Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais

KLS CÁLCULO AVANÇADO NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Cálculo Avançado Números Complexos e Equações Diferenciais Juliana Gaiba Oliveira Eduardo Aparecido da Rosa Neto José de França Bueno Cálculo Avançado Números Complexos e Equações Diferenciais 2018 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Oliveira Juliana Gaiba ISBN 9788552206699 1 Cálculo I Oliveira Juliana Gaiba II Rosa Neto Eduardo Aparecido da III Bueno José de França IV Título CDD 510 diferenciais Juliana Gaiba Oliveira Eduardo Aparecido da Rosa Neto José de França Bueno Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 208 p O48c Cálculo avançado números complexos e equações Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação e de Educação Básica Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Danielly Nunes Andrade Noé Grasiele Aparecida Lourenço Isabel Cristina Chagas Barbin Lidiane Cristina Vivaldini Olo Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Camila Leão Cardozo Junior Francisco Dias Ulisses Ferreira Kaneko Vagner Luis Zanin Editorial Camila Cardoso Rotella Diretora Lidiane Cristina Vivaldini Olo Gerente Elmir Carvalho da Silva Coordenador Letícia Bento Pieroni Coordenadora Renata Jéssica Galdino Coordenadora Thamiris Mantovani CRB89491 Sumário Unidade 1 Seção 11 Seção 12 Seção 13 Números complexos 7 A ideia de número complexo 9 Operações com números complexos 24 Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo 35 Unidade 2 Seção 21 Seção 22 Seção 23 Séries 51 Séries séries de potências séries de Taylor e MacLaurin 53 Séries de Fourier 71 Aplicações das séries de Fourier 91 Unidade 3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 113 Introdução às Equações Diferenciais Parciais 115 Equação do Calor modelagem 125 Equação do Calor Soluções 137 Unidade 4 Equação da Onda e Equação de Laplace 155 Equação da onda modelagem 157 Equação da onda soluções 170 Equação de Laplace 185 Seção 31 Seção 32 Seção 33 Seção 41 Seção 42 Seção 43 Para tratar dos conteúdos dessa disciplina este livro está subdividido em quatro unidades descritas a seguir Na Unidade 1 inicialmente por meio de uma breve abordagem histórica você conhecerá um pouco a respeito da necessidade da construção de um novo conjunto numérico os números complexos Apresentada a definição formal desse conjunto vamos explorar diversas operações algébricas bem como suas respectivas representações geométricas no plano de ArgandGauss Na segunda unidade você trabalhará as competências necessárias para determinar aproximações numéricas para funções e resolver equações diferenciais com séries de Fourier As séries de Fourier são fundamentais para um profissional da área de exatas pois propicia ferramentas para a resolução de equações diferenciais que modelam fenômenos de condução de calor fenômenos vibratórios e estudos de processamentos de sinais entre outras diversas aplicações A Unidade 3 visa entre outras coisas introduzir um conceito que pode ser novo o de equação diferencial parcial Possivelmente é do seu conhecimento a definição de equação diferencial ordinária e métodos de resolução As equações parciais são similares mas apresentam um nível de complexidade maior por envolverem mais variáveis Parte dessa unidade tratará especificamente da equação do calor e de sua solução Por fim na quarta unidade encerramos realizando o estudo das equações diferenciais parciais de onda e de Laplace suas definições e soluções Essas equações são extensamente utilizadas em áreas como a mecânica por modelarem fenômenos ondulatórios Para encarar esses desafios é de extrema importância manter uma rotina de estudos que possibilite dedicarse à realização das atividades abrindo caminho para a autonomia intelectual Bons estudos Palavras do autor Números complexos Convite ao estudo O que você faria se recebesse o desafio de dividir um segmento de 10 unidades em duas partes cujo produto é 40 O matemático italiano Girolamo Cardano 15011576 publicou esse problema aparentemente simples em seu famoso livro Ars magna Ainda nessa obra Cardano deduziu uma fórmula para resolver equações de terceiro grau do tipo x ax b 3 0 Mais tarde Rafael Bombelli 15261573 admirador de Cardano utilizou essa fórmula para resolver a equação cúbica x x 3 15 4 0 chegando à solução x 4 que é verdadeira Mas para isso foi preciso resolver uma expressão envolvendo a raiz quadrada de um número negativo 121 que não faz sentido no conjunto dos números reais A questão que motivou Cardano Bombelli e vários outros matemáticos foi como um número real pode ser obtido como resultado de uma expressão que contêm a raiz quadrada de números negativos E para deixálos ainda mais instigados os trabalhos mostravam que era possível operar com esses números imaginários o que fazia ainda menos sentido Inicialmente por meio de uma abordagem histórica você conhecerá um pouco a respeito da necessidade de construção desse novo conjunto numérico Apresentada a definição formal na forma algébrica vamos explorar suas representações geométricas no plano de ArgandGauss bem como diversas operações algébricas propriedades a forma trigonométrica a forma polar dentre outras características Em outras palavras estudaremos nessa unidade a construção de um conjunto numérico o conjunto dos números complexos Os números complexos surgiram como uma das maiores contribuições ao desenvolvimento da Álgebra e sem a presença deles hoje seria impossível imaginar o desenvolvimento de Unidade 1 U1 Números complexos 8 algumas áreas como Engenharia Aerodinâmica Mecânica dos fluidos Física Quântica Relatividade dentre outras E para deixar o estudo ainda mais interessante suponha que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular o que os alunos aprendem a coordenadora pedagógica sugeriu abordar as principais características dos números complexos por meio de três objetos virtuais interativos utilizando o software GeoGebra um programa de computador gratuito com recursos dinâmicos voltados para aprendizagem de Matemática que pode ser obtido no site disponível em wwwgeogebraorg acesso em 17 out 2017 Essas atividades devem ser elaboradas com o objetivo de explorar os conceitos estudados na respectiva seção da unidade No primeiro objeto relacionado ao conteúdo da seção A ideia de número complexo o objetivo é construir uma representação manipulável do número complexo no plano de ArgandGauss No segundo objeto relacionado ao conteúdo da seção Operações com números complexos o desafio é explorar a interpretação geométrica das operações com esses números Já o terceiro objeto relacionado ao conteúdo da seção Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo o objetivo novamente é a interpretação geométrica dessa vez relacionada à ideia de rotação de um ponto no plano Vamos lá U1 Números complexos 9 A ideia de número complexo Nesta seção iremos estudar um pouco a respeito do processo de construção de um novo conjunto numérico os números complexos Apresentada a definição de conjunto dos números complexos vamos identificar as representações algébrica e geométrica bem como associar um número complexo aos seus respectivos afixo e vetor no plano de ArgandGauss Esse assunto é normalmente introduzido nos anos iniciais do ensino médio na disciplina de Matemática Você se recorda Esses conteúdos servem como base para o trabalho que será desenvolvido posteriormente na unidade em que serão exploradas as operações usuais e as propriedades das operações tais como comutativa distributiva entre outras Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular o que os alunos aprendem você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de interpretar geometricamente um número complexo no plano de ArgandGauss Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção Uma maneira de fazer isso é por meio de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto utilizando sempre que possível imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra Antes de definir o conceito de número complexo vamos conhecer um pouco da história que levou ao surgimento desse novo número Contexto histórico a descoberta de um novo número Antigamente para uma equação ter significado ela precisava ter uma formulação baseada em um contexto real isto é em uma necessidade Desse modo se a solução dessa equação envolvesse um Seção 11 Diálogo aberto Não pode faltar U1 Números complexos 10 cálculo com raiz quadrada de um número negativo o problema era abandonado e diziase simplesmente que não havia solução ou que a solução era impossível Vamos considerar um problema desse tipo publicado no capítulo 37 do livro Ars magna de Girolamo Cardano 15011576 Como dividir um segmento de 10 unidades em duas partes cujo produto é 40 Vamos indicar por x o comprimento de uma dessas partes consequentemente a outra será 10 x Fonte elaborada pelo autor Figura 11 Segmento de 10 unidades divididas em duas partes Como o produto dessas partes é 40 o problema consiste em resolver a seguinte equação x x 10 40 Resolvendo essa equação por qualquer método obtemos as soluções 5 15 e x ax b 3 0 em unidades de comprimento ou seja envolvem o cálculo com raiz quadrada de um número negativo De fato Cardano admite no livro que esse problema não tem solução pois 15 não faz sentido no conjunto dos números reais mas logo em seguida ele supõe que as operações usuais nesse conjunto sejam válidas para esse caso e adiciona os dois valores da solução da equação x x 10 40 5 15 5 15 5 5 10 E ainda multiplica 5 15 5 15 25 5 15 5 15 15 25 15 40 2 Mostrando que satisfazem a condição do problema Ainda nesse livro Cardano publicou uma fórmula resolutiva para equações cúbicas do tipo x mx n 3 0 em que m 0 e n 0 conhecida por fórmula de TartágliaCardano x n n m n n m 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 U1 Números complexos 11 Pesquise mais Ficou curioso sobre o nome fórmula de TartágliaCardano Imaginou que Cardano foi o descobridor original dela Saiba que há uma história interessante entre Cardano e o matemático Niccolo Tartaglia c 1500 1557 Ela envolve conversas por cartas juramentos e arrependimento Veja um trecho extraído do livro História da matemática de Carl Benjamim Boyer Sugerimos também a leitura do Capítulo 4 do livro intitulado História da matemática da autora Tatiane Roque disponível em httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788537809099cfi6244462200 Acesso em 17 out 2017 Devese assinalar imediatamente porém que Cardano ou Cardan não foi o descobridor original da solução quer da cúbica quer da quártica Ele próprio admitiu isso francamente em seu livro A sugestão para resolver a cúbica ele afirma lhe tinha sido dada por Niccolo Tartaglia c 15001557 a solução da quártica tinha sido descoberta primeiramente pelo antigo amanuense de Cardano Ludovico Ferrari 15221565 O que Cardano deixou de mencionar na Ars magna foi o solene juramento que havia feito a Tartaglia de não revelar o segredo pois esse último pretendia firmar sua reputação publicando a solução da cúbica como coroação de seu tratado sobre álgebra BOYER 1974 p 2062017 Rafael Bombelli 15261572 estudou profundamente o trabalho de Cardano principalmente os casos que levam a raízes de números negativos Podemos afirmar que ele foi o primeiro a dar a devida importância e perceber que um novo tipo de número estava surgindo na Matemática Admirador de Cardano Bombelli utilizou a fórmula de Cardano para resolver a equação x x 3 15 4 0 mesmo contrariando as condições iniciais para o uso da fórmula pois m 15 0 e n 4 9 BOYER 1974 Vejamos x 4 2 4 2 15 3 4 2 4 2 2 3 3 2 3 3 3 3 15 3 2 121 2 121 U1 Números complexos 12 Note que o valor de x envolve o cálculo de 121 que não está definido no conjunto dos números reais No entanto Bombelli supôs mesmo assim no que ele chamou de ideia louca que as propriedades operatórias usuais são válidas e considerou ainda que os dois membros obtidos anteriormente poderiam ser escritos na forma a b e a b Ele efetuou os cálculos e obteve a 2 e b 1 Com isso as duas partes com 121 se anulariam x 2 121 2 121 2 1 2 1 4 3 3 Portanto ele obteve x 4 como uma solução da equação que pode ser facilmente verificada x x 3 3 15 4 4 15 4 4 0 Esse fato evidenciou o que Bombelli desconfiava que existe realmente uma solução para uma equação envolvendo o cálculo da raiz quadrada de um número negativo em um dos membros desde que fossem válidas as propriedades operatórias das operações tais como comutativa distributiva entre outras Inspirados por esse trabalho vários outros matemáticos se dedicaram ao estudo das raízes quadradas de números negativos pois havia ainda muito a se investigar sobre esse novo conjunto que surgia Reflita Naquela época o estudo com situações envolvendo o cálculo com raízes quadradas de números negativos parecia não ter significado prático ou seja situações impossíveis de se resolver na prática Isso nos leva a refletir sobre o uso da palavra imaginário e complexo para descrever esse tipo de número em sentido pejorativo Para simplificar a notação em algum momento foi definido que o número i é a unidade imaginária tal que i 1 Portanto a expressão 3 4 por exemplo passou a ser escrita por 3 4 1 3 2 1 3 2i Mais adiante veremos que essa forma é a representação algébrica de um número complexo O conjunto dos números complexos Como dito anteriormente os conjuntos numéricos que os matemáticos consideravam eram apenas o conjunto dos números naturais N 0 1 2 3 4 5 6 n Para que a operação de subtração fizesse sentido estenderam e obtiveram o conjunto dos números inteiros Z n 3 2 1 0 1 2 3 n Para que a operação de divisão também fizesse sentido estenderam e obtiveram o conjunto dos números racionais Q a b com a Z e b Z e b 0 Nesse conjunto a equação x² 2 por exemplo não fazia sentido pois as soluções x 2 e x 2 não pertencem ao conjunto Q então criaram o conjunto dos números irracionais indicados por I Finalmente da união dos racionais com os irracionais surgiu o conjunto dos números reais R Q I Desse modo podemos representar as relações N Z Q R e I R no seguinte diagrama de Venn Figura 12 Diagrama de Venn representando o conjunto dos números reais R Q I Fonte elaborada pelo autor Mas como explicado anteriormente foi preciso novamente estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado conjunto dos números complexos C que também podem ser somados multiplicados e extraídos à raiz quadrada de um número negativo U1 Números complexos 14 Fonte elaborada pelo autor Figura 13 Diagrama de Venn representando o conjunto dos números complexos Representação algébrica parte real e parte imaginária Ao longo do tempo os números complexos foram definidos de diversas formas A mais comum é chamada de forma algébrica ou forma binomial de um número complexo Assimile Forma algébrica Todo número complexo z pode ser escrito na forma algébrica de maneira única z x yi Em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária isto é i 1 ou i 2 1 Note que nessa representação o número tem duas partes chamada de parte real de z e parte imaginária de z indicadas por Re z x e Im z y respectivamente z x yi Parte real de z Rez Parte imaginária de z Imz U1 Números complexos 15 Veja outros exemplos z i 3 2 tal que Re z 3 e Im z 2 z i 5 3 tal que Re z 5 e Im z 3 z 8 tal que Re z 8 e Im z 0 z 2 i 3 tal que Re z 0 e Im z 2 3 z i 3 2 tal que Re z 3 e Im z 2 Por definição quando a parte imaginária de um número complexo é nula ou seja Im z 0 dizemos que o número é real Por outro lado quando a parte real de um número complexo é nula isto é Re z 0 e a parte imaginária é diferente de zero dizemos que o número é imaginário puro Identifique esses casos nos exemplos anteriores Representação geométrica afixo imagem geométrica ou vetor Outra maneira de representar um número complexo z é por meio de um par ordenado de números reais A associação dos números complexos a pontos no plano cartesiano de tal maneira que as partes real e imaginária correspondem à distância horizontal e vertical dos eixos cartesianos respectivamente é atribuída a três matemáticos Caspar Wessel 17451818 Jean Robert Argand 17681822 e Carl Friedrich Gauss 17771855 No entanto o trabalho de Wessel demorou quase cem anos para ser reconhecido por isso o plano cartesiano em que esses números são representados é conhecido até hoje apenas como plano de ArgandGauss ou simplesmente plano complexo EVES 2004 Sobre a representação do número complexo em um plano cartesiano fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade com os números imaginários pois esses números podiam agora ser efetivamente visualizados no sentido de que cada número complexo corresponde a um único ponto do plano e viceversa Ver é crer e ideias anteriores sobre a não existência e o caráter fictício dos números imaginários foram geralmente abandonadas EVES 2004 p 524 U1 Números complexos 16 Reflita Exemplificando Número complexo z x yi Afixo P x y z i 1 3 4 P1 3 4 z i 2 2 2 P2 2 2 z i 3 4 2 P3 4 2 z i 4 4 5 P4 4 5 z5 6 P5 6 0 z i 6 5 P6 0 5 Como esse par ordenado representa um ponto no plano complexo a cada ponto P x y do plano podemos associar um único número complexo z x yi e viceversa Veja como podemos representar em um plano de ArgandGauss os pontos afixos associados a alguns números complexos na forma algébrica Fonte elaborada pelo autor Figura 14 Pontos no plano de ArgandGauss Sobre qual eixo estão localizados todos os números imaginários puros E todos os números reais U1 Números complexos 17 O número complexo z x yi também pode ser representado por um vetor com uma extremidade na origem 0 0 e outra no ponto de coordenadas x y Fonte elaborada pelo autor Figura 15 Representação do vetor associado ao número complexo z x yi Após o estudo inicial dos números complexos vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo Vamos relembrar Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular que os alunos aprendam você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de interpretar geometricamente um número complexo no plano de ArgandGauss Descreva em detalhes as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção No GeoGebra um número complexo é definido por meio da representação algébrica z x yi e pode ser representado na janela de visualização do programa se considerarmos que y é o eixo imaginário e x é o eixo real Isso acontece porque os números complexos são tratados como números normais na maioria das vezes e além disso as funções prédefinidas trabalham com argumentos de complexos por exemplo bastaria entrar com o comando cos 5 2 i que o programa o reconheceria Por outro lado na atual versão do programa ainda não é possível representar funções com esses números Sem medo de errar U1 Números complexos 18 Para indicar o afixo correspondente ao ponto z i 3 4 basta digitar no campo Entrada a expressão 3 4 i e pressionar Enter Para auxiliar na visualização desse número podemos utilizar um vetor que parte da origem 0 0 i e tem extremidade em 3 4 i Para isso primeiro definimos o ponto na origem digitando 0 0 i e depois criamos o vetor usando a ferramenta Vetor Primeiro clicamos na origem e em seguida na extremidade Também é interessante incluir na janela de visualização dois campos de Texto para exibição um para a parte real e outro para a parte imaginária do número complexo Agora com a ferramenta Mover selecionada é possível manipular o ponto sobre o plano ao mesmo tempo em que são exibidos os valores da parte real e imaginária do número complexo Durante a construção é importante utilizar várias imagens obtidas por captura de tela Ao final você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir na qual temos a representação do vetor correspondente ao número complexo z i 3 4 Fonte elaborada pelo autor adaptada de GeoGebra versão 6033740offline Figura 16 Imagem obtida por captura de tela na representação do vetor correspondente ao número complexo z i 3 4 pelo software GeoGebra Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no endereço httpswwwgeogebraorgdownload U1 Números complexos 19 Acesso em 18 out 2017 para computadores tablets e celulares Também é possível realizar essa construção online ou seja sem a instalação do software no computador utilizando o endereço https wwwgeogebraorgapps Acesso em 18 out 2017 Um pouco mais de História da Matemática Descrição da situaçãoproblema Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio De fato a Matemática ainda se apresenta um tanto isolada das demais disciplinas restrita apenas a poucas explorações relacionadas à História da Matemática Na maioria das vezes recai ao isolamento com suas teorias e definições apresentadas sem um apelo histórico do que levou à necessidade desse ou daquele resultado Nessa perspectiva com a História da Matemática temos a oportunidade de levar o aluno a ver e entender essa disciplina tornandoa mais agradável Ela pode estar presente na sala de aula em vários contextos uma vez que acompanha a história da humanidade mas nem todo aluno tem iniciativa própria ou acesso a livros especializados Cabe então ao professor em formação continuada participar de cursos leituras e pesquisas para melhorar a preparação de sua aula Diante desse contexto que tal aproveitar a fascinante história do surgimento dos números complexos e elaborar um plano de aula sobre a História da Matemática Resolução da situaçãoproblema Uma sugestão para uma abordagem por meio da História da Matemática é propor algumas questões para os alunos responderem por exemplo 1 Antigamente uma equação precisava ter uma formulação baseada em um contexto real isto é em uma necessidade Por mais simples que a situação pareça poderia recair em uma equação envolvendo um cálculo com raiz quadrada de um número negativo Qual foi o problema aparentemente simples que levou aos primeiros estudos sobre os números complexos Onde e por quem ele foi publicado 2 Qual é a equação quadrada associada ao problema da questão anterior Explique como ele foi modelado Avançando na prática U1 Números complexos 20 3 Por que a fórmula resolutiva para equações cúbicas do tipo x mx n 3 0 em que m 0 e n 0 é conhecida por fórmula de TartágliaCardano embora tenha sido publicada apenas por Cardano 4 Quem foi Rafael Bombelli 15261572 e qual foi a sua contribuição no desenvolvimento do estudo dos números complexos 5 A que matemáticos é atribuída a representação dos números complexos no plano complexo Como esse plano complexo é conhecido 6 Quem foi o responsável pela simplificação da notação da unidade imaginária i 1 ou i 2 1 7 Qual foi a contribuição do matemático alemão Karl Friedrich Gauss no desenvolvimento dos números complexos A maioria das questões anteriores