Cálculo Numérico - João Carlos dos Santos e Gabriela Faria Barcelos Gibim

João Carlos dos Santos Gabriela Faria Barcelos Gibim Cálculo Numérico CÁLCULO NUMÉRICO Cálculo Numérico KLS KLS João Carlos dos Santos Gabriela Faria Barcelos Gibim Cálculo Numérico Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Santos João Carlos dos ISBN 9788584822287 1 Cálculos numéricos I Gibim Gabriela Faria Barcelos II Título CDD 518 Faria Barcelos Gibim Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2015 216 p S237c Cálculo numérico João Carlos dos Santos Gabriela 2015 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Rui Fava Gerente Sênior de Editoração e Disponibilização de Material Didático Emanuel Santana Gerente de Revisão Cristiane Lisandra Danna Coordenação de Produção André Augusto de Andrade Ramos Coordenação de Disponibilização Daniel Roggeri Rosa Editoração e Diagramação eGTB Editora 2015 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Unidade 1 Erros Seção 11 Conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários Seção 12 Aritmética de ponto flutuante Seção 13 Análise de erros Parte I Seção 14 Análise de erros Parte II Unidade 2 Raízes Seção 21 Método da bissecção Seção 22 Método da falsa posição Seção 23 Método iterativo linear Seção 24 Método de NewtonRaphson Unidade 3 Interpolação Seção 31 Polinômio interpolador Seção 32 Forma de Lagrange para o polinômio interpolador Seção 33 Forma de Newton para o polinômio interpolador Seção 34 Estudo do erro na interpolação pelo método de Newton Unidade 4 Integração Numérica Seção 41 Fórmula de NewtonCotes Seção 42 Regra dos Trapézios Seção 43 Regra de Simpson Seção 44 Estudo dos erros na integração numérica 7 9 22 33 45 57 58 73 84 96 111 113 126 138 148 161 163 176 188 199 Sumário Palavras do autor Olá aluno bemvindo Nesta unidade curricular você será apresentado aos principais tópicos de cálculo numérico tais como os conceitos de erros raízes interpolação e integração O seu material é composto pelo livro didático que apresenta os principais temas que deverão ser estudados Além desse você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda os momentos de orientação mediação explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas Participe ativamente das atividades A estrutura de seu livro didático contempla quatroquatro unidades de ensino São elas Erros apresenta conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários aritmética de ponto flutuante e análise de erros Raízes método da bisseção falsa posição interativo linear e NewtonRaphson Interpolação interpolação polinomial forma de Lagrange Newton e estudo de erro na interpolação Integração fórmulas de NewtonCotes regra dos trapézios regra de Simpson estudo dos erros na integração numérica Prezado estudante mantenha uma rotina de estudos que possibilite dedicação aos processos de leitura participação e realização das atividades propostas Isso tem extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem quanto em sua aplicação Desde já desejo a você bons estudos U1 Erros 7 Unidade 1 Erros Por que estudar cálculo numérico O estudo do cálculo numérico é fundamental para resolver adequadamente problemas que exigem cálculos matemáticos e que são realizados no computador Existem números que são representados por infinitos dígitos e no computador não podem ser registrados pois a máquina é limitada Então são usados recursos como o arredondamento e o truncamento Contudo é preciso cuidado para que essas estratégias não produzam erros que comprometerão o resultado final dos cálculos efetuados Desse modo nesta unidade de ensino enfatizaremos o estudo de erros apresentaremos a conversão de números inteiros e fracionários decimais em binários aritmética de ponto flutuante análise de erros nas operações aritméticas e análise de erros de ponto flutuante Aproveite a oportunidade e tenha bons estudos Com base nesse estudo você irá conhecer o cálculo numérico além de interpretar erros e conhecer as formas para calcular zeros de funções interpolação e integração Os objetivos desse estudo são proporcionarlhe uma formação básica nas técnicas elementares de cálculo numérico e fornecer condições para que você possa conhecer calcular utilizar e aplicar métodos numéricos na solução de problemas Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos objetivos do tema em questão cálculo numérico a seguir é apresentada uma situação hipotética que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática Convite ao estudo U1 Erros 8 Carlos é coordenador de Engenharia de uma empresa de médio porte em São Paulo Sua função é coordenar a equipe de técnicos eletricistas mecânicos produção e civil da empresa Em seu dia a dia profissional aparecem várias situações relacionadas ao cálculo numérico em cuja solução Carlos deve auxiliar Imagine que você esteja no lugar de Carlos e que o laboratório de engenharia compra uma máquina de calcular capaz de armazenar 4 dígitos na mantissa parte decimal de um número utilizando arredondamento Então os técnicos do laboratório em cuja solução Carlos deve auxiliar em algumas dúvidas relacionadas à nova máquina que chegou e na resolução de algumas situações ligadas a ela U1 Erros 9 Seção 11 Conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários Diálogo aberto Para que converter números decimais em binários e viceversa Veja a importância de compreender os fundamentos do estudo de conversão de números binários que iniciará nesta seção Aproveite a oportunidade e faça bons estudos Dica Você pode encontrar mais sobre o estudo de conversão de números inteiros e fracionários para binários no link httpwww2sorocaba unespbrprofessorluizaCNCapostilapdf Acesso em 9 jul 2015 Lembrese Você sabia que nem todas as propriedades básicas da aritmética valem quando executadas no computador Na matemática os números são representados por infinitos algarismos já no computador isso não ocorre pois a memória é finita Temos como exemplo e Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo Uma das situaçõesproblema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia posicionadas em acordo com a disposição binária Assim os técnicos foram instruídos a acionálas inserindo na máquina um algarismo decimal que será convertido por ela em um código binário fazendo assim o correspondente acionamento Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos Considerando a disposição fixa das lâmpadas conforme figura abaixo qual código decimal Carlos você terá que inserir para que apenas a lâmpada U1 Erros 10 4 acenda Considere a lâmpada 0 representando o algarismo menos significativo do número binário a lâmpada 1 o segundo menos significativo e assim sucessivamente Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situaçãoproblema Você deve saber realizar a mudança de base de binário para decimal Não pode faltar Se calcularmos a área de uma circunferência de raio 100 m obteremos os resultados I A 31400 m2 II A 31416 m2 III A 3141592654 m2 Como podemos justificar os diferentes resultados O erro ocorrido no problema acima depende de como a máquina utilizada representa os números assim como da quantidade de algarismos utilizados Lembrese A área da circunferência é calculada por A r2 Assim dependendo do valor utilizado para aproximar podemos ter valores diferentes para a área O número foi representado de formas diferentes percebemos assim que isso levou a resultados de áreas diferentes Desse modo o erro depende da aproximação escolhida para o número que possui uma representação infinita Pelo fato de ser um número irracional a área da circunferência não será exata quando calculada em uma máquina U1 Erros 11 Assimile Você sabia que um número pode ser representado de forma finita em uma base e de forma não finita em outras bases Na Antiguidade foram utilizadas outras bases como a base 12 e a base 60 Já o computador opera com a base binária que utiliza apenas 2 dígitos ou com a hexadecimal que utiliza 16 dígitos Para que o computador execute as funções esperadas é necessário que as instruções estejam organizadas de forma sistemática de acordo com a estrutura do sistema computacional Isso significa que as instruções passadas ao computador o orientam a realizar algum tipo de operação sobre os valores que podem ser numéricos alfabéticos ou lógicos Reflita Como ocorre a análise dos dados informados pelo usuário no computador O usuário envia os dados na base 10 para o computador que converte essas informações para o sistema binário assim como suas operações Depois esses números são convertidos novamente para o sistema decimal e transmitidos aos usuários Desse modo toda linguagem de programação usada para escrever um programa computacional precisará ser convertida num outro programa equivalente à linguagem da máquina Sistema de Numeração Um sistema de numeração é uma forma lógica adotada para representar simbolicamente quantidades numéricas De forma geral um número pode ser escrito numa base qualquer b como exemplificado a seguir an bn an1bn1a1b1a0 b0 Sendo a algarismo n1 posição que o algarismo ocupa n 012 bbase do sistema de notação Utilizando essa representação podese realizar a conversão de U1 Erros 12 qualquer número para o sistema decimal Sistema de numeração decimal Nesse sistema usamos dez dígitos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 sendo 9 o maior deles Em um sistema numérico com base b existem b dígitos e o maior é b1 Sistema de numeração binário Neste sistema existem 2 dígitos apenas o zero 0 que se convencionou como desligado e o um 1 que se convencionou como ligado Cada dígito representado nesse sistema é denominado bit contração de Binary digiT Conversão do sistema binário para decimal Ao escrever o número na base 2 sistema binário os dígitos representam os coeficientes de potências de 2 A representação do número aj aj1a2a1a02 na base 10 denotada por b0 é obtida através do processo bj aj bj1 a j1 2bj b1 a1 2b2 b0 a0 2b1 Exemplificando Por exemplo o número decimal 11 é escrito em representação binária como 1011 pois para 10112 a sequência obtida será b3 a3 1 b2 a2 2b3 0 2 1 2 b1 a1 2b2 1 2 2 5 b0 a0 2b1 1 2 5 11 Esse exemplo mostra que 10112 é o mesmo que 1110 U1 Erros 13 Exemplificando Agora observe como funciona o processo inverso ou seja como encontrar o equivalente binário de 1110 11 2 5 resto 1 5 2 2 resto 1 2 2 1 resto 0 1 2 0 resto 1 O número binário é composto pelos restos das divisões sendo que o primeiro dígito binário é o último resto encontrado e o último dígito binário é o primeiro resto da divisão conforme indica o sentido da seta maior à direita Logo 1110 10112 Conversão de números binários fracionários em decimais A conversão de binário para decimal é realizada da seguinte forma 1 1 0 1 1 0 0 1 22 21 20 21 22 23 24 25 14 12 01 105 1025 00125 000625 1003125 4 2 0 05 025 0 0 003125 Logo 110110012 67812510 Devemos multiplicar cada algarismo do número na base 2 após o ponto por potências decrescentes de 2 da esquerda para a direita e somar as parcelas Exemplificando Conversão de números decimais fracionários em binários Volte ao exemplo anterior e veja que 110110012 67812510 Agora observe como funciona o processo inverso ou seja como encontrar o equivalente binário de 67812510 Para isso será necessário decompor o número na parte inteira e fracionária U1 Erros 14 6 078125 Já foi mostrado como encontrar o binário de um número decimal inteiro por meio de divisões sucessivas por 2 considerando o resto como número binário A parte fracionária do número decimal será transformada em binário pela multiplicação sucessiva por 2 Quando o resultado dessa multiplicação fornecer na parte inteira do número 0 ou 1 eles são colocados à direita da fração binária Quando for 1 esse número é subtraído do número decimal fracionário para que seja novamente multiplicado por 2 Esse processo se repete até finalizar com zero 6 078125 Conversão da parte inteira do número decimal 6 2 3 resto 0 3 2 1 resto 1 1 2 0 resto 1 Logo 610 1102 Conversão da parte fracionária do número decimal 078125 2 15625 1 à direita na parte fracionária do binário 05625 2 1125 1 à direita na parte fracionária do binário 0125 2 025 0 à direita na parte fracionária do binário 025 2 05 0 à direita na parte fracionária do binário Subtrai a unidade usada Mantém o número 05 2 10 1 à direita na parte fracionária do binário 00 Fim do processo Nesse ponto não é usado mais dígito algum Mantém o número Subtrai a unidade usada U1 Erros 15 Seguindo a ordem das multiplicações sucessivas devese usar o primeiro dígito como primeiro dígito fracionário binário conforme indica a seta mais à direita Logo 07812510 0110012 sendo o número final a soma das parcelas inteiras e fracionárias 6010 07812510 1102 0110012 67812510 110110012 Assim devese multiplicar a parcela decimal por 2 Continue multiplicando a parte decimal do resultado obtido por 2 O número na base 2 será então obtido tomandose a parte inteira do resultado de cada multiplicação Exemplificando Assim 075 2 150 050 2 100 000 2 000 Logo 07510 0112 Podemos ver essa situação no exemplo a seguir Para passar o número 38 da base 10 para a base 2 devemos transformar a parte inteira 310 112 e a parte decimal 08 2 16 06 2 12 02 2 04 04 2 08 08 2 Logo 3810 1111001100 2 Portanto o número 3810 não terá representação binária finita Alguns números não terão representação finita no sistema binário acarretando assim erros nos cálculos realizados nesse sistema O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário U1 Erros 16 As operações com o número 3810 serão realizadas por aproximação Na próxima seção estudaremos melhor o porquê de alguns resultados imprecisos nas operações Conversão de número hexadecimal para decimal Outro sistema numérico importante para o estudo computacional é o hexadecimal ou seja base de 16 algarismos Os algarismos que compõem esse sistema são todos os números da base decimal acrescidos por letras até completar os 16 algarismos necessários Logo são usados 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F considerando que os correspondentes das letras em decimal são A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 Dígito de 256 162 Dígito de 16 161 Dígito de 1 160 A07 A 162 0 161 7 160 10 256 0 16 7 1 2567 A0716 256710 Exemplificando Conversão de número decimal para hexadecimal 256710 para base 16 2567 16 160 resto 7 160 16 10 resto 0 10 16 0 resto 10 ou A Logo 256710 A0716 Pesquise mais Existem muitas calculadoras que fazem a conversão entre bases numéricas Neste link há um app para o sistema Android que realiza essa função Disponível em httpwwwandroidzcombrforumtopic984 appconversordebasenumerica Acesso em 22 jun 2015 U1 Erros 17 Faça você mesmo Dado o número 110111 que está na base 10 escrevao na base 2 Sem medo de errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários vamos resolver a primeira situaçãoproblema apresentada a Carlos Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia as quais foram posicionadas em acordo com a disposição binária Assim os técnicos foram instruídos a acionálas inserindo na máquina um algarismo decimal que será convertido pela máquina em um código binário fazendo assim o correspondente acionamento Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos Considerando a disposição