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A função desconhecida fx pontos e o polinômio interpolador px Tabela 82 Capítulo 8 Interpolação polinomial e a fórmula de Lagrange Portanto px23831675x205x² 4 Cálculo da interpolação Substituindo o valor para o ponto x132 obtémse p13223831675132205132² p1323744 Devese levar em consideração que esse valor de px é uma aproximação não tendo sido obtido através da função original fx Como neste caso fx é conhecida podese avaliar qual foi o erro ou desvio introduzido devido ao processo de interpolação EXEMPLO 2 Dada a tabela a seguir obter f40 por interpolação de um polinômio do 3º grau Tabela 83 x 30 35 45 50 fx 05 057358 070711 076604 1 Polinômio interpolador Como se conhecem os valores da função em quatro pontos podese utilizar um polinômio de 3º grau pxa₀a₁xa₂x²a₃x³ 2 Construção do sistema O sistema para a solução do problema é do tipo a₀a₁x₀a₂x₀²a₃x₀³fx₀ a₀a₁x₁a₂x₁²a₃x₁³fx₁ a₀a₁x₂a₂x₂²a₃x₂³fx₂ a₀a₁x₃a₂x₃²a₃x₃³fx₃ no qual substituímos os valores da tabela a₀a₁30a₂30²a₃30³05 a₀a₁35a₂35²a₃35³057358 a₀a₁45a₂45²a₃45³070711 a₀a₁50a₂50²a₃50³076604 3 Resolvese o sistema obtendose a₀000118 a₁001792 a₂000002 a₃6810⁷ Portanto px000118001792x000002x²6810⁷x³ 4 Substituindo o valor para o ponto x40 obtémse p40064010 84 Polinômio interpolador na forma de Lagrange A forma de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos originais Sua praticidade é tal que se torna uma das formas mais utilizadas para a obtenção de um polinômio interpolador Seja f uma função tabelada em n1 pontos distintos x₀ x₁ xₙℝ e sejam os polinômios de grau n dados pela forma genérica pxLᵢxfxᵢ onde Lᵢxxx₀xx₁xx₂xxₙx₀x₁x₀x₂x₀xₙ x₁x₀x₁x₂x₁xₙx₂x₀x₂x₁x₂x₃x₂xₙ São denominados polinômios de Lagrange Notese que nos polinômios de Lagrange não são inseridos os fatores xxᵢ e xₖxᵢ o que resultaria num denominador nulo Portanto utilizandose esses polinômios podese determinar o polinômio interpolador de f relativamente aos pontos x₀ x₁ xₙ da seguinte forma pxL₀xfx₀L₁xfx₁Lₙxfxₙ Os polinômios Lᵢx satisfazem as condições a contêm os pontos da tabela pois pxᵢfxᵢ para i0 1 2 n e b o grau de px é menor ou igual a n Assim o polinômio obtido é o polinômio interpolador da tabela na forma de Lagrange Para melhor ilustrar o formalismo considerase a tabela Tabela 84 x x₀ x₁ x₂ x₃ fx y₀ y₁ y₂ y₃ O polinômio de Lagrange será pxxx₁xx₂xx₃ x₀x₁x₀x₂x₀x₃ xx₀xx₂xx₃ x₁x₀x₁x₂x₁x₃ xx₀xx₁xx₂ x₂x₀x₂x₁x₂x₃ 1 Definição dos polinômios de Lagrange Uma vez que a tabela apresenta três pontos buscarseá polinômios de Lagrange de 2º grau cujas formas são L₀x x x₁x x₂x₀ x₁x₀ x₂ L₁x x x₀x x₂x₁ x₀x₁ x₂ L₂x x x₀x x₁x₂ x₀x₂ x₁ E o polinômio interpolador de Lagrange é dado por px L₀xfx₀ L₁xfx₁ L₂xfx₂ 2 Substituição pelos valores da tabela L₀x x 14x 1513 1413 15 002 L₁x x 13x 1514 1314 15 001 L₂x x 13x 1415 1315 14 002 3 Interpolar na tabela x 132 significa calcular p132 L₀132fx₀ L₁132fx₁ L₂132fx₂ ou p132 132 14132 153669 132 13132 15001 132 13132 14002 o que resulta em p132 3743 Os polinômios de Lagrange são L₀x x x₁x x₂x x₃x₀ x₁x₀ x₂x₀ x₃ L₁x x x₀x x₂x x₃x₁ x₀x₁ x₂x₁ x₃ L₂x x x₀x x₁x x₃x₂ x₀x₂ x₁x₂ x₃ L₃x x x₀x x₁x x₂x₃ x₀x₃ x₁x₃ x₂ 2 Substituição pelos valores da tabela L₀x x 35x 45x 5030 3530 4530 50 1500 L₁x x 30x 45x 5035 3035 4535 