pode ser resolvida com base nos conteúdos desta seção outras precisam ser pesquisadas Veja a resposta da primeira delas 1 O problema foi publicado no capítulo 37 do livro Ars magna de Girolamo Cardano 15011576 e tinha o seguinte enunciado como dividir um segmento de 10 unidades em duas partes cujo produto é 40 Que tal agora elaborar um plano de aula para arquivar as respostas das demais questões Nele você também poderá elaborar outras questões que julgar interessantes e sugerir alguns livros ou sites para o aluno pesquisar 1 O número complexo z x yi também pode ser representado por um vetor com uma extremidade na origem 0 0 e outra no ponto de coordenadas x y Fonte elaborada pelo autor Faça valer a pena U1 Números complexos 21 Considere os seguintes números complexos I z i 2 6 II z i 5 5 III z i 5 4 IV z i 5 3 V z i 3 6 E os vetores representados no plano complexo a b c d U1 Números complexos 22 e Assinale a alternativa que associa corretamente o número complexo à sua respectiva representação vetorial com a letra e o símbolo romano correspondente a A I B II C III D IV E V b A I B II C III D V E IV c A III B I C II D IV E V d A II B III C I D V E IV e A III B II C I D IV E V 2 Considere as equações do segundo grau I 2 18 0 2 x II x x 2 6 13 0 III x x 2 8 17 0 IV x x 2 4 5 0 E os seguintes afixos em um mesmo plano complexo Assinale a alternativa que associa corretamente as equações e os pontos de suas respectivas soluções no plano complexo com o símbolo romano e os afixos correspondentes Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor a I P₂ e P₆ II P₃ e P₅ III P₄ e P₈ IV P₁ e P₇ b I P₂ e P₇ II P₃ e P₅ III P₄ e P₈ IV P₂ e P₆ c I P₁ e P₇ II P₄ e P₈ III P₂ e P₆ IV P₂ e P₆ d I P₄ e P₈ II P₁ e P₇ III P₃ e P₅ IV P₃ e P₅ e I P₄ e P₈ II P₁ e P₇ III P₂ e P₆ IV P₃ e P₅ 3 Por definição quando a parte imaginária de um número complexo é nula ou seja Imz 0 dizemos que o número é real Por outro lado quando a parte real de um número complexo é nula isto é Rez 0 e a parte imaginária é diferente de zero dizemos que o número é imaginário puro Assinale a alternativa que contém os valores de k com k R para os quais o número complexo z k² 9 k 3i é imaginário puro a k 3 ou k 3 b k 3 c k 3 d k 9 e k 9 U1 Números complexos 24 Assimile Operações com números complexos Na seção anterior estudamos um pouco a respeito do processo de construção de um novo conjunto numérico os números complexos Apresentada a definição formal e as representações algébrica e geométrica agora conheceremos as operações elementares nesse conjunto adição subtração multiplicação e divisão Abordaremos ainda algumas propriedades operatórias conhecidas até então apenas no conjunto dos números reais As operações de adição e subtração também serão exploradas na forma geométrica E falando em representação geométrica vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao Estudo Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular o que os alunos aprendem você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de interpretar geometricamente as operações de adição e subtração com números complexos no plano de ArgandGauss Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção Uma maneira de fazer isso é por meio de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto utilizando sempre que possível imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra Antes de apresentar as operações vamos definir a igualdade de dois números complexos Para simplificar a notação usaremos outras letras no lugar de x e y para representar a forma algébrica de um número complexo z x yi Igualdade de dois números complexos Dados dois números complexos z a bi 1 e z c di 2 eles são iguais se e somente se suas partes reais e partes imaginárias são respectivamente iguais ou seja Seção 12 Diálogo aberto Não pode faltar a bi c di z₁ z₂ a c e b d Por exemplo z₁ 4 2i é igual a z₂ 164 i4 pois Rez₁ 4 Rez₂ e Imz₁ 2 4 Imz₂ z₁ 3 i não é igual a z₂ 3 i pois Rez₁ 3 Rez₂ mas Imz₁ 1 1 Imz₂ Dados dois números complexos além de afirmar se eles são iguais ou diferentes podemos realizar a adição subtração multiplicação e divisão entre eles No entanto não podemos verificar se um é maior que o outro ou seja estabelecer uma relação de ordem entre eles Em sua opinião por que isso não é possível Reflita Operações elementares com números complexos Usando a forma algébrica dos números complexos as operações de adição subtração e multiplicação são intuitivas e ocorrem de maneira similar àquela com que fazemos as expressões algébricas É como se considerássemos i sendo uma variável qualquer assim como x ou y Por exemplo na multiplicação basta aplicar a propriedade distributiva já conhecida na multiplicação de binômios No entanto é preciso lembrar que i² é um número real que vale 1 Veja alguns exemplos 1i 23i 12 13i 3 4i 52i 34i 53 24i 8 2i 7i 1i 01 71i 1 6i 32i 54i 35 24i 2 2i 83i 25i 82 35i 6 8i 6 2i 62 01i 4 i 12i2i 12 1i 2i 2i² 2 i 4i 21 2 5i 2 5i 3 4i5 7i 3 5 3 7i 4i 5 4i 7i 15 21i 20i 28i² 1 15 i 28 43 i Você deve se recordar de uma questão da seção anterior que deixou os antigos matemáticos instigados na construção do novo conjunto numérico como entender algebraicamente uma soma a bi considerando que as parcelas a e bi são de espécies diferentes Algo como somar laranjas e maçãs atualmente Quem tomou para si essa difícil tarefa foi William Rowan Hamilton 18051865 Foi num artigo de 1833 apresentado à Academia Irlandesa que Hamilton introduziu a álgebra formal dos números complexos Estes segundo sua ideia básica passavam a ser encarados como pares ordenados ab de números reais com os quais se operava segundo as leis ab cd ac bd ab cd ac bd ad bc Nessa ordem de ideias um par a0 equivalente ao número real a em particular 10 1 Assim fazendo i 01 i² 01 01 10 1 Finalmente obtaining se uma explicação lógica para o símbolo 1 Mas o que Hamilton tinha em vista quando colheu esses resultados era algo mais pretensioso IEZI et al 1993 p 53 Ficou curioso sobre o que Hamilton pretendia Pesquise mais no site disponível em httpwwwmatematicabrhistoriahamiltonhtml Acesso em 18 out 2017 Mesmo não sendo necessário decorar regras vamos formalizar as três operações exemplificadas destacando também os elementos oposto e neutro em ℂ U1 Números complexos 27 Reflita Assimile Considere dois números complexos z a bi 1 e z c di 2 Para realizar a adição adicionamos separadamente as partes reais e as partes imaginárias ou seja a bi c di a c b d i z z 1 2 O elemento 0 0 0 i é chamado elemento neutro para a adição que somado a qualquer complexo z dá como resultado o próprio z Para cada número complexo há um elemento oposto complexo tal que a soma deles é zero ou seja a bi a bi a a z z 1 1 elemento oposto de b b i i 0 0 Para realizar a subtração subtraímos separadamente as partes reais e as partes imaginárias ou seja a bi c di a c b d i z z 1 2 Para realizar a multiplicação aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação e fazemos i 2 1 ou seja a bi c di ac ad i bc i bd i ac z z 1 2 2 1 bd ad bc i O elemento 1 0 1 i é chamado elemento neutro para a multiplicação que multiplicado por qualquer complexo z dá como resultado o próprio z Represente em um plano de ArgandGauss os afixos de um número complexo e de seu oposto O que você pôde perceber sobre a posição deles em relação à origem Conjugado de um número complexo Entre as operações elementares falta definir a divisão entre números complexos Antes porém precisamos da propriedade do inverso multiplicativo de um número complexo ou seja um número 1 z tal que 1 1 1 z z z z com z ¹ 0 Mas qual o significado de 1 z Para responder a essa pergunta precisamos definir o conjugado de um número na forma z a bi que nada mais é que o número na forma z a bi isto é invertemos o sinal da parte imaginária Por exemplo Se z 1 2i então z 1 2i Se z 3 7i então z 3 7i Se z 4 então z 4 Se z 5i então z 5i Agora represente em um plano de ArgandGauss os afixos de um número complexo e de seu conjugado O que você pode perceber sobre a posição deles em relação ao eixo y Em que casos temos z z Uma característica interessante envolvendo um número complexo e seu conjugado é que o produto entre z e z é igual a um número real não negativo dado pela soma dos quadrados da parte real e imaginária de z Vejamos z z a bia bi a² abi abi b²i² a² b² Você se lembra do problema que Cardano propôs em seu livro apresentado na seção anterior como dividir um segmento de 10 unidades em duas partes cujo produto é 40 Cardano obteve como resposta os números complexos 5 15 e 5 15 em que um é conjugado do outro Usando a propriedade anterior é fácil verificar que o produto desses números é de fato 40 pois é igual ao quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária do primeiro número 5 155 15 5² 15² 25 15 40 Divisão com números complexos Usando essa propriedade agora podemos transformar a divisão de dois números complexos em uma multiplicação de números complexos divididos por um número real U1 Números complexos 29 Assimile Dados dois números complexos z a bi 1 e z c di 2 com z2 ¹ 0 para realizar a divisão entre z1 e z2 multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador ou seja z z z z z z 1 2 1 2 2 2 Veja alguns exemplos 3 4 2 3 4 2 2 2 6 3 8 4 4 10 5 5 2 2 1 1 i i i i i i i i i i i 10 5 5 5 2 i i 2 6 2 4 2 6 2 4 2 4 2 4 4 8 12 24 4 16 2 2 1 1 i i i i i i i i i i 20 20 20 20 20 20 20 1 i i i Perceba que nas operações com multiplicação e divisão com números complexos utilizamos a igualdade i 2 1 Vamos deduzir uma propriedade interessante que pode nos ajudar a calcular qualquer potência i n com n Î Faremos isso de maneira recursiva até o expoente 12 i 0 1 i i 1 i 2 1 i i i 4 2 2 1 1 1 i i i 4 2 2 1 1 1 i i i i i 5 4 1 i i i 6 4 2 1 1 1 i i i i i 7 4 3 1 i i i 8 4 4 1 1 1 i i i i i 9 8 1 1 i i i 10 8 2 1 1 1 i i i i i 11 8 3 1 i i i 12 8 4 1 1 1 Perceba que os valores de i n se repetem a cada ciclo de 4 expoentes isto é i i i i 0 4 8 12 1 U1 Números complexos 30 Exemplificando i i i i 1 5 9 i i i 2 6 10 1 i i i i 3 7 11 Portanto sem efetuar cálculos sabemos que os próximos são i i 13 i14 1 e i i 15 Mas como você faria para calcular para um expoente qualquer por exemplo i 62 Uma maneira é dividir o expoente por 4 e se o resto for 0 o valor é 1 1 o valor é i 2 o valor é 1 3 o valor é i Agora efetue a divisão e calcule i 62 Ao contrário do que você pode ter imaginado a propriedade para i n não é muito útil para calcular a potência de um número complexo na forma algébrica Nesse momento para realizar um cálculo desse tipo ainda devemos realizar uma multiplicação de fatores iguais Por exemplo para calcularmos z3 com z i 2 3 efetuamos z z z z i i i i i i i i 3 2 2 3 2 3 2 3 4 6 6 9 2 3 5 12 2 3 10 15 24 36 46 9 2 i i i i i Na próxima seção veremos uma maneira mais prática de calcular potenciação de números complexos dessa vez representando o número complexo na forma trigonométrica Ela é chamada de primeira fórmula De Moivre Após o estudo inicial das operações fundamentais com números complexos vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo Vamos relembrar Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para Sem medo de errar U1 Números complexos 31 estimular o que os alunos aprendem você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de interpretar geometricamente as operações de adição e subtração com números complexos no plano de ArgandGauss Descreva em detalhes as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção Assim como explicado na seção anterior represente dois números complexos por vetores no plano de ArgandGauss digamos z i 1 2 4 e z i 2 6 Depois faça a translação do vetor z1 fazendo com que a origem dele coincida com a extremidade de z2 Para isso com a ferramenta Vetor a partir de um ponto selecionada clique em z1 e depois na extremidade de z2 não necessariamente na ordem descrita Desse modo a solução geométrica de z z i 1 2 4 5 é dada pelo vetor que tem como origem o ponto 0 0 e extremidade igual à do vetor z1 transladado Durante a construção é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela Também é interessante incluir na janela de visualização dois campos de Texto para a exibição dos vetores z1 z2 e z z 1 2 na forma algébrica Ao final você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir na qual os vetores u v b w e c representam o número complexo z1 o número complexo z2 a translação de z1 a translação de z2 e o número complexo z z 1 2 respectivamente Figura 17 Imagem obtida por captura de tela na representação dos vetores correspondentes aos números complexos z i 1 2 4 z i 2 6 e z z i 1 2 4 5 pelo software GeoGebra Fonte elaborada pelo autor adaptada de GeoGebra versão 6033740offline U1 Números complexos 32 Note que se ao invés de transladar o vetor z1 tivéssemos transladado o vetor z2 seguindo o mesmo procedimento o resultado seria o mesmo Desse modo os quatro vetores formam no plano complexo um paralelogramo e é por isso que esse procedimento é conhecido por Regra do paralelogramo Agora com a ferramenta Mover selecionada é possível manipular z1 e z2 e verificar que a ideia da construção para z z 1 2 é mantida para quaisquer números complexos z1 e z2 Já para o caso da subtração basta lembrar que z z z z 1 2 1 2 e proceder de maneira semelhante Dessa vez ao invés de z2 devemos representar seu oposto z2 Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no site httpswwwgeogebraorgdownload Acesso em 18 out 2017 Também é possível realizar essa construção online ou seja sem a instalação do software no computador utilizando o endereço httpswwwgeogebraorgapps Acesso em 18 out 2017 Algumas propriedades dos números complexos Descrição da situaçãoproblema Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio que está estudando os números complexos especificamente as propriedades operatórias da adição da multiplicação e do conjugado desses números Considere que em uma das aulas você propôs aos alunos que demonstrassem a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição mas muitos deles demonstraram dificuldade De modo geral eles se confundem nas etapas em que é preciso remanejar termos para chegar à expressão final Que tal elaborar um plano de aula com o objetivo de proporcionar uma apreensão significativa das demonstrações matemáticas envolvendo as propriedades operatórias dos números complexos Resolução da situaçãoproblema Ao definir as operações de adição e multiplicação com números complexos é possível verificar algumas propriedades que facilitam cálculos envolvendo esses números Avançando na prática U1 Números complexos 33 Vamos listar algumas delas válidas para todo z1 z2 e z3 em 1 Associativa da adição z z z z z z 1 2 3 1 2 3 2 Associativa da multiplicação z z z z z z 1 2 3 1 2 3 3 Comutativa da adição z z z z 1 2 2 1 4 Comutativa da multiplicação z z z z 1 2 2 1 5 Distributiva da multiplicação em relação à adição z z z z z z z 1 2 3 1 2 1 3 6 Propriedades do conjugado a z z z 2 Re b z z z i 2 Im c z z z d z z z z 1 2 1 2 e z z z z 1 2 1 2 Para demonstrar a propriedade 5 proposta na descrição da situaçãoproblema vamos utilizar de maneira recursiva a definição de multiplicação a bi c di ac bd ad bc i z z 1 2 Vejamos z z z a bi c di e fi a bi ce df cf de 1 2 3 i a ce df b cf de a cf de b ce df i ace adf bcf bde acf ade bce bdf i ac bd e ad bc f ac bd f ad bc e i ac bd ad bc i e fi z z z 1 2 1 3 z Agora elabore um plano de aula para arquivar a demonstração dessa e de outras propriedades Se julgar conveniente ao invés de utilizar a forma algébrica z a bi você pode representar o número complexo por um par ordenado de números reais a b como foi sugerido por Hamilton no item Pesquise mais desta unidade Faça valer a pena 1 Dados dois números complexos z1 a bi e z2 c di com z2 0 para realizar a divisão entre z1 e z2 devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador ou seja z1z2 z1 z2 z2 z2 Com base nisso assinale a alternativa que contém o valor de a para que o resultado da divisão 3 2i a i seja real a 23 b 32 c 1 d 12 e 13 2 Sabemos que para realizar uma divisão com números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador Então considere um número complexo na forma algébrica z a bi Considere ainda que z 0 assim seu conjugado z também é diferente de zero Assinale a alternativa que contém o inverso multiplicativo de Z que pode ser indicado por z1 ou 1z tal que 1z z 1 a za² b² b z²a² b² c za b² d za b e za² b² 3 Uma equação quadrática ax² bx c 0 tal que Δ b² 4ac 0 só admite solução no conjunto dos números complexos ℂ pois nele consideramos i 1 Nesse caso a solução é dada por um par de números complexos conjugados Assinale a alternativa que contém o par de números complexos conjugados que é solução da equação x² 4x 5 0 a 2 i e 2 i b 2 i e 2 i c 1 2i e 1 2i d 2 i e 2 i e 2 i e 2 i U1 Números complexos 35 Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo Conforme estudamos nas seções anteriores os números complexos podem ser representados de várias formas Até agora vimos a forma algébrica z x yi e a forma geométrica por meio de um par ordenado de números reais x y que são as coordenadas cartesianas do ponto z Foi Jean Robert Argand 17681822 e Karl Friedrich Gauss 17771855 que de forma independente e em épocas distintas tiveram a mesma ideia para a representação geométrica e só usavam a notação x y É por isso que o plano complexo é conhecido por plano de ArgandGauss BOYER 1974 Mas qual é a vantagem em representar geometricamente um número complexo no plano Veja um trecho extraído do livro Introdução à história da matemática de Howard Eves A simples ideia de considerar as partes real e imaginária de um número complexo como as coordenadas retangulares de um ponto do plano fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade com os números imaginários pois esses números podiam agora ser efetivamente visualizados no sentido de que a cada número complexo corresponde um único ponto do plano e viceversa Ver é crer e ideias anteriores sobre a não existência e o caráter fictício dos números imaginários foram geralmente abandonadas EVES 2004 Ainda respondendo à pergunta anterior o conjunto dos números reais representa em sua totalidade e geometricamente uma reta à qual podemos associar apenas dois parâmetros um sentido e a distância dos pontos até a origem Já os números complexos por sua vez representam todo um plano Nesse caso a principal vantagem é que no plano de ArgandGauss podemos associar a cada número complexo um segmento ao qual é possível determinar o comprimento e o ângulo formado com o eixo das abscissas Nesta seção veremos Seção 13 Diálogo aberto U1 Números complexos 36 que esses parâmetros que são as coordenadas polares do ponto z permitem representar um número complexo na forma trigonométrica ou forma polar E falando em comprimento e ângulo de um segmento vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular o que os alunos aprendem você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de explorar novamente a interpretação geométrica dessa vez relacionada à ideia de rotação de um ponto no plano de ArgandGauss Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse objeto com base nos conteúdos desta seção Uma maneira de fazer isso é por meio de um plano de aula contendo o passo a passo da construção desse objeto utilizando sempre que possível imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra Módulo de um número complexo Vamos considerar um número complexo z a bi cuja representação geométrica é o ponto P a b no plano de ArgandGauss Consideramos ainda um segmento OP tal que O é a origem do plano Desse modo podemos calcular o comprimento de OP e o ângulo formado entre ele e o eixo real no sentido antihorário Em linguagem vetorial o comprimento do segmento OP é chamado de módulo do número complexo z o qual indicamos por z Já o ângulo a tal que 0 2 α π é chamado de argumento de z o qual indicamos por arg z Fonte elaborada pelo autor Figura 18 Módulo e argumento de um número complexo Z trigonométrico Não pode faltar U1 Números complexos 37 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 19 Módulo de z i 3 4 Figura 110 Módulo de z i 5 3 Para o comprimento vamos adotar que a unidade de medida é a mais intuitiva ou seja a unidade que separa dois números inteiros consecutivos de cada eixo Utilizando o teorema de Pitágoras podemos calcular o comprimento de OP OP a b z a b 2 2 2 2 2 Veja alguns exemplos z i 3 4 z 3 4 25 5 2 2 O segmento OP mede 5 unidades z i 5 3 z 5 3 34 2 2 O segmento OP mede 34 unidades U1 Números complexos 38 Ainda em relação ao módulo de um número complexo temos algumas propriedades z z z 2 z z z z z z 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 com z2 0 ¹ A demonstração de cada uma delas fica como exercício Forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo Agora vamos relacionar o módulo de z com o ângulo formado entre OP e o eixo real no sentido antihorário ou seja o argumento de z Fonte elaborada pelo autor Figura 111 Triângulo retângulo obtido pelo ponto P a b Já deve ser do seu conhecimento que cos cos a a a z a z sen sen b b z z α α Substituindo esses valores na forma algébrica z a bi temos z a bi z z i z i cos sen cos sen a a a a Portanto z z i cos sen a a Essa representação é chamada de forma trigonométrica ou forma polar do número complexo z U1 Números complexos 39 Multiplicação divisão e potenciação de números complexos na forma trigonométrica Vamos estudar algumas operações com números complexos na forma trigonométrica Antes porém vamos relembrar duas fórmulas de transformação Seno da soma e da diferença sen sen cos sen cos a b a b b a I sen sen cos sen cos a b a b b a II Cosseno da soma e da diferença cos cos cos sen sen a b a b a b III cos cos cos sen sen a b a b a b IV Agora considere os números complexos z1 e z2 z z i 1 1 1 1 cos sen a a z z i 2 2 2 2 cos sen a a O produto z z 1 2 é dado por z z z i z i z z i 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 cos sen cos sen cos cos co α α α α α α s sen sen cos sen sen cos cos sen s α α α α α α α α α 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 i i z z en cos sen sen cos α α α α α 2 1 2 1 2 i Fazendo a substiutição das fórmulas de transformação I e III fica z z z z i 1 2 1 2 1 2 1 2 co s sen α α α α Portanto o produto de dois números complexos z1 e z2 escritos na forma trigonométrica é o número complexo z z 1 2 cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores reduzida à primeira volta isto é 0 2 1 α π e 0 2 2 α π Em outras palavras basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos De maneira recursiva podemos generalizar para n os números complexos z z z z z z z z i n n n 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 