumentada 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 2 3 5 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo do pivˆo da 1ª coluna L3 L3 2L1 L3 0 1 1 2 0 1 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 1 1 2 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo do pivˆo da 2ª coluna L3 L3 L2 L3 0 0 5 2 0 0 1 1 0 0 0 5 2 1 1 Passo 3 Tornar o pivˆo a33 1 L3 1 5L3 0 0 1 2 5 1 5 1 5 Passo 4 Eliminar acima de a33 L2 L2 4L3 L2 0 1 0 0 42 5 1 41 5 0 41 5 0 1 0 8 5 1 5 4 5 L1 L1 3L3 L1 1 2 0 1 32 5 0 31 5 0 31 5 1 2 0 1 5 3 5 3 5 Passo 5 Eliminar a12 L1 L1 2L2 17 L1 1 0 0 1 5 28 5 3 5 21 5 3 5 24 5 1 0 0 15 5 5 5 5 5 1 0 0 3 1 1 Passo 6 Tornar a22 1 L2 1 L2 0 1 0 8 5 1 5 4 5 Resposta final H1 3 1 1 8 5 1 5 4 5 2 5 1 5 1 5 18 Problema 12 I 1 3 2 2 8 5 4 11 6 Matriz aumentada 1 3 2 1 0 0 2 8 5 0 1 0 4 11 6 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 2L1 L3 L3 4L1 L2 0 2 1 2 1 0L3 0 1 2 4 0 1 1 3 2 1 0 0 0 2 1 2 1 0 0 1 2 4 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 1 2L2 0 1 1 2 1 1 2 0 Passo 3 Eliminar a32 L3 L3 L2 0 0 2 1 2 4 1 0 1 2 1 0 0 0 3 2 5 1 2 1 Passo 4 Tornar a33 1 L3 2 3 L3 0 0 1 10 3 1 3 2 3 Passo 5 Zerar acima de a33 L2 L2 1 2L3 L2 0 1 0 1 1 210 3 1 2 1 21 3 0 1 22 3 0 1 0 13 3 2 3 1 3 L1 L1 2L3 L1 1 3 0 1 210 3 0 21 3 0 22 3 1 3 0 17 3 2 3 4 3 19 Passo 6 Zerar a12 L1 L1 3L2 1 0 0 17 3 313 3 2 3 32 3 4 3 31 3 1 0 0 8 0 1 Resposta final I1 8 0 1 13 3 2 3 1 3 10 3 1 3 2 3 20 Problema 13 J 1 2 1 2 4 2 3 6 3 Vamos investigar a possibilidade de inversao dessa matriz Inicialmente aplicamos o metodo de GaussJordan para verificar sua invertibilidade Matriz aumentada 1 2 1 1 0 0 2 4 2 0 1 0 3 6 3 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 2L1 0 0 0 2 1 0 L3 L3 3L1 0 0 0 3 0 1 Nova matriz 1 2 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 As linhas 2 e 3 se tornaram nulas na parte da matriz original a esquerda Isso significa que o posto da matriz e igual a 1 Conclusao A matriz J possui duas linhas que sao combinacoes lineares da primeira linha por exemplo L2 2L1 L3 3L1 Assim sua matriz dos coeficientes e de posto menor que 3 Portanto A matriz J nao possui inversa 21 Problema 14 K 1 1 1 1 2 3 2 3 4 Matriz aumentada 1 1 1 1 0 0 1 2 3 0 1 0 2 3 4 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 L1 0 1 2 1 1 0 L3 L3 2L1 0 1 2 2 0 1 Nova matriz 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 Passo 2 Eliminar o elemento a32 L3 L3 L2 0 0 0 1 1 1 A linha 3 tornouse nula na parte da matriz original Isso mostra que o posto da matriz e menor que 3 ou seja as linhas sao linearmente dependentes Conclusao A matriz K nao possui inversa Observacao Isso poderia ser identificado tambem pelo calculo de detK 0 22 Problema 15 L 2 3 1 4 7 1 2 3 1 Matriz aumentada 2 3 1 1 0 0 4 7 1 0 1 0 2 3 1 0 0 1 Passo 1 Tornar o pivˆo a11 1 L1 1 2L1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 Passo 2 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 4L1 0 1 1 2 1 0 L3 L3 2L1 0 0 0 1 0 1 Nova matriz 1 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 A linha 3 da matriz original se tornou nula indicando que as linhas sao linearmente dependentes Conclusao A matriz L nao possui inversa 23 Problema 16 M 2 3 1 1 1 2 3 4 5 Matriz aumentada 2 3 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 3 4 5 0 0 1 Passo 1 Tornar o pivˆo da 1ª linha igual a 1 L1 1 2L1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 Passo 2 Eliminar elementos abaixo do pivˆo L2 L2 L1 0 1 2 3 2 1 2 1 0 L3 L3 3L1 0 1 2 7 2 3 2 0 1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 3 2 1 2 1 0 0 1 2 7 2 3 2 0 1 Passo 3 Tornar o pivˆo da 2ª linha igual a 1 L2 2L2 0 1 3 1 2 0 Passo 4 Eliminar o elemento a32 L3 L3 L2 0 0 7 2 3 3 2 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 2 2 1 Passo 5 Tornar o pivˆo da 3ª linha