50 750 L₂x x 30x 35x 5045 3045 3545 50 750 L₃x x 30x 35x 4550 3050 3550 45 1500 3 Interpolar na tabela x 40 significa calcular p40 L₀40fx₀ L₁40fx₁ L₂40fx₂ L₃40fx₃ o que finalmente resulta em p40 x 35x 45x 501500 05 x 30x 45x 50750 x 30x 35x 50750 p40 06428 1 Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela 20 354 25 16 03 calcule a aproximação de fx para x 2 e x 52 2 Obtenha via polinômios de Lagrange a aproximação para fx para os casos de x 05 e x 04 3 Via polinômios de Lagrange calcule a raiz de fx x ln x 32 Dica Faça uma tabela para valores de x 1 x 2 e x 3 e resolva a equação de 2º grau 4 Utilize a técnica dos polinômios de Lagrange para calcular o valor da função dada pela tabela 89 Tabela 89 x 16 25 30 42 54 67 fx 15 21 03 14 21 39 para f2 f3 e f5 5 Ao medir a reação de uma determinada bactéria à concentração de um novo antibiótico os cientistas levantaram a seguinte tabela de dados Tabela 810 C 100 112 222 432 742 1152 1662 K 054 044 060 038 042 050 061 onde C é a concentração do antibiótico e K é a medida da reação da bactéria Qual será a reação para concentrações de 20 50 e 100 Utilize interpolação via polinômios de Lagrange 6 Durante uma partida do campeonato mundial de xadrez anotouse o tempo que um jogador leva para responder a uma jogada em função da duração da partida Os resultados são descritos na tabela a seguir Tabela 811 t 15 30 45 60 75 d 5649 22615 50778 90005 140817 onde t é o tempo de partida e d é o intervalo em segundos necessário para que o jogador pense em sua próxima jogada dado em segundos Use os polinômios de Lagrange para determinar quanto tempo um jogador pensa depois de 10 minutos de jogo E se a partida levar duas horas 7 Físicos do Instituto de Tecnologia de Massachusetts fizeram um experimento no qual verificaram que as partículas de um determinado líquido perdem mobilidade em função da temperatura Para tanto mediram a velocidade média das partículas em cms em função da temperatura em graus Celsius obtendo os seguintes dados Tabela 812 Temp 1000 994 988 982 976 970 964 V 22239 22230 22221 22213 22204 22196 22188 Faça uma estimativa da velocidade das partículas nas temperaturas 95 e 92 graus Celsius Biografia Joseph Louis Lagrange Durante sua vida Joseph Louis Lagrange exerceu as funções de Senador Conde do Império Napoleônico e Grande Oficial da Legião de Honra além de ter sido um dos matemáticos mais importantes da época Bem jovem aos dezesseis anos assumiu o cargo de professor de Matemática na Escola Real de Artilharia de Turim Sua obraprima é Mécanique Analytique Mecânica Analítica que escreveu quando tinha dezeno anos mas só foi publicada quando Lagrange tinha cinqüenta e dois anos em 1788 Com a idade de vinte e três anos complementou a teoria da probabilidade com resultados vindos do cálculo diferencial Essa novidade permitiulhe esboçar novos conceitos para a teoria de propagação do som Sua grande contribuição para essa área foi considerar o ar como sendo composto de partículas que se chocam de forma elástica Em 1759 foi admitido como membro estrangeiro na Academia de Ciências de Berlim Lagrange sempre foi um apaixonado pelo famoso Problema dos Três Corpos que persiste até nossos dias sem solução analítica Proposto originalmente por Isaac Newton esse