cos sen a a a a a a2 3 a a n Considerando z z z z zn 1 2 3 e consequentemente a a a a a 1 2 3 n essa fórmula nos levará à potenciação de números complexos na forma trigonométrica z z z z z z z z z i n cos sen a a a a a a a a U1 Números complexos 40 Assimile Portanto z z n i n n n cos sen a a Então podemos dizer que a potência de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do número multiplicado por n reduzido à primeira volta isto é 0 2 α π Em outras palavras basta calcular a potência dos módulos e somar seus argumentos Para um número complexo na forma trigonométrica z z i cos sen a a a potência zn n Î é dada por z z n i n n n cos sen a a Essa relação é conhecida como 1ª fórmula de De Moivre De maneira semelhante à demonstrada para a multiplicação e a partir da substituição das fórmulas de transformação II e IV podemos mostrar que o quociente z z 1 2 com z2 0 é dado por z z z z i 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sen a a a a Outra maneira de mostrar essa relação é verificar que o produto entre z2 e a expressão z z i 1 2 1 2 1 2 cos sen a a a a é igual a z1 Escolha um desses métodos e faça a demonstração mencionada Portanto o quociente de dois números complexos z1 e z2 escritos na forma trigonométrica é o número complexo z z 1 2 cujo módulo é igual ao quociente dos módulos e cujo argumento é igual à diferença dos argumentos reduzida à primeira volta isto é 0 2 1 α π e 0 2 2 α π Em outras palavras basta dividir os módulos e subtrair seus argumentos U1 Números complexos 41 Exemplificando Reflita Considerando os números complexos z a bi e w c di como pontos no plano a definição de módulo nos permite estabelecer algumas conexões interessantes com a Geometria analítica Uma delas é que o módulo da diferença entre esses pontos representa a distância entre eles z w d z w c a d b 2 2 Você deve saber que as imagens na tela de um computador ou televisão são formadas por pequenos pontos chamados pixels Se a imagem de resolução da tela é 800 x 600 pixels por exemplo ela tem 800 600 480 000 pixels organizados em 800 colunas e 600 linhas Quando essa imagem é refletida rotacionada ou sua escala é alterada na verdade está mudando a posição dos pixels que a formam Basicamente essas transformações se resumem a quatro rotação reflexão escala e translação Podemos considerar esses pixels como sendo pontos de um plano cartesiano A rotação de um ponto no plano por exemplo é uma interessante aplicação da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica pois multiplicamse os módulos e somam se os argumentos Em outras palavras se um ponto a b deve ser rotacionado no plano de ArgandGauss em relação à origem em a graus no sentido antihorário basta multiplicar o número complexo a bi pelo complexo 1 cos sen a a i Considerando por exemplo os números complexos s s z i 1 3 30 30 co en e s s z i 2 1 90 90 co en e calculando z z 1 2 temos z z i i 1 2 3 30 30 1 90 90 3 1 cos sen cos sen cos sen cos sen 30 90 30 90 3 120 120 i i Veja que o número complexo z z i 1 2 3 120 120 cos sen possui módulo igual ao de z1 pois z2 1 Além disso como o argumento de z z 1 2 é a soma dos argumentos de z1 e z2 a representação geométrica de z z 1 2 é igual à de z1 rotacionada 90em torno da origem no sentido antihorário U1 Números complexos 42 Pesquise mais Fonte elaborada pelo autor Figura 112 Representação geométrica da rotação de Z1 3 cos30 i sen30 em torno da origem no sentido antihorário pela multiplicação por Z2 1 cos90 i sen90 De modo geral se um ponto P representa um número complexo z1 no plano de ArgandGauss para rotacionarmos ele em a graus em torno da origem no sentido antihorário multiplicamos z1 pelo número complexo z i 2 cos sen a a Os números complexos surgiram como uma das maiores contribuições ao desenvolvimento da Álgebra Em algum momento da História da Matemática notouse que para resolver equações que envolvessem raízes quadradas de números negativos somente os números reais não eram suficientes e portanto algo a mais era necessário A partir de Cardano muitos foram os anos de estudos com contribuições de diversos matemáticos como a formalização rigorosa de Gauss até surgirem os números complexos e toda a teoria matemática que estudamos até aqui Além de possuírem grande aplicação na área da Matemática em que são estudados em geometria analítica álgebra linear etc sem a presença deles hoje seria impossível imaginar o desenvolvimento de algumas áreas como engenharia aerodinâmica mecânica dos fluidos física quântica eletromagnetismo relatividade teoria do caos dentre outras No link httpwwwimeunicampbrftorresENSINOMONOGRAFIAS NC2pdf acesso em 18 out 2017 você pode consultar um tópico específico com algumas aplicações dos números complexos mesmo que não tão imediatas ou simples o que não minimiza a importância desse assunto Sem medo de errar Após o estudo da forma trigonométrica ou forma polar de um número complexo vamos retomar a situação hipotética apresentada no Convite ao estudo Vamos relembrar Suponhamos que você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira Para estimular o que os alunos aprendem você deve produzir um objeto virtual interativo com o objetivo de interpretar a ideia de rotação de um ponto no plano de ArgandGauss como apresentado no item Exemplificando Com base nisso descreva em detalhes as etapas de elaboração dessa representação com o auxílio do GeoGebra Por exemplo para rotacionar um ponto P correspondente ao número complexo z1 12i defina esse número digitando 12i no campo Entrada Em seguida represente o vetor associado a ele Em seguida utilizando a ferramenta Controle Deslizante a² crie o ângulo a com intervalo de variação de 0º a 360º Depois defina o número complexo z2 1cosα i senα digitando 1cosa isina no campo Entrada Por fim você vai definir o número complexo z3 digitando z1z2 no campo Entrada Modifique as propriedades dos pontos para exibir o nome e o valor Também é importante representar os vetores associados a z2 e z3 além do ângulo formado entre z1 e z2 Agora é possível mover o controle deslizante e verificar que o número z2 1cosα i senα é responsável por rotacionar o número z1 12i em torno da origem no sentido antihorário O resultado argumento de z3 corresponde ao ângulo de rotação também exibido no controle deslizante Para verificar que essa rotação é válida para qualquer ponto basta mudar a posição do número complexo z1 com a ferramenta Mover selecionada Durante a construção é importante utilizar várias imagens obtidas por captura da tela Ao final você deverá obter uma figura como exemplificada a seguir na qual temos a representação dos vetores correspondentes aos números complexos z1 12i z2 1cos76º i sen76º 024 097i e z3 z1z2 218 049i U1 Números complexos 44 Fonte elaborada pelo autor a partir de GeoGebra versão 6033740offline Figura 113 Imagem obtida por captura de tela do software GeoGebra na representação da rotação do vetor Z1 de acordo com o ângulo indicado no controle deslizante Que tal descrever com mais detalhes e utilizando várias imagens obtidas por captura de tela O GeoGebra está disponível gratuitamente para download no site disponível em httpswwwgeogebraorg download Acesso em 18 out 2017 para computadores tablets e celulares Também é possível realizar essa construção online ou seja sem a instalação do software no computador utilizando o endereço httpswwwgeogebraorgapps Acesso em 18 out 2017 Agora que você elaborou três objetos virtuais com o objetivo de explorar os conceitos estudados nas respectivas seções desta unidade sistematize a sucessão de três planos de aula em um único arquivo sugerindo o aproveitamento de um objeto para a construção do seguinte Durante esse processo você pode aproveitar para explorar outras propriedades dos números complexos Segunda fórmula de De Moivre Descrição da situaçãoproblema Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino médio que está estudando a forma trigonométrica ou polar dos Avançando na prática números complexos especificamente a primeira fórmula de De Moivre Considere que em uma das aulas você propôs aos alunos que pesquisassem e demonstrassem a segunda fórmula de De Moivre mas muitos deles demonstraram dificuldade De modo geral eles se confundem nas operações envolvendo módulo e argumento de um número complexo na forma trigonométrica Que tal elaborar um plano de aula com o objetivo de proporcionar uma apreensão significativa dessa fórmula Resolução da situaçãoproblema A 1ª fórmula de De Moivre permite calcular a potência zn n N para um número complexo na forma trigonométrica z zcosα i senα por meio da seguinte relação zn zncosnα i sennα Já a 2ª fórmula de De Moivre está relacionada com a radiciação de números complexos na forma trigonométrica Vamos calcular a raiz enésima z n N ou seja z zcosα i senα Calcular essa raiz significa determinar um número complexo W tal que wn z isto é wn wcosβ i senβ então wn z wn wcosβ i senβ zcosα i senα Ora podemos utilizar a 1ª fórmula de De Moivre no primeiro membro que fica wncosβ i senβ zcosα i senα Chegamos então em uma igualdade de números complexos na forma algébrica Para que a igualdade seja verdadeira é preciso que os módulos sejam iguais e os argumentos sejam ângulos congruentes Então w z w z nβ α 2kπ β α 2kπn com k Z Com isso podemos reescrever a seguinte igualdade agora com W em função de k wk zcosα 2kπn i senα 2kπn Que é conhecida como 2ª fórmula de De Moivre Analisando os valores de k podemos verificar que os valores de wk começam a se repetir após k n1 pois recaem em argumentos congros Portanto qualquer número complexo Z não nulo admite n raízes distintas uma para cada valor de k variando de 0 a n1 Que tal agora elaborar um plano de aula para arquivar essa demonstração Nele você também poderá elaborar e responder a algumas questões sugeridas para o aluno por exemplo para determinar e interpretar 1i Faça valer a pena 1 Um número complexo Z pode ser representado na forma algébrica z a bi na forma geométrica ab ou na forma trigonométrica z zcosα i senα em que z é o módulo de Z e α é o argumento de Z Assinale a alternativa que contém os números complexos z1 2cosπ4 i senπ4 e z2 8cos7π6 i sen7π6 na forma algébrica e geométrica a z1 2 i2 e z2 43 4i 24 e 434 b z1 2 i2 e z2 43 4i 22 e 434 c z1 2 i2 e z2 43 4i 22 e 434 d z1 2 i2 e z2 43 4i 22 e 434 e z1 22 i2 e z2 43 4i 22 e 434 2 Considere os seguintes subconjuntos de C I S1 z C z 4 II S2 z C z i 1 III S3 z C z1 3 E as seguintes circunferências ou círculos no plano de ArgandGauss a Fonte elaborada pelo autor Assinale a alternativa que contém a associação entre o subconjunto de C e a sua representação geométrica com a letra e o símbolo romano correspondente a I A II B III C b I B II A III C c I B II C III A d I A II C III B e I C II B III A U1 Números complexos 48 3 No plano de ArgandGauss representado na figura a seguir os pontos A e B representam os afixos dos números complexos z1 e z2 Assinale a alternativa que contém o módulo do produto entre os conjugados de z1 e z2 ou seja z 1 z 2 a 10 b 6 c 10 d 4 5 e 8 2 Fonte elaborada pelo autor Representação dos pontos A e B associados aos números complexos z1 e z2 respectivamente BOYER Carl Benjamin História da matemática Tradução de Elza F Gomide São Paulo Edgard Blucher 1974 EVES Howard Introdução à história da matemática Tradução de Hygino H Domingues Campinas Editora da Unicamp 2004 IEZZI Gelson et al Fundamentos de matemática elementar complexos polinômios equações São Paulo Atual 1993 v 6 ROQUE Tatiane História da matemática Zahar 2012 Disponível em httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788537809099cfi6244462200 Acesso em 18 out 2017 Referências Séries Convite ao estudo Um engenheiro utiliza modelos matemáticos para estudar fenômenos e projetos em sua rotina de trabalho Os modelos matemáticos permitem que o engenheiro simule a realidade adquirindo conhecimento sobre sistemas reais de forma muito mais prática e barata Tais modelos matemáticos podem ser por exemplo funções matemáticas ou equações diferenciais Nesta unidade você estudará séries séries de potências Taylor MacLaurin séries de Fourier e como aplicar séries de Fourier na resolução de uma determinada classe de equações diferenciais Para relacionar esses tópicos com sua atividade profissional suponha que você foi contratado como consultor para uma empresa que produz softwares técnicocientíficos para engenheiros Neste projeto você deverá apresentar a fundamentação teórica para problemas de aproximação numérica de funções por meio de séries e polinômios de Taylor Este estudo teórico será utilizado para construir o códigofonte do software Em algumas situações práticas o usuário do software deverá inserir uma precisão préespecificada no programa dentro da qual a aproximação numérica será válida Por exemplo suponha que no caso das funções sen f x x cos f x x ou x f x e queiramos determinar o valor de algumas dessas funções em um determinado ponto 0 x x com um determinado número de casas decimais corretas Como proceder Esse é um tipo de problema que você estudará nesta unidade Outro problema que você estudará nesta unidade é o problema de obter a solução aproximada por meio das séries de Fourier para equações diferenciais que modelam circuitos elétricos sujeitos a uma força eletromotriz E t Unidade 2 Vejamos a seguir de forma sucinta o que será tratado em cada seção desta unidade Na primeira seção apresentaremos a definição do que é uma série e os principais testes para verificar se uma série é convergente Em seguida estudaremos um tipo específico de série as séries de potências e logo na sequência estudaremos as séries de Taylor e de MacLaurin Finalmente na última subseção desta primeira seção trataremos dos polinômios de Taylor e de seu uso na aproximação numérica de valores de funções com uma precisão prédefinida Na segunda seção desta unidade estudaremos as séries de Fourier sua definição sob quais condições esses tipos de séries convergem a determinação de séries de Fourier para funções pares ímpares e periódicas Por fim nesta seção ainda estudaremos a forma complexa das séries de Fourier Na terceira e última seção desta unidade veremos como aplicar o que aprendemos sobre séries de Fourier para determinar solução de equações diferenciais bastante usadas na engenharia U2 Séries 53 Séries séries de potências séries de Taylor e MacLaurin Muitos problemas da Engenharia e da Tecnologia não possuem uma fórmula fechada para a solução Em Matemática quando não temos uma fórmula fechada é impossível obter a resposta para o problema em questão simplesmente substituindo valores numéricos em uma fórmula Temos obrigatoriamente que utilizar métodos de aproximação o que é bastante comum em equações diferenciais a maior parte das equações diferenciais só pode ser resolvida por métodos aproximados Muitas vezes os engenheiros físicos matemáticos ou economistas modelam um problema usando uma equação diferencial Contudo não é possível determinar uma fórmula fechada para determinar a solução da equação diferencial Assim determinamos a solução apenas por meio de aproximações com alguma ferramenta numérica Uma das ferramentas mais usadas desde os tempos primórdios do cálculo diferencial e integral são as séries E aqui entramos na primeira seção desta unidade Apresentamos o que são as Séries na primeira subseção e os principais testes para decidir se uma série é convergente ou divergente teste da integral da comparação da raiz e da razão Na subseção seguinte tratamos das séries de potências um tipo particular de série Continuando na próxima subseção apresentamos as séries de Taylor e MacLaurin que formam a base teórica para tratar a aproximação de funções em problemas de engenharia e física Assim são particularmente importantes para seu trabalho como consultor da empresa de produção de softwares técnicos para uso de engenheiros Por fim na última subseção tratamos dos polinômios de Taylor e de seu uso na determinação de valores numéricos de funções como seno cosseno exponencial raízes e outras Seção 21 Diálogo aberto U2 Séries 54 Dentro do contexto do seu trabalho de consultoria para a empresa que vai produzir o software científico a ser utilizado por engenheiros e técnicos especializados você foi incumbido de apresentar os fundamentos teóricos de determinadas ferramentas matemáticas que serão adotadas por esse software Neste momento você foi encarregado de apresentar estudos sobre aproximação de funções por séries de Taylor e MacLaurin Dada a importância das funções seno e cosseno em fenômenos periódicos e problemas de condução do calor a questão que você deve investigar é como determinar até qual valor de x podemos aproximar a função sen x por um polinômio de Taylor de grau 5 com um erro menor que 5 10 Sugeriuse que para facilitar a visualização da convergência de polinômios de Taylor em relação à função seno você plote no mesmo plano cartesiano os polinômios de Taylor de graus 1 n n 3 n 5 n 7 e n 9 e o gráfico da função seno Para realizar tudo isso é necessário o estudo de alguns conceitos que vemos na sequência 1 Séries Você já estudou sequências numéricas e séries as progressões aritméticas PA e progressões geométricas PG são exemplos de sequências numéricas Para relembrar o conteúdo de sequências sugerimos a consulta aos capítulos sobre sequências em Stewart 2006 ou Guidorizzi 1997 Você também pode consultar videoaulas sobre sequências no vídeo disponível em em httpswwwyoutube comwatchvWXsYcWLr30 Acesso em 01 nov 2017 Se somarmos os termos de uma sequência infinita 1 n n a teremos o que se chama série infinita ou mais simplesmente série Costumase representar uma série com o símbolo somatório a letra grega sigma maiúscula 1 2 3 1 n n a a a a å ou excluindose os limites inferior e superior da soma escrevemos sucintamente åan Certamente se somarmos infinitos termos de uma sequência como 1 2 a 2 4 a 3 a 6 teremos a soma 2 4 6 que é infinita Assim não há interesse nesse tipo de somas Por outro lado você já efetuou somas de progressões geométricas por exemplo da Não pode faltar U2 Séries 55 sequência 1 2 n a n Aplicandose a fórmula da soma de PGs infinitas temos que 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 n n n n a å å Interessa portanto estudar se a soma de infinitos termos de uma sequência converge para um valor numérico ou não Para isso define se o que se chamam somas parciais de uma série Considere uma sequência 1 a 2 a 3 a n a Definimos as somas parciais 1 1 s a 3 1 2 3 s a a a 3 1 2 3 s a a a Em geral 1 2 3 1 n n n i i s a a a a a å A partir das somas parciais definese uma nova sequência sn A caracterização sobre a convergência da soma da série 1 i i a å é realizada a partir da sequência ns das somas parciais Assimile Definição convergência de séries STEWART 2006 seja a 1 i i a å e suas somas parciais 1 n n i i s a å A série 1 i i a å será denominada convergente se a sequência sn convergir ou seja se lim n n s s Dizemos que a soma da série é igual a S e escrevemos 1 i i a S å Se a sequência sn não convergir dizemos que a série 1 i i a å é divergente Um exemplo de série convergente é o da série geométrica constituída pela soma de infinitos termos de uma progressão geométrica com primeiro termo igual a 0 a e razão 1 q Para a PG 2 1 2 3 0 0 0 a a a a a q a q com razão 1 q vale que 1 0 1 0 1 i i a a q q å Se 1 q ³ a série geométrica será divergente U2 Séries 56 Note que antes de sair somando os termos de uma série devemos verificar se ela é convergente ou divergente Vejamos um primeiro teorema relativo à convergência de séries Teorema suponha que a série 1 i i a å seja convergente Então lim 0 n n a Com esse teorema se pudermos mostrar que o termo geral da série dado por n a tal que lim 0 n n a ¹ ou se lim n n a não existir então a série 1 i i a å é divergente Contudo se lim 0 n n a nada podemos afirmar sobre a convergência da série Reflita A série harmônica 1 1 n n å é divergente e é verdadeiro que lim 0 n n a Por que essas duas afirmações verdadeiras não contradizem o teorema anterior Duas séries convergentes podem ser somadas ou subtraídas termo a termo ou podemos multiplicar cada termo por uma constante resultando em outras séries também convergentes Esse resultado vem exposto no próximo teorema Teorema considere as séries convergentes 1 i i a å e 1 i i b å e c um número real Então também serão convergentes as séries 1 i i ca å 1 i i i a b å e 1 i i i a b å e vale que 1 1 i i i i ca c a å å 1 1 1 i i i i i i i a b a b å å å e 1 1 1 i i i i i i i a b a b å å å Vejamos agora três testes de convergência de séries o teste da comparação o teste da razão e o teste da raiz O teste da comparação é usado quando temos informação sobre a convergência ou divergência de uma série e sabemos ainda que cada termo seu é sempre maior ou menor que outra série Teste de comparação sejam as séries 1 n n a å e 1 n n b å em que 0 n a ³ e 0 n b ³ U2 Séries 57 Então i Se n n a b e a série 1 n n b å convergir então a série 1 n n a å também será convergente ii Se n n a ³ b e a série 1 n n b å divergir então a série 1 n n a å também será divergente Convergência absoluta condicional e séries alternadas Não existem apenas séries nas quais todos os termos sejam positivos Podem existir séries nas quais existam termos positivos e negativos São as chamadas séries alternadas Um exemplo de série alternada é a harmônica alternada 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 n n n å A partir do conceito de séries alternadas faz sentido falar em convergência em módulo ou convergência absoluta Assimile Definição série absolutamente convergente STEWART 2006 a série 1 n n a å é absolutamente convergente se a série 1 n n a å for convergente Definição série condicionalmente convergente a série 1 n n a å é condicionalmente convergente se a série 1 n n a å for convergente mas a série 1 n n a å não convergir A série harmônica alternada é um exemplo de série condicionalmente convergente mas que não é absolutamente convergente Para algumas séries podemos determinar sua convergência absoluta ou divergência usando os testes da razão e da raiz a seguir Teste da razão STEWART 2006 Seja a série 1 n n a å e 1 lim n n n a K a Então existem três possibilidades i Se 1 K então a série 1 n n a å converge absolutamente ii Se 1 K ou se K então a série 1 n n a å é divergente iii Se 1 K então nada podemos concluir pelo teste da razão sobre a convergência ou divergência da série 1 n n a å U2 Séries 58 Assimile Teste da raiz STEWART 2006 Seja a série 1 n n a å e lim n n n K a Três situações podem ocorrer i Se 1 K então a série 1 n n a å converge absolutamente ii Se 1 K ou se K então a série 1 n n a å é divergente iii Se 1 K então nada