igual a 1 L3 2L3 0 0 1 1 4 2 Passo 6 Eliminar elementos acima de a33 L2 L2 3L3 0 1 0 1 3 2 12 0 6 0 1 0 2 14 6 L1 L1 1 2L3 1 3 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 1 3 2 0 1 2 1 Passo 7 Eliminar a12 L1 L1 3 2L2 1 0 0 1 3 22 2 3 214 1 3 26 1 0 0 4 23 10 Resposta final M 1 4 23 10 2 14 6 1 4 2 24 Problema 17 N 1 2 3 0 1 4 5 6 0 Matriz aumentada 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 5 6 0 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo do pivˆo da 1ª coluna L3 L3 5L1 0 4 15 5 0 1 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 4 15 5 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo do pivˆo da 2ª coluna L3 L3 4L2 0 0 1 5 40 0 41 1 40 0 0 1 5 4 1 Passo 3 Eliminar acima de a33 L1 L1 3L3 1 2 0 1 15 0 12 0 3 1 2 0 16 12 3 L2 L2 4L3 0 1 0 0 20 1 16 0 4 0 1 0 20 15 4 Passo 4 Eliminar a12 L1 L1 2L2 1 0 0 16 40 12 30 3 8 1 0 0 24 18 5 Resposta final N 1 24 18 5 20 15 4 5 4 1 25 Problema 18 R 2 0 0 0 3 0 0 0 7 A matriz R é diagonal e o inverso de uma matriz diagonal D diagd1 d2 d3 é D1 diag1d1 1d2 1d3 Logo R1 12 0 0 0 13 0 0 0 17 Problema 19 S 0 0 5 0 6 0 9 0 0 Reordenando linhas ou colunas vemos que S e uma permutacao de uma matriz diagonal Troque L1 L3 S 9 0 0 0 6 0 0 0 5 S PS para alguma matriz de permutacao P Entao S1 PS1 S1P 1 P 1S1 Como S e diagonal S1 1 9 0 0 0 1 6 0 0 0 1 5 P 1 P T Troque as mesmas linhas novamente Multiplicando obtemos S1 0 0 1 5 0 1 6 0 1 9 0 0 27 Problema 20 T 1 2 0 8 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 A matriz T e triangular superior com todos os elementos da diagonal diferentes de zero O determinante de uma matriz triangular e o produto dos elementos da diagonal detT 1 1 1 1 1 0 Logo T e invertıvel Por ser triangular superior podemos calcular sua inversa diretamente resolvendo TX I ou ainda usando metodos matriciais adequados Como o enunciado apenas pede verificar a inversibilidade A matriz T possui inversa 28 Problema 21 Queremos determinar o valor de k para que a seguinte matriz A não tenha inversa A 2 3 6 k Sabemos que uma matriz 2 2 só é invertível se seu determinante for diferente de zero A fórmula do determinante é detA 2k 36 2k 18 Para que A não tenha inversa precisamos detA 0 2k 18 0 k 9 Resposta final k 9 Resolucao das Questoes 22 a 26 Algebra Matricial Introducao Todas as matrizes envolvidas A B C D sao quadradas da mesma ordem e inversıveis Assim e possıvel aplicar inversas e propriedades da algebra matricial com seguranca O objetivo e isolar a matriz X em cada equacao Questao 22 ADX ABC Multiplicando ambos os lados a esquerda por D1 D1ADX D1ABC AX D1ABC Multiplicando a esquerda por A1 A1AX A1D1ABC X A1D1ABC Verificacao Substituindo na equacao original ADA1D1ABC AA1DD1ABC IIABC ABC Resposta X A1D1ABC Questao 23 DXT DC Multiplicando a esquerda por D1 XT C Tomando a transposta de ambos os lados X CT Resposta X CT 1 Questao 24 ABCX2D2 ABCXD Multiplicando a esquerda por ABC1 X2D2 XD Multiplicando a direita por D1 X2D X Multiplicando a direita por X1 assumindo X inversıvel XD I X D1 Verificacao X2D2 D2D2 I XD D1D I X2D X valida Resposta X D1 Questao 25 D1XD AC Multiplicando a esquerda por D XD DAC Multiplicando a direita por D1 X DACD1 Verificacao D1DACD1D D1DAC AC Resposta X DACD1 Questao 26 CX 2B 3B Subtraindo 2B dos dois lados CX B Multiplicando a esquerda por C1 X C1B Verificacao CC1B 2B B 2B 3B Resposta X C1B 2