fixa das lâmpadas conforme figura a seguir qual código decimal Carlos você terá que inserir para que apenas a lâmpada 4 acenda Considere a lâmpada 0 representando o algarismo menos significativo do número binário a lâmpada 1 o segundo menos significativo e assim sucessivamente Solução Carlos deverá inserir o número decimal 16 pois 1610 100002 Sendo a lâmpada 4 o algarismo mais significativo temos o número binário 10000 Convertendo esse número para decimal 1 24 0 23 0 22 0 21 0 20 16 Assim Carlos deverá inserir na máquina o decimal 16 10 000 24 1 23 0 22 0 21 0 20 0 16 fazendo o processo inverso de decimal para binário 162 8 resto 0 U1 Erros 18 82 4 resto 0 422 resto0 221 resto0 120 resto1 Logo 1610 100002 Nem todos os números reais têm representação no sistema binário sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina Lembrese Alguns números não terão representação finita no sistema binário acarretando assim erros nos cálculos realizados nos sistemas binários O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário Veja mais em httpwww2sorocabaunespbrprofessorluiza CNCapostilapdf Acesso em 13 jul 2015 Avançando na Prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Conversão de números 1 Competência de fundamentos de área Conhecer o cálculo numérico 2 Objetivos de aprendizagem Fornecer condições para conhecer e realizar cálculos de conversão de números decimais em binários 3 Conteúdos relacionados Conversão de número decimal para binário Atenção U1 Erros 19 4 Descrição da SP Se o sistema decimal é utilizado pelos seres humanos o sistema binário constitui a base para a representação da informação nos computadores Nesse contexto um equipamento dispõe de dois displays o primeiro que mostra números em formato decimal o segundo em binário havendo uma correspondência entre as representações Se o display decimal mostra o número 250 o binário mostrará a 11111010 b 11111110 c 11110101 d 10101111 e 10111110 5 Resolução da SP Resposta correta A Para encontrar o número na forma binária é só dividir o número 250 por 2 até encontrar 0 no quociente 250 2 125 resto 0 125 2 62 resto 1 62 2 31 resto 0 31 2 15 resto 1 15 2 7 resto 1 7 2 3 resto 1 3 2 1 resto 1 12 0 resto 1 1 Assinale a alternativa que apresenta a conversão correta de decimal para binário do número 21510 a 1010010012 b 100111002 c 1110110012 d 10001012 e 110101112 Faça valer a pena U1 Erros 20 2 Avalie como verdadeiras V ou falsas F as afirmativas seguintes I Sistema decimal é um sistema numérico com base 10 que contém os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 É o sistema menos utilizado II Sistema binário é um sistema numérico com base 2 que contém os algarismos 0 1 É o sistema utilizado pelos computadores III Um sistema numérico importante para o estudo computacional é o hexadecimal ou seja de base 16 Isso porque também é de potência de 2 assim como o octal que é de base 8 IV O fato de um número ter representação decimal finita não implica uma representação binária também infinita V Ao converter o número decimal 07812510 em binário encontramos que 07812510 0110012 Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta de valores lógicos V e F das afirmativas anteriores a F V V V V b V F V V V c V F F V V d V F F F V e F F V V F 3 Sobre mudança de base podemos afirmar que a A maioria dos computadores trabalha na base β em que β é um número inteiro 2 b Um mesmo número não pode ser representado em mais de uma base c Para converter um número decimal para um número binário devemos aplicar um método para a parte inteira divisões sucessivas e um método para a parte fracionária se houver multiplicação sucessivas d O número 1101 da base 2 quando representado na base 10 é igual a 11 e O número 13 que está na base 10 pode ser representado na base 2 como 1101 4 Dado o número 0110 que está na base 2 a sua representação na base 10 é a 75 b 075 c 0075 d 016 e 16 U1 Erros 21 5 Dado o número 01875 que está na base 10 a sua representação na base 2 é a 01101 b 00111 c 00001 d 00011 e 01000 6 Foram apresentados os seguintes resultados para a área de uma circunferência de raio 100cm a 31400 cm2 b 31416 cm2 c 3141592654 cm2 Como justificar as diferenças entre os resultados É possível obter exatamente essa área 7 Faça a conversão dos seguintes números binários em decimais 11000112 1011012 11011102 U1 Erros 22 Seção 12 Aritmética de ponto flutuante Diálogo aberto Na seção anterior vimos que há um método padrão para gerar um número numa base b qualquer mas concentramos nossos estudos nos números dos sistemas decimal e binário Nesta seção você irá aprender sobre aritmética de ponto flutuante Iremos estudar sobre a representação dos números num sistema computacional e como esta é limitada pela capacidade da máquina motivo da utilização do truncamento ou arredondamento dos dados Dica Veja o livro de cálculo numérico em português disponibilizado em httpwwwdecomufopbrbcc760materialdeapoiolivroslivro portpdf Acesso em 13 jul 2015 Lembrese Alguns desastres que ocorreram são atribuídos a uma equivocada computação numérica como o fracasso do míssil Patriot em Dharan Arábia Saudita em 25 de fevereiro de 1991 Esse incidente que resultou em 28 mortes foi atribuído à má manipulação de erros de arredondamento Outro caso foi a explosão do foguete Ariane 5 logo após a decolagem em sua viagem inaugural a partir da Guiana Francesa em 4 de junho de 1996 Esse desastre acabou por ser a consequência de um estouro de memória overflow Os textos completos sobre os casos podem ser lidos em httpwwwimaumneduarnolddisasters Acesso em 13 jul 2015 Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo Uma das situaçõesproblema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal 4 dígitos na mantissa parte decimal do número e expoentes no intervalo 55 Os técnicos precisam saber quais são o menor e o maior números em módulo representados nesta máquina Como eles podem resolver esse problema U1 Erros 23 Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situaçãoproblema Conhecer e aplicar conhecimentos sobre aritmética de ponto flutuante Não pode faltar Sistemas de números no computador A quantidade de números reais existentes é infinita e entre qualquer faixa de números temos outros infinitos números podemos representar números infinitamente pequenos Os computadores por sua vez são limitados ou seja só podem representar números de tamanho finito elementos finitos células e registradores de tamanho finito O fato de os computadores só representarem números de tamanho finito acarreta um problema de precisão e podem ocorrer erros tanto para indicar números quanto para obter o resultado de operações aritméticas É por problemas como esse que existem o overflow e o underflow Para melhor compreensão suponha que um processador tenha capacidade para representar valores binários de 32 bits e que efetue uma multiplicação cujo resultado retorne um número que ocupe mais espaço que o disponível Essa ocorrência é conhecida como estouro da representação ou overflow Vocabulário Underflow quando ocorre um resultado com valor abaixo do menor valor representável por uma específica quantidade de bits disponível numa dada máquina Overflow é o estouro da representação isto é quando há a necessidade de armazenar uma quantidade maior de bits do que o espaço representável disponibilizado pelo sistema de computação Bit simplificação para dígito binário Binary digit em inglês é a menor unidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida e que pode assumir somente dois valores 0 ou 1 verdadeiro ou falso e assim por diante Num sistema computacional os valores reais são armazenados em notação científica que é aquela que permite escrever com menos algarismos números muito pequenos com muitos zeros depois da U1 Erros 24 vírgula ou números muito grandes Considere os exemplos a seguir O número 00000005 é muito pequeno mas possui muitos dígitos Em notação científica é representado por 5107 e em computação por 5E7 sendo que E é o indicador de que há o expoente 7 Observe que essa notação permite que o número seja representado corretamente com uma quantidade menor de algarismos dígitos A notação científica como é conhecida em matemática é chamada em computação de representação em ponto flutuante Agora note que o número 5531222341112123 pode ser representado por 5531015 ou por 553E15 em ponto flutuante Vamos aprender agora como os números são representados num computador Começaremos pela representação de um número inteiro Representação de um número inteiro Não há dificuldade em representar um número inteiro no computador Todo computador trabalha com uma base fixa b onde b é um inteiro 2 e é escolhido como potência de 2 Dado um número inteiro n 0 ele possui a seguinte representação n nknk1n1n0 n0b0n1b1nkbk em que os ni i01 k são inteiros satisfazendo 0 ni b e nk 0 Exemplificando Como o número 1885 é representado na base b10 e armazenado 1885 5100 8101 8102 1103 E é armazenado como n3n2n1n0 Representação de um número real Você sabia que a representação de um número real no computador pode ser feita de duas maneiras I Uma delas é a representação em ponto fixo esse sistema foi usado no passado em muitos computadores Assim dado um número real x0 ele será representado em ponto fixo por x xi bi U1 Erros 25 em que k e n são inteiros satisfazendo kn e usualmente k0 e n0 e os xi são inteiros satisfazendo 0 xi b Exemplificando O número 288616 é representado na base b10 por 288615 x i bi 2 103 8 102 8 101 6 100 1 101 5 102 2 1000 8 100 8 10 6 1 1 01 5 001 Assim é armazenado como x3x2x1x0x1x2 A representação em ponto flutuante poderia ser chamada no Brasil de vírgula flutuante pois usamos a vírgula para separar a parte inteira da fracionária é universalmente utilizada nos dias atuais II Representação em ponto flutuante Essa é a representação mais flexível portanto é mais utilizada nos dias de hoje Um número real x0 pode ser representado em ponto flutuante por x 0d1d2dt bE em que b a base em que o computador opera t o número de dígitos na mantissa 0 dj b1 j1 t E o expoente no intervalo m M Se d1 0 dizse que o sistema é normalizado SPERANDIO MENDES SILVA 2003 Em qualquer computador apenas um subconjunto dos números reais é representado exatamente Assim a representação de um número real será realizada através de truncamento ou de arredondamento O número máximo de dígitos t é determinado pelo comprimento da palavra do computador Um bit é um dígito da mantissa quando a base é 2 Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética de ponto flutuante se o expoente E estiver fora dos limites m e M pois a máquina acusará erro de underflow se resultar E m e de overflow se E M U1 Erros 26 Exemplificando Segue a representação de alguns números na base b 10 em um ponto flutuante na forma normalizada i 065 6 101 5 102 100 065 100 ii 4765 4 101 7 102 6 103 5 104 101 04765 101 iii 00145 1 101 4 102 5 103 101 0145 101 iv 43216 4 101 3 102 2 103 1 104 6 105 104 043216 104 v 00004 4 101 103 04 103 Representação de números no sistema F b t m M Para representarmos um sistema de números em ponto flutuante normalizado na base b com t dígitos significativos e com limites dos expoentes m e M usase a notação F b t m M Um número em F b t m M será representado por 0d1d2dt bE em que d1 0 e m E M Exemplificando Represente no sistema F10322 os números do exemplo anterior Nesse sistema o número será representado por 0d1d2d3 10E em que 2 E 2 Assim 065 065 100 4765 04765 x 101 00145 0145 x 101 Observe que os números 43216 e 00004 não podem ser representados no sistema Considerando o número 43216 043216 104 sendo o expoente maior que 2 o computador acusa ocorrência de overflow O número 00004 04 x 103 sendo o expoente menor que 2 representa uma situação em que o computador acusa a ocorrência de underflow U1 Erros 27 Assimile O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor expoente possível na máquina Isso porque a representação do zero por uma mantissa nula e um expoente qualquer para a base b pode acarretar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a outro número RUGGIERO LOPES 1996 p 38 Um computador que opera na base 10 com 4 dígitos na mantissa para x 00000 104 e y 02125 102 o resultado de x y seria 0 21x102 assim são perdidos dois dígitos do valor exato y Isso ocorre pela forma como é efetuada a adição do ponto flutuante Mas veremos esse assunto nas seções seguintes Reflita Vejamos os sistemas de ponto flutuante de algumas máquinas antigas HP 25 F10998100 Texas SR 50 e HP 41C F101098100 Texas SR 52 F101298100 IBM 360370 F1666463 Burroughs B 6700 F813 5177 Comparando com sua calculadora ou seu microcomputador essas máquinas podem ser ditas obsoletas no ponto de vista do sistema de ponto flutuante Propriedades dos números do sistema de ponto flutuante i p 01 bm é o menor número não nulo em módulo em F ii s 0b1b1b1 bM é o maior número do sistema de ponto flutuante F iii a cardinalidade número de elementos de F é Número de elementos 2 b1bt1Emax Emin 1 1 iv a mantissa está contida no intervalo 01 1 v Se x F então x F Exemplificando Considere F2 212 com sistema normalizado ou seja d1 0 Quantos e quais os números são representados por esse computador Cardinalidade número de elementos 2b1bt1Emax Emin 1 1 17 elementos 8 números positivos 8 negativos e o zero U1 Erros 28 10 x 2E ou 11 x 2E sendo 1 E 2 Convertendo para decimal temos 010 ½ e 011 ¾ Com isso os únicos números positivos representáveis nesse computador são Mantissa ½ 2E e ¾ 2E para e101 e 2 Os números que podem ser representados na reta numérica são ¼ ½ 1 2 38 ¾ 32 e 3 Também os números correspondentes negativos e o número zero Atenção O conjunto dos números de ponto flutuante é discreto e não contínuo como os números reais Não temos mais o conceito que entre dois números sempre existe outro Exemplo Considere a representação binária 06 e 07 06 0100110011001 e 07 01011001100110 Se representarmos esses números no sistema de aritmética flutuante F 2212 teremos 06 07 010 x 20 Veja que esse número equivale ao número 05 no sistema decimal ou seja o número 06 e 07 serão considerados 05 nesse sistema Dessa forma podese concluir que nem todos os números reais têm representação no sistema binário sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina Vamos estudar mais sobre esse assunto na próxima seção Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo aritmético do ponto flutuante no link httpwww2sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostila pdf Acesso em 13 jul 2015 U1 Erros 29 Faça você mesmo Represente o número 199716 em ponto fixo Sem medo de errar Após o estudo do conteúdo de aritmética de ponto flutuante vamos resolver a situaçãoproblema apresentada a Carlos A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal 4 dígitos na mantissa t4 e expoentes no intervalo 55 Os técnicos precisam saber quais são o menor e o maior números em módulo representados nessa máquina Como eles podem resolver esse problema Solução O menor número não nulo em módulo de F é dado por p 01 bm logo sendo b10 e m 5 teremos p01000 105 106 Para representar o maior número do sistema flutuante F temos s 0b1b1b1 bM logo s 0101101101101 105 s 09999 105 99990 Atenção Nas máquinas digitais um algarismo binário é denominado bit Um grupo de 8 