podemos concluir pelo teste da raiz Destacamos que se o limite do teste da razão 1 lim n n n a K a for igual a 1 então você não deve tentar o teste da raiz pois o limite lim n n n K a também será igual a 1 O teorema a seguir é específico para testar convergência de séries alternadas Teorema de Leibniz para séries alternadas STEWART 2006 Uma série alternada 1 1 2 3 4 5 1 1 n n n a a a a a a å é convergente se as condições a seguir forem atendidas i Todos os na são positivos ii Para todo 0 n ³ n vale que 1 n n a ³ a iii lim 0 n n a 2 Séries de potências Existe um tipo particular de série bastante importante em aplicações de engenharia e física São as séries de potências Veja a definição a seguir Definição série de potências STEWART 2006 Sejam 0 a 1a 2 a 3 a números reais A série representada por 0 i i i a x å é denominada série de potências centrada em x 0 Já a série de potências 0 0 i i i a x x å é uma série de potências centrada em 0 x x U2 Séries 59 Nós já vimos um exemplo de série de potências É a série geométrica Seja 1 x isto é 1 1 x Se fizermos todos os coeficientes 0 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a na série 0 i i i a x å então teremos uma série geométrica convergente 2 3 4 0 1 i i x x x x x å Da fórmula para soma infinita de uma PG temos que 2 3 4 0 1 i i x x x x x å 2 3 4 0 1 1 1 i i x x x x x x å Esta igualdade é válida para 1 x Ou seja para 1 x a série acima possui uma fórmula fechada e pode ser escrita como a função 1 1 f x x Em outras palavras podemos escrever que 2 3 4 0 1 1 1 i i f x x x x x x x å Uma série de potências pode convergir apenas em um único ponto pode convergir para todo x real ou ainda convergir em um intervalo real Associado a toda série de potências existe um número real 0 R denominado raio de convergência É o que vemos no próximo resultado Teorema convergência de série de potências STEWART 2006 Considere a série de potência 0 0 i i i a x x å Então pode ocorrer apenas uma dentre as possibilidades a seguir i a série será convergente para 0 x x Dizse neste caso que o raio de convergência é 0 R ii a série converge para todo x tal que 0 x x R com R Î R 0 e a série diverge para 0 x x R iii a série converge para todo x real Neste caso dizemos que o raio de convergência é R Destacamos que no caso ii se 0 x x R ou 0 x x R ou seja se estivermos em um dos extremos do intervalo de convergência a série pode convergir nos dois extremos pode divergir nos dois extremos ou pode convergir em um dos extremos e divergir no outro Os testes da razão e da raiz nunca são conclusivos nos extremos do intervalo de convergência de uma série de potências U2 Séries 60 Pesquise mais No link abaixo você encontrará videoaulas sobre séries de potências apresentadas pelo Prof Dr Cláudio Possani do IMEUSP É um ótimo complemento para esse assunto Disponível em httpeaulas uspbrportalvideoactionidItem7017 Acesso em 01 nov 2017 Séries de potências podem ser derivadas ou integradas para valores de x dentro do raio de convergência da série Temos os teoremas Teorema derivação e integração de séries de potências Suponha que a série de potências 0 0 i i i a x x å tenha raio de convergência R 0 Então a função 0 0 i i i f x a x x å pode ser derivada termo a termo para todo x tal que 0 x x R e vale que 1 0 0 i i i f x ia x x å Também vale que a função 0 0 i i i f x a x x å pode ser integrada termo a termo para todo x tal que 0 x x R e vale que 1 0 0 0 1 i x i i a x x f x dx C i å ò Seja a série de potências 2 3 4 0 1 1 1 i i f x x x x x x x å Podemos derivála termo a termo 1 2 3 4 2 0 1 1 2 3 4 5 1 i i f x ix x x x x x å 3 Séries de Taylor e MacLaurin Acabamos de estudar séries de potências e vimos que é possível representar funções por meio de séries de potências As funções que podem ser representadas por séries de potências são extremamente importantes para os engenheiros e físicos São tão importantes que recebem um nome especial são as séries de Taylor Sobre essas séries vale o teorema a seguir Teorema STEWART 2006 sempre que uma função f x puder ser escrita como uma série de potências 0 0 n n n a x x å em torno do ponto U2 Séries 61 0x com raio de convergência R ou seja 0 0 n n n f x a x x å com a série convergindo para 0 x x R então os coeficientes da série serão dados por 0 n n f x a n em que 0 f n x representa a nésima derivada da função f calculada no ponto 0x e n representa o fatorial no número natural n Se f possui expansão em série de potências convergente para 0 x x costumase escrever 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 n n n f x f x f x f x f x x x f x x x x x x x n å Essa expansão é chamada de série de Taylor da função f em torno de 0x Se o ponto 0x for a origem ou seja se 0 0 x a série de Taylor fica 2 0 0 0 0 0 1 2 n n n f f f f x x f x x n å e recebe o nome de série de MacLaurin Exemplificando Vejamos como obter a série de MacLaurin para x f x e Por ser uma série de MacLaurin então 0 x 0 Todas as derivadas de ordem n de x f x e são iguais a n x f x e Tais derivadas calculadas em 0 x 0 são iguais a 0 0 1 f n e Então a série de MacLaurin de x f x e será 2 3 0 0 0 1 1 1 2 3 n n n x n n f x x x x x e n n å å 4 Polinômios de Taylor Podemos representar funções como exponencial seno cosseno logaritmo dentre outras em termos de sua série de Taylor ou MacLaurin Contudo isso não é prático pois teremos que lidar com uma soma infinita Muitas vezes queremos representar uma função por uma soma finita de sua série de Taylor que recebe o nome de polinômio de Taylor U2 Séries 62 Assimile Definição polinômio de Taylor de grau n STEWART 2006 Seja f x uma função que possui no ponto 0 x x derivadas até ordem n Então o polinômio de grau n 0 0 0 i n i n i f x T x x x i å 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 n n f x f x f x f x x x x x x x n é denominado polinômio de Taylor de grau n para a função f x A figura a seguir desenvolvida no software GeoGebra para baixá lo acesse o site GioGebra Disponível em httpswwwgeogebra org Acesso em 01 nov 2017 apresenta o gráfico da função seno e dos polinômios de Taylor para a função seno 1 T x x 3 3 3 x T x x e 3 5 5 3 5 x x T x x Conforme aumentamos o grau do polinômio de Taylor a convergência fica cada vez melhor para valores cada vez mais distantes de 0 0 x Por outro lado à medida que aumentamos o grau do polinômio de Taylor são necessários mais cálculos É mais trabalhoso calcular um polinômio de grau 5 do que um polinômio de grau 3 Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Gráficos dos polinômios de Taylor para a função seno f de graus 1 g 3 h e 5 p Quando a função f x pode ser representada em termos de uma série de Taylor no ponto 0 x x também se define a função resto de ordem de f no ponto 0 x x É a definição a seguir U2 Séries 63 Exemplificando Assimile Definição Resto de ordem n da função f no ponto 0 x x STEWART 2006 Seja f x uma função que possui no ponto 0 x x derivadas até ordem n Então a função pode ser escrita como n n f x T x R x onde n T x é o polinômio de grau n para a função f x e Rn x recebe o nome de resto de ordem n de f x no ponto 0 x x O resultado a seguir é de extrema importância para aproximações numéricas de funções com n derivadas Teorema Sejam C e L Î Suponha que seja válida a desigualdade f n 1 x C para todo x tal que 0 x x L Então a função Resto da série de Taylor de ordem n atende à desigualdade 1 0 1 n n C R x x x n para todo x tal que 0 x x L Com esse teorema podemos obter aproximações para uma função com uma precisão prefixada Nesse exemplo veremos como utilizar o teorema para desigualdade do resto da série de Taylor para obter uma aproximação de e base dos logaritmos neperianos com quatro casas decimais de precisão Para isso faremos a expansão em série de MacLaurin da função x f x e Lembremos que a expansão em série de MacLaurin para x f x e é 2 3 0 0 0 1 1 1 2 3 n n n n x n n f x x x x x x e n n n å å Como queremos aproximar o número e tomamos 1 x e nosso problema é determinar para qual n a aproximação a 2 3 1 1 1 2 3 n x x x x e n está correta com cinco casas decimais Queremos determinar o valor n tal que o resto da série de Taylor atenda à desigualdade 000005 Rn x U2 Séries 64 Substituindo 1 x na fórmula do resto teremos 1 1 1 0 1 1 n n C C R n n O valor C é uma quantidade que majora a derivada de ordem n1 da função x f x e no intervalo 01 no qual queremos aproximar a função Como esta função é crescente neste intervalo seu valor máximo é o próprio número e Como essa é o número que queremos aproximar não podemos utilizálo Mas sabemos que e é limitado superiormente por 3 Então 3 1 1 1 n e R n n Queremos n tal que 3 1 000005 1 Rn n O que é equivalente a resolver a inequação 1 60000 n ³ O menor n que atende a essa exigência é n 8 Portanto 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 271828 1 2 3 4 5 6 7 8 e Vamos relembrar a situaçãoproblema desta seção Neste ponto do seu trabalho de consultoria você deve mostrar como determinar o maior valor de x para o qual podemos substituir a função sen x por um polinômio de Taylor de grau 5 com um erro menor que 5 10 Para facilitar a visualização da aproximação de uma função pelos seus polinômios de Taylor também foi solicitado que você apresentasse em um mesmo plano cartesiano os gráficos de sen x e dos polinômios de Taylor de graus 1 n 3 n 5 n 7 n e 9 n Para tratar essa situação em primeiro lugar precisamos dos polinômios de Taylor da função seno dos graus solicitados Temos que as derivadas da função seno na origem são 10 1 sen 30 1 sen 50 1 sen 70 1 sen e 90 1 sen O polinômio de grau n para a função seno é 3 5 7 9 3 5 7 9 n x x x x P x x Como a questão solicita fornecermos até qual valor de x podemos substituir seno pelo polinômio de Taylor de grau 5 com erro menor que 5 10 queremos determinar o valor de x que atende a desigualdade Sem medo de errar U2 Séries 65 7 10 5 7 x Na desigualdade anterior observe que o valor n1 seria igual a 6 Contudo como neste exemplo específico que estamos tratando a derivada é nula passamos para o próximo termo da série Resolvendo a desigualdade anterior 7 7 5 5 7 710 710 00504 06526 x x Û No gráfico a seguir plotamos a função seno e os gráficos dos polinômios de Taylor para o seno até grau 9 Pesquise mais Fica a sugestão para você consultar e manusear o objeto disponível no site GeoGebra Disponível em httpswwwgeogebraorgmpyXKjfq2 Acesso em 01 nov 2017 Com ele você poderá experimentar vários graus para os polinômios de Taylor para a função seno o que facilitará muita a sua compreensão Neste vídeo comentam a construção de um objeto semelhante a esse e é dado destaque à diferença entre a série e a função Disponível em httpsyoutube6cdRYPJuEg Acesso em 01 nov 2017 Fonte elaborada pelo autor Figura 22 Comparação entre a função sen x e os polinômios de Taylor até grau 9 sin f x x g x x 5 3 120 6 x x p x x 5 3 120 6 x x p x x 7 5 3 5040 120 6 x x x q x x 9 7 5 3 362880 5040 120 6 x x x x r x x U2 Séries 66 Agora que você realizou essa etapa sintetize os resultados obtidos e envie na forma de um relatório técnico para a equipe de desenvolvimento do software Usando o teste da razão com funções de Bessel Descrição da situaçãoproblema Uma das principais aplicações de séries e em particular de séries de potências é na resolução de equações diferenciais ordinárias para as quais métodos mais simples não podem ser aplicados Um dos exemplos históricos de resolução de equação diferencial com uma série de potências é a equação diferencial de Bessel p é um número real 2 2 2 0 x y xy x p y Podese resolver essa equação diferencial com séries de potências obtendose as chamadas funções de Bessel Essas equações diferenciais são utilizadas para modelar fenômenos em diversas áreas da física e da engenharia eletromagnéticos vibratórios de condução de calor difusão e processamento de sinais dentre outros A sua resolução em série de potências produz uma função chamada função de Bessel de primeira espécie dada a seguir 2 1 1 2 i n m m i x J x i i m æ ö ç ç çè ø å Se fizermos m 0 temos 2 2 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 i i i i i i i x x J x i i æ ö ç ç çè ø å å Na Figura 23 a seguir apresentamos o gráfico das funções de Bessel de 1ª espécie para m 0 até m 2 Observe o caráter oscilatório amortecido dessas funções Para produzir este gráfico usamos a função BESSELJ do Excel Avançando na prática U2 Séries 67 Fonte elaborada pelo autor Figura 23 Funções de Bessel de 1ª Espécie m 0 até 2 Na empresa de produção de softwares de engenharia um módulo do novo software específico sobre funções de Bessel será produzido Sua tarefa é elaborar um texto mostrando que a série de potências para a função de Bessel converge para todos os valores de x Esse texto será incluso no manual de uso do software e por esse motivo é preciso que você seja sucinto e explicativo pensando no usuário final Resolução da situaçãoproblema Dada a própria característica da função de Bessel determinaremos o raio de convergência da função de Bessel usando o teste da razão Fazemos uso desse teste pois ele permitirá o cancelamento de fatores comuns Veja Para aplicar o teste da razão devemos avaliar o limite 1 lim n n n a K a Se esse limite for nulo então o raio de convergência será por definição infinito e a série de potências para a função de Bessel convergirá para todo x real Substituindo a expressão dos coeficientes da série de potências para a função de Bessel 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 lim lim lim 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n n n n n x n a x x n n K a n n n n x x n æ ö ç ç çè ø é ù æ ö æ ö ë û ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø 2 1 lim 0 1 1 1 2 n x n n æ ö ç ç çè ø para todo x real Assim mostramos que o raio de convergência é infinito U2 Séries 68 Agora basta você elaborar o texto conforme as necessidades expressas anteriormente pensando que ele será apresentado ao usuário do futuro software 1 Um exemplo de série importante é a chamada série telescópica A série 1 1 1 n n n å do tipo telescópica Uma soma telescópica é uma soma do tipo 2 1 3 2 4 3 1 1 n n n a a a a a a a a a a Denominamse de séries telescópicas as séries que são o limite de uma soma telescópica 1 1 1 lim n n n n n a a a a å Portanto se a série telescópica for convergente então existe e é finito o limite 1 lim n n a a Por outro lado se existir e for finito o limite 1 lim n n a a então a série telescópica será convergente Outros exemplos de séries telescópicas são 1 1 1 1 n n n å e 1 3 2 1 2 1 n n n å Considere a série 1 1 n n n å Então é correto afirmar que a Essa série é convergente pelo teste da raiz b A série 1 1 n n n å é convergente pois é uma série de potências c A série 1 1 n n n å é divergente pois vale que 1 1 lim 1 1 n n n n n å e o limite lim 1 1 n n não é finito d Essa série é divergente pois lim 1 n n n é finito e Como lim 1 0 n n n a série 1 1 n n n å é convergente Faça valer a pena U2 Séries 69 2 Lembremos a definição de série convergente Dizemos que a série 1 i i a å é convergente se a sequência sn de suas somas parciais definida por 1 n n i i s a å for convergente Se a sequência das somas parciais não for convergente dizemos que a série 1 i i a å é divergente Existe um outro critério para a verificação de convergência de séries É o teste da Integral Teste da Integral Considere f uma função contínua decrescente para todo 1 x Î e tal que f x 0 Para aplicar o teste da integral adotamos an f n Então vale que Se a integral 1 f x dx ò for convergente então a série 1 n n a å será convergente Se a integral 1 f x dx ò for divergente então a série 1 n n a å será divergente O teste da integral pode ser utilizado para demonstrar a convergência das pséries 1 1 p n n å Uma psérie será convergente se 1 p e será divergente se 1 p Existem vários testes para determinar se uma série é convergente divergente ou absolutamente convergente A seguir apresentamos uma sugestão de estratégia para testar a convergência de séries que é 1 Teste se o limite lim 0 n n a Se lim 0 n n a ¹ a série diverge Se o limite for nulo a série pode convergir ou divergir 2 Avalie se a série é geométrica 3 Avalie se a série é uma psérie 4 Avalie se é possível efetuar o teste da integral 5 Avalie se os testes da razão ou da raiz são conclusivos 6 Se a série for alternada efetue o teste da série alternada Usando os testes para convergência de séries estudados nesta seção assinale a alternativa correta a A série 1 ln 1 n n n æ ö ç ç çè ø å é divergente pois lim 0 n n a ¹ b A série alternada 1 1 5 2 n n n å é convergente pelo teste de Leibniz para séries alternadas apesar de 1 lim 0 5 2 n n n ¹ c Usando o teste da comparação podemos concluir que a série 1 2 1 n n n å é U2 Séries 70 divergente pois a série 1 2 n n å também é divergente e vale que 2 2 1 n n n d A série 3 1 n sen n n å é absolutamente convergente e A série 23 1 1 n n å é convergente pelo teste da integral pois é uma psérie com 1 p 3 A expansão em série de Taylor de uma função f no ponto 0 x x é 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 n n n f x f x f x f x x x f x x x x x n å Além disso se f n 1 x C para 0 x x L então o resto Rn x da série de Taylor atende à desigualdade 1 0 1 n n C R x x x n Facilitará seus cálculos neste exercício utilizar o resultado a seguir Se f e g são duas funções cujas séries de potências sejam 0 n n n f x a x å e 0 n n n g x b x å então a série de potências da função f x g x é obtida pelo produto das séries 0 n n n a x å e 0 n n n b x å Considere a função 2 7 cos f x x x Assinale a alternativa que apresenta a série de MacLaurin para a função anterior a 3 5 7 7 2 cos 7 2 4 6 x x x x x x b 4 6 8 2 2 7 7 7 7 cos 7 2 4 6 x x x x x x c 5 7 9 2 3 7 7 7 7 cos 7 3 5 7 x x x x x x d 2 4 6 7 2 cos 7 2 4 6 x x x x x x e 2 4 6 2 7 7 7 7 cos 1 3 5 x x x x x U2 Séries 71 Diálogo aberto Séries de Fourier Nesta seção você será apresentado às séries de Fourier O matemático francês JeanBaptiste Joseph Fourier 17681830 foi aluno de Lagrange Laplace e Monge e publicou seu trabalho Théorie analytique de la chaleur Teoria analítica do calor em 1822 no qual propõe que é possível representar uma função por somas trigonométricas infinitas Embora esse trabalho apresente deficiências de rigor o que é compreensível historicamente foram justamente essas imprecisões e as investigações subsequentes para tratar de forma rigorosa as afirmações de Fourier que conduziram a extensas pesquisas com resultados altamente relevantes na atualidade nas aplicações da engenharia e da física As aplicações atuais do trabalho iniciado por Fourier envolvem além da condução do calor em uma barra equação da corda vibrante oscilações forçadas em sistemas mecânicos e em circuitos elétricos música equação da onda estudo da equação da membrana processamento de sinais telecomunicações e cálculo numérico Assim não tenha a menor dúvida você está iniciando seus estudos em uma área histórica da matemática e da engenharia Como as séries de Fourier são somas infinitas de senos e cossenos elas exigem dentre outros os conceitos de periodicidade de funções e a discussão sobre a convergência dessas somas infinitas Além disso se soubermos que a função a ser representada pela série de Fourier for par ou ímpar poderemos simplificar os cálculos utilizando certas propriedades de integrais de funções pares ou ímpares Você verá nesta seção algumas funções que são bastante frequentes em aplicações da engenharia as funções onda quadrada onda triangular e funções do tipo dente de serra Essas funções aparecem por exemplo em circuitos elétricos ou em processamento de sinais Daí sua relevância A obtenção de aproximações do p com cada vez mais casas decimais sempre foi perseguida ao longo da história da matemática Seção 22 U2 Séries 72 Com o advento de computadores e calculadoras não foi diferente Cada novo modelo de computador mais potente ou software com novos algoritmos oferecia espaço para mais investigações acerca da aproximação do p Utilizamse essas aproximações do p para validar algoritmos e softwares científicos Esse é seu papel nessa nova etapa do contexto que apresentamos no início desta unidade Como você foi contratado para produzir o conteúdo teórico para os fundamentos do software científico a ser desenvolvido por uma empresa prestadora de serviços de engenharia você decidiu utilizar esse aspecto histórico para apresentar como utilizar séries de Fourier em aproximações numéricas O matemático francês Joseph Fourier desenvolveu as séries de Fourier para resolver o problema da condução do calor em uma barra No entanto os matemáticos físicos e engenheiros ao longo do tempo foram descobrindo inúmeros aspectos interessantes surpreendentes e aplicáveis das séries de Fourier Uma aplicação inicialmente inesperada para as séries de Fourier é sua utilização na aproximação do p Como você poderia utilizando séries de Fourier para a função 2 f x x 0 2 x p mostrar que 2 2 2 2 1 1 1 6 1 2 3 p 1 Definição de séries de Fourier Antes de iniciarmos propriamente nosso estudo sobre séries de Fourier é necessário nos atentarmos a alguns aspectos sobre funções periódicas Observe a Figura 24 na qual vemos o gráfico de uma função periódica de período genérico T e amplitude de onda A com valor médio igual a zero Fonte elaborada pelo autor Figura 24 Onda quadrada exemplo de função periódica descontínua Não pode faltar U2 Séries 73 A onda quadrada da Figura 24 é um exemplo de função periódica descontínua As funções seno e cosseno são exemplos de funções periódicas contínuas Fenômenos periódicos fazem parte da vida dos engenheiros A voltagem sobre um circuito elétrico pode consistir de uma sequência de pulsos periódicos como mostrado na Figura 24 Fenômenos periódicos também aparecem em sistemas mecânicos a amplitude do ângulo de oscilação de um trem pode aumentar com a velocidade se o sistema não for cuidadosamente projetado ou operado sistemas biológicos e também econômicos Portanto precisamos definir claramente o que são funções periódicas Veja a definição a seguir Assimile Definição de função periódica seja a função f Dizemos que f é periódica se e somente se existir um número positivo P tal que para todo t no domínio de f vale que f t P f t O número P é chamado de período de f WYLIE e PRATT 1985 As séries de Fourier são definidas a partir de somas infinitas de senos e cossenos Por esse motivo trataremos a seguir com um pouco mais de detalhe sobre essas duas funções A função 1f x sen x é periódica de período 2p pois 1 1 2 f x f x p para todo x Já a função 2 2 f x sen x é periódica de período p pois 2 2 f x f x p Observe que ao multiplicarmos o argumento do seno por 2 é como se estivéssemos percorrendo o domínio da função seno com o dobro da