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ou XXC XBC b Prémultiplicando ambos os membros da equação por X¹ vem X¹ XXC X¹ XBC X¹ X I IXC IBC IX X IB B XC BC c Pósmultiplicando ambos os membros da equação por C¹ vem XCC¹ BCC¹ CC¹ I XI BI XI X BI B X B A371 Problemas Propostos Nos problemas de 1 a 3 transformar na matriz unidade as matrizes dadas 1 A 3 5 1 2 b chamar a atenção para o número de determinantes de ordem n 2 que se deve calcular quando se faz o cálculo de um determinante de ordem n 3 pelo processo de desenvolvêlo por uma linha coluna Assim o cálculo de um determinante de ordem 3 implica calcular 3 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 4 implica calcular 4 3 12 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 5 implica calcular 5 4 3 60 determinantes de ordem 2 o cálculo de um determinante de ordem 6 implica calcular 6 5 4 3 36 determinantes de ordem 2 etc c Alertar para o fato de que quando n 4 é muito natural que enganos sejam cometidos e que portanto o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante Por essa razão e mesmo que o processo de triangulação seja menos trabalhoso atualmente se calcula um determinante por computador por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado A291 Problemas Propostos Dadas as matrizes A 3 4 1 5 2 9 7 8 6 B 4 1 3 3 0 1 7 2 4 e C 2 6 8 3 9 12 1 2 3 calcular pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento de uma linha ou coluna 1 det A 2 det B 3 det C 4 det A B 5 det A B 6 det 2A 3B 4C 7 det BC 8 det ACᵀ 9 det CB A 10 det C BA 11 Verificar se det A B det A det B 12 Verificar se det BC det B det C Dada a matriz A 2 3 1 1 0 1 2 3 1 1 1 2 4 3 5 1 13 Calcular det A pelo processo de triangulação 14 Calcular det A desenvolvendoo pela 2ª linha Nos problemas 15 a 22 resolver as equações 15 4 6 x 5 2 x 128 7 4 2x 16 3 5 7 2x x 3x 39 4 6 7 17 5 1 3 3x 0 1 100 7x 2 1 18 x3 x1 x4 4 5 3 7 9 10 7 3 de 6 Matrizes Determinantes Sistema de equações lineares 463 17 5 1 3 3x 0 1 100 7x 2 1 18 x 3 x 1 x 4 4 5 3 7 9 10 7 19 12 x 1 1 18 2x 3 2 10 15 2x 0 1 20 1 0 x 1 1 1 x 2 0 2 1 x 4 21 2 x 2 1 1 x 3 1 1 6 22 2 6 2 4 x 2 0 2x 8 4 2 de 7 Matrizes Determinantes Sistema de equações lineares 499 2 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 3 C 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 Nos problemas de 4 a 20 calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas 4 A 3 5 1 2 5 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 6 C 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 7 D 1 0 2 2 2 2 3 0 2 8 E 4 0 10 2 4 4 2 2 6 9 F 3 6 12 0 3 3 6 9 24 10 G 1 10 7 1 4 3 1 2 1 11 H 2 2 2 3 4 7 1 2 5 12 J 1 2 3 2 4 5 3 5 6 13 L 3 1 3 2 4 1 1 2 2 14 M 1 0 0 1 1 0 1 1 1 15 N 1 2 4 2 1 2 3 0 5 16 P 0 2 1 1 4 2 1 7 3 17 Q 1 1 1 3 3 4 3 4 3 18 R 2 0 0 0 3 0 0 0 7 19 S 0 0 5 0 6 0 9 0 0 20 1 2 0 8 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 21 Calcular o valor de K para que a matriz A 2 3 6 k não tenha inversa Nos problemas de 22 a 26 supondo as matrizes A B C e D quadradas de mesma ordem e inversíveis resolver as equações matriciais nas quais X é a variável 22 ADX ABC 23 DXT DC 24 ABCX2D2 ABCXD 25 D1 XD AC 26 CX 2B 3B Cálculo de Determinantes Dados A 3 4 1 5 2 9 7 8 6 B 4 1 3 3 0 1 7 2 4 C 2 6 8 3 9 12 1 2 3 1 Determinante de A detA 3 2 9 8 6 4 5 9 7 6 1 5 2 7 8 2 9 8 6 26 98 12 72 60 5 9 7 6 56 97 30 63 33 5 2 7 8 58 27 40 14 26 detA 360 433 1 26 180 132 26 22 2 Determinante de B detB 4 0 1 2 4 1 3 1 7 4 3 3 0 7 2 0 1 2 4 0 4 12 2 3 1 7 4 34 17 12 7 19 3 0 7 2 32 07 6 detB 42 119 36 8 19 18 9 3 Determinante de C detC 2 9 12 2 3 6 3 12 1 3 8 3 9 1 2 9 12 2 3 93 122 27 24 3 3 12 1 3 33 121 9 12 3 3 9 1 2 32 91 6 9 3 detC 23 63 83 6 18 24 0 4 Determinante de A B Somando as matrizes A B 3 4 4 1 1 3 5 3 2 0 9 1 7 7 8 2 6 4 7 3 4 2 2 8 14 10 2 Calculando o determinante detA B 7 2 8 10 2 3 2 8 14 2 4 2 2 14 10 2 8 10 2 22 810 4 80 76 2 8 14 2 22 814 4 112 108 2 2 14 10 210 214 20 28 8 detA B 776 3108 48 532 324 32 240 5 detA B A B 1 5 2 8 2 10 0 6 10 detA B 1 2 10 6 10 5 8 10 0 10 2 8 2 0 6 120 60 580 248 140 400 96 456 6 det2A 3B 4C Calculamos inicialmente 2A 6 8 2 10 4 18 14 16 12 3B 12 3 9 9 0 3 21 6 12 4C 8 24 32 12 36 48 4 8 12 Agora 2A 3B 6 12 8 3 2 9 10 9 4 0 18 3 14 21 