bits corresponde a 1 byte Assim percebemos que a representação dos números binários num computador é feita com um número finito de bits A esse tamanho finito de bits é dado o nome de palavra de computador Lembrese O tamanho da palavra de computador depende de características internas à arquitetura dele Em geral os microcomputadores padrão PC têm tamanho de palavra de 16 a 32 bits Computadores modernos têm palavras de 64 bits ou mais Quanto maior é o tamanho da palavra do computador mais veloz e mais preciso será o computador U1 Erros 30 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas 1 Competência de fundamentos de área Conhecer sistema de ponto flutuante 2 Objetivos de aprendizagem Fornecer condições para que você aluno possa conhecer e aplicar a aritmética de ponto flutuante em situaçõesproblemas 3 Conteúdos relacionados Aritmética de ponto flutuante 4 Descrição da SP Considerando agora que estamos diante de uma máquina que utilize apenas três dígitos significativos e que tenha como limite inferior e superior para o expoente respectivamente 2 e 2 como seriam representados nessa máquina os números reais x1 035 x2 5172 x3 00123 x4 00003 e x5 53913 em que estão todos na base β 10 em notação de um sistema de aritmética de ponto flutuante 5 Resolução da SP Temos então para essa máquina t 3 m 2 e M 2 Dessa forma 2 E 2 Sendo assim temos 035 0350 100 5172 0517 101 001230123 101 53913 053913 104 Não pode ser representado por essa máquina Erro de overflow 00003 03 103 Não pode ser representado por essa máquina Erro de underflow Atenção Alguns exemplos de sistemas de ponto flutuante HP25 F10 9 98 100 IBM 360370 F16 6 64 63 e B6700 F8 13 51 77 Lembrese Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português U1 Erros 31 disponibilizado em httpwwwdecomufopbrbcc760materialde apoiolivroslivroportpdf Acesso em 13 jul 2015 Faça valer a pena 1 Considere o sistema F 10 3 3 3 Marque a alternativa cujo número não pode ser representado nesse sistema por overflow a 27913 b 125 c 0000056 As questões de 2 a 5 referemse ao seguinte enunciado Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por base 2 3 dígitos na mantissa t3 e expoentes no intervalo 12 FRANCO 2006 5 Considerando o sistema de ponto flutuante do enunciado quais dos seguintes números 038 53 e 015 podem ser representados na base 10 a Todos b Apenas o 038 c Os números 038 e 53 3 Quais são o maior e o menor elementos positivos desse sistema 4 Quais números podemos representar nesse sistema 2 Encontre a cardinalidade ou seja quantos números são representados por esse computador a 33 b 10 c 23 d 123445 e 1923456 d 21 e 41 d Os números 015 e 53 e Apenas o número 015 U1 Erros 32 6 Como o número 01110 00001110000101000111101011100001010 00111102 será armazenado em uma máquina que opera com apenas 6 dígitos na mantissa ou seja que seja capaz de armazenar números no formato m 0d1d2d3d4d5d6 10E Disponível em httpwww1 univapbrspillingCNCNCapt1pdf Acesso em 13 jul 2015 a 010937510 b 010000010 c 011119310 7 Marque a alternativa correta a O conjunto de números em um sistema de ponto flutuante é discreto e não contínuo como os números reais b O conjunto de números em um sistema de ponto flutuante é infinito como nos números reais c Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior ao expoente máximo temos um underflow d Overflow ocorre quando um resultado com valor menor que o menor valor representável por uma específica quantidade de bits está disponível numa máquina dada e O uso do truncamento embora apresente menores erros acarreta um tempo maior de execução razão pela qual o arredondamento é mais utilizado d 011111110 e 010011110 U1 Erros 33 Seção 13 Análise de Erros Parte I Diálogo aberto Na seção anterior você aprendeu sobre aritmética de ponto flutuante e sobre a representação dos números num sistema computacional sendo esta última limitada pela capacidade da máquina Nesta seção vamos estudar sobre análise de erros pois a noção de erros está presente em todos os campos do cálculo numérico Sabemos que os dados nem sempre são exatos e que as operações realizadas sobre esses valores não exatos propagam esses erros a seus resultados Assim os métodos numéricos métodos esses aproximados buscam minimizar esses erros procurando resultados que se aproximem dos valores exatos Nesta seção analisaremos os erros que ocorrem durante as fases de modelagem e resolução e também sobre erros de arredondamento e erros de truncamento Reflita O cálculo numérico faz parte da análise numérica no sentido amplo que comumente está preocupada com a quantificação dos erros cometidos nas diversas etapas de aproximação tais como arredondamento e truncamento e também com questões mais refinadas no escopo dos processos de aproximação Dica O livrotexto da disciplina apresenta um bom conteúdo sobre o assunto sendo importante referência para o estudo e concretização do aprendizado Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo Uma das situaçõesproblema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte Os técnicos do laboratório de engenharia precisavam representar o número 73758 e descobrir o resultado das somas S1 42450 U1 Erros 34 e S2 42450 na máquina nova adquirida Então pediram ajuda a Carlos para realizar essa tarefa Os técnicos sabiam que a máquina nova possuía um sistema de representação de números definidos por base decimal 4 algarismos na mantissa e expoentes com intervalos de 55 Como Carlos você pode ajudar os técnicos a solucionarem o problema Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situaçãoproblema Conhecer e aplicar conhecimentos de análise de erros em particular erros absolutos relativos arredondamento e truncamento Não pode faltar Erros na fase de modelagem Por que não temos uma descrição correta ao tentar representar um fenômeno físico por um método matemático Isso ocorre porque são necessárias várias simplificações do mundo físico para encontrar um modelo Exemplificando Suponha estar diante do seguinte problema você está em cima de um edifício cuja altura não tem conhecimento mas precisa determinála Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro O que fazer A bolinha foi solta do topo do edifício e marcouse no cronômetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo Com isso podemos concluir a partir da equação s s0 v0t que a altura do edifício é de 196 metros Essa resposta é confiável Onde estão os erros Erros de modelagem resistência do ar velocidade do vento forma do objeto etc Esses erros estão associados em geral à simplificação do modelo matemático Erros de resolução precisão dos dados de entrada ex precisão na leitura do cronômetro p t 23 segundos h 2592 metros gravidade forma como os dados são armazenados operações numéricas efetuadas erro de truncamento troca de uma U1 Erros 35 série infinita por uma série finita Há fatores que não estão sendo considerados como a resistência do ar as velocidades do vento etc Se o tempo fosse 25 e a distância 54015 teríamos uma variação no cronômetro e consequentemente na altura Erros devido ao Armazenamento Erros de Arredondamento e Truncamento Assimile Os erros de arredondamento podem surgir de duas fontes distintas no processo de conversão de base e na representação finita de dígitos que as máquinas utilizam SPERANDIO MENDES SILVA 2003 p 7 Reflita Vimos na seção anterior que o número decimal 06 é representado em binário por 010011001 e isso mostra que o valor em decimal é armazenado de forma aproximada ou seja não tem representação exata na base binária Dessa forma podese concluir que nem todos os números reais têm representação no sistema binário sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina Erro de arredondamento para fazer o registro de um valor aproximado utilizamos a seguinte regra 1 Somamos meia unidade a última casa decimal a conservar 2 Desprezamos as demais casas Segundo Franco 2006 p 43 arredondar um número x por outro com um número menor de dígitos significativos consiste em encontrar um número x pertencente ao sistema de numeração tal que x x seja o menor possível Reflita A melhor aproximação para x1 2142857 seria 2142 ou 2143 Efetuamos os cálculos 2142 x1 0000857 e 2143 x1 0000143 Logo 2143 representa a melhor aproximação para x1 2142857 usando 4 dígitos significativos U1 Erros 36 Erros de truncamento são utilizados em processos muitos grandes para o cálculo de um valor razão pela qual são truncados Esses processos infinitos são utilizados por exemplo em exponencial logaritmos funções trigonométricas No truncamento os dígitos que excedem o limite da mantissa são desprezados Por exemplo seja x 23457 representado com t 4 logo x 02345 x 103 sendo que 007 foi desprezado no truncamento Segundo Ruggiero e Lopes 1996 p 15 o uso de arredondamento embora apresente menores erros acarreta um tempo maior de execução razão pela qual o truncamento é mais utilizado Exemplificando Dar a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β 10 m 4 e M 4 X Representação obtida por arredondamento Representação obtida por truncamento 125 0125 x 10 0125 x 10 10053 0101 x 102 0100 x 102 23815 0238 x 103 0238 x 103 271828 0272 x 10 0271 x 10 0000007 expoente menor que 4 71823582 expoente maior que 4 Fonte Ruggiero e Lopes 1996 p 15 Erros relacionados às aproximações dos cálculos números de iterações Erros relacionados à aproximação de cálculos números de iterações são erros causados quando utilizamos num processo algorítmico infinito apenas uma parte finita do processo Exemplo Cálculo da função lnx1 ln x1 x Fazendo o truncamento temos ln x1 x 1 n U1 Erros 37 A solução é interromper os cálculos quando uma determinada precisão é atingida Erros nas operações aritméticas Um dos aspectos importantes do cálculo numérico é manter o controle dos erros de arredondamento e truncamento já que é preciso compreender como o erro em uma operação se propaga em operações subsequentes Ruggiero e Lopes 1996 p 19 indicam que a análise completa da propagação de erros se faz considerando o erro nas parcelas ou fatores e no resultado de cada operação efetuada Observe os exemplos apresentados por Franco 2006 p 46 Exemplificando Considerar base 10 e 3 dígitos significativos para efetuar as operações indicadas i 114 318 505 e 114 318 505 ii 318 114505 e 318505 114 iii 318 505 114 e 318 505 318 114 Para cada item fazendo o arredondamento após cada uma das operações efetuadas segue que i 114 318 505 146 505 197 ao passo que no outro cálculo 114 318 505 114 823 196 ii 318 114505 363505 719 e no outro cálculo 318505 114 0630 114 718 iii 318 505 114 318 165 523 ao passo que no outro cálculo 318 505 318 114 161 363 524 Franco 2006 p 47 faz uma importante observação a respeito dos erros ocorridos U1 Erros 38 erros consideráveis podem ocorrer durante a execução de um algoritmo Isso se deve ao fato de que existem limitações da máquina e também que os erros de arredondamento são introduzidos a cada operação efetuada Em consequência podemos obter resultados diferentes mesmo utilizando métodos numéricos matematicamente equivalentes Assim devemos ser capazes de conseguir desenvolver um algoritmo tal que os efeitos da aritmética discreta do computador permaneçam inofensivos quando um grande número de operações são executadas Erros absoluto e relativo Erro absoluto diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado obtido a partir de um procedimento numérico EAx x Apenas é conhecido o que fazemos é escolher um limitante superior ou fazer uma estimativa para o módulo do erro absoluto Isso permitirá que mesmo não conhecendo o erro saibamos que ele está entre dois valores conhecidos Exemplificando 1 Sabendose que π 314 315 tomaremos para um π valor dentro desse intervalo e teremos então 2 Se considerarmos o número 12419 de forma que 01 temos x ϵ 12418 1242 3 Se 13 de forma que 01 podemos dizer que y ϵ 12 14 Os limitantes superiores para os erros absolutos nos exemplos do número 1 e 2 são os mesmos Podemos afirmar que os valores de x e y foram representados com a mesma precisão O erro absoluto portanto não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo pois depende da ordem de grandeza dos números U1 Erros 39 trabalhados Assim o conceito de erro relativo é mais utilizado Por isso é importante compararmos a ordem de grandeza dos números x e y Assim vamos perceber que um resultado é mais preciso que o outro isso porque a ordem de grandeza de x é maior que a ordem de grandeza de y Erro relativo erro absoluto dividido pelo valor aproximado EAR Exemplificando Se α 3876373 e só desejamos a parte inteira α o erro absoluto será α α α 0373 Se fizermos o mesmo com o número β 1373 teremos β β β 0373 Obviamente o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α mas o erro absoluto é o mesmo nos dois casos O erro relativo entretanto pode traduzir perfeitamente esse fato pois δα 0373 3876 0000096 δβ 0373 1 0373 Disponível em httpwwwinfufprbrauroradisciplinasnumerico apostilapdf Acesso em 13 jul 2015 Frequentemente o erro relativo é expresso também como erro percentual chamado taxa de erro Para isso basta multiplicar o erro relativo por 100 erro percentual erro relativo 100 Erro percentual 100 Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo de análise de erro em http www2sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostilapdf Acesso em 13 jul 2015 U1 Erros 40 Faça você mesmo Considere o sistema F10355 Efetue as operações indicadas 13860987 76485 e 1386 0987 76485 Sem medo de errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários vamos resolver a primeira situação problema apresentada a Carlos Os técnicos do laboratório de engenharia precisavam representar o número 73758 e descobrir o resultado das somas S1 42450 e S2 42450 na máquina nova adquirida Então pediram ajuda a Carlos para realizar essa tarefa Os técnicos sabiam que a máquina nova possuía um sistema de representação de números definidos por base decimal 4 algarismos na mantissa e expoentes com intervalos de 55 Como Carlos você pode ajudar os técnicos a solucionarem o problema Solução 1 07375102 truncamento e 07376102 arredondamento 2 O resultado deveria ser o mesmo contudo as operações devem ser realizadas na ordem em que aparecem as parcelas o que conduzirá a resultados distintos Assim temos S1 42450 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 04245105 000003105 042453105 04245105 representado na mantissa com 4 dígitos Depois teremos 04245105 000003105 042453105 idem Em seguida teremos 04245105 000003105 042453105 até terminar a última soma individual U1 Erros 41 S1 04245105 S2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 42450 03000101 03000101 06000101 06000101 03000101 09000101 09000101 03000101 12000101 01200102 01200102 003000102 01500102 até terminar o último 3 que resultará no número 03000102 Depois é feita a soma com o número 42450 e no final teremos 03000102 00003105 S200003105 04245105 04248105 Atenção Eliminar os erros na resolução de problemas por meio de métodos numéricos é praticamente impossível mas o que pode ser feito é minimizar os efeitos da propagação desses erros Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Representação de um número 1 Fundamentos de competências de área Conhecer análise de erros 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer e aplicar análise de erros em situações problemas 3 Conteúdos relacionados Análise de erros U1 Erros 42 4 Descrição da SP Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por base decimal 4 algarismos na mantissa e expoentes no intervalo 55 Calcule o valor de a b em que a 42450 e b3 5 Resolução da SP Primeiro vamos deixar os números com a mesma base considerando t4 a 04245105 e b 000003105 a b 04245105 000003 042453105 Mas o resultado será armazenado com 4 algarismos na mantissa portanto a b 04245105 Atenção Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português disponibilizado em httpwwwdecomufopbrbcc760materialde apoiolivroslivroportpdf Acesso em 30 jun 2015 Lembrese O erro de truncamento é o erro que ocorre em razão do método numérico aplicado por exemplo expansão truncada de uma série linearização de uma função O erro de arredondamento é o erro causado pela representação de um número real em um sistema de ponto flutuante Faça valer a pena 1 Imagine uma máquina cuja representação de números é definida por F10455 Qual a alternativa correta ao considerar o truncamento a O número 07376 102 é a representação do número 73758 b O erro relativo encontrado é 0002 c O erro absoluto é 0007 d O erro absoluto e relativo são iguais e A representação do número 73758 por arredondamento correta é 07375 x102 U1 Erros 43 O seguinte enunciado associase as questões 2 e 3 Considere um sistema de ponto flutuante com b 10 e n 3 e uma representação por arredondamento 2 Marque a alternativa correta a Erro absoluto valor real valor aproximado b Se o resultado de uma operação é 2123542 e o valor esperado era 21235445 o erro absoluto nesse caso é 18 A diferença é bem pequena portanto podemos considerar o resultado preciso c Se o resultado de uma operação é 0234 e o resultado esperado era de 0128 o erro absoluto é 0106 porém o resultado é impreciso d Erro relativo erro absolutovalor real e Todas as alternativas estão corretas 3 Considere os dados x100 1001 y00006 e 00004 e marque a alternativa correta a EAx 01 e EAy 00002 b Como EAy é muito menor que EAx podemos afirmar que a aproximação de y é pior que a de x c ERx 033333333 d ERy 0999999 e ERx ERy 4 Se Px x3 6x2 4x 01 o valor exato de Px para x 524 será a 000776 b 00776 c 0010 d 000 U1 Erros 44 e 0005 5 Sobre as operações no sistema de ponto flutuante podemos afirmar que a A ordem de execução das operações não influenciam no resultado em um sistema ajustado por arredondamento b A ordem de execução das operações não influenciam no resultado em um sistema ajustado por truncamento c Os erros introduzidos a cada operação pouco influem na solução obtida pelo método numérico aplicado d Os métodos numéricos matematicamente equivalentes podem fornecer resultados diferentes e Pelo fato de o arredondamento ser feito após cada operação essas são associativas e distributivas 6 Calcule o valor numérico de e número de Euler empregando a série truncada de 4ª ordem ex 1 x 7 Considere um sistema de ponto flutuante com b 10 e n 3 e uma representação por arredondamento Verifique se a 159 499 002 159 499 159 002 b 0123 797 849 0123 849 797 c 4210 499 002 4210 499 002 U1 Erros 45 Seção 14 Análise de Erros Parte II Diálogo aberto Na seção anterior você aprendeu sobre análise de erros erros de arredondamento e truncamento erros nas operações aritméticas erros absolutos e relativos Nesta seção vamos continuar nossos estudos sobre análise de erros mas agora trabalharemos com a propagação de erros e cancelamento O objetivo das seções 13 e 14 é o de apresentar alguns aspectos sobre erros numéricos Você aprendeu que a representação dos números num sistema computacional é limitada pela capacidade da máquina e que por isso são usados o truncamento ou o arredondamento dos dados Outro aspecto importante estudado é que os erros de arredondamento intermediários podem comprometer o resultado final de um algoritmo sendo portanto importante manter o controle desses erros Mesmo com o avanço na tecnologia de construção de computadores e máquinas digitais é possível verificar que os resultados finais podem sempre ser influenciados por erros como os de arredondamento e restrições do armazenamento de números Dica Como leitura adicional recomendase realizar uma busca na internet por falhas e acidentes causados por erros numéricos Sugestão de pesquisa disasters caused by numerical errors Vamos relembrar a situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo Uma das situaçõesproblema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte Os técnicos da engenharia foram solicitados a calcular o perímetro e a área do laboratório da empresa formado por um retângulo com sua cota x 17534mm e a cota y 21178mm Tendo em vista os resultados obtidos os profissionais foram questionados sobre qual resultado apresentava o maior erro relativo Não sabendo como U1 Erros 46 proceder pediram ajuda a Carlos E agora como Carlos você pode resolver esse problema Reflita O que eu preciso para ser capaz de resolver a situaçãoproblema Conhecer e aplicar conhecimentos de análise de erros em particular propagação de erros absolutos e relativos e cancelamento Não pode faltar Segundo Franco 2006 além dos erros causados pelas operações aritméticas das fontes de erros citados na seção anterior existem certos efeitos numéricos que contribuem para que o resultado obtido não tenha crédito Vamos estudar alguns deles cancelamento e propagação do erro Cancelamento O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números muito próximos é chamado cancelamento Exemplificando Veja o exemplo da subtração dos números em um sistema F10101010 Temos Normalizando o resultado temos que Reflita Na prática os quatro zeros no final do número não têm significado e perdemse quatro dígitos de precisão na mantissa O erro de cancelamento pode ser contornado utilizando manipulações algébricas de forma a evitar a subtração desses números Podemos reescrever a diferença desta forma U1 Erros 47 Neste caso a diferença tornase que tem todos os dígitos da mantissa preenchidos Exemplificando Para resolver a equação considere o sistema F10101010 Utilizando a fórmula de Bhaskara temos Para a equação x Para evitar o erro de cancelamento no cálculo da diferença basta lembrarmos que o produto das raízes é igual ao termo independente do polinômio ou seja x1 x2 2 A segunda raiz será calculada por x2 x101633998776104 e x2 0 1223991125102 Propagação de erros O erro total que ocorre em uma operação é constituído pelo erro das parcelas mais o erro no resultado A seguir iremos definir fórmulas para o cálculo dos erros absolutos e relativos nas operações com erro nas parcelas Seja uma aproximação para x e uma aproximação para y ou seja x EAx e x x EA Lembrese EAx erro absoluto de x ERx erro relativo de x U1 Erros 48 Assim temos Soma x y xy y y EA y EAy EAx EAy Então o erro absoluto na soma denotado por EA xy é a soma dos erros absolutos das parcelas EA xy Subtração xy Analogamente temos EA xy Multiplicação xy xy EAx EAy EAy EAx EAx EAy Considerando que EAx EAy é um número pequeno podemos desprezar esse termo logo teremos EA xy Divisão xy Representando o fator sob a forma de uma série infinita teremos U1 Erros 49 e desprezando os termos com potências maiores que 1 teremos Então Desse modo EA xy Propagação de erros relativos Soma ERxy ERx ERy Subtração ERxy ERx ERy Multiplicação ERxy ERx ERy Divisão U1 Erros 50 ERxy ERx ERy O erro relativo das operações é obtido a partir da combinação dos erros relativos de cada operação sendo adicionado ao erro em razão do tipo de armazenamento numérico Assim teremos Soma e subtração ERxy Multiplicação ERxy Divisão ERxy Atenção O fator associado ao erro devido ao fato de o computador trabalhar com números truncados ou arredondados é dado por 10t1 no caso de truncamento ½ 10t1 no caso de arredondamento Em que t número de dígitos da mantissa Exemplificando Dados x y e zx y então temos ERz se x e y U1 Erros 51 forem números positivos arredondados então 10t1 e 10t1 Se 02357 x103 e 02353x103 então 00004x103 Qual o erro relativo em z Solução O erro relativo em z é limitado por em que t4 05888 59 Pesquise mais Você pode encontrar mais sobre o estudo de análise de erro no link httpschasquewebufrgsbresequiasauternumericoNotaspdf Acesso em 13 jul 2015 Faça você mesmo Considerando o exemplo citado acima encontre o erro relativo de w sendo que wzt se 04537103 Sem medo de errar Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários vamos resolver a primeira situação problema apresentada a Carlos Os técnicos da engenharia foram solicitados a calcular o perímetro e a área do laboratório da empresa formado por um retângulo com sua cota x 17534 mm e a cota y 21178 mm Tendo em vista os resultados obtidos os profissionais foram questionados sobre qual resultado apresenta o maior erro relativo Não sabendo como Cálculo dos erros absoluto e relativo das variáveis 235068 e 242356 EA2x2x2x35068350702 EA2y2y2y42356423604 ER2xEA2x2x2350705703105 ER2yEA2y2y4423609443105 Cálculo do erro relativo das operações 2x2y perímetro do retângulo e xy área do retângulo Perímetro 2x2y ER2x2x2x2y ER2x2y2x2y ER2yδ em que δ12101 arredondamento 3507077430570310542360774309443105121041 2583010551660105510457749104 Área xy ERxyERxERyδ onde δ12101 arredondamento 22821049443105510482263104 Logo a operação xy apresentará o maior erro relativo final U1 Erros 53 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Erro Relativo 1 Competência de fundamentos de área Interpretar os erros numéricos 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer e aplicar os erros numéricos em situações problemas 3 Conteúdos relacionados Análise de erros 4 Descrição da SP Como podemos calcular o erro relativo na operação x4 considerando ERx 22814 e t4 ou seja 4 algarismos na mantissa 5 Resolução da SP ERxx ERx2 ERx ERx δ onde δ ½ 10t1 ERxx2 ERx3 ERx ERx2 δ 3 ERx 2 δ ERxx3 ERx4 ERx ERx3 δ 4 ERx 3 δ Logo ERx4 422814 3 54 241243 Atenção Você pode rever os conceitos de representação de números no sistema de ponto flutuante no livro de cálculo numérico em português disponibilizado em httpwwwdecomufopbrbcc760materialde apoiolivroslivroportpdf Lembrese Dizemos que é um número aproximado por falta do valor exato x se x Se x temos uma aproximação por excesso U1 Erros 54 1 Dado o sistema abaixo podemos afirmar que x y 2 x 101y 201 a A solução desse sistema pode ser facilmente obtida por substituição b Ao resolver o sistema obtemos x 0 c Ao resolver o sistema obtemos y2 d Alterando os dados para x y 2 x 101y 202 o sistema permanece quase igual mas a solução agora é obtida por x1 e y2 e Uma pequena mudança nos dados de uma operação não produz uma grande mudança no resultado 2 Sobre análise de erros é correto afirmar que a O erro total de uma operação é composto pelo erro das parcelas ou fatores e pelo erro no resultado da operação b Os resultados finais podem sempre ser influenciados por erros como os de arredondamento mas não pelas restrições do armazenamento de números c O resultado de uma operação não tem valor se tivermos conhecimento sobre os possíveis erros envolvidos no processo d O erro relativo das operações é obtido a partir da combinação dos erros relativos da operação subtraído ao erro devido a tipo de armazenamento numérico e O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números diferentes é chamado cancelamento 3 O efeito da perda de dígitos significativos na subtração de números quase iguais é chamado cancelamento subtrativo Assim o valor de Faça valer a pena U1 Erros 55 na base 10 e mantissa 6 é a 07456 b 00074 c 08765 d 12313 e 00047 O enunciado seguinte é destinado às questões de 4 a 7 Considere os números x 17534 y 21178 e z 75904 que devem ser armazenados em um sistema com as seguintes características F10 4 6 6 4 O erro absoluto das variáveis x e z é a 01000101 e 02000101 b 02000101 e 04000101 c 04000101 e 02000101 d 02000101 e 02000101 e 04000101 e 04000101 5 O erro relativo das variáveis x e y são respectivamente a 034256103 e 09447104 b 02282103 e 09447104 c 02282103 e 05270104 d 05270104 e 09447104 e 02282104 e 09447106 6 Qual o valor da expressão 7 Qual o erro relativo final da operação apresentada no exercício 6 U1 Erros 56 Referências ARENALES S DAREZZO S Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software Thompson Learning 2008 BURDEN R L FAIRES J D Análise numérica São Paulo Pioneira Thompson Learning 2003 CANTÃO L A P Cálculo numérico e computacional Disponível em http www2sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostilapdf Acesso em 30 jun 2015 FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006 GAVALA Francisco Javier Cobos Cálculo numérico apuntes para el curso de 20012002 Disponível em httpwwwdecomufopbrbcc760materialde apoiolivroslivroportpdf Acesso em 30 jun 2015 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lucia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 SPERANDIO Décio MENDES João Teixeira SILVA Luiz Henry Monken e Cálculo numérico características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos São Paulo Pearson Prentice Hall 2003 U2 Raízes 57 Unidade 2 Raízes Convite ao estudo Nesta unidade iremos estudar a determinação de raízes de funções as quais não conseguimos determinar por métodos analíticos sendo assim a saída é obtêlas por métodos numéricos como bissecção falsa posição método iterativo linear e Newton Raphson Esses métodos não nos informarão os valores exatos das raízes mas as proximidades de suas respostas são satisfatórias Os métodos aqui apresentados são amplamente aplicados em estudos de Engenharia Física Química Economia entre outras Para que você tenha um conhecimento prático e atenda ao citado no parágrafo anterior a seguir é apresentada uma situação problema real em que terá condições de aplicar os conhecimentos teóricos Assim Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença de cerca de R 010 nessa estimativa para o valor da parcela Conhecendo a taxa de juros ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por Valor da parcela e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e 10 am ela solicitou a ajuda de quatro amigos Carlos que resolveu pelo Método da Bissecção Pedro que fez uso do Método da Falsa Posição José e Samuel que aplicaram respectivamente os Métodos Iterativo Linear e de Newton Raphson Em cada uma das seções seguintes você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos amigos de Suellen e ao final desta unidade você poderá responder a dúvida dela além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um Valor de financiamento 11taxa de juros núm de parcelas taxa de juros U2 Raízes 58 Seção 21 Método da Bissecção Diálogo aberto Caro aluno o cálculo dos zeros de uma função é muito usual na área de Engenharia por exemplo para a determinação de pontos críticos de produção Eng Produção umidade ótima para compactação de solo em várias obras Eng Civil entre outras e também em nosso dia a dia como determinar a taxa de juros do financiamento de um veículo Nesta seção estaremos tratando da determinação do Zero da Função pelo Método da Bissecção e para isso estaremos desenvolvendo a resolução do problema de Suellen que foi apresentado no início dessa unidade Suellen financiou um veículo e agora deseja saber a taxa