velocidade com que esse domínio é percorrido pela função sen x Se estamos andando com o dobro da velocidade o tempo para repetirmos os valores da função 2f x será a metade do período da função 1f x sen x Veja a seguir os gráficos das funções 1f x e 2f x na Figura 25 U2 Séries 74 Reflita Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 25 Gráficos das funções 1f x e 2f x Figura 26 Gráficos das funções 1 g e 3 g Em geral vale que o período da função g1 x sen wx é 2p w e que o período da função 2 cos g x wx é 2p w Considere a função g3 x sen wx f Na Figura 26 plotamos os gráficos das funções 1 g e 3 g com w 2 e 2 f p A constante f tem o efeito de deslocar o gráfico da função 1 g para a esquerda de f unidades Ela não altera o período da função 1 g Assim o período da função 3 g também é 2p w Use softwares como wxMaxima ou GeoGebra para fazer os gráficos das funções 1 g e 3 g com vários valores para w e f Será que modificar f altera o período de 1 g e 3 g U2 Séries 75 Assimile Pesquise mais Observe que vale a identidade 2 2 sen x sen x sen x p w w p w w æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø para todo x Assim 2p w é o período da função g1 x sen wx Também vale identidade semelhante para a função cosseno 2 cos 2 cos x cos x x p w w p w w æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø Você pode conhecer um pouco mais sobre J B Fourier consultando os materiais a seguir ALENCAR Marcelo Sampaio de A Análise de Fourier e o Aquecimento Global Instituto de Estudos Avançados em Comunicações Iecom Universidade Federal de Campina Grande UFCG Disponível em http wwwdifusaocientificacombrartigosAquecimentoGlobalFourier pdf Acesso em 17 nov 2017 OCONNOR J J ROBERTSON E F Jean Baptiste Joseph Fourier Disponível em httpwwwhistorymcsstandrewsacukBiographies Fourierhtml Acesso em 17 nov 2017 cuja tradução pode ser encontrada em httpsgooglvMbgFN Acesso em 17 nov 2017 2 Convergência de séries de Fourier Agora que já expusemos como lidar com os argumentos das funções seno e cosseno vejamos a definição das séries de Fourier Considere f uma função definida sobre o intervalo L L Supomos que essa função seja periódica de período 2 L L Î A expansão em série de Fourier da função f é dada por 0 1 cos 2 n n n a n x n x a b sen L L p p æ ö é ù é ù ç ê ú ê ú ç ç ç ê ú ê ú è ø ë û ë û å em que os coeficientes n a e n b são dados por 0 1 L L a f x dx L ò e 1 cos L n L n x a f x dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò e 1 L n L n x b f x sen dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò para n 123 U2 Séries 76 Pesquise mais Vejamos um exemplo de utilização das séries de Fourier para aproximar a onda quadrada Podemos aproximar com o grau desejado de aproximação uma onda quadrada por uma série de Fourier Veja os gráficos da Figura 27 Nela vemos gráficos de funções seno para a frequência fundamental k 1 e para os harmônicos k 3 k 5 k 7 k 9 k 11 Adotamos para esses gráficos que o período é T 1 Fonte elaborada pelo autor Figura 27 Gráficos para as funções 1 2 kf x sen k x k T p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø com k 1 k 3 k 5 k 7 e T 1 Para melhor compreensão do exposto na Figura 27 recomendamos que você acesse o gráfico disponível em httpswwwgeogebra orgmhMWZH5PW Acesso em 17 nov 2017 para experimentar outros valores para k e observar o que ocorre com o gráfico das funções 1 2 kf x sen k x k T p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø Na Figura 28 temos os gráficos da esquerda para a direita respectivamente para as funções 3 1 3 g x f x f x 5 1 3 5 g x f x f x f x e 11 1 3 5 7 9 11 g x f x f x f x f x f x f x U2 Séries 77 Pesquise mais Fonte elaborada pelo autor Figura 28 Gráficos das funções g3 x g5 x e g11 x Recomendamos que você acesse o objeto disponível em httpswww geogebraorgmVwAvymzr Acesso em 17 nov 2017 para que sua experiência de visualização da Figura 25 seja mais completa Note que nos pontos de descontinuidade da função f a aproximação obtida pela série de Fourier apresenta oscilações Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de Gibbs Observe ainda nos gráficos da Figura 25 que à medida que adicionamos funções seno com harmônicos mais elevados melhor fica nossa aproximação de uma onda quadrada Essa é a ideia básica de séries de Fourier somas de senos e cossenos para representar funções contínuas ou descontínuas com descontinuidades finitas em um número no finito de pontos Mas surge aqui uma questão matemática de extrema importância sob quais condições a série de Fourier para a função f efetivamente se aproxima da função f que queremos aproximar O matemático U2 Séries 78 Pesquise mais alemão Peter Lejeune Dirichlet 18051859 foi o primeiro a apresentar condições suficientes relativas à convergência das séries de Fourier Dirichlet também propôs a definição moderna do conceito de função Essas condições são conhecidas atualmente como condições de Dirichlet Assimile Teorema condições de Dirichlet BUTKOV 1978 Suponha que f seja uma função contínua por partes em um intervalo L L e que os pontos 0 1 n 1 n L t t t t L sejam os pontos em L L para os quais a função é estritamente decrescente ou estritamente crescente entre cada it e 1 it Então a série de Fourier de f converge para 1 2 f x f x x L L é ù Î ê ú ë û e 1 2 f L f L é ù ê ú ë û x L ou x L Além disso se f for contínua em qualquer intervalo fechado contido em L L a convergência será uniforme Em outras palavras se a função f for descontínua apenas em um número finito de pontos no intervalo L L e estritamente crescente ou estritamente decrescente em subintervalos de L L a série de Fourier de f converge para f nos pontos em que f é contínua e converge para o valor médio de f nos seus pontos de descontinuidade Deve ser destacado ainda do teorema acima que ele fornece apenas condições suficientes para a convergência de séries de Fourier e não condições necessárias No vídeo a seguir você encontrará um exemplo de como encontrar a série de Fourier da função 2 2 2 2 0 0 2 x x f x x x ì ïï íï î ï Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8xjK2lWhWk Acesso em 17 nov 2017 Além disso no link abaixo você encontrará a primeira parte de uma sequência de videoaulas sobre séries de Fourier Disponível em https wwwyoutubecomwatchvJFdBfemyXRU Acesso em 17 nov 2017 U2 Séries 79 Reflita Exemplificando 3 Séries de Fourier de funções pares ímpares e extensões periódicas Nesta subseção veremos as séries de Fourier em senos e cossenos e a determinação de séries de Fourier para extensões periódicas de uma função Existem dois tipos de funções para os quais as séries de Fourier podem ter os cálculos dos coeficientes n a e n b facilitados são as funções pares e ímpares Assimile Definição Função par BOYCE DIPRIMA 2015 uma função f é denominada de função par se sempre que o domínio de f contiver o ponto x ele também conter o ponto x e vale que f x f x x Dom f Î Definição Função ímpar BOYCE DIPRIMA 2015 uma função f é denominada de função ímpar se sempre que o domínio de f contiver o ponto x ele também conter o ponto x e vale que f x f x x Dom f Î Valem as seguintes propriedades para funções pares e ímpares a soma e a diferença de funções pares também é uma função par a soma e a diferença de funções ímpares também é uma função ímpar o produto de uma função ímpar por outra ímpar resulta em uma função par o produto ou quociente de uma função par com uma ímpar resulta em uma função ímpar São exemplos de funções pares 2 f x cos f x x São exemplos de funções ímpares f x x f x sen x 3 f x x A característica importante de funções pares relacionadas com séries de Fourier é que se f é uma função par vale que 0 2 L L Lf x dx f x dx ò ò Se a função for ímpar vale que 0 L Lf x dx ò Por que a igualdade 0 2 L L Lf x dx f x dx ò ò é válida para funções pares U2 Séries 80 Em função da observação anterior para funções pares se soubermos que a função com relação a qual precisamos determinar a série de Fourier é uma função par nossos cálculos ficarão bastante simplificados Série de Fourier em cossenos BOYCE DIPRIMA 2015 seja f uma função par periódica de período 2L e contínua por partes com sua primeira derivada também contínua por partes Então como o produto de funções pares é uma função par a função cos n x f x L é p ù ê ú ê ú ë û também é função par Então os coeficientes 1 cos L n L n x a f x dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò serão iguais a 0 2 cos L n n x a f x dx L L é p ù ê ú ê ú ë û ò Como o produto de função par por função ímpar resulta em função ímpar temos que a integral 1 0 L n L n x b f x sen dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò Portanto a série de Fourier para uma função par é 0 1 cos 2 n n a n x a L p é ù ê ú ê ú ë û å Vale um resultado análogo para funções ímpares para as quais teremos séries de Fourier em senos Veja o resultado a seguir Série de Fourier em senos BOYCE DIPRIMA 2015 seja f uma função ímpar periódica de período 2L e contínua por partes com sua primeira derivada também contínua por partes Então como o produto de funções ímpares é uma função par as funções f x sen n x L é p ù ê ú ê ú ë û função par Então os coeficientes 1 L n L n x b f x sen dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò serão iguais a 0 2 L n n x b f x sen dx L L é p ù ê ú ê ú ë û ò Como o produto de função ímpar por função par resulta em função ímpar temos que a integral 1 cos 0 L n L n x a f x dx L L p é ù ê ú ê ú ë û ò Portanto a série de Fourier para uma função ímpar é 1 n n b sen n x L p é ù ê ú ê ú ë û å Em muitas situações práticas temos uma função f definida apenas para o intervalo 0 L e queremos representar essa função por uma série de Fourier de período 2L Temos duas alternativas usuais a extensão par de período 2L da função f e a extensão ímpar de período 2L da função f A escolha de uma ou outra extensão é dada pelo problema em particular que estivermos tratando U2 Séries 81 Exemplificando Assimile Extensão par de período 2L BOYCE DIPRIMA 2015 a extensão periódica par da função f é dada por 0 0 Par f x x L f x f x L x ìï ïï íï ïïî Extensão ímpar de período 2L BOYCE DIPRIMA 2015 a extensão periódica ímpar da função f é dada por e 0 0 Ímpar f x x L f x f x L x ìï ïï íï ïïî e 0 0 Ímpar Ímpar f f L Suponha que a função f satisfaça às condições de convergência de Dirichlet Então a série de Fourier em cossenos convergirá para a extensão par da função f e a série de Fourier em senos convergirá para a extensão ímpar da função f Exemplo adaptado de BOYCE DIPRIMA 2015 seja 8 2 0 4 04 8 x x f x x ì ïï íï ïî A expansão em cossenos desta função convergirá para a extensão periódica par de f x cujo gráfico é dado pela Figura 29 Já a expansão em senos de f x convergirá para a extensão periódica ímpar de f x cujo gráfico é dado pela Figura 210 Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 29 Extensão periódica par de f x Figura 210 Extensão periódica ímpar de f x U2 Séries 82 4 Forma complexa das séries de Fourier O matemático suíço Leonhard Euler 17171783 apresentou contribuições para inúmeras áreas da matemática geometria análise topologia teoria dos números e ainda apresentou contribuições para a física e para a astronomia Euler apresentou a identidade que se denomina atualmente como identidade de Euler cos 1 eix x isen x x i Î Da identidade acima temos que cos e ix x isen x Se definirmos os coeficientes n c aqui seguimos a notação utilizada por Butkov 1988 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 n n n n n a ib n c a ib n a n ìïï ïïïïïï íïïïïï ïïïî podemos reescrever a série de Fourier na sua forma complexa n x i L n n f x c e p å com x Î L L e 1 2 n x L i L n L c f x e dx L p ò A vantagem dessa notação é que ela é mais compacta Lembrese que nessa unidade estamos supondo que você está trabalhando na produção de um novo software especialista em aplicações científicas e de engenharia Sua atribuição nesse processo é apresentar os desenvolvimentos teóricos e as aplicações das séries de Fourier Uma das ideias para o conteúdo que será utilizado no manual do novo software é sobre como utilizar séries de Fourier na aproximação do p De forma mais específica é necessário que você mostre utilizando séries de Fourier para a função 2 f x x 1 1 x como validar o seguinte resultado 2 2 2 2 1 1 1 6 1 2 3 p Consideremos a função 2 f x x com sua extensão periódica par tal como observamos na Figura 211 O período é 2 portanto 1 L Sem medo de errar U2 Séries 83 Fonte elaborada pelo autor Figura 211 Gráfico da extensão periódica par de 2 f x x Como a função é par a expansão em série de Fourier será uma série em cossenos ou seja os coeficientes 0 0 bn n A seguir estão os cálculos dos coeficientes 0 a e n a 1 2 0 0 2 2 1 3 a x dx ò Efetuamos integração por partes para determinar os n a 1 2 2 2 0 2 4 cos 1 1 1 n n n x a x dx n p p æ ö ç ç çè ø ò Então 0 2 2 1 1 4 1 1 cos cos 2 1 3 n n n n a n x f x a n x n p p p æ ö ç ç çè ø å å Fazendo 1 x teremos 2 2 2 1 4 1 1 1 cos 3 n n n n p p å em que 2 2 1 1 cos 6 n n n n p p å Finalmente 2 2 1 1 1 1 1 1 6 4 9 16 n n p å Você pode utilizar uma planilha Excel para avaliar a velocidade de convergência dessa série Na tabela a seguir apresentamos os valores aproximados para p com essa série comparados ao valor correto de p com 10 casas decimais corretas é 31415926536 U2 Séries 84 Pesquise mais O valor do p com bem mais de dez casas decimais pode ser obtido por exemplo em HUBERTY M VANG C HAYASHI K 100000 Digits of Pi Disponível em httpwwwgeomuiuceduhubertymath5337groupedigitshtml Acesso em 17 nov 2017 Sugerimos também a consulta do material a seguir para para saber mais detalhes sobre a história do p WENDPAP B BASTIANI F de GUZZO S M Uma abordagem históricomatemática do número pi π In XXII Semana Acadêmica da Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas UNIOESTE Cascavel Pr Disponível em httpprojetos unioestebrcursoscascavelmatematicaxxiisamartigos19pdf Acesso em 17 nov 2017 Fonte elaborada pelo autor Tabela 21 Comparação n p e n p p N pn n p p p com 10 casas decimais corretas 10 3049362 0092231 100 3132077 009516 500 3139684 0001909 1000 3140638 0000955 Neste ponto você concluiu mais uma etapa do seu desenvolvimento teórico para a documentação do software especialista da empresa de consultoria de engenharia para a qual seus serviços foram contratados Sintetize os resultados obtidos e envie um relatório técnico para a equipe de desenvolvimento do software Expansão em série de senos e cossenos para 0 4 f x x x Descrição da situaçãoproblema Dentro do seu contrato para produzir os desenvolvimentos teóricos para o novo software especialista para cientistas e engenheiros a empresa solicitou que você apresentasse alguns exemplos ilustrativos de cálculo de expansão de uma função em série de Fourier de senos e de cossenos Quais você poderia incluir Avançando na prática U2 Séries 85 Resolução da situaçãoproblema Antes de iniciar os cálculos para determinar as expansões em série de senos e de cossenos seria interessante apresentar por exemplo os gráficos de 0 4 f x x x para cada um dos casos Para a expansão em série de senos teremos a expansão periódica ímpar da função f e para a expansão em série de cossenos teremos a expansão periódica par de f Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 212 Expansão periódica ímpar de f Figura 213 Expansão periódica par de f Determinação da expansão em série de senos Neste caso os coeficientes n a são todos nulos Resta calcular os n b 4 4 0 0 2 1 s 4 4 2 4 n n x n x b f x en dx xsen dx p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø ò ò Efetuamos integração por partes 4 2 4 2 2 0 0 4 1 1 4 1 16 cos s cos 2 4 2 4 4 2 n x n x n x xsen dx x en n n n n p p p p p p p é ù æ ö æ ö æ ö ê ú ç ç ç ç ç ç ê ú ç ç ç è ø è ø è ø ê ú ë û ò Assim 1 8 cos 4 n n x f x n sen n p p p æ ö ç ç çè ø å U2 Séries 86 Determinação da expansão em série de cossenos Neste caso os coeficientes n b são todos nulos Resta calcular os n a 4 4 0 0 0 2 1 4 4 2 a f x dx xdx ò ò 4 4 0 0 2 1 cos cos 4 4 2 4 n n x n x a f x dx x dx p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø ò ò Efetuamos integração por partes 4 4 0 0 2 1 cos cos 4 4 2 4 n n x n x a f x dx x dx p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø ò ò 4 2 4 2 2 2 2 0 0 1 1 4 4 1 16 cos cos 1 2 4 2 4 4 2 n n x n x n x a xcos dx x sen n n n n p p p p p p p é ù æ ö æ ö æ ö ç ç ç ê ú ç ç ç ê ú ç ç ç è ø è ø è ø ë û ò 2 2 8 cos 1 an n n p p Assim 2 2 2 2 1 1 4 8 8 cos 1 2 cos 1 2 4 4 n n n x n x f x n cos n cos n n p p p p p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø å å Observe que a função 0 4 f x x x é igualmente bem aproximada tanto pela série de Fourier em senos quanto pela série de Fourier em cossenos 1 Uma função f é par se sempre que seu domínio contém x seu domínio também contém x e vale que f x f x x Dom f Î Uma função f é ímpar se sempre que seu domínio contém x seu domínio também contém x e vale que f x f x x Dom f Î Se f é uma função par então vale que 0 2 L L Lf x dx f x dx ò ò e se f é função ímpar vale que 0 L Lf x dx ò Seja 4 2 0 2 02 3 x x f x x ì ïï íï ïî Então a extensão periódica par e a extensão periódica ímpar de f são dadas respectivamente pela alternativa Faça valer a pena U2 Séries 87 a Extensão par b Extensão par c Extensão par Extensão ímpar Extensão ímpar Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor U2 Séries 88 Extensão ímpar Fonte elaborada pelo autor d Extensão par e Extensão par Extensão ímpar Extensão ímpar Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor U2 Séries 89 2 Se uma função f é periódica com período 2 T L os coeficientes de sua expansão em série de Fourier serão dados por 1 cos 012 L n L n x a f x dx n L L p é ù ê ú ê ú ë û ò 1 12 L n L n x b f x sen dx n L L p é ù ê ú ê ú ë û ò A série de Fourier para f é dada por 0 1 cos 2 n n n a n x n x f x a b sen L L p p é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û å Considere a função definida por 0 para 4 0 para 0 4 x f x C x ì ïï íï ïî Com período igual a 8 Os coeficientes da expansão em série de Fourier para essa função são dados pela alternativa a 2 1 3 1 cos 5 2 4 3 4 5 4 C C x x x cos cos p p p p é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û b 3 3 1 5 1 7 2 4 3 4 5 4 C C x x x sen sen sen p p p p é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û c 1 3 1 5 2 3 4 3 4 5 4 C C x x x sen sen sen p p p p é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û d 2 1 3 1 5 2 4 3 4 5 4 C C x x x sen sen sen p p p p é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û e 2 1 3 5 2 4 1 4 3 4 5 C C x x x sen sen sen p p p p é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û 3 Se as funções f e f são contínuas por partes no intervalo L L e f é uma função periódica par com período 2L teremos das propriedades das funções pares e ímpares que o produto cos n x f x L é p ù ê ú ê ú ë û é uma função par e que o produto f x sen n x L é p ù ê ú ê ú ë û é uma função ímpar Portanto os coeficientes de Fourier da função f são dados por 0 2 cos 0 5 L n n x a f x dx n L æ p ö ç ³ ç çè ø ò e 0 0 bn n e f possui série de Fourier apenas em cossenos Resultado análogo vale se as funções f e f são contínuas por partes no intervalo L L e f for periódica ímpar de período 2L Então a função f possui série de Fourier apenas em senos U2 Séries 90 Considere a função 5 5 0 2 5 0 5 2 x x f x x x ìïï ïïï íïï ïïïî e a extensão periódica dessa função você terá uma onda triangular Denote por 2f x a série de Fourier para f sobre todo o domínio de f denote por 2f x a série em senos de Fourier para a função 5 0 5 2 g x x x e por 3f x a série em cossenos de Fourier para a função 5 0 5 2 g x x x Então é correto afirmar que a 1f x possui expansão em série de Fourier dada por 2 1 5 1 cos 5 sen n f x n n x n p p p å 2 2 2 10 10 10 sen sen 3 sen 5 9 25 x x x p p p p p p b 2f x converge para a extensão periódica par da função 5 0 5 2 g x x x cujo gráfico é dado por Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor c 3f x converge para a extensão periódica ímpar da função 5 0 5 2 g x x x cujo gráfico é dado por d Os coeficientes para a série de Fourier em cossenos de 5 0 5 2 g x x x são 0 a 0 2 2 1 cos 5 0 an n n n p p e 0 0 bn n e Os coeficientes para a série de Fourier em senos de 5 0 5 2 g x x x são 0 0 an n ³ 2 4 7 0 3 n n b sen n n p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø U2 Séries 91 Diálogo aberto Aplicações das séries de Fourier Após estudar as séries de Fourier chegou a hora de aplicálas na resolução de problemas de engenharia É o que faremos nesta seção As séries de Fourier podem ser utilizadas para resolver um tipo de equação diferencial chamado de equação de derivadas parciais costumase utilizar a abreviação EDP Neste tipo de equação diferencial temos a presença de derivadas parciais de uma função desconhecida Existem muitos problemas importantes na física e na engenharia nos quais temos uma geometria específica pode ser a condução do calor em uma barra que nos levará a um problema em um retângulo ou a vibração de uma membrana circular Tais configurações geométricas impõem condições sobre os valores da função incógnita na fronteira da figura geométrica Esses problemas recebem então o nome de problemas de valores de contorno abreviase por PVC É interessante recordar que quando estudamos as equações diferenciais ordinárias EDOs estudamos problemas de condição inicial precisávamos informar os valores da função incógnita para t 0 Observe que temos agora uma mudança de qualidade no tipo de problemas que estamos estudando As séries de Fourier foram desenvolvidas inicialmente para resolver equações diferenciais que modelam a condução do calor em uma barra Mas elas também podem ser utilizadas na resolução de outras equações diferenciais séries de Fourier também são utilizadas para resolver equações diferenciais que modelam uma viga simplesmente apoiada Além dessas aplicações as Séries de Fourier também podem ser aplicadas para se obter a resposta de um circuito elétrico sujeito a uma força eletromotriz periódica Et como apresentado na Figura 213 Seção 23 U2 Séries 92 Não pode faltar Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 213 Circuito elétrico com força eletromotriz periódica Figura 214 Força eletromotriz Suponha que a força eletromotriz Et seja da forma apresentada no gráfico da Figura 214 Lembremos de suas atribuições na empresa de software científico você deve produzir conteúdo teórico para os fundamentos do software a ser desenvolvido por uma empresa prestadora de serviços de engenharia Nesse sentido a ideia é que você apresente a resolução de um problema com valores numéricos como sendo um exemplo dos desenvolvimentos teóricos É proposto ainda