problema trata das interações gravitacionais entre três corpos de massa aproximadamente precida Na busca de uma solução para o problema Lagrange encontrou a explicação ao fato de a Lua apresentar sempre a mesma face voltada para a Terra Pelo feito foi agraciado com o Grande Prêmio da Academia francesa de Ciências Na data contava vinte e oito anos Por vinte anos foi diretor da Divisão FísicoMatemática da Academia de Berlim A seu grande amigo o matemático francês DAlembert enviou a famosa carta de 1777 na qual escreveu Eu tenho sempre olhado a Matemática como um objeto de diversão mais do que de ambição e posso afirmar para você que tenho mais prazer nos trabalhos de outros do que nos meus próprios com os quais eu estou sempre insatisfeito Mais adiante em 1782 disse estar terminando seu tratado de Mecânica Analítica mas não tenho pressa com os detalhes finais pois não tenho a data de publicação da obra Voltando a Paris dedicouse às atividades como membro da Academia Francesa Era assíduo frequentador do Louvre e amigo da família real Depois da Revolução Francesa um decreto especial garantiulhe uma pensão como reconhecimento por seus trabalhos frente à ciência da França Mais tarde foi indicado para o cargo de professor da Escola Normal e em seguida de professor da Escola Politécnica fundada em 1797 Nessa instituição foi o proponente e o primeiro professor do curso de Matemática Nascimento 25 de janeiro de 1736 em Turim Itália Morte 10 de abril de 1813 em Paris França FUNDAMENTOS DE INFORMÁTICA Annibal Hetem Junior coordenador CÁLCULO NUMÉRICO Reinaldo Burian Antonio Carlos de Lima Annibal Hetem Junior LTC
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A função desconhecida fx pontos e o polinômio interpolador px Tabela 82 Capítulo 8 Interpolação polinomial e a fórmula de Lagrange Portanto px23831675x205x² 4 Cálculo da interpolação Substituindo o valor para o ponto x132 obtémse p13223831675132205132² p1323744 Devese levar em consideração que esse valor de px é uma aproximação não tendo sido obtido através da função original fx Como neste caso fx é conhecida podese avaliar qual foi o erro ou desvio introduzido devido ao processo de interpolação EXEMPLO 2 Dada a tabela a seguir obter f40 por interpolação de um polinômio do 3º grau Tabela 83 x 30 35 45 50 fx 05 057358 070711 076604 1 Polinômio interpolador Como se conhecem os valores da função em quatro pontos podese utilizar um polinômio de 3º grau pxa₀a₁xa₂x²a₃x³ 2 Construção do sistema O sistema para a solução do problema é do tipo a₀a₁x₀a₂x₀²a₃x₀³fx₀ a₀a₁x₁a₂x₁²a₃x₁³fx₁ a₀a₁x₂a₂x₂²a₃x₂³fx₂ a₀a₁x₃a₂x₃²a₃x₃³fx₃ no qual substituímos os valores da tabela a₀a₁30a₂30²a₃30³05 a₀a₁35a₂35²a₃35³057358 a₀a₁45a₂45²a₃45³070711 a₀a₁50a₂50²a₃50³076604 3 Resolvese o sistema obtendose a₀000118 a₁001792 a₂000002 a₃6810⁷ Portanto px000118001792x000002x²6810⁷x³ 4 Substituindo o valor para o ponto x40 obtémse p40064010 84 Polinômio interpolador na forma de Lagrange A forma de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos originais Sua praticidade é tal que se torna uma das formas mais utilizadas para a obtenção de um polinômio interpolador Seja f uma função tabelada em n1 pontos distintos x₀ x₁ xₙℝ e sejam os polinômios de grau n dados pela forma genérica