16 6 12 12 6 11 7 19 4 21 7 10 24 Somando com 4C M 2A 3B 4C 6 8 11 24 7 32 19 12 4 36 21 48 7 4 10 8 24 12 2 35 25 7 32 27 11 2 12 Determinante detM 2 32 27 2 12 35 7 27 11 12 25 7 32 11 2 232 12 27 2 357 12 27 11 257 2 32 11 2384 54 3584 297 2514 352 2330 35213 25338 660 7455 8450 165 Resposta final det2A 3B 4C 165 7 detBC Usando a propriedade detAB detA detB temos detBC detB detC 90 0 8 detACT Sabemos que detCT detC logo detACT detA detC 22 0 0 9 detCBA Por associatividade e multiplicacao de determinantes detCBA detC detB detA 0 9 22 0 10 detCBA Mesma regra detCBA detC detB detA 0 11 Verificar se detA B det A det B detA B 240 det A det B 22 9 13 detA B det A det B 12 Verificar se detBC detB detC Sabemos que para matrizes quadradas de mesma ordem vale a propriedade detBC detB detC Se considerarmos as matrizes B e C dadas nas questoes anteriores temos detB 9 detC 0 detB detC 0 Alem disso ja havıamos calculado detBC 0 Portanto a igualdade e satisfeita neste caso Resposta final detBC detB detC e VERDADEIRA 4 13 Calcular det A pelo processo de triangulacao Seja A 2 3 1 1 0 1 2 3 1 1 1 2 4 3 5 1 Utilizando operacoes elementares para triangular 1 Trocar a linha 1 com a linha 3 troca muda o sinal 1 1 1 2 0 1 2 3 2 3 1 1 4 3 5 1 det muda de sinal 2 Zerar abaixo do pivˆo linha 1 L3 L3 2L1 L4 L4 4L1 1 1 1 2 0 1 2 3 0 1 3 5 0 1 1 9 3 L3 L3 L2 L4 L4 L2 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 8 0 0 1 6 4 L4 L4 L3 1 1 1 2 0 1 2 3 0 0 1 8 0 0 0 2 Determinante produto da diagonal principal com sinal trocado pela troca de linha detA 1 1 1 2 17 14 Calcular det A desenvolvendo pela 2ª linha Desenvolvendo pela 2ª linha 5 detA 1 2 1 1 1 1 2 4 5 1 Desenvolvendo pela 1ª linha dessa submatriz 2 1 2 5 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 5 detA 1 2 1 2 5 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 5 1 21 1 2 5 1 1 2 4 1 5 1 4 1 21 10 1 8 5 4 1 22 9 1 17 Corrigindo o sinal dos cofatores 1 22 9 1 17 15 Resolver 4 6 x 5 2 x 7 4 2x 128 Expandindo pela 1ª linha 4 2 x 4 2x 6 5 x 7 2x x 5 2 7 4 42 2x x 4 65 2x x 7 x5 4 2 7 44x 4x 610x 7x x20 14 48x 617x x6 32x 102x 6x 64x Igualando 64x 128 x 2 16 Resolver 3 5 7 2x x 3x 4 6 7 39 Expandindo pela 1ª linha 3 x 3x 6 7 5 2x 3x 4 7 7 2x x 4 6 3x 7 3x 6 52x 7 3x 4 72x 6 x 4 37x 18x 514x 12x 712x 4x 311x 52x 78x 33x 10x 56x 13x Igualando 13x 39 x 3 17 Resolver 5 1 3 3x 0 1 7x 2 1 100 Expandindo pela 1ª linha 5 0 1 2 1 1 3x 1 7x 1 3 3x 0 7x 2 50 1 1 2 13x 1 1 7x 33x 2 0 7x 52 3x 7x 36x 10 4x 18x 10 4x 18x 22x 10 Igualando 22x 10 100 22x 110 x 5 18 Resolver x 3 x 1 x 4 4 5 3 9 10 7 7 Expandindo pela 1ª linha x 3 5 3 x 1 4 3 x 4 4 5 10 7 9 7 9 10 Calculando os menores 5 3 57 310 35 30 5 10 7 4 3 47 39 28 27 1 9 7 4 5 410 59 40 45 5 9 10 Substituindo x 35 x 11 x 45 5x 15 x 1 5x 20 x 6 Igualando x 6 7 x 1 19 12 x 1 1 18 2x 3 2 15 2x 0 1 10 Expandindo pela primeira linha det 12 x 3 2 1 18 2x 2 1 18 2x 3 0 1 15 2x 1 15 2x 0 12 x31 20 18 2x1 215 2x 18 2x0 315 2x 12 x3 18 2x 30 4x 45 6x 36 3x 12 2x 45 6x 36 3x 12 2x 45 6x 93 11x Igualando a 10 15 93 11x 10 x 8311 7545 20 1 0 x 1 1 1 x 2 2 1 x 4 0 Expandindo pela 1ª linha det 1 1 x 2 x 1 1 1 1 x 4 2 1 11x4 1x 2 x 11 2 x 4 x 2 x 1 2 x 1 x 1 Igualando x 1 0 x 1 21 2 x 2 1 1 x 1 1 6 3 Expandindo pela primeira linha det 2 1 x x 1 x 2 1 1 1 6 1 6 1 1 26 x x6 x 20 12 2x 6x x² x² 8x 12 Igualando x² 8x 12 3 x² 8x 15 0 x 3 ou x 5 16 22 2 6 2 4 x 2 2x 8 4 0 Expandindo pela primeira linha det 2 x 2 6 4 2 2 4 x 8 4 2x 4 2x 8 2x4 28 644 22x 248 x2x 24x 16 616 4x 232 2x² 8x 32 96 24x 64 4x² 32x 4x² 64 Igualando a zero 32x 4x² 64 0 4x² 32x 64 0 x 4 Transformação de Matrizes na Identidade Método de GaussJordan Problema 1 Seja a matriz A 3 5 1 2 Queremos encontrar A¹ aplicando o método de GaussJordan Para isso montamos a matriz aumentada 3 5 1 0 1 2 0 1 Passo 1 Tornar