que você exponha a resolução das seguintes questões como a corrente desse sistema depende do valor A da força eletromotriz Se A duplicar é correto concluir que a corrente resposta também será duplicada 1 Problemas de valores de contorno e séries de Fourier JosephBaptiste Fourier apresentou para a Academia Francesa de Ciências em 1807 uma primeira memória de suas pesquisas sobre o calor Em 1822 ele publicou sua notável obra Theorie analytique de la chaleur Teoria Analítica do Calor na qual expôs seus trabalhos sobre a condução do calor em uma barra homogênea utilizando o que chamamos atualmente de séries de Fourier Considere a Figura 215 A função representa o calor em uma barra homogênea na posição x e no instante t U2 Séries 93 Fonte elaborada pelo autor Figura 215 Condução do calor em uma barra homogênea A modelagem matemática desse problema recai em uma equação a derivadas parciais abreviadamente EDP do tipo 2 2 u u k t x denominada equação unidimensional do calor unidimensional pois temos apenas uma variável para representar o espaço Nos referiremos a ela simplesmente como equação do calor Pesquise mais A equação do calor não será deduzida nesse texto mas você pode consultála no apêndice A do capítulo 10 do seguinte livro BOYCE William E DIPRIMA Richard C Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2002 416 p A dedução está também disponível nas obras de Edwards e Penney 1999 e Zill 2001 Em EDPs temos a presença de derivadas parciais da função incógnita algo que não está presente em equações diferenciais ordinárias EDOs tema que possivelmente já seja do seu conhecimento Na equação do calor consideramos u como uma função das variáveis x e t isto é u u x t e k uma constante que depende do material e está associada com a forma como o calor se difunde nele Com o conhecimento que temos até o momento não é possível resolvermos a equação do calor e é preciso ainda detalhar as condições auxiliares do problema Nessa classe de problemas precisamos definir dois tipos de condições U2 Séries 94 1 Condições iniciais ou seja qual a temperatura inicial da barra 2 Condições de contorno nesse caso quais são as temperaturas da barra nas extremidades da mesma em qualquer instante de tempo ou seja em x 0 e x L A condição inicial é dada por uma condição do tipo u x0 f x Esta condição significa que no instante inicial t 0 a temperatura u da barra é dada por uma função f x Já como condições de contorno vamos assumir por enquanto que nas extremidades da barra a temperatura é zero 0 0 u t u L t Temos então o que é denominado de um problema de valores de contorno dado pelas equações 2 2 u u k t x u x0 f x 0 0 u t u L t para 0 0 x L t Î Na Figura 216 ilustramos geometricamente as condições anteriores Fonte elaborada pelo autor Figura 216 Geometria do problema de contorno representado pelas equações 2 2 u u k t x u x0 f x e 0 0 u t u L t Não é possível escrever a solução da maior parte das equações diferenciais sejam EDOs ou EDPs em termos de funções elementares Em algumas poucas situações dependendo do tipo da EDP e da U2 Séries 95 geometria do problema retangular e circular são situações frequentes existem procedimentos para determinar uma solução da EDP Mesmo assim essa solução será escrita como uma série infinita ou alguma integral não trivial A vantagem de obtermos essas soluções nessas situações especiais é que elas proporcionam um entendimento e uma compreensão mais qualitativa das situações mais complexas Existem poucos métodos gerais para resolução de EDPs Um desses métodos é o método da separação de variáveis Esse método baseiase no princípio da superposição A aplicação do método de separação de variáveis nos conduz às séries de Fourier Para aplicar o método vamos supor que a solução do problema de valores de contorno dado pelas equações 2 2 u u k t x u x0 f x e 0 0 u t u L t possui uma solução u x t que possa ser escrita na forma u x t X x T t em que a função X depende apenas da variável x e a função T depende apenas de t Como a função X depende apenas da variável x vale que u XT t e u XT t Assim 2 2 u X T x Aqui a notação X significa que estamos efetuando a derivada da função X x duas vezes e como essa função é apenas função da variável x não é uma derivada parcial Além disso vamos assumir que as funções X e T não sejam identicamente nulas Substituindo as expressões para u XT t e 2 2 u X T x em 2 2 u u k t x temos X x T t kX x T t Então temos que 1 X x T t X x k T t U2 Séries 96 A equação 1 X x T t X x k T t é válida para todo 0 0 x L t Î Portanto tem que ser igual a uma mesma constante Vamos denominála de constante de separação e representála pela letra grega l veremos que é conveniente adotar o sinal negativo Logo X x X x l e T t k T t l Temos agora as duas equações diferenciais 0 T t k T t l e 0 T t k T t l Neste ponto usamos as condições de contorno nas equações 0 0 u t u L t 0 0 X T t e X L T t 0 Como estamos supondo que T não é identicamente nula necessariamente devemos ter 0 0 X X L Assim a função X satisfaz ao problema de valor de contorno 0 X x lX x 0 0 X X L Assimile O problema de contorno apresentado em 0 X x lX x 0 0 X X L recebe o nome de problema de autovalor Para cada solução não trivial em 0 X x lX x 0 0 X X L temos associados valores de l que recebem o nome de autovalores As soluções associadas a esses autovalores são denominadas autofunções Para apresentar a solução do problema de autovalor 0 X x lX x 0 0 X X L consideraremos as três possibilidades para l positivo negativo e nulo Vejamos cada uma delas U2 Séries 97 i Se l 0 a equação diferencial do problema de autovalor 0 X x lX x 0 0 X X L reduzse a 0 X x cuja solução é X x ax b Lembrando das condições de contorno 0 0 X X L forçosamente 0 a b o que implica na solução identicamente nula 0 0 X x x L Î Assim 0 l não é autovalor para o problema de autovalor 0 X x lX x 0 0 X X L ii Se l 0 a solução da equação diferencial é 1 2 x x X x a e a e l l Também neste caso em função das condições de contorno 0 0 X X L teremos 1 2 0 a a a e a única solução será a solução trivial Assim o problema de autovalor 0 X x lX x 0 0 X X L não possui autovalores negativos iii Se l 0 seguiremos o padrão adotado pela literatura e escrevemos 2 l a A solução geral da equação diferencial 2 0 X x a X x é 1 2 cos X x a x a sen x a a A condição de contorno 0 0 X implica que 1 a 0 Para que 2 0 X L a sen aL com 2 a ¹ 0 devemos ter 123 L n n a p Portanto 2 2 2 2 123 n n L p a Ou seja neste caso teremos infinitos autovalores positivos 2 2 2 123 n n n L p l cujas autofunções associadas são 123 n n x X x sen n L æ p ö ç ç çè ø adotamos 2 a 1 U2 Séries 98 Voltando à equação 0 T t k T t l temos que uma solução desta equação é k t T t e l Temos então 2 2 2 123 n t k L n n x u x t sen e n L p p æ ö ç ç çè ø Contudo não podemos assegurar que un x t satisfaçam à condição inicial u x0 f x Pelo princípio da superposição a função 1 n n n u x t c u x t å satisfará u x0 f x para valores a determinar dos coeficientes nc Da condição inicial temos 1 1 0 0 n n n n n n x u x c u x c sen f x L p æ ö ç ç çè ø å å Do que já estudamos sobre Séries de Fourier temos que 0 2 L n n x c f x sen dx L L æ p ö ç ç çè ø ò Com isso resolvemos o problema de autovalor 0 X x lX x 0 0 X X L sendo a solução dada por 1 n n n u x t c u x t å com un x t e nc descritos anteriormente Pesquise mais Para saber mais sobre o princípio da superposição sugerimos a consulta à página 110 do seguinte livrotexto ÇENGEL Y A J PALM III W Equações Diferenciais Porto Alegre AMGH 2014 600 p Consulte também a videoaula da Univesp TV que aborda a explicação anterior sobre o Método de Separação de variáveis UNIVESP Cálculo III Aula 21 Introdução ao estudo das equações diferenciais parciais Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvuUZuWXNfu8lis tPLyMTbTyU2PsSxyp05lKNlmvXWVh5jfxIH Acesso em 25 nov 2017 2 Aplicação de séries de Fourier circuito elétrico Veremos agora um exemplo de utilização das séries de Fourier na forma complexa em equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem Na sequência particularizaremos a solução para um circuito elétrico RLC Considere a EDO U2 Séries 99 ax bx cx f t com a b c Î e f t uma função eletromotriz periódica que pode ser descontínua como uma onda quadrada por exemplo A ideia básica para resolver uma equação diferencial com séries de Fourier consiste em substituir na equação a expansão em série de Fourier das funções incógnitas e da força externa na equação igualar os coeficientes da expansão e então expressar os coeficientes da função incógnita em termos dos coeficientes da função que representam a força externa Vejamos nesse exemplo o passo a passo desse procedimento Para determinar a função x t admitimos que tanto x t quanto f t tenham desenvolvimento em série de Fourier dados a seguir na forma complexa in t n n f t e w a å e in t n n x t e w b å em que 2 2L p w Para que possamos utilizar séries de Fourier na resolução de equações diferenciais é necessário efetuar a derivação da função incógnita representada por série de Fourier na equação Contudo não é qualquer série infinita que pode ser derivada termo a termo O teorema seguinte fornece as condições para diferenciação termo a termo de uma série de Fourier Assimile Teorema diferenciação termo a termo de séries de Fourier EDWARDS PENNEY 1999 considere Considere função f contínua em toda reta periódica com período 2L Considere ainda que a derivada de f é derivável por partes para toda reta real Então podemos derivar a série de Fourier da função 0 1 cos 2 n n n a n t n t f t a b sen L L p p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø å e vale que 1 cos n n n n n t n n t f t a sen b L L L L p p p p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø å Derivando x t termo a termo temos in t n n x t in e w wb å e 2 2 in t n n x t n e w w b å U2 Séries 100 Exemplificando Substituímos as expressões para f t x t x t e x t na equação diferencial ax bx cx f t 2 2 in t in t in t in t n n n n n n n n a n e b in e c e e w w w w w b b b a é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û å å å å 2 2 in t in t n n n n an bin c e e w w w w b a é ù ê ú ê ú ë û å å Vale a igualdade coeficiente a coeficiente 2 2 n n an bin c w w b a ou seja teremos a expressão a seguir para os coeficientes de x t 2 2 1 n n an bin c b a w w Os coeficientes n a são os coeficientes da expansão em série de Fourier da função eletromotriz dados por in t 1 2 L n Lf t e dt L w a ò Entre os diversos problemas em que podemos aplicar as séries de Fourier temos a determinação da corrente elétrica I t em um circuito elétrico RLC Neste ponto vamos particularizar nossa solução para a EDO definida a partir do circuito apresentado na Figura 217 Suponha que uma força eletromotriz periódica f t atua sobre esse circuito Queremos determinar a corrente I t nesse circuito elétrico A equação diferencial que modela a corrente I t é Fonte elaborada pelo autor Figura 217 Circuito elétrico RLC 1 R I t I t I t f t L CL U2 Séries 101 A corrente I t será periódica com o mesmo período que a força eletromotriz f t A força eletromotriz pode ser por exemplo uma onda quadrada Suponha que a função f t seja definida por 0 1 0 1 ou 2 1 2 A t f t t t A t ì ïïïï íïï ïïî em que A é um número real positivo Comparando as equações ax bx cx f t e 1 R I t I t I t f t L CL temos que 1 a R b L e 1 c CL Substituindo em 2 2 1 n n an bin c b a w w temos 2 2 1 1 n n R n L in CL b a w w æ ö ç ç çè ø O tamanho das fontes não está padronizado Favor checar expansão em série de Fourier da força eletromotriz Eles são dados por 4 ímpar 0 par n A n n n a p ìïïï íïïïî Concluindo a corrente será dada por ímpar in t n n n I t e w b å com 2 2 1 4 1 n A R n n L in CL b p w w æ ö ç ç çè ø n ímpar 3 Aplicação de séries de Fourier condução do calor em uma barra Considere uma barra metálica de 80 cm de comprimento aquecida lateralmente a 40 C ao longo da barra As extremidades da barra são mantidas a 0 C para todo t 0 Determine a expressão para a temperatura u x t da barra ao longo do tempo No item 1 desta seção vimos que a solução do problema de valor de contorno apresentado nas equações 2 2 u u k t x u x0 f x e 0 0 u t u L t é dada por 0 2 L n n x c f x sen dx L L æ p ö ç ç çè ø ò em que 0 2 L n n x c f x sen dx L L æ p ö ç ç çè ø ò e 2 2 2 123 n t k L n n x u x t e sen n L p p æ ö ç ç çè ø U2 Séries 102 No nosso caso temos que L 80 e 40 para 0 80 f x x Substituindo esses valores Então 2 2 6400 123 80 n t k n n x u x t e sen n p p æ ö ç ç çè ø e 80 80 0 0 2 80 40 1 cos 80 80 80 n n x n x c sen dx sen dx n n p p p p æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø ò ò Que fica 160 ímpar 0 par n n c n n p ìïïï íïïïî Finalmente a solução 1 n n n u x t c u x t å será dada por 2 2 6400 135 160 80 n t k n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å 4 Aplicação de séries de Fourier sistemas mecânicos Considere um sistema com uma massa m e uma mola de constante k com uma força externa periódica f ímpar de período 4 A hipótese de paridade da força externa é utilizada apenas para facilitar os cálculos neste exemplo Representamos por x t o deslocamento da massa a partir do ponto de equilíbrio Esse sistema está representado na Figura 218 Fonte elaborada pelo autor Figura 218 Sistema mecânico com força externa O deslocamento x t satisfaz à equação diferencial mx kx f t cuja solução geral é dada por 0 0 cos part x t a t bsen t x t w w em que xpart t representa uma solução particular da equação diferencial e 0 k m w é a frequência natural A partir das condições iniciais do problema é possível determinar os valores para a e b Não nos ocuparemos desse aspecto aqui Nosso foco neste momento U2 Séries 103 Reflita é na determinação de xpart t periódica usando séries de Fourier Devemos supor que para todo n 0 n L p ¹ w Qual o significado físico da hipótese 0 n L p ¹ w Existe alguma situação na engenharia para a qual a igualdade 0 n L p w possa resultar em algum problema Como a força externa é supostamente ímpar vamos determinar uma solução particular periódica da forma 1 part n n n x x t sen L p a æ ö ç ç çè ø å Para resolvermos um problema específico suponha que a força externa seja uma onda quadrada dada por 30 2 32 4 x f t x ì ïï íï ïî Como assumimos f de período 4 então 2 L 4 portanto L 2 Sua expansão em série de Fourier é 1 1 cos 6 2 n n n x f t sen n p p p æ ö ç ç çè ø å Substituímos as expressões para 1 2 part n n n x x t sen p a æ ö ç ç çè ø å e 1 1 cos 6 2 n n n x f t sen n p p p æ ö ç ç çè ø å na equação diferencial mx kx f t 2 2 1 1 4 2 2 n n n n n n x n x m sen k sen p p p a a æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç è ø è ø å å 1 1 cos 6 2 n n sen n x n p p p æ ö ç ç çè ø å 2 2 1 1 1 cos 6 4 2 2 n n n n n mn n x n x k sen sen n p p p p a a p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø å å Então os coeficientes n a são dados por 2 2 1 cos 1 6 4 n n n mn k p a p p é ù ê ú ê ú ë û Recordemos que você foi contratado por uma empresa de prestação de serviços em engenharia para produzir conteúdo teórico para os fundamentos de um software de resolução de equações Sem medo de errar U2 Séries 104 diferenciais em estudo pela empresa Você já entregou parte desse material teórico e para concluir o projeto a ideia é que você apresente um exemplo com valores numéricos É nesse contexto que se insere a questão de como obter a resposta do circuito elétrico apresentado na Figura 213 desta seção sujeito a uma força eletromotriz do tipo onda quadrada apresentada na Figura 214 desta seção Seguindo a exposição feita na subseção 2 Aplicação de séries de Fourier circuito elétrico temos que a equação diferencial que modela esse circuito é 1 R I t I t I t E t L CL em que a força eletromotriz é a onda quadrada apresentada na Figura 129 e da Figura 128 temos os valores R 350 W 004 L H e 5 C mF Os coeficientes da expansão em série de Fourier da força eletromotriz são dados por in t 1 2 P n P E t e dt P w a ò em que estamos adotando neste caso P para representar o período da força eletromotriz No caso da onda quadrada apresentada na Figura 129 temos P 002 e 2 P 004 Assim 002 002 002 002 in t 0 0 0 1 1 25 25 004 2 002 in t in in t n e e e Ae dt A A A in in in p p w w a p w p é ù ê ú é ù é ù ê ú ê ú ë û ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ê ú ë û ò 1 1 cos sen ímpar 2 2 in n e A A A n i n n in in in p a p p p p p é ù ê ú ë û é ù ë û Que fica ímpar 0 par n A n in n a p ìïïï íïïïî Temos ainda 004 0 0 1 2 002 Adt A a ò Como mostramos na subseção 2 os coeficientes da função corrente serão dados por 2 2 1 1 n n R n L in CL b a w w æ ö ç ç çè ø A frequência natural do circuito é dada por 2 0 1 w CL U2 Séries 105 Então a expressão para os coeficientes n b pode ser reescrita como 0 2 2 2 1 n n R n in L b a w w w Agora você pode substituir os valores para R L e C na expressão anterior para os coeficientes n b Assim se duplicarmos o valor de A a corrente também será duplicada Neste momento você pode sintetizar os resultados obtidos nesta seção junto aos resultados já obtidos nas duas primeiras seções desta unidade e enviar seu relatório técnico para a equipe de desenvolvimento do software Equações diferenciais com oscilações forçadas descontínuas ímpares Descrição da situaçãoproblema Suponha que você esteja prestando serviços para um escritório de engenharia que vem desenvolvendo análises para a indústria de máquinas e equipamentos industriais Para modelar tais situações são utilizados problemas de contorno do tipo mx kx F t 0 t L 0 0 x x L em que F t representa uma força externa descontínua ímpar Considere que a função 0 A F t L t A seja periódica de período 2L como vemos na Figura 219 a seguir Fonte elaborada pelo autor Figura 219 Força externa periódica Avançando na prática U2 Séries 106 Resolução da situaçãoproblema A extensão periódica da função F t é ímpar de período 2L Os coeficientes n a da série de Fourier para F t são todos nulos Os coeficientes nb para F t são dados por 0 2 L n A n t b t sen dt L L L æ p ö ç ç çè ø ò Efetuando a integração por partes teremos 1 0 2 2 1 L n n A n t A b t sen dt L L n p p æ ö ç ç çè ø ò A série de Fourier para F t será 1 1 2 1 n n A n t F t sen n L p p æ ö ç ç çè ø å Uma solução particular da equação diferencial pode ser escrita como uma soma de senos 1 part n n n t x t c sen L p æ ö ç ç çè ø å A segunda derivada de xpart t é 2 2 2 1 part n n n n t x t c sen L L p p æ ö ç ç çè ø å Substituindo na equação diferencial temos 2 2 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n n n t n t A n t m c sen k c sen sen L L n L L p p p p p é ù é ù æ ö æ ö æ ö ç ç ç ê ú ê ú ç ç ç ç ç ç ê ú ê ú è ø è ø è ø ë û ë û å å å Igualando os coeficientes de sen n t L æ p ö ç ç çè ø temos 2 2 1 2 1 1 2 1 n n n n mn n t A n t k c sen sen L n L L p p p p æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø å å Então 2 2 1 2 2 1 n n mn A k c n L p p æ ö ç ç ç çè ø Podemos escrever os coeficientes nc 1 2 2 2 2 1 n n A c mn n k L p p æ ö ç ç ç çè ø Finalmente temos que 1 2 2 1 2 2 1 n part n A n t x t sen L mn n k L p p p æ ö ç ç ç æ ö è ø ç ç ç çè ø å U2 Séries 107 1 A seguir apresentamos nos itens de A até D vários comprimentos de barras indicados por L em centímetros e a temperatura inicial da barra indicada por 0t em graus Celsius Nos itens identificados pelos algarismos romanos de I até IV temos problemas de valores de contorno que representam as condições dadas pelos itens A a D A alternativa que contém a associação correta das letras com os algarismos romanos é a A I B II C III D IV b B I A II D III C IV c C I A II B III D IV d B I C II D III A IV e D I A II C III B IV A 0 120 30 L t B 0 30 120 L t C 0 80 40 L t D 0 150 75 L t I 2 2 u u k t x 0 40 u x 0 80 0 u t u t II 2 2 u u k t x 0 30 u x 0 120 0 u t u t III 2 2 u u k t x 0 120 u x 0 30 0 u t u t IV 2 2 u u k t x 0 75 u x 0 150 0 u t u t 2 O problema do calor com condições de contorno homogêneas é dado pelas equações 2 2 u u k t x u x0 f x 0 0 u t u L t Faça valer a pena U2 Séries 108 A constante k é denominada de difusividade térmica Na Tabela 22 a seguir apresentamos o valor de k para alguns materiais Considere que uma barra de cobre com 40 cm de comprimento seja submetida a um ambiente com temperatura de 120 C No instante inicial as laterais da barra são colocadas em contato com um resfriador a temperatura de 0 C e mantidas assim para todo t 0 A expressão para a solução u x t é dada por a 1144800 2 2 135 1600 60 n t n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å b 2 2 114 4800 135 1600 120 n t n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å c 40 135 1200 80 n t n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å d 2 2 114 1600 135 480 40 n t n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å e 2 2 114 3200 2 2 135 2400 220 n t n n x u x t e sen n p p p æ ö ç ç çè ø å Fonte Boyce Diprima 2002 p Tabela 22 Valores de difusividade térmica para materiais selecionados Material k cm2 s Prata 171 Cobre 114 Alumínio 086 Tijolo 00038 3 No problema de valores de contorno estudado nesta seção dizse que as condições de contorno são homogêneas iguais a zero Apenas para relembrarmos esse problema é dado pelas equações 2 2 u u k t x 1a u x0 f x 1b 0 0 u t u L t 1c U2 Séries 109 para 0 0 x L t Î Dizemos que temos condições de contorno não homogêneas se o problema de valores de contorno for dado pelas equações 2 2 u u k t x 2a 0 0 u x f x x L 2b 1 0 0 u t f t t e 2 0 u L t f t t 2c para 0 0 x L t Î em que 1f t e 2f t são as temperaturas nas extremidades da barra No caso particular em que 1f t A e 2f t B se tomarmos B A v x t A x L a função u x t u x t v x t será solução da equação não homogênea dada pelas equações 2 2 u u k t x 0 0 u x f x x L e 1 0 0 u t f t t e 2 0 u L t f t t com 1f t A e 2f t B sendo 2 2 1 n k t L n n n x u x t c e sen L p p æ ö ç ç çè ø å Em que os coeficientes nc são os coeficientes seno da função B A f x v x f x A x L 0 2 L n B A n x c f x A x sen dx L L L p é ù æ ö ê ú ç ç ê ú çè ø ê ú ë û ò Considere o problema 2 2 u u k t x 0 20 6 u x x 6 5 0 u t t e 6 5 0 u t t para 06 0 x t Î Considere as afirmações a seguir I A solução deste problema é dada por 2 2 6 1 2 2 6 n k t n n x n x u x t c e sen p p æ ö ç ç çè ø å em que 6cos n n c n p p U2 Séries 110 II A solução deste problema é dada por 2 2 6 1 5 6 6 n k t n n x n x u x t c e sen p p æ ö ç ç çè ø å em que 2 2 6 cos 6 n n c n p p æ ö ç ç çè ø III A solução deste problema é dada por 2 2 3 1 5 3 n k t n n x n x u x t c e sen p p æ ö ç ç çè ø å em que 2 2 cos 6 3 n n n c p æ p ö ç ç çè ø Agora marque a alternativa correta a Apenas a afirmação I é verdadeira b Apenas a afirmação II é verdadeira c São verdadeiras apenas as afirmações II e III d São