de juros desse financiamento para isso solicitou a ajuda de Carlos Para dar a resposta que Suellen deseja Carlos pretende fazer uso do Método da Bissecção Coloquese no lugar de Carlos o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e mais especificamente o método da bissecção Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método da bissecção como o critério de parada a função de taxa de juros e conhecer as técnicas de iterações necessárias para desenvolver o método Não pode faltar Métodos iterativos e critérios de parada Na resolução de problemas com o auxílio do cálculo numérico é muito comum a repetição de procedimentos semelhantes com a inclusão em cada iteração1 de pequenos ajustes que têm o objetivo de melhorar o resultado obtido até que estejamos satisfeitos com 1Iteração o mesmo que repetição U2 Raízes 59 a resposta ou até que uma quantidade de passos préestabelecida seja atingida Simplificadamente essa é a descrição do que denominamos método iterativo Os procedimentos repetitivos aplicados na resolução de um problema são efetuados até que o critério de parada seja satisfeito Assimile Assimile Na aplicação de um método iterativo um critério de parada é uma condição estabelecida a priori que deve ser verificada a cada iteração e que quando satisfeita resulta no fim da busca por melhores soluções Um valor x0 é um zero ou raiz de uma função f x quando f x0 0 Supondo que em um método iterativo obtenhamos uma sequência de resultados x1 x2 xn alguns dos critérios de parada mais utilizados são ou onde f é a função a qual estamos determinando os zeros e ε1 e ε2 são os erros ou imprecisões que estamos dispostos a cometer Método da Bissecção O método da bissecção é um dos mais simples para a determinação de zeros de funções Ele faz uso da média aritmética dos extremos de cada intervalo da sua iteração e a cada uma das iterações o intervalo diminui Ao final quando o critério de parada for satisfeito a média aritmética dos extremos do último intervalo determinado será escolhida como aproximação do zero da função O método que estamos estudando não nos fornecerá uma resposta de x onde f x será exatamente zero mas um valor próximo Para determinar o Zero da Função f x num intervalo I a b adotaremos o critério de parada em que xn é a média aritmética dos extremos do último intervalo determinado O U2 Raízes 60 procedimento estabelecido pelo método da bissecção segue os seguintes passos Assimile 1 garante a existência do Zero da Função 2 Efetuamos 3 então xm é o Zero da Função e fim de cálculo então xm não é o Zero da Função e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma Se f xm 0 e f a 0 então xm deverá substituir a Se f xm 0 e f b 0 então xm deverá substituir b Se f xm 0 e f a 0 então xm deverá substituir a Se f xm 0 e f b 0 então xm deverá substituir b 4 Após a determinação do novo intervalo retornamos ao passo 2 Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito Pesquise mais Para que você tenha maior conhecimento sobre esse assunto acesse wwwdscufcgedubrcnummodulosModulo4CNParte1Intro ppt Acesso em 22 jul 2015 Vejamos agora um exemplo de aplicação do método da bissecção Exemplificando Dada a função determine o zero dessa função ou as raízes ou ainda o valor que fará ela a função f x igual a zero para ε 0001 Plotando o gráfico de temse U2 Raízes 61 x 100 300 200 050 300 433 Gráfico de Fonte Os autores 2015 É possível notar que a curva corta o eixo x entre os pontos x 1 e x 3 portanto o zero da função está entre esses valores ou seja ou valor de x que faz com que f x seja igual a zero Gráfico de e o zero da função Fonte Os autores 2015 U2 Raízes 62 Para obtermos o zero da função precisamos fazer algumas considerações teóricas e para isso denotaremos x 1 por a e x 3 por b Temos Se a 1 então Se b 3 então Assim Esse resultado indica a existência de um zero da função no intervalo de 3 a 43333 Isso pode ser justificado por meio do cálculo de acordo com o Teorema do Valor Intermediário Saiba mais sobre o Teorema do Valor Intermediário httpwwwimufrjbrdmmprojetoprojetocprecalculosalaconteudo capituloscap114html Acesso em 31 jul 15 1ª Iteração Como x 1 e x 3 não são zeros da função devemos determinar um novo valor de x para candidato a zero da função No Método da Bissecção ele é calculado da seguinte forma Seguindo o indicado Vamos agora verificar se xm 2 é um zero da função substituindoo em Então x 2 não é um zero da função porque 2ª Iteração Para x 2 negativo Nesse U2 Raízes 63 caso x 2 deverá substituir x a pois f a também é negativo Essa substituição sempre ocorre em função do sinal de f x Refazendo os cálculos com base nessas alterações temos a 2 e b 3 e então x 25 também não é o zero da função porque 3ª Iteração Para x 25 positivo Nesse caso x 25 deverá substituir x b pois f b também é positivo Definimos novamente a e b para obter xm a 2 e b 25 e então U2 Raízes 64 Mais uma vez x 225 não é um zero da função porque 4ª Iteração Como fizemos anteriormente para x 25 positivo Nesse caso x 25 deverá substituir x b pois f b também é positivo Definimos novamente a e b para obter xm a 2 e b 25 e então Portanto x 2125 é um zero da função ou o valor de x que fará com que f x seja igual a zero pois Não foram apresentadas as iterações intermadiárias Continuando os cálculos Definimos novamente a e b para obter xm a 2125 e b 21289 e U2 Raízes 65 então Mais uma vez x 21270 não é um zero da função porque 10ª Iteração Como fizemos anteriormente para x 21270 negativo Nesse caso x 21270 deverá substituir x a pois f a também é negativo Definimos novamente a e b para obter xm a 21270 e b 21289 e então Mais uma vez x 21279 não é um zero da função porque U2 Raízes 66 11ª Iteração Como fizemos anteriormente para x 21279 negativo Nesse caso x 21279 deverá substituir x a pois f a também é negativo Definimos novamente a e b para obter xm a 212709 e b 21289 e então Dessa vez x 21284 é um zero da função porque Porém foram necessárias 11 iterações para obter a resposta do zero da função x 21284 Tabela 21 Passos para a determinação de um zero de f x método da bissecção Comentários a b f a f b xm f xm 1 3 3 433 2 05 Os valores a e b são determinados por visualização gráfica fa e fb diferentes de zero calculamos xm e verificamos que f xm 0 e negativo U2 Raízes 67 2 3 05 433 25 165 Como fxm do passo anterior é negativo então a assume o valor de xm porque fa anterior é negativo Aqui o novo xm resultou em f xm 0 2 25 050 165 225 051 Nesse caso f xm anterior é positivo então b assume o valor de xm porque f b anterior é positivo Aqui novamente xm resultou em f xm 0 2125 21289 00138 00020 21270 00059 Mais uma vez x 21270 não é um zero da função porque f21270 00059 ε 0001 21270 21289 00059 00020 21279 00020 Mais uma vez x 21279 não é um zero da função porque f21279 00020 ε 0001 21279 21289 00020 00020 21284 0000004 Dessa vez x 21284 é um zero da função porque f21284 0000004 ε 0001 Faça você mesmo Dada a função fx x3 x 3 determine o Zero da Função para o intervalo I 157 179 para ε 005 Resposta x 167 Sem medo de errar Com o conhecimento do Método da Bissecção vamos resolver o problema da Suellen Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de U2 Raízes 68 juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e 10 am ela solicitou a ajuda de Carlos que determinou a taxa de juros pelo Método da Bissecção Vamos aplicar a resolução utilizada por Carlos Substituindo os valores na equação temos Solução Como desejamos descobrir a taxa de juros vamos transformar a equação dada em função de taxa de juros Para maior compreensão vamos adotar então a função passa a ser escrita a b f a f b xm f xm ε R 010 009 010 198128 294724 0095 59687 f xm ε 009 0095 198128 59687 00925 66190 f xm ε 00925 0095 66190 59687 00938 002 f xm ε Portanto a taxa de juros aplicada no financiamento de Suellen foi de 00938 am 938 am Veja que determinar um zero de f x significa encontrar o valor da taxa de juros que soluciona a equação anterior Resolvendo a equação solucionamos o problema U2 Raízes 69 Atenção Faça uma revisão desse assunto acessando httpswwwyoutube comwatchvvmhifjYi7mc Acesso em 28 jul 2015 Lembrese No início da aplicação do método da bisseção a condição implica em Se fa 0 então fb 0 ou Se fb 0 então fa 0 Isso garante a existência de um zero entre a e b Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas Método da Bissecção 1 Competência de fundamentos de área Conhecer formas para calcular zeros de funções 2 Objetivos de aprendizagem Calcular os zeros de uma função 3 Conteúdos relacionados Zeros de funções 4 Descrição da SP Nos últimos anos os verões aqui no Brasil têm sido muito rigorosos com temperaturas muito acima do normal fazendo com que a aquisição de aparelhos de arcondicionado seja muito grande e por consequência os seus preços atingem altas significativas assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento Um aparelho de arcondicionado de 18000 Btus U2 Raízes 70 cujo valor à vista é R 210000 é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R 29706 com taxa de juros variando entre 643 am e 734 am gerando a função de taxa de juros f x Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε R 010 5 Resolução da SP a b f a f b xm f xm 00634 00743 5160 5442 00689 292 00634 00689 5160 292 00662 2357 00662 00689 2357 292 00676 977 00676 00689 977 292 00683 292 00683 00689 292 292 00686 0005 0005 ε Portanto a taxa de juros aplicada é de 686 am Lembrese O Método da Bisseção é utilizado para obter zeros de funções as quais não conseguimos obter por métodos analíticos e f x sempre terá valores muito próximos de zero Para informarse mais sobre o assunto leia httpwwwimufrjbrdmmprojetoprojetocprecalculosala conteudocapituloscap114s1html Acesso em 29 jul 2015 Faça você mesmo Dada a função determine o Zero da Função para o intervalo I 23 e ε 001 Faça valer a pena 1 Determine o zero da função existente entre os valores de 45 e 6 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 496 b x 486 c x 597 U2 Raízes 71 d x 947 e x 599 2 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x com ε 005 a x 695 b x 745 c x 594 d x 559 e x 759 3 Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 475 b x 465 c x 403 d x 496 e x 469 4 Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t com ε 005 e assinale a alternativa correta a t 284 b t 216 c t 267 d t 289 e t 258 U2 Raízes 72 5 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 4 e 3 de k com ε 001 a k 325 b k 352 c k 315 d k 3532 e k 325 6 Considerando a função determine dois de seus zeros um existente entre os valores 0 e 15 e o outro existente entre os valores 151 e 0 de x com ε 010 7 Determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x com ε 005 U2 Raízes 73 Seção 22 Método da falsa posição Diálogo aberto Na seção anterior estudamos o método da Bissecção em que tivemos a oportunidade de ver que ele nos leva a uma resposta aproximada do zero de uma função por meio da média aritmética dos extremos dos intervalos das iterações Nesta seção continuamos estudando a obtenção do zero de uma função porém fazendo uso do Método da Falsa Posição que aplica a mesma técnica do método anterior mas usando a média ponderada A nossa situação problema continua sendo o problema da Suellen mas que será resolvido pelo seu amigo Pedro que empregará o método da Falsa Posição Relembre o problema Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela Ao determinar a taxa de juros ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e 10 am Pedro amigo de Suellen ajudará na obtenção da taxa de juros utilizando o Método da Falsa Posição Coloquese agora no lugar de Pedro o que você precisa fazer para resolver o problema utilizando método da falsa posição Esperamos que ao final desta seção você perceba que a técnica aplicada nesse método é a mesma da seção anterior a mudança que ocorrerá é forma de calcular xm U2 Raízes 74 Não pode faltar Método da Falsa Posição Você verá que os conceitos iniciais são idênticos aos explorados na seção anterior Nesse método faremos uso da média ponderada dos extremos de cada intervalo das iterações e a cada uma das iterações o intervalo diminui O zero da função que é o valor de x tal que fx 0 será a média ponderada dos extremos do último intervalo determinado quando fxm ε O método de estudo novamente não nos fornecerá uma resposta x onde f x será exatamente zero mas próximo de zero Determinando o Zero da Função f x num intervalo I a b utilizando o critério de parada fxn ε o método da falsa posição estabelece os seguintes passos Assimile 1 garante a existência do Zero da Função entre a e b 2 Aqui está a diferença entre os Métodos da Bisseção e Falsa Posição 3 fxm ε então xm é o Zero da Função e fim de cálculo fxm ε então xm não é o Zero da Função e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma Se fxm 0 e fa 0 então xm deverá substituir a Se fxm 0 e fb 0 então xm deverá substituir b Se fxm 0 e fa 0 então xm deverá substituir a Se fxm 0 e fb 0 então xm deverá substituir b 4 Após a determinação do novo intervalo retornamos ao passo 2 Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito Pesquise mais Para ampliar seu conhecimento acesse httpswwwyoutubecom watchvQPdPv0Isj4 Acesso em 24 jul 2015 U2 Raízes 75 Agora veja um exemplo de aplicação do método da falsa posição Exemplificando Dada a função determine o zero dessa função ou a raiz ou ainda o valor que fará que ela a função f x seja igual a zero no intervalo de x de 1 a 3 para ε 0001 Vamos resolver 1ª Iteração a x 1 e b x 3 então a 1 b 3 f xm 11442 ε 0001 Como f xm 11442 0 então xm 18182 deverá substituir a porque fa 3 0 2ª Iteração Recomeçaremos os cálculos com a 18182 e b 3 então fa 11442 e fb 43333 U2 Raízes 76 f xm 02513 ε 0001 3ª Iteração Mais uma vez teremos que recomeçar os cálculos O valor xm 20651 substituirá o extremo a porque f xm 02513 0 e fa 11442 0 a 20651 e b 3 fa 02513 e fb 43333 f xm 00487 ε 0001 4ª Iteração Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21163 b 3 fa 00487 e fb 43333 f xm 00092 ε 0001 5ª Iteração Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21261 b 3 fa 00092 e fb 43333 U2 Raízes 77 f xm 00017 ε 0001 6ª Iteração Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21280 b 3 fa 00017 e fb 43333 f xm 00003 ε 0001 Portanto é o zero da função nesse método foram necessárias seis iterações para se obter a resposta enquanto que no método da Bisseção estudado na seção anterior foram necessários onze iterações podemos dizer que o método da Falsa Posição apresenta uma convergência mais rápida O termo convergência no estudo zeros de uma função significa que a cada iteração f x se aproxima de zero e a velocidade de convergência está correlacionada ao número de iterações necessárias para atingir o zero da função quanto menor o número de iterações Maior a velocidade de convergência quanto maior o número de iterações menor a velocidade de convergência Resolvendo com auxílio de tabela Tabela 22 Passos para a determinação de um zero de f x método da falsa posição a b f a f b xm f xm Comentários 1 3 3 43333 18182 11442 fxm 11442 ε 0001 Como fxm 11442 0 então xm 18182 deverá substituir a porque fa 3 0 U2 Raízes 78 18182 3 11442 43333 20651 02513 fxm 02513 ε 0001 Mais uma vez teremos que recomeçar os cálculos O valor xm 20651 substituirá