pxLᵢxfxᵢ onde Lᵢxxx₀xx₁xx₂xxₙx₀x₁x₀x₂x₀xₙ x₁x₀x₁x₂x₁xₙx₂x₀x₂x₁x₂x₃x₂xₙ São denominados polinômios de Lagrange Notese que nos polinômios de Lagrange não são inseridos os fatores xxᵢ e xₖxᵢ o que resultaria num denominador nulo Portanto utilizandose esses polinômios podese determinar o polinômio interpolador de f relativamente aos pontos x₀ x₁ xₙ da seguinte forma pxL₀xfx₀L₁xfx₁Lₙxfxₙ Os polinômios Lᵢx satisfazem as condições a contêm os pontos da tabela pois pxᵢfxᵢ para i0 1 2 n e b o grau de px é menor ou igual a n Assim o polinômio obtido é o polinômio interpolador da tabela na forma de Lagrange Para melhor ilustrar o formalismo considerase a tabela Tabela 84 x x₀ x₁ x₂ x₃ fx y₀ y₁ y₂ y₃ O polinômio de Lagrange será pxxx₁xx₂xx₃ x₀x₁x₀x₂x₀x₃ xx₀xx₂xx₃ x₁x₀x₁x₂x₁x₃ xx₀xx₁xx₂ x₂x₀x₂x₁x₂x₃ 1 Definição dos polinômios de Lagrange Uma vez que a tabela apresenta três pontos buscarseá polinômios de Lagrange de 2º grau cujas formas são L₀x x x₁x x₂x₀ x₁x₀ x₂ L₁x x x₀x x₂x₁ x₀x₁ x₂ L₂x x x₀x x₁x₂ x₀x₂ x₁ E o polinômio interpolador de Lagrange é dado por px L₀xfx₀ L₁xfx₁ L₂xfx₂ 2 Substituição pelos valores da tabela L₀x x 14x 1513 1413 15 002 L₁x x 13x 1514 1314 15 001 L₂x x 13x 1415 1315 14 002 3 Interpolar na tabela x 132 significa calcular p132 L₀132fx₀ L₁132fx₁ L₂132fx₂ ou p132 132 14132 153669 132 13132 15001 132 13132 14002 o que resulta em p132 3743 Os polinômios de Lagrange são L₀x x x₁x x₂x x₃x₀ x₁x₀ x₂x₀ x₃ L₁x x x₀x x₂x x₃x₁ x₀x₁ x₂x₁ x₃ L₂x x x₀x x₁x x₃x₂ x₀x₂ x₁x₂ x₃ L₃x x x₀x x₁x x₂x₃ x₀x₃ x₁x₃ x₂ 2 Substituição pelos valores da tabela L₀x x 35x 45x 5030 3530 4530 50 1500 L₁x x 30x 45x 5035 3035 4535 50 750 L₂x x 30x 35x 5045 3045 3545 50 750 L₃x x 30x 35x 4550 3050 3550 45 1500 3 Interpolar na tabela x 40 significa calcular p40 L₀40fx₀ L₁40fx₁ L₂40fx₂ L₃40fx₃ o que finalmente resulta em p40 x 35x 45x 501500 05 x 30x 45x 50750 x 30x 35x 50750 p40 06428 1 Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela 20 354 25 16 03 calcule a aproximação de fx para x 2 e x 52 2 Obtenha via polinômios de Lagrange a aproximação para fx para os casos de x 05 e x 04 3 Via polinômios de Lagrange calcule a raiz de fx x ln x 32 Dica Faça uma tabela para valores de x 1 x 2 e x 3 e resolva a equação de 2º grau 4 Utilize a técnica dos polinômios de Lagrange para calcular o valor da função dada pela tabela 89 Tabela 89 x 16 25 30 42 54 67 fx 15 21 03 14 21 39 para f2 f3 e f5 5 Ao medir a reação de uma determinada bactéria à concentração de um novo antibiótico os cientistas levantaram a seguinte tabela de dados Tabela 810 C 100 112 222 432 742 1152 1662 K 054 044 060 038 042 050 061 onde C é a concentração do antibiótico e K é a medida da reação da bactéria Qual será a reação para concentrações de 20 50 e 100 Utilize interpolação via polinômios de Lagrange 6 Durante uma partida do campeonato mundial de xadrez anotouse o tempo que um jogador leva para responder a uma jogada em função da duração da partida Os resultados são descritos na tabela a seguir Tabela 811 t 15 30 45 60 75 d 5649 22615 50778 90005 140817 onde t é o tempo de partida e d é o intervalo em segundos necessário para que o jogador pense em sua próxima jogada dado em segundos Use os polinômios de Lagrange para determinar quanto tempo um jogador pensa