verdadeiras apenas as afirmações I e III e Todas as afirmações são falsas ALENCAR M S de A Análise de Fourier e o Aquecimento Global Instituto de Estudos Avançados em Comunicações Iecom Universidade Federal de Campina Grande UFCG Disponível em httpwwwdifusaocientificacombrartigosAquecimentoGlobal Fourierpdf Acesso em 17 nov 2017 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Volume II 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 1168 p ARFKEN G Física Matemática métodos matemáticos para Engenharia e Física Rio de Janeiro Elsevier 2007 900 p BOYCE W E DIPRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de Contorno 10 ed Rio de Janeiro LTC 2015 680 p BUTKOV E Física Matemática Rio de Janeiro LTC 1978 724 p ÇENGEL Y A J PALM III W Equações Diferenciais Porto Alegre AMGH 2014 600 p EDWARDS C H PENNEY D Cálculo com Geometria Analítica volume 3 4 ed Rio de Janeiro LTC 1999 216 p EDWARDS C H PENNEY D Equações diferenciais elementares com problemas de contorno 3 ed Rio de Janeiro Prenticehall do Brasil 1995 642 p FIGUEIREDO D G Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed Rio de Janeiro CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e TecnológicoIMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada 1977 274 p GONÇALVES M B FLEMMING D M Cálculo B 2 ed São Paulo Pearson 2011 435 p GUIDORIZZI H L Um curso de Cálculo Volume 4 2 ed Rio de Janeiro LTC 1997 481 p SPIEGEL M Cálculo Avançado Rio de Janeiro Mcgrawhill 1971 400 p Coleção Schaum STEWART J Cálculo Volume II 5 ed São Paulo Thomson Learning 2006 1164 p THOMAS G B et al Cálculo Volume 2 10 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2005 570 p WYLIE C Ray BARRETT Louis C Advanced Engineering Mathematics Fifth Edition Singapore McGrawHill International Editions 1985 1103 p ZILL D Equações diferenciais com aplicações em modelagem 3 ed São Paulo Cengage Learning 2016 433 p ZILL D G CULLEN M R Equações Diferenciais São Paulo Pearson Makron Books 2007 380 p Referências U1 Números complexos 47 Unidade 3 Você já aprendeu a trabalhar com equações diferenciais ordinárias ou seja equações diferenciais em que a função procurada só depende de uma variável Esse tipo de equação é muito importante porém a maioria dos modelos matemáticos relacionados a problemas de engenharia envolvem funções de várias variáveis As equações diferenciais nesses problemas por sua vez envolvem derivadas parciais de funções de duas ou mais variáveis portanto são conhecidas como equações diferenciais parciais EDPs Nesta unidade aprenderemos como reconhecer uma equação diferencial parcial e como utilizar uma técnica muito eficiente chamada separação de variáveis para transformar uma equação diferencial parcial num sistema de EDOs Para tornar os estudos mais interessantes vamos supor que você ofereça consultorias na área de engenharia e uma empresa fabricante de jogos para computador contratou você para dar suporte à equipe de desenvolvimento O objetivo da empresa é aumentar o realismo nos efeitos gráficos de um game que está sendo iniciado Nele alguns objetos terão o efeito de aquecimento e dispersão de calor tendo o diretor de desenvolvimento do game sido informado de que esses efeitos são modelados por equações diferenciais o que motivou a contratação de um profissional com sua expertise Em uma primeira reunião com o diretor de desenvolvimento foi solicitado a você dividir esse trabalho em 3 etapas uma para cada seção desta unidade na primeira é requerido que você faça um apanhado geral sobre equações diferenciais parciais e Convite ao estudo Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor como elas podem ser úteis para descrever fenômenos físicos que estarão presentes no jogo Além disso é interessante que você apresente um exemplo simples de equação na segunda é necessário que você apresente a modelagem da equação do calor para uma barra por fim na última etapa é necessário que você mostre a solução algébrica dessa equação pois é ela que será implementada no código fonte do jogo Achou interessante esse desafio Para solucionálo além dos conceitos já mencionados precisaremos relembrar conceitos relacionados a EDOs e a funções de várias variáveis derivadas integrais etc Pronto para começar U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 115 Nesta seção começaremos a estudar Equações Diferenciais Parciais Inicialmente vamos aprender a classificar EDPs segundo a ordem linearidade e homogeneidade Isso é muito importante pois neste livro trabalharemos somente com EDPs lineares de primeira e segunda ordem Outro assunto fundamental que será tratado nesta seção é a técnica de separação de variáveis que é uma técnica que permitirá a você transformar uma EDP em um sistema de EDOs que você já aprendeu a resolver apesar de alguns detalhes principalmente aqueles que envolvem as condições iniciais e de contorno dificultarem bastante o processo Em sua primeira tarefa a ser realizada para a empresa fabricante do game à qual você está fornecendo consultoria você precisa dar uma explicação geral para a equipe com um modelo mais simples antes dela começar a trabalhar com o modelo de simulação da dispersão do calor Isso irá nortear o pessoal de desenvolvimento para as próximas etapas Para essa primeira etapa você pode trabalhar com a equação 5 2 0 u x t u x t x t cuja solução é uma função u x t Nesse caso você precisa explicar para a equipe como implementar uma estratégia para resolver essa equação Como você procederia Seção 31 Diálogo aberto Introdução às Equações Diferenciais Parciais U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 116 Não pode faltar Definições iniciais e exemplos Já é do seu conhecimento o tema Equações Diferenciais Ordinárias que são equações cujas soluções são funções diferenciáveis e de uma variável Por exemplo a equação diferencial y x y x tem como solução a função y x kex na qual k é uma constante qualquer Reflita Por que a função y x kex é solução de y x y x Como podemos nos certificar disso Um fato importante que você precisa saber sobre EDPs ao contrário das EDOs em que o Teorema de Existência e Unicidade garante que uma grande classe de equações diferenciais ordinárias possui solução e mostra inclusive como explicitar essa solução não existe um resultado tão bom para equações diferenciais parciais Entretanto para as equações que iremos considerar equação do Calor equação da Onda e equação de Laplace existem estratégias para obter a solução Além disso essas equações têm importantes significados físicos Nesta seção estudaremos Equações Diferenciais Parciais EDPs cujas soluções serão funções de várias variáveis Uma EDP é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função u com respeito a duas ou mais variáveis como x y ou t Exemplificando São exemplos de EDPs as seguintes equações a 2 5 3 yu x y xu x y xyu x y xx y b 2 0 2 x u x y u x y x xy U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 117 Classificação das equações diferenciais parciais As EDPs podem ser classificadas segundo sua ordem e se são ou não lineares A ordem de uma EDP é a maior ordem de derivação presente na equação Diremos que a equação é linear se a função u e suas derivadas parciais aparecem com potência 1 caso contrário ela é dita nãolinear Exemplificando A equação u x y u x y u x y x y é linear e de primeira ordem A equação u x y u x y xx y 1 é linear e de segunda ordem A equação u x y u x y x y 2 0 é nãolinear e de primeira ordem Uma EDP de primeira ordem linear cuja solução é uma função uxy de duas variáveis tem sempre a forma a x y u x y b x y u x y c x y u x y d x y x y p a r a certas funções a b c d Assimile A solução de uma EDP é uma função que junto com suas derivadas parciais satisfaz a equação Exemplificando Observe que a função u x t x t 2 2 satisfaz a EDP u u xx tt 0 De fato note que uxx 2 e utt 2 logo u u xx tt 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 118 Reflita No exemplo anterior vimos uma EDP cuja solução era a função u x t x t 2 2 Mas será que essa função também é solução da EDP u u x t x t 2 Outra forma de classificar equações diferenciais é segundo sua homogeneidade Em equações homogêneas todos os termos envolvem a função procurada que em geral denotamos por u enquanto nas equações nãohomogêneas existem termos que não dependem de u Exemplificando O exemplo a a seguir é de uma EDP homogênea enquanto o exemplo b é de uma EDP nãohomogênea a 2 3 0 yu x y xu x y xx y b 2 2 y u x y u x y xy x xy Principalmente em aplicações práticas uma EDP quase sempre vem acompanhada de condições iniciais condições de contorno ou ambas Você deve se lembrar do seu primeiro curso de cálculo quando calculava integrais indefinidas também chamadas de primitivas cujas respostas sempre eram acompanhadas de uma constante o que se devia ao fato de que as constantes não interferem na resposta do problema inverso Algo parecido acontece com as EDPs A EDP é uma equação que envolve a função u x t e suas derivadas e em geral vale para alguma região Ω 2 Quanto existirem condições adicionais impostas sobre o valor da função e suas derivadas no bordo da região teremos um problema de valores de contorno e as condições serão chamadas de condições de contorno por exemplo se a EDP estiver definida no quadrado U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 119 0 1 0 1 e a condição for do tipo u x t x t nos segmentos de reta que delimitam o quadrado Quando a condição inicial está sobre uma variável fixada ou avaliada sobre uma curva então a condição é chamada de condição inicial por exemplo se impusermos u x x 0 cos e o problema é chamado de problema de valor inicial ou problema de Cauchy Quando ambas as condições estão presentes o problema é chamado de problema misto Exemplificando O problema u x t x 0 em 2 com condição inicial u x f x 0 se x Î em que f é uma função dada e um problema de Cauchy A equação da onda u u x t x a2 na qual omitimos as variáveis independentes definida para x t l 0 0 com a condição inicial u x f x x l 0 0 e condição de fronteira u t u l t t 0 0 0 é um problema misto Note que para as condições funcionarem juntas é preciso também que f f l 0 0 Esse tipo de condição é chamada de condição de compatibilidade e é bem comum em EDPs Resumindo temos o seguinte Assimile Uma EDP sempre aparecerá acompanhada de condições extras sobre a funçãosolução que podem ser condições iniciais de contorno ou ambas Além disso todas as condições devem ser compatíveis Método de separação de variáveis Agora vamos estudar um método geral que permitirá resolver EDPs chamado método de separação de variáveis Nem toda EDP U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 120 pode ser resolvida por esse método que transforma a EDP em um sistema de EDOs nos permitindo assim utilizar os conhecimentos adquiridos em cursos anteriores para resolver a EDP Vamos introduzir o método de separação de variáveis utilizando como exemplo a equação do calor ou seja u u x t l t xx a 2 0 0 u t u l t t 0 0 0 u x f x x l 0 0 O método de separação de variáveis consiste em procurar uma solução u de uma forma particular Vamos supor que a solução pode ser escrita como u x t X x T t para certas funções X e T No momento não iremos nos preocupar com as condições iniciais e de contorno isso será feito nas seções seguintes e também na próxima unidade Substituindo u x t X x T t na equação obtemos o seguinte u x t X x T t t u x t X x T t x u x t X x T t xx Portanto se u u t a2 xx igualando as expressões anteriores obtemos X x T t X x T t a2 Nos pontos em que as funções X e T não se anulam podemos escrever T t T t X x X x a2 Perceba que do lado esquerdo da igualdade anterior temos uma função que só depende de t enquanto do lado direito temos uma função que só depende de x o que só pode acontecer se cada uma destas expressão for igual a uma constante que denotaremos por l Assim ficamos com duas equações T t T t l e α λ 2 X x X x que podem ser escritas de outra forma como T t T t l e X x X x λ α2 Lembrese que quando você estudou EDOs já U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 121 viu como resolver essas equações diferenciais Utilizando o método dos coeficientes indeterminados obtemos T t c t 1 exp l e X x d x d x exp exp 1 2 λ α λ α em que c1 d1 d2 são constantes reais Ou seja passamos de um problema que não sabíamos como resolver uma EDP para um problema que conseguimos resolver um sistema de duas EDOs uma na variável x e outra na variável t Nas próximas seções veremos como lidar com as condições iniciais e de fronteira O método de separação de variáveis é apresentado no Capítulo 10 da obra de Boyce e DiPrima 2015 de uma forma muito interessante Logo no começo do capítulo é apresentada uma revisão de EDOs com valores de contorno para fronteira com dois pontos que é muito importante no desenvolvimento do método Vale a pena a leitura Pesquise mais Sem medo de errar Vamos lembrar do problema colocado no começo da seção você deve dar uma explicação para a equipe da empresa de games sobre a equação 5 2 0 u x t u x t x t cuja solução é uma função u x t Nesta seção você aprendeu que essa é uma equação de primeira ordem pois só aparecem derivadas com respeito a t e x e também linear pois os termos que envolvem as derivadas aparecem com potência 1 Observe que a funçãosolução u x t satisfaz o seguinte a soma de 5 vezes a derivada em x da função com 2 vezes a derivada em t da função u resulta em zero Ora assim como no caso da técnica de separação de variáveis para que isso aconteça devemos U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 122 ter a função u escrita da forma u x t X x T t Feito isto você poderá explicar para a equipe de desenvolvimento da empresa de games que agora basta substituir essa equação na EDP obtendo 5 2 0 X x T t Como X é uma função de x e T é uma função de t a única forma da equação anterior ser satisfeita é se cada uma delas for uma função linear de primeiro grau que após derivadas resultarão em constantes Procedendo desta forma obteremos que T t t 5 X x 2x podem ser partes de uma solução Juntando tudo obtemos que uma possível solução para a EDP é u x t c x t 5 2 2 5 Avançando na prática Encontrando e verificando soluções de EDPs Descrição da situaçãoproblema A empresa de games para a qual você presta consultoria requisitou que você desse um treinamento mais detalhado para a equipe que vai trabalhar diretamente com o modelo matemático Um dos conceitos básicos que você precisa certificar que sua equipe está compreendendo é o significado da solução de uma EDP Você pode propor à sua equipe que verifique se algumas funções são soluções de uma EDP e suas condições iniciais e de contorno Por exemplo você poderia propor que fosse procurada uma solução polinomial para a equação u u xx tt 0 com as condições u t t 0 4 2 Resolução da situaçãoproblema Esse problema pode ser explicado para a equipe de desenvolvimento da seguinte forma como a soma das derivadas em x e em t precisa ser igual a zero uma possibilidade é que estas U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 123 variáveis apareçam separadas da forma u x t p x q t ao invés de conter termos envolvendo produtos mistos como xt Assim substituindo na equação obtémse u u p x q t xx tt Para que este resultado dê zero uma das formas possíveis é supor que p e q são constantes com p x a q t a com a a 0 para algumas constantes aa Î Integrando duas vezes podese supor que p x a x bx c 2 2 e q t t t α β γ 2 2 para certas constantes a b c α β γ Î A condição inicial u t t 0 4 2 indica que q t t 4 2 Portanto a 8 β γ 0 Com isto obtémse a 8 0 ou seja a 8 Não há problema em tomar b c 0 Logo u x t x t 4 4 2 2 Após obter a solução para verificar se a equipe de desenvolvimento entendeu mesmo você pode pedir a eles que verifiquem que a função u é de fato solução da EDP proposta Faça valer a pena 1 Uma EDP é uma equação que envolve as derivadas parciais de uma função dada em geral denotada por u que será a solução Vimos que a EDP é linear se os termos que envolvem a função u não têm potência diferente de 1 Qual das equações abaixo é uma EDP linear de segunda ordem e homogênea a 2 0 2 u u xx yy b u u u xx x yy 4 2 0 c u u u x xx yy cos d u u u x y e u u xx yyy 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 124 2 Dada uma EDP não é muito fácil encontrar sua solução Porém o processo inverso de testar se uma função é solução de uma EDP é bem mais simples Basta calcular as derivadas e substituir na equação para ver se é satisfeita A função u x t cos x sen t é solução de qual das equações a seguir a u u x t 0 b u u u xx tt c u u u x t d u xx cos x e u u u xx tt 2 3 Apesar de ainda não saber resolver uma EDP o processo de verificação da resposta é bem mais simples se temos uma EDP e uma função u é fácil decidir se u é ou não solução da EDP basta verificar se ela satisfaz à igualdade da EDP Qual das funções a seguir é solução da EDP u x t u x t t xx t 0 a u x t 1 xt b u x t x t 2 cos sin c u x t x t 3 2 2 d u x t x t 4 2 2 e u x t x t 5 3 2 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 125 Nesta seção aprenderemos sobre uma importante EDP a equação do calor Ela modela como o calor se dissipa em uma superfície que está sob aquecimento ou resfriamento com o passar do tempo Continuando o seu trabalho de consultoria na empresa de games você agora precisa explicar para a equipe de desenvolvimento como se modela a dissipação de calor em uma barra relacionando a função u x t que descreve a temperatura no ponto x e no tempo t e as soluções de uma EDP Observe que dentro da proposta de explicar para a equipe de desenvolvimento do jogo como funciona o fluxo de calor num material é fundamental conseguir explicar todos os detalhes da equação No jogo esta barra pode modelar uma espada ou uma lança metálica Como modelo inicial você precisará explicar para a equipe como obter um modelo que descreve a temperatura u x t em uma barra metálica de 40 cm de comprimento temperatura inicial dada pela função f x x x 40 e extremidades mantidas a 0 C em todo o instante Suponha que a barra tem uma constante de difusividade térmica igual a 2 Lembrese de que como a equipe de desenvolvimento de jogos não domina o assunto você deverá produzir o material de forma bem didática incluindo por exemplo figuras e diagramas para facilitar o entendimento Seção 32 Diálogo aberto Equação do Calor modelagem Não pode faltar Equação do calor é como conhecemos uma equação diferencial parcial da forma a2u u xx t em que a é uma constante positiva e u é uma função de x e t Este nome é devido U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 126 ao fenômeno físico que a equação modela que iremos descrever brevemente a seguir Vamos usar como modelo uma barra feita de alguma liga metálica que tenha comprimento de L centímetros e cuja espessura pode ser desprezada por ser muito menor que o comprimento A constante a2 que aparece na equação do calor está relacionada com o material de que é feito a barra e é chamada de constante de difusividade térmica Desta forma as variáveis que aparecem na equação estão nos intervalos x L Î 0 e t 0 Assimile O modelo que apresentaremos nesta seção é da equação do calor em dimensão 1 em que t e x são variáveis reais Por isso é tão importante que a espessura seja desprezada Pense a barra como sendo um retângulo de largura L e altura bem pequena tão pequena que possa ser ignorada Caso a altura e a largura tenham dimensões comparáveis tornando o objeto um retângulo a equação que modela a dissipação do calor será parecida mas a solução será um pouco mais complexa Somente a título de informação a equação do calor numa placa retangular dimensão 2 tem a forma a 2 u u u xx yy t e a solução u x y t nos dá a temperatura num ponto x y da barra após um tempo t Segundo Boyce e DiPrima 2015 a relação da equação a2u u xx t com o fenômeno físico da condução de calor é estabelecida de forma experimental e pode ser verificada em laboratórios Veremos agora como a equação do calor é obtida e sua relação exata com o problema da condução de calor Para mais detalhes sugerimos Souza e Guidi 2007 Boyce e DiPrima 2015 ou ainda Bretscher 2001 Observamos no entanto que você deverá se preocupar mais com a modelagem da equação e o significado das condições iniciais e de fronteira do que com os detalhes matemáticos da dedução da equação U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 127 Dedução da equação do calor Para deduzir a equação diferencial do calor suponha que a barra seja dividida em pequenas células que denotaremos por Cj com j n 1 sendo n um número bem grande Fonte elaborada pela autora Figura 31 Divisão da barra em pequenas células A temperatura num ponto x da barra após passado um tempo t depende diretamente da energia cinética das partículas que formam a barra Ao aquecermos a barra as partículas viajam pelas células Cj de maneira uniforme com algumas indo para a célula à direita outras indo para a célula à esquerda Portanto se f t i denota a energia na célula i e no tempo t então quando o tempo passa de t para t 1 a energia ficará proporcional a f t f t f t i i i 1 1 2 que é a discretização da segunda derivada Como isto acontece enquanto também acontece uma variação do tempo devemos ter au u xx t em que a 0 é uma constante que experimentalmente sabese que depende do material da barra e pode ser obtido utilizando um método experimental chamado de laserflash criado em 1961 Pesquise a respeito em GuisardRestivo 2003 Por exemplo a constante de condutividade térmica para uma barra feita de prata é de 171 para cobre é de 114 e para uma barra de granito é de 0011 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 128 Na dedução da equação do calor utilizamos a expressão da discretização da segunda derivada Lembrese de que a derivada de uma função f num ponto a é dada por f a f a h f a h h lim 0 quando este limite existe Da mesma forma a segunda derivada de f em a é dada pelo limite f a f a h f a f a h h h lim 0 2 2 quando este limite existe Como h 0 podemos considerar h pequeno e escrever aproximações para as derivadas anteriores que são conhecidas como discretizações Pesquise mais A dedução da equação do calor que mostra que a solução u x t da equação a2u u xx t fornece a temperatura num ponto x da barra após um tempo t Como vimos anteriormente a dedução leva em conta várias propriedades físicas dos materiais além da chamada Lei da condução do calor de Fourier que diz que o fluxo de calor quantidade de energia que é transferida em cada unidade de área por unidade de tempo que passa por um material é proporcional ao negativo do gradiente da função que dá a temperatura A constante de proporcionalidade é chamada constante de