o extremo a porque fxm 02513 0 e fa 11442 0 20651 3 02513 43333 21163 00487 fxm 00487 ε 0001 Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21163 b 3 fa 00487 e fb 43333 21163 3 004874 43333 21261 00092 fxm 00092 ε 0001 Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21261 b 3 fa 00092 e fb 43333 21261 3 000923 43333 21280 00017 fxm 00017 ε 0001 Novamente teremos de reiniciar os cálculos com a 21280 b 3 fa 00017 e fb 43333 21280 3 00020 43333 21283 00003 fxm 00003 ε 0001 Portanto x 21283 é o zero da função Faça você mesmo Dada a função fx x3 x 3 determine o Zero da Função para o intervalo I 157 179 e ε 005 utilizando o Método da Falsa Posição Sem medo de errar Como aprendemos o Método da Falsa Posição então veja como Pedro deve resolver o problema da Suellen Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela Conhecendo a taxa de juros ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia U2 Raízes 79 entre 9 e 10 am Pedro amigo de Suellen ajudou na obtenção da taxa de juros utilizando o Método da Falsa Posição A função da taxa de juros é mesma desenvolvida na seção anterior a b f a f b xm f xm 009 01 1981279 294724 009402003 110423 009 0094 1981279 10039 00938071 35513 009 009381 1981279 501159 00938004 017695 009 00938004 1981279 018348 00938000 000648 f xm 0006 ε R 010 Portanto a taxa de juros aplicada no financiamento de Suellen foi de 00938 am 938 am Carlos e Pedro chegaram a mesma conclusão fazendo uso de métodos diferentes Método da Bissecção e Método da Falsa Posição O Método da Falsa Posição com relação ao Método da Bissecção na maioria dos casos converge mais rápido no caso em que estamos estudando ele convergiu com uma iteração a mais mas foi mais preciso Lembrese No Método da Falsa Posição Pesquise mais Quanto mais você pesquisar e ler sobre o assunto maior será sua compreensão Por isso acesse httpwwwdiubiptcbarrico DisciplinasComputacaoCientificaDownloadsCapitulo2022020 Metodos20Numericospdf Acesso em 29 jul 2015 U2 Raízes 80 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas Método da Falsa Posição 1 Competência de fundamentos de área Conhecer formas para calcular zeros de funções 2 Objetivos de aprendizagem Calcular os zeros de uma função 3 Conteúdos relacionados Zeros de funções 4 Descrição da SP Nos últimos anos os verões aqui no Brasil têm sido muito rigorosos com temperaturas muito acima do normal fazendo com que a aquisição de aparelhos de arcondicionado seja muito grande e por consequência os seus preços atingem altas significativas assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento Um aparelho de arcondicionado de 18000 Btus cujo valor à vista é R 210000 é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R 29706 com taxa de juros variando entre 643 am e 734 am gerando a função de taxa de juros f x Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε R 010 5 Resolução da SP Nesse caso a taxa de juros que desejamos determinar é o Zero da Função então aplicaremos as teorias apresentadas nesta seção 1 garante a existência do Zero da Função entre a e b 2 Aqui está a diferença entre os Métodos da Bisseção e Falsa Posição A taxa de juros aplicada na situação apresentada é de 686 am U2 Raízes 81 5 Resolução da SP 3 fxm ε então xm é o Zero da Função e fim de cálculo fxm ε então xm não é o Zero da Função e deveremos prosseguir os cálculos da seguinte forma Se fxm 0 e fa 0 então xm deverá substituir a Se fxm 0 e fb 0 então xm deverá substituir b Se fxm 0 e fa 0 então xm deverá substituir a Se fxm 0 e fb 0 então xm deverá substituir b 4 Após a determinação do novo intervalo retornamos ao passo 2 Esses passos são repetidos até que o critério de parada seja satisfeito a b f a f b xm f xm 00634 00734 5159545 459753 00687 098 00634 00687 5159545 09791 00686 0005 Lembrese O Método da Falsa Posição é muito parecido com Método da Bissecção eles se diferem pela forma de calcular xm na Bissecção é efetuada a média aritmética e na Falsa Posição calculase a média ponderada Para aprofundarse no assunto leia httpwwwscielo brpdfcieduv10n316pdf Acesso em 29 jul 2015 Faça você mesmo Dada a função determine o Zero da Função para o intervalo I 23 e ε 001 U2 Raízes 82 Resolva exercícios a seguir aplicando o Método da Falsa Posição 1 Determine o zero da função existente entre os valores de 4 5 e 6 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 496 b x 486 c x 597 d x 947 e x 599 2 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x com ε 005 a x 695 b x 745 c x 597 d x 559 e x 759 3 Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 475 b x 465 c x 403 Faça valer a pena U2 Raízes 83 d x 496 e x 470 4 Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t com ε 005 e assinale a alternativa correta a t 284 b t 216 c t 267 d t 289 e t 258 5 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 4 e 3 de k com ε 001 a k 325 b k 352 c k 315 d k 3532 e k 325 6 Considerando a função determine dois de seus zeros um existente entre os valores 0 e 15 e o outro existente entre os valores 151 e 0 de x com ε 010 7 Determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x com ε 005 U2 Raízes 84 Seção 23 Método iterativo linear Diálogo aberto Nesta seção prezado aluno novamente iremos tratar sobre Zero da Função porém aprenderemos determinálo pelo Método Iterativo Linear MIL também conhecido como Método do Ponto Fixo MPF esse método tem como vantagem em relação aos métodos anteriores Bissecção e Falsa Posição a velocidade de convergência ou seja o quão rápido nos aproximamos do zero da função Vale ressaltar que o uso desse método deve ser evitado em funções exponenciais logarítmicas e trigonométricas O Método Iterativo Linear também como os métodos estudados nas seções anteriores fornecenos um f x muito próximo de zero mas não exatamente zero O problema de estudo ainda será o problema da Suellen que deseja saber a taxa de juros imposta no financiamento da compra de seu veículo e outro amigo José ajudará a determinar essa taxa fazendo o uso do Método Iterativo Linear MIL Você deverá colocarse no lugar de José sendo assim o que será necessário para que tenha condições de resolver o problema proposto utilizando o Método Iterativo Linear MIL Acreditamos que ao término desta seção você perceba que uma das diferenças desse método é a necessidade da função iterativa que não houve nos anteriores e que em alguns casos ele converge mais rápido Não pode faltar Método Iterativo Linear MIL Seja uma função f x da qual desejamos conhecer x para o qual f x 0 ou seja desejamos conhecer o zero dessa função num intervalo I a b E nesse intervalo I existe o zero da função porque f a 0 e f b 0 ou f a 0 e f b 0 Para determinar o Zero da Função f x num intervalo I a b para f xn ε pelo MIL devemos U2 Raízes 85 Assimile 1 f x tem que ser transformado em f x gx x onde gx é chamada função iterativa 2 Se f x 0 então substituindo f x por zero em f x gx x podemos dizer que 0 gx x e assim x gx 3 Com isso determinamos xn1 gxn Função Iterativa 4 Vamos iniciar os cálculo por a sendo a xo onde x0 é um valor atribuído pelo pesquisador que é um chute direcionado para ser o mais próximo quanto possível do zero Então calculamos f x0 5 Se f x0 ε então x0 é o zero da função 6 Se f x0 ε então x0 não é o zero da função desse modo continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 onde 7 x1 é obtido utilizando a equação xn1 gxn ficando dessa forma x1 gx0 8 Tendo x1 calculamos f x1 9 Se f x1 ε então x1 é o zero da função 10 Se f x1 ε então x1 não é o zero da função e mais uma vez continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 onde 11 x2 é obtido utilizando a equação xn1 gxn ficando dessa forma x2 gx1 12 Tendo x2 calculamos f x2 13 Se f x2 ε então x2 é o zero da função 14 Se f x2 ε então x2 não é o zero da função e mais uma vez continuaremos os cálculos fazendo uso de x3 15 Essa sequência deve ser repetida até que f xn ε Enquanto f xn ε retornamos ao passo 7 U2 Raízes 86 Pesquise mais Para que você possa ter maior compreensão leia httpwww1univap brspillingCNapostila2pdf Acesso em 29 jul 2015 Agora veja um exemplo de aplicação do Método Iterativo Linear Exemplificando Dada determine o zero dessa função ou as raízes ou ainda o valor que fará ela a função f x igual a zero para ε 0001 no intervalo de 1 a 3 de x Vamos realizar os procedimentos passo a passo para compreender a aplicação da teoria f x tem que ser transformada em f x gx x Se e nossa intenção é f x 0 então Assim atende à condição x gx Com isso determinamos xn1 gxn Função Iterativa 1ª Iteração Vamos iniciar os cálculos com xo 2 o valor médio dos extremos do intervalo dado e então calculamos f x0 sendo xo 2 temos f x0 f 2 05 Se f x0 ε então x0 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 U2 Raízes 87 f x0 05 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 onde 2ª Iteração x1 é obtido utilizando a equação xn1 gxn ficando dessa forma x1 gx0 Calculamos f x1 f x1 f 21213 00286 Se f x1 ε então x0 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 f x1 00286 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 onde 3ª Iteração x2 é obtido utilizando a equação xn1 gxn ficando dessa forma x2 gx1 Calculamos f x2 U2 Raízes 88 f x2 f 21281 00015 Se f x2 ε então x2 não é o zero da função e continuaremos os cálculos fazendo uso de x3 f x2 00015 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x3 onde 4ª Iteração x3 é obtido utilizando a equação xn1 gxn ficando dessa forma x3 gx2 Calculamos f x3 f x3 f 21284 00001 Se f xn ε então xn é o zero da função f x3 00001 ε 0001 Portanto x3 21284 é o zero da função Observando o número de iterações realizadas nos métodos das seções anteriores 21 e 22 para esse tipo de problemas o MIL apresenta uma velocidade de convergência maior pois apresentou quatro iterações Agora resolveremos o mesmo problema fazendo uso de uma tabela a Tabela 23 U2 Raízes 89 Tabela 23 Passos para a determinação de um zero de f x Método Iterativo Linear xn Comentários f xn xn1 x0 2 05000 f x0 05 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 21213 x1 x1 21213 00286 f x1 00286 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 21281 x2 x2 21281 00015 f x2 00015 ε 0001 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x3 21284 x3 x3 21284 00001 f x3 00001 ε 0001 e fim dos cálculos Portanto x3 213 é o zero da função Faça você mesmo Determine o Zero da Função pelo Método Iterativo Linear para fx x3 x 3 no intervalo I 157 179 para ε 005 Sem medo de errar Tendo o conhecimento do Método Iterativo Linear então veja como José deve resolver o problema da Suellen Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e 10 am ela solicitou a ajuda de José que utilizou o Método Iterativo Linear para determinar a resposta solicitada Sendo a função da taxa de juros a mesma vista nas seções anteriores U2 Raízes 90 Vamos determinar a função iterativa gx x f x 0 Então Inicialmente faremos x0 a 009 xn Comentários f xn xn1 x0 009 198128 f x0 198128 ε 010 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 00936 x1 x1 00936 10080 f x1 10080 ε 010 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 00938 x2 U2 Raízes 91 x2 00938 002 f x2 002 ε 010 Portanto x2 938 am é o zero da função Agora faremos com x0 b 010 com o intuito de demonstrar que se pode iniciar por a ou por b xn Comentários f xn xn1 x0 010 294724 f x0 294724 ε 010 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x1 00941 x1 x1 00941 15045 f x1 15045 ε 010 então continuaremos os cálculos fazendo uso de x2 00938 x2 x2 00938 002 f x2 002 ε Portanto x2 938 am é o zero da função José também chegou a mesma de taxa de juros que Carlos e Pedro no valor de 983 am e cada um deles aplicou um método diferente Foi possível observar que o Método Iterativo Linear com três iterações convergiu mais rápido que os Métodos da Bissecção quatro iterações e o da Falsa Posição cinco iterações Atenção Para o seu melhor entendimento leia httpwww1univapbrspilling CNapostila2pdf Acesso em 29 jul 2015 Lembrese 1 f x tem que ser transforma em f x gx x onde gx é chamada função iterativa 2 Se f x 0 então substituindo f x por zero em f x gx x podemos dizer que 0 gx x e assim x gx U2 Raízes 92 3 Com isso determinamos xn1 gxn Função Iterativa Vamos iniciar os cálculos por xo e então calculamos f x0 Os cálculos prosseguem até que o critério de parada seja satisfeito Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas Determinando o zero pelo método iterativo linear 1 Competência de fundamentos de área Conhecer formas para calcular zeros de funções 2 Objetivos de aprendizagem Calcular os zeros de uma função 3 Conteúdos relacionados Zeros de funções 4 Descrição da SP Nos últimos anos os verões aqui no Brasil têm sido muito rigorosos com temperaturas muito acima do normal fazendo com que a aquisição de aparelhos de arcondicionado seja muito grande e por consequência os seus preços atingem altas significativas assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento Um aparelho de arcondicionado de 18000 Btus cujo valor à vista é R 210000 é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R 29706 com taxa de juros variando entre 643 am e 734 am gerando a função de taxa de juros f x Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε R 010 aplicando o Método Iterativo Linear U2 Raízes 93 5 Resolução da SP Neste caso a taxa de juros que desejamos determinar é o Zero da Função então aplicaremos as teorias apresentadas nessa seção xn f xn xn1 x0 00643 4253 00656 x1 x1 00656 2953 00665 x2 x2 00665 2060 00672 x3 x3 00672 1370 00676 x4 x4 00676 977 00679 x5 x5 00679 683 00681 x6 x6 00681 487 00683 x7 x7 00683 291 00684 x8 x8 00684 194 00685 x9 x9 00685 097 006853 x10 x10 006853 068 00686 x11 x11 00686 0005 f x11 ε Portanto a taxa de juros aplicada é de 686 am Faça você mesmo Determine o zero da função pelo MIL no intervalo I 23 para ε 001 Resolva as atividades a seguir aplicando o Método Iterativo Linear 1 Determine o zero da função existente entre os valores de 4 5 e 6 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 496 b x 486 c x 597 d x 947 e x 599 Faça valer a pena U2 Raízes 94 2 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x com ε 005 a x 695 b x 745 c x 594 d x 597 e x 759 3 Determine o zero da função gx x3 2x 9 existente entre os valores 2 e 3 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 275 b x 265 c x 203 d x 240 e x 269 4 Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 3 de t com ε 001 e assinale a alternativa correta a t 3284 b t 3875 c t 3670 d t 3890 e t 3587 U2 Raízes 95 5 Assinale a alternativa que indica o zero da função zk k5 k 15 existente entre os valores 1 e 2 de k com ε 001 a k 1678 b k 1876 c k 1768 d k 1687 e k 1786 6 Considerando a função fx 3x4 2x 3 determine o zero da função existente entre os valores 0 e 1 de x com ε 001 7 Determine o zero da função fx x 2x 23 5 existente entre os valores 01 e 1 de x com ε 001 U2 Raízes 96 Seção 24 Método de NewtonRaphson Diálogo aberto Prezado aluno nesta seção fechamos o assunto Zero de Função em que estudaremos o Método de NewtonRaphson assim denominado por ter sido desenvolvido por Isaac Newton 1643 1727 o pai do Cálculo Diferencial e Integral e aperfeiçoado pelo pesquisador Joseph Raphson 1648 1715 O método que estaremos estudando é extremamente eficiente