depois de 10 minutos de jogo E se a partida levar duas horas 7 Físicos do Instituto de Tecnologia de Massachusetts fizeram um experimento no qual verificaram que as partículas de um determinado líquido perdem mobilidade em função da temperatura Para tanto mediram a velocidade média das partículas em cms em função da temperatura em graus Celsius obtendo os seguintes dados Tabela 812 Temp 1000 994 988 982 976 970 964 V 22239 22230 22221 22213 22204 22196 22188 Faça uma estimativa da velocidade das partículas nas temperaturas 95 e 92 graus Celsius Biografia Joseph Louis Lagrange Durante sua vida Joseph Louis Lagrange exerceu as funções de Senador Conde do Império Napoleônico e Grande Oficial da Legião de Honra além de ter sido um dos matemáticos mais importantes da época Bem jovem aos dezesseis anos assumiu o cargo de professor de Matemática na Escola Real de Artilharia de Turim Sua obraprima é Mécanique Analytique Mecânica Analítica que escreveu quando tinha dezeno anos mas só foi publicada quando Lagrange tinha cinqüenta e dois anos em 1788 Com a idade de vinte e três anos complementou a teoria da probabilidade com resultados vindos do cálculo diferencial Essa novidade permitiulhe esboçar novos conceitos para a teoria de propagação do som Sua grande contribuição para essa área foi considerar o ar como sendo composto de partículas que se chocam de forma elástica Em 1759 foi admitido como membro estrangeiro na Academia de Ciências de Berlim Lagrange sempre foi um apaixonado pelo famoso Problema dos Três Corpos que persiste até nossos dias sem solução analítica Proposto originalmente por Isaac Newton esse problema trata das interações gravitacionais entre três corpos de massa aproximadamente precida Na busca de uma solução para o problema Lagrange encontrou a explicação ao fato de a Lua apresentar sempre a mesma face voltada para a Terra Pelo feito foi agraciado com o Grande Prêmio da Academia francesa de Ciências Na data contava vinte e oito anos Por vinte anos foi diretor da Divisão FísicoMatemática da Academia de Berlim A seu grande amigo o matemático francês DAlembert enviou a famosa carta de 1777 na qual escreveu Eu tenho sempre olhado a Matemática como um objeto de diversão mais do que de ambição e posso afirmar para você que tenho mais prazer nos trabalhos de outros do que nos meus próprios com os quais eu estou sempre insatisfeito Mais adiante em 1782 disse estar terminando seu tratado de Mecânica Analítica mas não tenho pressa com os detalhes finais pois não tenho a data de publicação da obra Voltando a Paris dedicouse às atividades como membro da Academia Francesa Era assíduo frequentador do Louvre e amigo da família real Depois da Revolução Francesa um decreto especial garantiulhe uma pensão como reconhecimento por seus trabalhos frente à ciência da França Mais tarde foi indicado para o cargo de professor da Escola Normal e em seguida de professor da Escola Politécnica fundada em 1797 Nessa instituição foi o proponente e o primeiro professor do curso de Matemática Nascimento 25 de janeiro de 1736 em Turim Itália Morte 10 de abril de 1813 em Paris França FUNDAMENTOS DE INFORMÁTICA Annibal Hetem Junior coordenador CÁLCULO NUMÉRICO Reinaldo Burian Antonio Carlos de Lima Annibal Hetem Junior LTC