o pivô da primeira linha igual a 1 Dividimos a primeira linha por 3 L₁ 13 L₁ 1 53 13 0 1 2 0 1 Passo 2 Eliminar o elemento abaixo do pivô Subtraímos L₁ da segunda linha L₂ L₂ L₁ 1 53 13 0 0 13 13 1 Passo 3 Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 Multiplicamos L₂ por 3 L₂ 3L₂ 1 53 13 0 0 1 1 3 Passo 4 Eliminar o elemento acima do pivô da segunda coluna Subtraímos 53 L₂ da linha 1 L₁ L₁ 53 L₂ Cálculo 13 53 1 13 53 2 e 0 53 3 0 5 5 Nova matriz 1 0 2 5 0 1 1 3 Resultado final A¹ 2 5 1 3 Cálculo da Matriz Inversa Problemas 4 a 17 Problema 4 A 3 5 1 2 Matriz aumentada 3 5 1 0 1 2 0 1 Passo 1 L₁ 13 L₁ 1 53 13 0 1 2 0 1 Passo 2 L₂ L₂ L₁ 1 53 13 0 0 13 13 1 Passo 3 L₂ 3L₂ 1 53 13 0 0 1 1 3 Passo 4 L₁ L₁ 53 L₂ 1 0 2 5 0 1 1 3 Resposta final A¹ 2 5 1 3 Problema 2 Seja B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 Matriz aumentada 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 3 5 4 0 0 1 Passo 1 Trocar L1 e L3 para evitar pivˆo negativo e facilitar os calculos L1 L3 3 5 4 0 0 1 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 2 Normalizar L1 dividindo por 3 L1 1 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 3 Eliminar o elemento da L3 com 3 L3 L3 3L1 Calculando 3 31 0 4 35 3 1 5 34 3 1 1 30 1 0 30 0 0 31 3 1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 4 L2 1 L2 L2 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 5 L3 L2 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 0 1 1 1 0 1 3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 3 1 1 1 Passo 6 L3 3 L3 1 3L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 7 Eliminar acima da terceira coluna L2 L2 L2 2L3 L1 L1 L1 4 3L3 L2 2 21 0 1 21 3 1 3 0 21 3 2 3 L1 4 3 4 31 0 0 4 31 3 4 9 1 3 4 31 3 5 9 1 5 3 0 2 3 1 5 9 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Resposta B1 2 3 1 5 9 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 4 Problema 3 Queremos encontrar a inversa da matriz C 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 Montamos a matriz aumentada C I4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da coluna 1 O pivˆo a11 1 ja esta correto Vamos eliminar os elementos abaixo dele L2 L2 2 L1 L3 L3 1 L1 Aplicando as operacoes L2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 L3 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 Passo 2 Eliminar elementos abaixo do pivˆo da coluna 2 O pivˆo a22 1 esta correto L3 L3 2 L2 L4 L4 1 L2 L3 0 2 2 1 20 0 20 1 22 0 21 1 20 0 20 0 0 1 0 3 2 1 0 5 L4 0 1 1 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1 Passo 3 Eliminar o elemento abaixo do pivˆo da coluna 3 O pivˆo a33 1 esta correto L4 L4 2 L3 L4 0 0 2 21 1 20 2 23 1 22 0 21 1 20 0 0 0 1 4 3 2 1 Resultado 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 0 0 0 0 1 4 3 2 1 Passo 4 Eliminar os elementos acima dos pivˆos Como a matriz original era triangular inferior com diagonal unitaria e ja zeramos os elementos abaixo da diagonal tambem nao ha elementos acima para eliminar todos ja sao zero Portanto a matriz da esquerda ja e a identidade Resposta final C1 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 Observacao Este tipo de matriz e chamada de matriz de Jordan inferior com unidades na diagonal e sua inversa tem um padrao triangular inferior com coeficientes crescentes 6 No visible text other than page number 7 Problema 5 B 3 4 5 0 1 2 3 5 4 Matriz aumentada 3 4 5 1 0 0 0 1 2 0 1 0 3 5 4 0 0 1 Passo 1 L1 L3 3 5 4 0 0 1 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 2 L1 1 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 3 4 5 1 0 0 Passo 3 L3 L3 3L1 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 4 L2 1 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Passo 5 L3 L3 L2 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 3 1 1 1 Passo 6 L3 1 3 L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 