e de convergência rápida porém deveremos ter como prérequisito o conhecimento de derivadas com essa habilidade a determinação o Zero da Função tornase muito simples Nesta seção resolveremos novamente o problema da Suellen que foi auxiliada por Samuel fazendo uso do Método de NewtonRaphson Relembrando o problema Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais a R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela Ao determinar a taxa de juros ela poderá orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e 10 am Samuel auxiliou na obtenção da taxa de juros utilizando o Método de NewtonRaphson Colocandose agora no lugar de Samuel o que você precisa fazer para resolver o problema fazendo uso do método de Newton Raphson Esperamos que ao final desta seção você perceba que a técnica aplicada neste método é a que apresenta maior velocidade de convergência e maior precisão U2 Raízes 97 Não pode faltar Método de NewtonRaphson Seja f x uma função que desejamos determinar o Zero e x x0 um valor de que está próximo do Zero da Função que chamamos de valor inicial O método de NewtonRaphson segue os seguintes passos Assimile 1 Se f xn ε então xn é o Zero da Função 2 Se f xn ε então xn não é o Zero da Função Portanto devemos determinar xn1 3 Para determinar xn1 devemos usar a função iterativa 4 Se f xn1 ε então xn1 não é o Zero da Função Portanto devemos retornar ao passo 3 Caso contrário encerramos os cálculos Detalhando a teoria 1 Se f x0 ε então x0 é o Zero da Função 2 Se f x0 ε então x0 não é o Zero da Função Portanto devemos determinar x1 3 Para determinar x1 devemos usar a função iterativa Ficando dessa forma U2 Raízes 98 4 Se f x1 ε então x1 é o Zero da Função 5 Se f x1 ε então x1 não é o Zero da Função Portanto devemos determinar x2 sendo 6 Se f x2 ε então x2 é o Zero da Função 7 Se f x2 ε então x2 não é o Zero da Função e determinamos x3 para iterar novamente Devemos continuar as iterações até f xn ε e xn é o Zero da Função Pesquise mais Em busca do conhecimento leia httpwww2sorocabaunespbr professoramartinsaulasnumericonrpdf Acesso em 05 ago 2015 Exemplificando Dada determine o zero dessa função ou as raízes ou ainda o valor que fará ela a função f x igual a zero para ε 0001 no intervalo de 1 a 3 de x Lembrando que x0 é um valor atribuído pelo pesquisador que é um chute direcionado para ser o mais próximo quanto possível do zero vamos adotar como x0 o valor médio dos extremos do intervalo ou seja x0 2 Para obter a função iterativa precisamos de U2 Raízes 99 Então para facilitar a derivação escrevemos assim A função iterativa fica definida dessa forma Iniciando os cálculos 1ª Iteração x0 2 f x0 05 ε 0001 portanto deveremos calcular x1 usando a função iterativa x1 21333 2ª Iteração x1 21333 U2 Raízes 100 f x1 00199 ε 0001 portanto deveremos calcular x2 usando a função iterativa x2 21284 3ª Iteração x2 21284 f x2 000003 ε 0001 Portanto x 21284 é o Zero da Função Como fizemos nas seções anteriores resolveremos o mesmo problema fazendo uso de uma tabela a Tabela 24 Tabela 24 Passos para a determinação de um zero de f x pelo Método de NewtonRaphson xn Comentários f xn xn1 x0 2 050 f x0 050 ε 0001 portanto deveremos calcular x1 usando a função iterativa 375 21333 x1 21333 00199 f x1 00199 ε 0001 portanto deveremos calcular x2 usando a função iterativa 40469 21284 x2 21284 000003 f x2 000003 ε 0001 portanto x3 21284 é o zero da função U2 Raízes 101 No mesmo problema apresentado nas seções 21 22 e 23 resolvido pelos métodos da Bissecção Falsa Posição e MIL respectivamente foi resolvido nessa seção 24 pelo método de NewtonRaphson que para esse tipo de problema apresentou a maior velocidade de convergência Veja o quadro a seguir com os números de iterações necessárias em cada método para se obter a solução Lembrando que quanto menor o número de iterações maior é a velocidade de convergência Quadro com número de iterações necessárias para solucionar o problema acima em cada método estudados nas seções 21 22 23 e 24 Métodos Número de Convergências Bissecção 11 Falsa Posição 6 Iterativo Linear 4 NewtonRaphson 3 Faça você mesmo Determine o Zero da Função pelo Método de NewtonRaphson para fx x3 x 3 no intervalo I 157 179 para ε 005 Sem medo de errar Com o conhecimento que adquirimos sobre o Método de NewtonRaphson resolveremos o problema da Suellen com o auxílio de Samuel Suellen financiou um veículo de R 5000000 em 48 parcelas mensais e iguais de R 475428 Ela necessita saber a taxa de juros utilizada no seu financiamento podendo haver uma diferença menor ou igual a R 010 no valor da parcela para poder orientar seu irmão que também deseja adquirir um veículo Sabendo que a equação de cálculo de financiamento é dada por e a taxa de juros no mercado para financiamento de veículos varia entre 9 e U2 Raízes 102 10 am ela solicitou a ajuda de Samuel que resolveu o problema pelo Método de NewtonRaphson Sendo a função da taxa de juros a mesma vista nas seções anteriores Para facilitar a derivação podemos reescrever a função assim Desenvolvendo a derivação Sendo então U2 Raízes 103 Com temos Portanto o Zero da Função é a taxa de juros de 938 am que Suellen deseja saber Adotando x0 010 temos xn f xn Comentários xn1 x0 009 198128 f x0 198128 ε 010 portanto deve remos calcular x1 usando a função iterativa 54040041 00937 x1 00937 5036 f x1 5036 ε 010 portanto devere mos calcular x2 usando a função iterativa 50391596 00938 x2 00938 0018 f x2 0018 ε 010 portanto x2 00938 é o Zero da Função xn f xn Comentários xn1 x0 010 294725 f x0 294725 ε 010 portanto deveremos calcular x1 usando a função iterativa 44914377 00934 x1 00934 20196 f x1 20196 ε 010 portanto deveremos calcular x2 usando a função iterativa 50674709 00938 x2 00938 0018 f x2 0018 ε 010 portanto x2 00938 é o Zero da Função Notamos que adotando qualquer um dos valores extremos do intervalo dado obtivemos a mesma resposta e também que a convergência foi rápida Nos Métodos da Bissecção Iterativo Linear e de NewtonRaphson foram necessárias três iterações para se obter a resposta e no Método da Falsa Posição foram necessárias quatro iterações Atenção Segue abaixo os procedimentos básicos desse método 1 Se f xn ε então xn é o Zero da Função 2 Se f xn ε então xn não é o Zero da Função Portanto devemos determinar xn1 U2 Raízes 104 3 Para determinar xn1 devemos usar a função iterativa 4 Se f xn1 ε então xn1 não é o Zero da Função Portanto devemos retornar ao passo 3 Caso contrário encerramos os cálculos Lembrese O Método de NewtonRaphson requer que você revise as técnicas sobre derivadas Para isso leia httpwwwpfcunespbrarbalboarquivos derivadaspdf Acesso em 2 ago 2015 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com a de seus colegas Método de NewtonRaphson 1 Competência de fundamentos de área Conhecer formas para calcular zeros de funções 2 Objetivos de aprendizagem Calcular os zeros de uma função 3 Conteúdos relacionados Zeros de funções 4 Descrição da SP Nos últimos anos os verões aqui no Brasil têm sido muito rigorosos com temperaturas muito acima do normal fazendo com que a aquisição de aparelhos de arcondicionado seja muito grande e por consequência os seus preços atingem altas significativas assim a aquisição desses aparelhos em sua grande maioria é realizada por financiamento Um aparelho de arcondicionado de 18000 Btus cujo valor à vista é R 210000 é financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R 29706 com taxa de juros variando entre 643 am e 734 am gerando a função de taxa de juros f x Determine a taxa de juros aplicada na situação apresentada com ε R 010 U2 Raízes 105 5 Resolução da SP Novamente a taxa de juros que desejamos determinar é o Zero da Função então aplicaremos as teorias apresentadas nessa seção 1 Se f xn ε então xn é o Zero da Função 2 Se f xn ε então xn não é o Zero da Função Portanto devemos determinar xn1 3 Para determinar xn1 devemos usar a função iterativa 4 Se f xn1 ε então xn1 não é o Zero da Função Portanto devemos retornar ao passo 3 Caso contrário encerramos os cálculos Para facilitar a derivação podemos reescrever Desenvolvendo a derivação Sendo U2 Raízes 106 então Com temos xn f xn xn1 00643 42526944 1004371 00685 00685 09690356 974761 00686 00686 00053791 A taxa de juros aplicada na situação apresentada é de 686 am Faça você mesmo Dada a função determine o Zero para o intervalo I 23 e ε 001 fazendo uso do Método NewtonRaphson Resolva exercícios a seguir aplicando o Método de Newton Raphson 1 Determine o zero da função existente entre os valores de 4 5 e 6 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 496 b x 486 c x 597 Faça valer a pena U2 Raízes 107 d x 947 e x 599 2 Assinale a alternativa que indica o zero da função existente entre os valores 5 e 8 de x com ε 005 a x 695 b x 745 c x 594 d x 559 e x 759 3 Determine o zero da função existente entre os valores 4 e 5 de x com ε 005 e assinale a alternativa correta a x 4757 b x 4653 c x 4039 d x 4968 e x 4697 4 Determine o zero da função existente entre os valores 2 e 3 de t com ε 005 e assinale a alternativa correta a t 284 b t 216 c t 267 U2 Raízes 108 d t 289 e t 258 5 Assinale a alternativa que indica o zero da função zk k2 07k 8 k2 2k 351 existente entre os valores 4 e 3 de k com ε 001 a k 325 b k 352 c k 315 d k 353 e k 321 6 Considerando a função fx 025x4 2x3 75x2 3 determine dois de seus zeros um existente entre os valores 0 e 15 e o outro existente entre os valores 151 e 01 de x com ε 010 7 Determine o zero da função fx x 2x 23 5 existente entre os valores 0 e 1 de x com ε 005 U2 Raízes 109 Referências ARENALES S DAREZZO S Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thompson Learning 2008 BURDEN R L FAIRES J D Análise numérica São Paulo Pioneira Thompson Learning 2003 CANTÃO L A P Cálculo numérico e computacional Disponível em httpwww2 sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostilapdf Acesso em 30 jun 2015 FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006 GALVÃO L C NUNES L F Apostila 2 de cálculo numérico UTFPR Disponível em httpwww1univapbrspillingCNapostila2pdf Acesso em 20 jul 2015 GAVALA Francisco Javier Cobos Cálculo numérico apuntes para el curso de 20012002 Disponível em httpwwwdecomufopbrbcc760materialde apoiolivroslivroportpdf Acesso em 30 jun 2015 QUEIROZ B C N QUEIROZ J E R BARROS M A Cálculo numérico Disponível em wwwdscufcgedubrcnummodulosModulo4CNParte1Introppt Acesso em 22 jul 2015 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lucia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 SPERANDIO Décio MENDES João Teixeira SILVA Luiz Henry Monken e Cálculo numérico características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos São Paulo Pearson Prentice Hall 2003 vazio Convite ao estudo Caro aluno nesta unidade estudaremos interpolação Essa é uma técnica numérica que tem por objetivo obter uma função polinomial cujo gráfico passe por pontos prédeterminados Quando não temos o conhecimento dessa função e queremos calcular um valor desconhecido aplicamos a interpolação Aplicando uma das formas da interpolação obtemos o valor desejado aproximado Aprenderemos interpolar usando o polinômio interpolar o polinômio na forma de Lagrange e também na forma de Newton Para finalizar estudaremos o erro na interpolação A interpolação é uma técnica muito utilizada nas áreas de Ciências Exatas Tecnológicas Econômicas e Financeiras Nessas áreas também é comum surgirem problemas que apresentam funções polinomiais como fxx²6x8 Conhecendo essas funções podemos esboçar seus gráficos definindo os valores para sua variável independente x e obtendo os valores de fx a variável dependente ou também denominada de variável de predição No entanto em cálculo numérico a situação é inversa temos os valores dos pares ordenados xfx e desconhecemos a função que explica sua distribuição gráfica Para isso usamos a interpolação que nos fornecerá um polinômio interpolador que explica a distribuição gráfica dos pares ordenados e nos dá condições de predizer valores desconhecidos A seguir será apresentada uma situação hipotética que nos ajudará a desenvolver os conceitos e as técnicas da interpolação com uma visão prática Assim Uma empresa de sucata de ferro material muito utilizado nas funções tem seus valores de comercialização representados na Tabela 31 Tabela 31 Preço de sucata de ferro x Toneladas de Ferro fx Preço de Venda Mil Reais Fonte Elaborada pelo autor Uma fundição solicita um orçamento para a compra de 745 toneladas de sucata de ferro Para atender à solicitação do cliente são chamados quatro vendedores três desses vendedores apresentaram o orçamento interpolando os valores da Tabela 31 o primeiro vendedor Arnaldo usou a técnica do polinômio interpolador o segundo Bruno fez uso da forma de Lagrange e o terceiro Carlos aplicou a forma de Newton O quarto vendedor Dagoberto verificou o erro na interpolação pela forma de Newton Em cada uma das seções seguintes você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos vendedores e ao final desta unidade você poderá atender à solicitação do cliente além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um Seção 31 Polinômio interpolador Diálogo aberto Aluno a interpolação é uma técnica muito utilizada nas áreas de Ciências Exatas Tecnológicas Econômicas e Financeiras Nesta seção trataremos da interpolação fazendo uso do polinômio interpolador Para isso desenvolveremos a resolução do problema do orçamento de venda de sucata de ferro apresentado anteriormente Mas o que é interpolação Tendo um conjunto de pares ordenados cuja função é desconhecida ou muito complexa você determina uma função mais simples que se aproxima da função original e também determina pares ordenados não existentes nesse conjunto usamos os métodos de interpolação para que isso aconteça Para compreender melhor vamos retomar o problema proposto anteriormente uma fundição solicita um orçamento para a compra de 745 toneladas de sucata de ferro e o primeiro vendedor Arnaldo apresenta o orçamento calculado o preço por meio do polinômio interpolador Coloquese no lugar desse vendedor o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico e mais especificamente o polinômio interpolador Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método polinômio interpolador Não pode faltar Suponha que tenhamos n1 pares ordenados distintos x0fx0 x1fx1 xnfxn denominados pontos de interpolação conforme Gráfico 31 Gráfico 31 Pares ordenados distintos A interpolação aqui apresentada é realizada através da determinação de um polinômio de grau n obtido pelo conhecimento dos pontos de interpolação O polinômio interpolador é pxa0 a1x a2x² anxn que é obtido através da resolução do seguinte sistema linear onde px é uma aproximação para fx que é a função desconhecida ou de maior complexidade Sempre temos n1 equações e n1 incógnitas a0 a1 a2 an Para a resolução do sistema representamos o mesmo na forma matricial sendo a primeira matriz a dos coeficientes a segunda a das incógnitas e a terceira a dos termos independentes Então U3 Interpolação 115 Unindo os coeficientes e os termos independentes numa única matriz denominada matriz ampliada temos Essa última matriz a matriz ampliada é a que escalonamos para obter a solução Assimile O polinômio interpolador será obtido pela resolução