7 L2 L2 2L3 1 5 3 4 3 0 0 1 3 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Passo 8 L1 L1 4 3L3 1 5 3 0 2 3 4 9 5 9 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 8 Passo 9 L1 L1 5 3L2 1 0 0 2 3 5 3 2 3 4 9 5 3 1 3 5 9 5 3 2 3 0 1 0 2 3 1 3 2 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 Fazendo os calculos finais L1 1 0 0 2 3 10 9 4 9 5 9 5 9 10 9 1 0 0 16 9 1 5 9 Resposta final B1 16 9 1 5 9 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 9 Problema 6 C 1 0 0 2 1 0 4 3 2 Matriz aumentada 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 4 3 2 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo de a11 L2 L2 2L1 L3 L3 4L1 L2 2 21 1 20 0 20 0 21 1 20 0 20 0 1 0 2 1 0 L3 4 41 3 40 2 40 0 41 0 40 1 40 0 3 2 4 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 3 2 4 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo de a22 L3 L3 3L2 L3 0 3 31 2 30 4 6 0 3 1 0 0 0 2 2 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 2 2 3 1 Passo 3 Tornar o pivˆo da ultima linha igual a 1 L3 1 2L3 0 0 1 1 3 2 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 3 2 1 2 Passo 4 Substituir acima do pivˆo da terceira coluna L2 L2 0 L3 sem alteracaoL1 L1 0 L3 sem alteracao Resposta final C1 1 0 0 2 1 0 1 3 2 1 2 10 Problema 7 D 1 0 2 2 1 0 3 0 2 Matriz aumentada 1 0 2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 3 0 2 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 2L1 L3 L3 3L1 L2 2 21 1 20 0 22 0 21 1 20 0 20 0 1 4 2 1 0 L3 3 31 0 30 2 32 0 31 0 30 1 30 0 0 4 3 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 4 3 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 L2 0 1 4 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 4 3 0 1 Passo 3 Tornar a33 1 L3 1 4 L3 0 0 1 3 4 0 1 4 1 0 2 1 0 0 0 1 4 2 1 0 0 0 1 3 4 0 1 4 Passo 4 Eliminar acima do pivˆo da terceira coluna L1 L1 2L3 L2 L2 4L3 11 L1 1 0 0 1 23 4 0 20 0 21 4 1 0 0 1 2 0 1 2 L2 0 1 0 2 43 4 1 40 0 41 4 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 3 4 0 1 4 Resposta final D1 1 2 0 1 2 1 1 1 3 4 0 1 4 12 Problema 8 E 4 0 10 2 4 6 2 2 2 Matriz aumentada 4 0 10 1 0 0 2 4 6 0 1 0 2 2 2 0 0 1 Passo 1 L1 1 4L1 1 0 5 2 1 4 0 0 2 4 6 0 1 0 2 2 2 0 0 1 Passo 2 Eliminar elementos da coluna 1 L2 L2 2L1 L3 L3 2L1 Resultado 1 0 5 2 1 4 0 0 0 4 1 1 2 1 0 0 2 7 1 2 0 1 Passo 3 Tornar a22 1 L2 1 4L2 0 1 1 4 1 8 1 4 0 Nova matriz 1 0 5 2 1 4 0 0 0 1 1 4 1 8 1 4 0 0 2 7 1 2 0 1 Passo 4 L3 L3 2L2 L3 0 0 7 21 4 1 2 21 8 0 21 4 1 20 0 0 65 3 4 1 2 1 Passo 5 L3 2 13 L3 L3 0 0 1 6 13 1 13 2 13 Passo 6 Zerar elementos acima do pivˆo da 3a coluna L1 L1 5 2L3 L2 L2 1 4L3 Resultado final E1 1 4 5 26 5 13 1 8 29 104 1 52 6 13 1 13 2 13 13 Problema 9 F 3 6 12 0 3 6 6 9 24 Nosso objetivo é verificar se F possui inversa ou seja se é invertível Para isso devemos verificar se ela é nãosingular isto é se detF 0 ou de forma equivalente se as linhas são linearmente independentes Vamos analisar a dependência entre as linhas Passo 1 Comparação entre linhas Note que A linha 2 é um múltiplo da linha 1 L2 13 L1 0 3 6 13 3 6 12 A linha 3 também é múltiplo da linha 1 L3 2 L1 6 9 24 2 3 6 12 Conclusão Como todas as linhas são múltiplos umas das outras o posto da matriz F é 1 ou seja ela possui apenas uma linha linearmente independente Logo F é uma matriz singular e portanto A matriz F não possuí inversa Observação Também poderíamos ter calculado o determinante e mostrado que detF 0 confirmando a nãoinversibilidade Problema 10 G 1 2 1 1 0 2 3 1 1 Matriz aumentada 1 2 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 3 1 1 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 L1 L3 L3 3L1 L2 0 2 1 1 1 0L3 0 5 2 3 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 5 2 3 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 1 2L2 L2 0 1 1 2 1 2 1 2 0 Passo 3 Eliminar elemento a32 L3 L3 5L2 L3 0 0 2 51 2 3 51 2 0 51 2 1 50 0 0 45 05 25 1 Passo 4 Tornar a33 1 L3 2 9 L3 L3 0 0 1 1 9 5 9 2 9 Passo 5 Zerar acima de a33 L1 L1 L3 L1 1 2 0 1 1 9 0 5 9 0 2 9 1 2 0 8 9 5 9 2 9 L2 L2 1 2L3 L2 0 1 0 1 2 1 18 1 2 5 18 0 1 9 0 1 0 10 18 4 18 2 18 0 1 0 5 9 2 9 1 9 15 Passo 6 Zerar a12 L1 L1 2L2 1 0 0 8 9 25 9 5 9 22 9 2 9 21 9 1 0 0 2 9 1 9 4 9 Resposta final G1 2 9 1 9 4 9 5 9 2 9 1 9 1 9 5 9 2 9 16 Problema 11 H 1 2 3 0 1 4 2 3 5 Matriz aumentada 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 2 3 5 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo do pivˆo da 1ª coluna L3 L3 2L1 L3 0 1 1 2 0 1 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 1 1 2 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo do pivˆo da 2ª coluna L3 L3 L2 L3 0 0 5 2 0 0 1 1 0 0 0 5 2 1 1 Passo 3 Tornar o pivˆo a33 1 L3 1 5L3 0 0 1 2 5 1 5 1 5 Passo 4 Eliminar acima de a33 L2 L2 4L3 L2 0 1 0 0 42 5 1 41 5 0 41 5 0 1 0 8 5 1 5 4 5 L1 L1 3L3 L1 1 2 0 1 32 5 0 31 5 0 31 5 1 2 0 1 5 3 5 3 5 Passo 5 Eliminar a12 L1 L1 2L2 17 L1 1 0 0 1 5 28 5 3 5 21 5 3 5 24 5 1 0 0 15 5 5 5 5 5 1 0 0 3 1 1 Passo 6 Tornar a22 1 L2 1 L2 0 1 0 8 5 1 5 4 5 Resposta final H1 3 1 1 8 5 1 5 4 5 2 5 1 5 1 5 18 Problema 12 I 1 3 2 2 8 5 4 11 6 Matriz aumentada 1 3 2 1 0 0 2 8 5 0 1 0 4 11 6 0 0 1 Passo 1 Eliminar elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 2L1 L3 L3 4L1 L2 0 2 1 2 1 0L3 0 1 2 4 0 1 1 3 2 1 0 0 0 2 1 2 1 0 0 1 2 4 0 1 Passo 2 Tornar a22 1 L2 1 2L2 0 1 1 2 1 1 2 0 Passo 3 Eliminar a32 L3 L3 L2 0 0 2 1 2 4 1 0 1 2 1 0 0 0 3 2 5 1 2 1 Passo 4 Tornar a33 1 L3 2 3 L3 0 0 1 10 3 1 3 2 3 Passo 5 Zerar acima de a33 L2 L2 1 2L3 L2 0 1 0 1 1 210 3 1 2 1 21 3 0 1 22 3 0 1 0 13 3 2 3 1 3 L1 L1 2L3 L1 1 3 0 1 210 3 0 21 3 0 22 3 1 3 0 17 3 2 3 4 3 19 Passo 6 Zerar a12 L1 L1 3L2 1 0 0 17 3 313 3 2 3 32 3 4 3 31 3 1 0 0 8 0 1 Resposta final I1 8 0 1 13 3 2 3 1 3 10 3 1 3 2 3 20 Problema 13 J 1 2 1 2 4 2 3 6 3 Vamos investigar a possibilidade de inversao dessa matriz Inicialmente aplicamos o metodo de GaussJordan para verificar sua invertibilidade Matriz aumentada 1 2 1 1 0 0 2 4 2 0 1 0 3 6 3 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 2L1 0 0 0 2 1 0 L3 L3 3L1 0 0 0 3 0 1 Nova matriz 1 2 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 As linhas 2 e 3 se tornaram nulas na parte da matriz original a esquerda Isso significa que o posto da matriz e igual a 1 Conclusao A matriz J possui duas linhas que sao combinacoes lineares da primeira linha por exemplo L2 2L1 L3 3L1 Assim sua matriz dos coeficientes e de posto menor que 3 Portanto A matriz J nao possui inversa 21 Problema 14 K 1 1 1 1 2 3 2 3 4 Matriz aumentada 1 1 1 1 0 0 1 2 3 0 1 0 2 3 4 0 0 1 Passo 1 Eliminar os elementos abaixo do pivˆo da 1ª coluna L2 L2 L1 0 1 2 1 1 0 L3 L3 2L1 0 1 2 2 0 1 Nova matriz 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 Passo 2 Eliminar o elemento a32 L3 L3 L2 0 0 0 1 1 1 A linha 3 tornouse nula na parte da matriz original Isso mostra que o posto da matriz e menor que 3 ou seja as linhas sao linearmente dependentes Conclusao A matriz K nao possui inversa Observacao Isso poderia ser identificado tambem pelo calculo de detK 0 22 Problema 15 L 2 3 1 4 7 1 2 3 1 Matriz aumentada 2 3 1 1 0 0 4 7 1 0 1 0 2 3 1 0 0 1 Passo 1 Tornar o pivˆo a11 1 L1 1 2L1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 Passo 2 Eliminar elementos abaixo de a11 L2 L2 4L1 0 1 1 2 1 0 L3 L3 2L1 0 0 0 1 0 1 Nova matriz 1 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 A linha 3 da matriz original se tornou nula indicando que as linhas sao linearmente dependentes Conclusao A matriz L nao possui inversa 23 Problema 16 M 2 3 1 1 1 2 3 4 5 Matriz aumentada 2 3 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 3 4 5 0 0 1 Passo 1 Tornar