de sistema linear Pesquise mais Veja mais detalhes sobre a interpretação geométrica e sobre a montagem do sistema linear que fornece os coeficientes do polinômio interpolador no material disponibilizado no link a seguir httpwwwpfcunespbrarbalboIniciacaoCientifica interpolacaoteoria1InterpolpolinomialMetLagrangeNewton pdf Acesso em 14 ago 2015 Agora que você se inteirou um pouco sobre o método de interpolação veja um exemplo prático para maior compreensão Atenção Todos os cálculos efetuados nessa seção serão arredondados com duas casas decimais exceto quando for descrito o critério de arredondamento Resolvendo o sistema L i Linha i Dada a Tabela 33 determine o valor de f 439 por meio de interpolação polinomial Escalonando a matriz obtemos Pratique mais Para o problema apresentado veja o desenvolvimento da resolução 1 2 9 27 a0 120 1 5 25 125 a1 195 1 9 81 729 a2 225 1 12 144 1728 a3 1 2 9 27 120 1 5 25 125 195 1 9 81 729 225 1 12 144 1728 240 1 0 0 0 1371420 0 1 0 0 1223810 0 0 1 0 137698 0 0 0 1 05159 137142 a0 a1 122381 a2 137698 a3 05159 Polinômio interpolador px a0 a1x a2x2 a3x3 px 1371420 1223810x 137698x2 05159x3 Valor da venda de 745 toneladas de sucata de ferro p745 1371420 1223810 745 137698 7452 05159 7453 p745 2236448 mil reais Resposta o polinômio interpolador é px 137142 122381x 137698x2 05159x3 e o valor da venda de 745 toneladas de sílica é 2236448 mil reais Pesquise mais Reforce o seu conhecimento acessando o link a seguir httpwwwinfufprbrsilvanumericoIV1pdf Acesso em 14 ago 2015 Faça você mesmo A Tabela 35 indica a queda de temperatura fx de um freezer em função do tempo x após a entrada de uma massa de ar quente Determine a temperatura no instante 439 s por meio de interpolação polinomial Tabela 35 Pares ordenados de fx Instante xs 1 4 6 12 Temperatura fxC 12 5 1 0 Fonte Elaborada pelo autor 1 Dada a Tabela 36 determine o valor aproximado de f5 por meio de interpolação polinomial a f5 40 b f5 39 c f5 26 d f5 14 e f5 11 Tabela 36 Pares ordenados de fx x 1 4 6 fx 0 1 5 Fonte elaborada pelo autor 2 Dada a Tabela 37 determine o valor aproximado de f5 por meio de interpolação polinomial a f5 52 b f5 49 c f5 14 d f5 21 e f5 32 Tabela 37 Pares ordenados de fx x 4 6 12 fx 1 5 12 Fonte elaborada pelo autor 3 Dada a Tabela 38 determine o valor aproximado de f5 por meio de interpolação polinomial a f5 275 b f5 473 c f5 561 d f5 102 e f5 080 4 Dada a Tabela 39 determine o valor aproximado de f9 por meio de interpolação polinomial a f9 675 b f9 724 Tabela 39 Pares ordenados de fx x 6 8 12 15 fx 2 10 12 9 Fonte elaborada pelo autor Seção 32 Lkx x x0x x1x xk1x xk1x xn xk x0xk x1xk xk1xk xk1xk xn fx2L2x 11 left fracx2 10x 2121 right fx2L2x 052x2 524x 11 px 036x² 1250x 14143 Polinômio Interpolador de Lagrange f745 p745 21457 mil reais Forma de Lagrange para o polinômio interpolador px 555x² 9443x 6111 Polinômio Interpolador de Lagrange 2 Dado o quadro abaixo calcule f182 utilizando a interpolação na forma de Lagrange c f75 496 d f75 322 e f75 378 6 Utilizando a interpolação na forma de Lagrange para o quadro abaixo determine o valor de f35 x 1 2 5 9 fx 1 7 97 609 7 Utilizando a interpolação na forma de Lagrange para o quadro abaixo determine o valor de f639 x 2 3 5 9 fx 8 15 36 112 Seção 33 Forma de Newton para o polinômio interpolador Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção novamente trataremos da interpolação mas fazendo uso do polinômio interpolador de Newton Além disso mais uma vez desenvolveremos a resolução do problema do orçamento de venda de sucata ferro apresentado no início desta unidade Uma fundição solicita um orçamento para a compra de 745 toneladas de sucata de ferro e o vendedor Carlos apresenta o orçamento calculando o preço através do polinômio interpolador de Newton Coloquese agora no lugar do Carlos o que você precisa saber para resolver esse problema usando cálculo numérico com o polinômio interpolador de Newton Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados ao método polinômio interpolador de Newton O polinômio interpolador de Newton é dado por px d₀ d₁xx₀ d₂xx₀xx₁ dₙxx₀xx₁xxₙ₁ Para facilitar sua compreensão veja o seguinte link wwwyoutubecomwatchvfr1oGgA7QxU Acesso em 25 ago 2015 Para contribuir com uma compreensão mais tranquila vamos desenvolver algebricamente as diferenças divididas de até ordem 3 n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 0 x₀ fx₀ fx₁fx₀x₁x₀ fx₁fx₀x₁x₀ fx₁fx₀x₁x₀ 1 x₁ fx₁ fx₂fx₁x₂x₁ fx₁fx₂x₂x₁ fx₁fx₀x₁x₀ 2 x₂ fx₂ fx₃fx₂x₃x₂ fx₂fx₁x₂x₁ fx₁fx₀x₁x₀ 3 x₃ fx₃ Agora que você conheceu o operador diferenças divididas e o polinômio interpolador de Newton veja um exemplo pois isso o ajudará a sanar suas dúvidas Dado o quadro abaixo com os pares ordenados de fx usando o polinômio interpolador de Newton determine f45 x 1 4 6 fx 2 10 12 Resolução Primeiramente determinamos as diferenças divididas até ordem 2 como apresentado no quadro abaixo n x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 0 1 2 d₀ fx₀x₁ fx₁fx₀x₁x₀ 10241 267 d₁ fx₀x₁x₂ fx₁x₂fx₀x₁x₂x₀ 126761 033 d₂ fx₁x₂ fx₂fx₁x₂x₁ 121064 1 Conhecendo as diferenças divididas escrevemos o polinômio interpolador conforme apresentado a seguir px d₀ d₁xx₀ d₂xx₀xx₁ px 2 267x1033x1x4 px 033x² 432x199 Conhecendo o polinômio px podemos agora estimar f45 como segue f45 p45 1077 Com a teoria exemplificada este é o momento de você testar seu aprendizado Dado o quadro abaixo com os pares ordenados de fx determine f10 usando o polinômio interpolador de Newton x 5 9 12 fx 4 2 12 Sem medo de errar Conhecendo a interpolação na forma de Newton vamos calcular o valor do orçamento da venda de sucata de ferro solicitada pela empresa de fundição Coloquese no lugar do vendedor Carlos e apresente o valor da venda Solução Determinar o preço de 745 toneladas de sucata de ferro é o mesmo que calcular f745 Assim n xₙ fxₙ 0 5 195 d₀ fx₀x₁ fx₁fx₀x₁x₀ 75 d₁ fx₀x₁x₂ fx₁x₂fx₀x₁x₂x₀ 036 d₂ fx₁x₂ fx₂fx₁x₂x₁ 5 px d₀ d₁xx₀ d₂xx₀xx₁ px 195 75x5036x5x9 px 036x² 1254x1413 f745 p745 21474 Portanto a empresa de fundição terá de pagar 21474 mil reais por 745 toneladas de sucata de ferro Uma distribuidora de sílica material muito utilizado na fabricação de vidro apresenta seu quadro de preços de venda a seguir Resposta a indústria de vidros terá de pagar 18751 mil reais por 85 toneladas de sílica a f51025 c f51121 e f51222 d f51440 a f7685 c f7565 e f7617 b f7450 d f7317 U3 Interpolação 148 Seção 34 Estudo do erro na interpolação pelo método de Newton Diálogo aberto Caro aluno Estudaremos o erro proveniente do uso da interpolação na determinação de uma estimativa Isso ocorre porque o polinômio interpolador é uma função aproximada ou simplificada da função original Para compreendermos o contexto em que o estudo do erro se aplica lembre se de que os vendedores Arnaldo Bruno e Carlos apresentaram o orçamento para 745 toneladas de sucata de ferro Para complementar o trabalho realizado por esses vendedores o quarto vendedor Dagoberto deve verificar o erro cometido ao determinar o orçamento da venda de sucata Para isso decidiu utilizar o orçamento apresentado por Carlos e o método de Newton Coloquese no lugar de Dagoberto e imagine o que é necessário compreender para estimar o erro Ao final desta seção esperamos que você compreenda os aspectos teóricos que embasam a estimação do erro e que isso colabore para que você resolva o problema de Dagoberto Não pode faltar O erro na interpolação ocorre porque o polinômio interpolador é uma função aproximada ou simplificada da função original Observe o Gráfico 32 que exemplifica graficamente o erro na interpolação Gráfico 32 Erro em função de uma interpolação Fonte elaborada pelo autor a f25198 c f25189 e f25100 b f25321 d f25594 En x xx0xx1xxn máx diferenças divididas de ordem n 1 E2 x xx0xx1xx2 máx diferenças divididas de ordem 3 E2 732 007 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 1 193 5 195 9 225 12 240 15 270 050 750 500 1000 max diferenças divididas de ordem 3 012012 Recordese de que o polinômio interpolador p2x foi obtido considerando x05 x19 e x212 Esses mesmos valores serão utilizados novamente para definir o polinômio de estimativa do erro E2x para f745p2745 Enx xx0xx1xxn max diferenças divididas de ordem n 1 E2x xx0xx1xx2 max diferenças divididas de ordem 3 E2x x5x9x12 012 E2x 012x3312x2 2556x648 E2745 012 7453312 7452 2556 745648 E2745 207 Ref force seu conhecimento por meio do seguinte link httpwwwjoinvilleudescbrportalprofessoresjuliamateriaismainCANinterpolacaoeajustepdf Acesso em 27 ago 2015 O erro de interpolação na Forma de Newton é dado por En x xx0xx1xxn max diferenças divididas de ordem n 1 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Estudo do erro na interpolação 1 Competência de fundamentos de área Conhecer o cálculo numérico 2 Objetivos de aprendizagem Estimar o erro por realizar uma interpolação 3 Conteúdos relacionados Estudo do erro resultante de uma interpolação 4 Descrição da situação problema Veja abaixo o quadro de temperaturas para alguns dias de julho de 2015 numa determinada região O dia do mês é representado por x e a temperatura por fx em graus Celsius x 1 2 5 7 12 18 fx 10 11 15 22 27 28 Determine o erro de interpolação para a estimativa de temperatura do sexto dia do mês ou seja f6 sabendo que interpolação será de ordem 2 usando x5 7 e 12 Vamos iniciar a resolução calculando as diferenças divididas estudadas na seção 33 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 1 10 2 11 5 15 7 22 12 27 18 28 1 133 35 1 017 002 036 008 012 008 max diferenças divididas de ordem n 1 008008 O polinômio interpolador p2x será obtido considerando x05 x17 e x212 que manteremos para definir o polinômio de estimativa do erro E2x para f6p26 Enx xx0xx1xxn max diferenças divididas de ordem n 1 E2x xx0xx1xx2 max diferenças divididas de ordem 3 E2x x5x7x12 008 E2x 008x3192x21432x336E26 008 6192 62 1432 6336 E26 048 1 Dado o quadro abaixo calcule E2 03 para a interpolação na forma de Newton onde x0 1 x1 1 e x2 3 a E2 5 08 d E225 68 U3 Interpolação 160 Referências ANDRETTA M Interpolação polinomial polinômio de Lagrange Disponível em httpwwwicmcuspbrandrettaensinoaulassme0500112iplagrangepdf Acesso em 20 ago 2015 ARENALES S DAREZZO S Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thompson Learning 2008 DORN W S MCCRACKEN D D Cálculo numérico com estudos de casos de Fortran IV Rio de Janeiro Campus 1981 FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006 PILLING S Cálculo numérico Disponível em httpwww1univapbrspillingCN CNCapt4pdf Acesso em 14 ago 2015 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lucia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 e E225 53 6 Dado o quadro abaixo calcule E348 para a interpolação na forma de Newton onde x0 1 x1 2 x2 5 e x3 10 U4 Integração Numérica 162 Estudo de Erro em função da Integração Numérica aplicada Em cada uma das seções seguintes você será convidado a se colocar no lugar de cada um dos lojistas e ao final dessa unidade você poderá responder a variação populacional buscada por eles além de identificar as características de cada método e compreender as facilidades e dificuldades de utilização de cada um x 0 1 2 5 10 fx 0 1 7 100 600 7 Dado o quadro abaixo calcule E3639 para a interpolação na forma de Newton onde x0 3 x1 1 x2 5 e x3 10 Ao final dessa seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados à Integração pela Fórmula de NewtonCotes A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada Não pode faltar A integração pela fórmula de NewtonCotes é baseada no polinômio interpolador de Lagrange Pnx como vemos a seguir IN C f b a f x d x b a Pn x d x Como visto na seção 32 Pn x n i0 f xi Li x Assim IN C f n i0 f xi b a Li x d x onde xi é definido em função da variação dada por h b a n onde n será o número de subintervalos que dividimos a b Então x0 a x1 x0 h xn xn 1 h b x 10 3 1 5 10 20 30 Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange estudado na seção 32 f x0 L0 x f x0 x x1 x x2 x0 x1 x0 x2 f x0 L0 x 1667 x 2 x 3 1 2 1 3 f x1 L1 x f x1 x x0 x x2 x1 x0 x1 x2 f x1 L1 x 1111 x 1 x 3 2 1 2 3 f x2 L2 x f x2 x x0 x x1 x2 x0 x2 x1 f x2 L2 x 714 x 1 x 2 3 1 3 2 fx 5 10 50 100 600 700 900 Obtido o polinômio interpolador de Lagrange px podemos realizar a integração 3 1 100x25 dx 3 1 px dx 3 1 100x25 dx 3 1 080x2 797x 2386dx Obtido o polinômio interpolador de Lagrange px podemos realizar a integração Fórmula de NewtonCotes Agora vamos calcular o polinômio interpolador de Lagrange estudado na seção 32 ₀¹ x² 3xeˣ² 5x dx 462 mil empregos Portanto entre 3 e 5 anos serão criados 462 mil empregos 1 Calcule o valor aproximado da ₁¹⁷₅ x² 3xx² 1 dx fazendo uso da integração pela fórmula de NewtonCotes com n 3 a 40 b 67 c 02 d 18 e 51 A integração pela Regra dos Trapézios consiste em subdividir a área de integração ba fxdx em alguns trapézios conforme Figura 41 e calcular a somatória dessas áreas Esse processo permite obter o valor aproximado da ba fxdx Se classificarmos Externos fx0 e fxn Internos fx1 fx2 fx3 fxn1 Podemos escrever a integral como seguir ba fxdx 05Σ Externos Σ Internosh Resolução Definindo h fracban h frac315 04 Assim x0 a 1 x1 x0 h 1 04 14 x2 x1 h 14 04 18 x3 x2 h 18 04 22 x4 x3 h 22 04 26 xn x5 xn1 h 26 04 3 b Se desejamos int13 frac100x2 5 dx então fx frac100x2 5 Conhecendo fx calculamos fxi beginarraycc hline xi fxi hline 1 1667 14 1437 18 1214 22 1016 26 85 3 714 hline endarray U4 Integração Numérica 179 U4 Integração Numérica 211 Faça valer a pena 1 Dada calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com n 4 Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo a 30 b 77 c 123 d 44 e 00 2 Dada calcule o erro se a integração for realizada pela Regra de Simpson com n 5 Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo a 01 b 12 c 32 d 54 e 29 3 Dada calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra de Simpson com n 5 Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo a 432 b 543 c 747 U4 Integração Numérica 212 d 392 e 001 4 Dada calcule o erro se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com h 04 Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo a 67 b 16 c 28 d 01 e 41 5 Dada calcule o erro aproximado se a integração for realizada pela Regra dos Trapézios com h 08 Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo Nesta atividade estamos trabalhando com fração mista sendo que os limites de integração e as alternativas também estão escritas dessa forma a 10 7 8 b 5 2 3 c 6 5 16 d 4 7 8 e 28 75 U4 Integração Numérica 214 Referências ARENALES Selma DAREZZO Artur Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thompson Learning 2008 CAVALCANTI Jorge Cálculo numérico integração numérica Disponível em httpwwwunivasfedubrjorgecavalcanti8CNintegracaopdf Acesso em 6 out 2015 FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006 RUGGIERO Márcia A Gomes LOPES Vera Lucia da Rocha Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais 2 ed São Paulo Makron Books 1996 SPERANDIO Décio MENDES João Teixeira SILVA Luiz Henry Monken e Cálculo numérico características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos São Paulo Pearson Prentice Hall 2003 João Carlos dos Santos Gabriela Faria Barcelos Gibim Cálculo Numérico CÁLCULO NUMÉRICO Cálculo Numérico KLS KLS