o pivˆo da 1ª linha igual a 1 L1 1 2L1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 Passo 2 Eliminar elementos abaixo do pivˆo L2 L2 L1 0 1 2 3 2 1 2 1 0 L3 L3 3L1 0 1 2 7 2 3 2 0 1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 3 2 1 2 1 0 0 1 2 7 2 3 2 0 1 Passo 3 Tornar o pivˆo da 2ª linha igual a 1 L2 2L2 0 1 3 1 2 0 Passo 4 Eliminar o elemento a32 L3 L3 L2 0 0 7 2 3 3 2 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 2 2 1 Passo 5 Tornar o pivˆo da 3ª linha igual a 1 L3 2L3 0 0 1 1 4 2 Passo 6 Eliminar elementos acima de a33 L2 L2 3L3 0 1 0 1 3 2 12 0 6 0 1 0 2 14 6 L1 L1 1 2L3 1 3 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 1 3 2 0 1 2 1 Passo 7 Eliminar a12 L1 L1 3 2L2 1 0 0 1 3 22 2 3 214 1 3 26 1 0 0 4 23 10 Resposta final M 1 4 23 10 2 14 6 1 4 2 24 Problema 17 N 1 2 3 0 1 4 5 6 0 Matriz aumentada 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 5 6 0 0 0 1 Passo 1 Eliminar abaixo do pivˆo da 1ª coluna L3 L3 5L1 0 4 15 5 0 1 1 2 3 1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 4 15 5 0 1 Passo 2 Eliminar abaixo do pivˆo da 2ª coluna L3 L3 4L2 0 0 1 5 40 0 41 1 40 0 0 1 5 4 1 Passo 3 Eliminar acima de a33 L1 L1 3L3 1 2 0 1 15 0 12 0 3 1 2 0 16 12 3 L2 L2 4L3 0 1 0 0 20 1 16 0 4 0 1 0 20 15 4 Passo 4 Eliminar a12 L1 L1 2L2 1 0 0 16 40 12 30 3 8 1 0 0 24 18 5 Resposta final N 1 24 18 5 20 15 4 5 4 1 25 Problema 18 R 2 0 0 0 3 0 0 0 7 A matriz R é diagonal e o inverso de uma matriz diagonal D diagd1 d2 d3 é D1 diag1d1 1d2 1d3 Logo R1 12 0 0 0 13 0 0 0 17 Problema 19 S 0 0 5 0 6 0 9 0 0 Reordenando linhas ou colunas vemos que S e uma permutacao de uma matriz diagonal Troque L1 L3 S 9 0 0 0 6 0 0 0 5 S PS para alguma matriz de permutacao P Entao S1 PS1 S1P 1 P 1S1 Como S e diagonal S1 1 9 0 0 0 1 6 0 0 0 1 5 P 1 P T Troque as mesmas linhas novamente Multiplicando obtemos S1 0 0 1 5 0 1 6 0 1 9 0 0 27 Problema 20 T 1 2 0 8 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 A matriz T e triangular superior com todos os elementos da diagonal diferentes de zero O determinante de uma matriz triangular e o produto dos elementos da diagonal detT 1 1 1 1 1 0 Logo T e invertıvel Por ser triangular superior podemos calcular sua inversa diretamente resolvendo TX I ou ainda usando metodos matriciais adequados Como o enunciado apenas pede verificar a inversibilidade A matriz T possui inversa 28 Problema 21 Queremos determinar o valor de k para que a seguinte matriz A não tenha inversa A 2 3 6 k Sabemos que uma matriz 2 2 só é invertível se seu determinante for diferente de zero A fórmula do determinante é detA 2k 36 2k 18 Para que A não tenha inversa precisamos detA 0 2k 18 0 k 9 Resposta final k 9 Resolucao das Questoes 22 a 26 Algebra Matricial Introducao Todas as matrizes envolvidas A B C D sao quadradas da mesma ordem e inversıveis Assim e possıvel aplicar inversas e propriedades da algebra matricial com seguranca O objetivo e isolar a matriz X em cada equacao Questao 22 ADX ABC Multiplicando ambos os lados a esquerda por D1 D1ADX D1ABC AX D1ABC Multiplicando a esquerda por A1 A1AX A1D1ABC X A1D1ABC Verificacao Substituindo na equacao original ADA1D1ABC AA1DD1ABC IIABC ABC Resposta X A1D1ABC Questao 23 DXT DC Multiplicando a esquerda por D1 XT C Tomando a transposta de ambos os lados X CT Resposta X CT 1 Questao 24 ABCX2D2 ABCXD Multiplicando a esquerda por ABC1 X2D2 XD Multiplicando a direita por D1 X2D X Multiplicando a direita por X1 assumindo X inversıvel XD I X D1 Verificacao X2D2 D2D2 I XD D1D I X2D X valida Resposta X D1 Questao 25 D1XD AC Multiplicando a esquerda por D XD DAC Multiplicando a direita por D1 X DACD1 Verificacao D1DACD1D D1DAC AC Resposta X DACD1 Questao 26 CX 2B 3B Subtraindo 2B dos dois lados CX B Multiplicando a esquerda por C1 X C1B Verificacao CC1B 2B B 2B 3B Resposta X C1B 2