condutividade térmica Você pode pesquisar mais sobre o assunto em Kreith Manglik e Bohn 2010 Pesquise mais A solução da equação do calor é uma função u x t que nos diz qual é exatamente a temperatura num ponto localizado na posição x da barra passado um tempo t Claro que a evolução da temperatura dependerá de como é a temperatura inicial da barra Portanto vamos supor que a distribuição inicial de temperatura é dada por uma função f x ou seja temos a condição inicial u x f x 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 129 para todo x L Î 0 Note que esta função pode ser constante se a temperatura inicial for a mesma em toda a barra ou pode depender do ponto x A barra metálica estará presa em algum suporte e vamos supor que não existem trocas de calor entre a barra e o suporte Vamos então supor que a temperatura nos extremos da barra será mantida constante sempre introduzindo a condição de contorno u t u L t 0 0 Desta forma a equação completa fica escrita como a2 0 0 0 u u u x f x u t u L t xx t Esta equação junto com as condições iniciais e de fronteira é conhecida como equação do calor com extremidades fixas e condições de fronteira homogêneas Exemplificando Suponha que estamos interessados em escrever a equação do calor para uma barra de 30 cm condutividade térmica igual a 5 e cuja distribuição inicial de temperatura é dada pelo gráfico da Figura 32 e tem temperaturas fixadas iguais a zero nos extremos Como ficaria a equação Fonte elaborada pela autora Figura 32 Gráfico de u x 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 130 Precisamos inicialmente descrever a função cujo gráfico é como mostrado É razoável supor que o gráfico é composto por três segmentos de reta logo a função será dada por partes com três expressões uma função p x para x Î 0 10 uma função q x para x Î 10 20 e finalmente uma função r x para x Î 20 30 Note que o gráfico de p x é uma reta que passa pelos pontos 0 0 e 10 10 logo p x x Já qx é constante igual a 10 logo q x 10 Finalmente o gráfico de r x é uma reta que passa por 20 10 e 30 0 logo r x x 30 Portanto a equação fica 25 0 30 0 u u u t u t xx t u x x x x x x 0 0 10 10 10 20 30 20 30 Na próxima seção veremos também como resolver um problema relacionado porém um pouco mais complexo que é quando a temperatura não é a mesma nos dois extremos Esse problema será conhecido como equação do calor com condições de fronteira não homogêneas a2 1 2 0 0 u u u x f x u t T u L t T xx t Em que T1 é a temperatura no extremo esquerdo da barra e T2 é a temperatura no extremo direito da barra Note que as condições de fronteira significam neste caso que os extremos das barras são mantidos com temperaturas fixadas durante todo o período Assim U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 131 a distribuição inicial de temperatura precisa respeitar isso também portanto deveremos ter f T 0 1 e f L T 2 Exemplificando A ilustração a seguir Figura 33 mostra a distribuição inicial de temperatura numa barra de comprimento de 10 cm com constante de condutividade térmica igual a 3 Suponha que a temperatura inicial varie entre os valores informados da barra segundo uma função da forma p x ax b em que a e b são constantes reais ou seja p 0 1 e p 10 15 Como seria a equação do calor associada incluindo as condições iniciais e de fronteira Faça um gráfico da temperatura inicial Fonte elaborada pela autora Figura 33 Distribuição inicial de temperatura barra Primeiramente vamos obter a expressão completa da função p Aplicando as condições indicadas teremos 1 0 p b e 15 10 10 p a b o que é um sistema linear de equações nas variáveis a e b Resolvendo o sistema obtemos b 1 e a 7 5 logo a função p é dada por p x x 7 5 1 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 132 Com isso podemos por exemplo obter a temperatura inicial no ponto x 5 ela deve ser p 5 8 A EDP do calor neste caso fica dada por 9 0 7 5 1 0 1 10 15 u u u x x u t u t xx t Finalmente em alguns casos poderemos não saber qual é a temperatura nos extremos mas poderemos saber simplesmente que o calor não escapa pelos extremos ou seja que não há troca de calor pelos extremos por exemplo os suportes da barra podem ser feitos de um material isolante térmico Isso é refletido no sistema trocando as condições de fronteira por condições como as abaixo a2 0 0 0 u u u x f x u t u L t xx t x x Reflita Na seção anterior você aprendeu como utilizar o método de separação de variáveis para transformar uma equação diferencial parcial num sistema de equações diferenciais ordinárias Na próxima seção aplicaremos este método à equação do calor Que tal gastar alguns minutos desde já para aplicar o método de separação de variáveis à equação do calor deduzindo o sistema de equações que será obtido Você seria capaz de dar uma interpretação gráfica para as condições iniciais e de fronteira U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 133 Sem medo de errar Vamos resolver o problema apresentado no começo da seção Lembrese de que você precisa explicar para a equipe de desenvolvimento como modelar a dissipação de calor numa barra usando como modelo o caso de uma barra metálica de 40 cm de comprimento feita de um material com constante de difusividade térmica igual a 2 temperatura inicial dada pela função f x x x 40 e extremidades mantidas a 0 C em todo o instante conforme a Figura 34 que mostra o gráfico da função f e também um diagrama com a temperatura no modelo da barra Fonte elaborada pela autora Figura 34 Gráfico de fx e temperatura inicial na barra O primeiro passo é enquadrar essa formulação em um dos tipos que foram construídos anteriormente Para isso precisamos de alguns dados O primeiro deles é a equação em si e essa parte é a U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 134 mais fácil Como a constante de difusividade térmica é igual a 2 a equação fica 2u u xx t Agora vamos estudar como as condições iniciais e de fronteira devem ser colocadas no sistema O problema diz que a barra tem 40 centímetros e que a temperatura é mantida em 0 C nestes pontos que têm coordenadas x 0 e x 40 Portanto devemos adicionar as condições u t u t 0 40 0 como condições de fronteira Para a condição inicial devemos olhar a função que descreve a temperatura que é f x x x 40 veja a Figura 32 para relembrar Assim se t 0 a função u x t coincide com esta função ou seja a condição inicial é dada por u x x x 0 40 Para explicar isto da melhor forma possível para a equipe de desenvolvimento do game sugerimos que você exiba o gráfico da Figura 34 além da representação gráfica com a barra indicando algumas outras temperaturas Avançando na prática Equação do calor e separação de variáveis Descrição da situaçãoproblema Agora que você já explicou para a equipe de desenvolvimento como modelar a equação do calor poderá se antecipar à próxima seção e pensar como explicar para a equipe o uso da técnica de separação de variáveis aplicada à equação do calor com foco principalmente nas condições iniciais e de fronteira usando como exemplo a equação construída no começo da seção 2 0 40 0 0 40 u u u t u t u x x x xx t U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 135 Você aprendeu na seção anterior a deduzir o sistema de equações diferenciais ordinárias usando a técnica de separação de variáveis e sabe que obterá as equações T t T t l e X x X x l 4 em que l é uma constante que definiremos na próxima seção Como você explicaria para a equipe de desenvolvimento como ficam as condições iniciais para a equação diferencial em X Resolução da situaçãoproblema Você deve começar lembrando que ao usar o método de separação de variáveis escrevemos u x t X x T t Substituindo as condições iniciais teremos X T t X T t 0 40 0 portanto X X 0 40 0 já que a função Tt não pode ser nula Faça valer a pena 1 Dentre as várias equações diferenciais parciais um tipo especial de EDP é chamado de equação do calor Esta equação é linear homogênea de segunda ordem e é utilizada para modelar o problema da difusão de calor numa barra Quais das equações diferenciais parciais a seguir é uma equação do calor a 2u u x t b 4u u xx tt c 5u u xx t d 6u u xx t e 2u u tt x U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 136 2 Na equação do calor a derivada segunda com respeito ao espaço variável x é proporcional à derivada temporal variável t e a constante de proporcionalidade é chamada de constante de difusividade térmica Essa constante é um número positivo que depende do material de que é feita a barra metálica Na equação 10 2 u u xx t qual é o valor da constante de difusividade térmica a 10 b 2 c 210 d 5 e 5 3 Na equação do calor e em qualquer sistema de equações diferenciais é preciso existir uma compatibilidade entre as condições iniciais e de fronteira apresentadas Sem isto a condição pode deixar de ter solução já a priori Por exemplo se a condição inicial implica em u 0 0 0 não podemos ter uma condição de fronteira que implique em u 0 0 0 Qual das condições iniciais e de fronteira a seguir está bemdefinida ou seja qual é a única que apresenta compatibilidade a u x x 0 10 0 10 e u t u t t 0 10 0 0 b u x x x x 0 10 0 10 e u t u t t 0 10 0 0 c u x x x 0 0 10 sen e u t u t t 0 10 0 0 d u x x x x 0 20 0 10 e u t u t t 0 10 0 0 e u x x x 0 0 5 sen e u t u t t 0 5 0 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 137 Nesta seção vamos finalmente aprender a resolver a equação do calor Antes disso no entanto precisaremos entender como utilizar o método de separação de variáveis para obter equações diferenciais ordinárias com um tipo diferente de condição de fronteira Veremos que essas equações só podem ser resolvidas em alguns casos e para determinar estes casos vamos estudar autofunções para operadores lineares Finalmente para obter as soluções veremos como expandir funções em Séries de Taylor lembrese de que são séries construídas usando polinômios e também Séries de Fourier que utilizam funções trigonométricas Voltando ao contexto da empresa de games você precisará explicar para a equipe de desenvolvimento como resolver a equação u x t u x t xx t u x x x 0 1 2 3 3 2 sen sen p p u t 0 0 u t 1 0 utilizando a metodologia desenvolvida nas seções anteriores e deverá fazer isso por meio da elaboração de um relatório técnico resumindo os passos necessários desde a dedução da equação até sua solução Desta forma a equipe de desenvolvimento poderá dar continuidade ao projeto do jogo e terá um manual de instruções para a implementação no código fonte Seção 33 Diálogo aberto Equação do Calor soluções U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 138 Não pode faltar Primeiramente vamos fixar a equação a2u u xx t com a condição inicial u x f x 0 com x L Î 0 e as condições de fronteira u t u L t 0 0 Considerando as condições de compatibilidade deveremos ter f f L 0 0 Separação de variáveis para a equação do calor Vamos supor que a equação anterior possui uma solução da forma u x t X x T t Em seções anteriores já obtivemos que esta condição sobre a solução implica nas duas EDOs X x X x l e T t T t α λ 2 em que l é uma constante Vamos agora estudar as condições iniciais Se x 0 então 0 0 0 u t X T t ou seja X 0 0 Outra opção seria termos T t 0 para todo t mas nesse caso a solução da EDP seria u x t X x T t 0 para todo x t daí a solução seria nula o que não faz sentido se a condição inicial é diferente de zero logo será descartada Se x L então 0 u L t X L T t logo X L 0 Com isso determinamos a EDO que a função X deve satisfazer X x X x l X 0 0 e X L 0 Veja no exemplo seguinte como podemos visualizar graficamente a condição inicial de um problema de distribuição do calor Exemplificando Uma barra metálica de 20 cm tem seu fluxo de calor descrito pela solução da equação diferencial parcial u x t u x t xx t com condições iniciais e de fronteira dadas U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 139 Fonte elaborada pela autora Figura 35 Distribuição inicial de temperatura na barra Veremos agora como resolver a EDO com fronteira de dois pontos X x X x l X 0 0 e X L 0 por u x x x x 0 1 100 10 20 u t 0 0 u t 20 0 O gráfico da Figura 35 mostra a distribuição inicial de temperatura na barra O eixo horizontal é a posição na barra e o eixo vertical é a temperatura U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 140 Problemas de valores de contorno com fronteiras com dois pontos Ao utilizar separação de variáveis para obter soluções da equação do calor chegamos num PVI da forma y p t y q t y g t com as condições y y a 0 e y y b 1 Note que essas não são as condições que geralmente temos sobre as funções em geral são algo do tipo y a y 0 e y a y 1 Exemplificando Considere a equação diferencial y x y com dois tipos de condições Primeiro vamos ao caso com condições iniciais y 0 1 e y 0 2 Como a equação característica é r 2 1 que tem como soluções r 1 a solução geral é da forma y x ae be x x em que a e b são constantes reais Aplicando as condições iniciais obtemos a 3 2 e b 1 2 Se as condições iniciais forem do tipo fronteira de dois pontos do tipo y e 0 e y 1 1 a solução geral continua a mesma mas agora aplicando as condições iniciais obtemos a única solução particular y x ee x ou seja a 0 e b e Quando temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes ou seja p t p q t q e g t º 0 com p e q constantes a solução geral do PVI é da forma y x d y x d y x 1 1 1 2 em que y x 1 e y x 2 são duas soluções da EDO que tem o wronskiano diferente de zero ou seja y x y x y x y x 1 2 1 2 0 Para encontrar as soluções y x 1 e y x 2 podemos utilizar o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros e o tipo de solução dependerá da equação característica Exemplificando Vamos resolver a equação diferencial y 3y 0 com os valores de contorno y 0 1 e y p 0 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 141 Observe que encontrar a solução de um PVI com fronteira de dois pontos depende de resolver um sistema linear 2 2 logo pode não existir nenhuma solução não trivial A existência de solução tem relação com existência de uma autofunção Autofunções para equações diferenciais Dois conceitos importantes para nós nesta seção são o de autovalor e autovetor Quando temos um operador linear T n n um número l Î é chamado de autovalor se existe um vetor nãonulo v n Î v ¹ 0 que satisfaz T v lv Neste caso a equação característica é r 2 3 0 que tem como raízes os números complexos i 3 resultando nas soluções particulares y x x 1 3 cos e y x x 2 3 sen e na solução geral y x d x d x cos 1 2 3 3 sen As condições de contorno resultam em 1 0 1 y d e 0 3 3 1 2 y d d cos p p p sen Resolvendo esse sistema obtemos d1 1 e d2 3 cotg p portanto a solução do PVI é y x x x cos 3 3 3 cotg sen p Exemplificando Seja T 2 2 o operador T x y x x y 2 Observe que T 11 2 2 2 11 e T 0 1 0 1 1 0 1 Portanto o operador T tem dois autovalores 1 e 2 O vetor 01 é um autovetor associado ao autovalor 1 e o vetor 11 é um autovetor associado ao autovalor 2 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 142 Agora é uma boa hora para revisar conceitos de álgebra linear Isso com certeza vai ajudar na sua intuição ao lidar com as autofunções Recomendamos a leitura do seguinte livro no tópico correspondente a esse tema ANTON Howard RORRES Chris Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 Consulte também o trabalho de Coelho e Lourenço 2005 para um texto mais avançado que contém inclusive exemplos em equações diferenciais Pesquise mais Vamos considerar uma equação diferencial de segunda ordem da forma y ay 0 com a um número real Podemos reescrever a equação diferencial da forma y ay e se definirmos um operador L C C 2 2 por L y y que leva uma função y à sua segunda derivada Então a equação y ay pode ser reescrita como L y ay ou seja encontrar uma solução para a equação y ay 0 é equivalente a encontrar um autovetor para o operador L Vamos considerar uma equação diferencial de segunda ordem da forma y ay 0 com as condições de contorno y 0 0 e y p 0 Os valores de a para os quais este problema tem solução não trivial serão chamados de autovalores e as soluções associadas a esses valores serão chamadas de autofunções a autofunção é um autovetor que também é uma função Vamos estudar a existência de autovalores e autofunções para essa equação diferencial 1o caso se a 0 a equação característica tem a forma r 2 0 a que tem como raízes i a A solução geral é da forma y x d x d x cos 1 2 a a sen Aplicando as condições de fronteira temos que c1 0 e c2 0 sen απ ou seja c2 0 ou a é um número inteiro Logo as possibilidades para autovalores U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 143 são os valores de a iguais a 1 4 9 n2 ou seja todo autovalor é da forma a n 2 para algum número inteiro positivo n As autofunções associadas são da forma y x d nx n 2sen 2o caso Se a 0 a equação característica tem como raízes dois números reais a e portanto a solução geral é da forma y x d e d e x x 1 2 a a com d d 1 2 números reais Como d d 1 2 são números quaisquer podemos fazer uma mudança de variáveis introduzindo as constantes c c 1 2 com a relação d c c 1 1 2 2 d c c 2 1 2 2 e podemos escrever a função y como y x c e e c e e x x x x 1 2 2 2 a a a a que pode ser reescrita como y x c x c x sinh cosh 1 2 a a Aplicando as condições y 0 0 e y p 0 obtemos que a única solução possível é a solução trivial y º 0 O mesmo acontece se a 0 Portanto o único caso em que existem soluções não triviais é quando a 0 Soluções fundamentais e autofunções Agora que já sabemos como resolver EDOs que têm fronteira de dois pontos vamos obter soluções para a equação do calor Lembrese de que transformamos a equação a2u u xx t com a condição inicial u x f x 0 com x L Î 0 e as condições de fronteira u t u L t 0 0 no sistema de equações T t T t α λ 2 X x X x l com condições iniciais X 0 0 e X L 0 Como já vimos os autovalores deste problema são λ π n n L 2 2 2 e as autofunções associadas são U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 144 X x n x L n sin p em que n é um número natural positivo Com estes valores de l podemos resolver a equação para T que agora fica escrita como T t n L T t n n α π 2 2 2 2 0 e portanto tem solução T t n L t n exp 2 2 2 2 α π Escrevendo as duas soluções juntas obtemos a solução para a equação do calor u x t X x T t e nx L n n n n L t sin 2 2 2 2 α π π em que n é um número natural positivo Essas funções satisfazem à EDP e também às condições iniciais e de contorno Assimile As funções u x t X x T t e nx L n n n n L t sin 2 2 2 2 α π π são soluções para a equação a2u u xx t com condições de fronteira u t u L t 0 0 Note que para cada n natural a função u x t n é uma solução e em particular qualquer combinação dessas funções é também solução Porém tome cuidado essas soluções ainda não satisfazem à condição inicial O problema é que ainda não verificamos a condição inicial u x f x 0 para x L Î 0 Veremos agora como fazer isso Em primeiro lugar note que se somarmos duas soluções como as anteriores ainda obteremos uma solução da EDP O mesmo vale com qualquer combinação linear das soluções Portanto a solução geral da EDP é u x t a u x t n n n 1 em que an Î para todo natural positivo n Vamos agora impor a condição inicial ou seja vamos supor que u x f x 0 ou seja deveremos ter U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 145 u x f x a n x L n n sin 0 1 p Veremos agora como definir os coeficientes an para que esta relação seja verdadeira Coeficientes de Fourier para a equação do calor Para determinar os coeficientes an na equação u x f x a n x L n n sin 0 1 p vamos utilizar alguns resultados de análise matemática O principal deles é sobre séries de Fourier Quando temos uma função periódica g L L de período 2L podemos considerar uma expansão em série para g em termos de funções trigonométricas da forma g x a a n x L b n x L n n n n cos sin 0 1 1 p p é chamada série de Fourier de g Podemos encontrar os coeficientes a b n n calculando integrais dos produtos de f com as funções trigonométricas cos n x L p e sin n x L p obtendo as identidades a L f x dx L L 0 1 a L f x n x L dx n L L 1 cos p b L f x n x L dx n L L 1 sin p Um tópico muito importante dentro da Análise Matemática é a aproximação de funções por certas funções conhecidas Nas unidades anteriores você aprendeu a aproximar funções diferenciáveis por séries de Taylor cujos termos são monômios e também por séries de Pesquise mais U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 146 Assimile Se uma função gx é aproximada por uma Série de Fourier de modo que para todo x seja verdade que g x a a n x L b n x L n n n n cos sin 0 1 1 p p então os coeficientes são dados por a L g x dx L L 0 1 a L g x n x L dx n L L 1 cos p b L x n x L dx g n L L 1 sin p Veremos como encontrar os coeficientes no caso específico da equação do calor nos exemplos seguintes ou seja vamos resolver a equação do calor Fourier cujos termos são funções trigonométricas No caso de funções periódicas como as funções que aparecem na equação do calor a aproximação por séries de Fourier é mais eficiente Recomendamos o livro seguinte para uma introdução ao tema GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um Curso de Cálculo Volume 4 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 147 Considere uma barra metálica de 30 cm que tem os extremos isolados Suponha que a temperatura inicial da barra é de 10 C e as extremidades são sempre mantidas a 0 C Suponha que a constante de condutividade térmica é igual a 1 Obtenha uma função que descreva a evolução da temperatura da barra Primeiramente note que a equação do calor neste caso é dada por u x t u x t xx t pois a 1 constante de condutividade Vimos que a solução geral é da forma u x t c u x t n n n 1 em que u x t e nx L n n L t 2 2 2 2 α π sen π e nesse caso específico temos L 30 e f x 10 para todo x Nesse caso os coeficientes cn podem ser calculados com a fórmula c L x n x L dx f n L L 1 sin p em que L e n são os particulares deste exemplo Para calcular os coeficientes usamos a fórmula c n x dx n n n 2 30 10 30 20 1 0 30 sen cos p p p Note que se n é par então cn 0 Se n é ímpar então cos n p é igual a 1 logo c n 40 n p Portanto a solução da EDP é dada por u x t nexp tn n x n sin 40 900 30 13 5 2 2 p p p Na figura seguinte vemos como a temperatura evolui na barra Os gráficos foram feitos considerando uma aproximação para a solução u x t dada pelos primeiros dois termos do somatório anterior ou seja vamos considerar a aproximação nesse caso fizemos o truncamento no somatório após obter os dois primeiros termos não nulos u x t exp t x exp t t sin sin 40 900 30 40 3 9 900 3 2 2 p p p p p ppx 30 Exemplificando U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 148 Fonte elaborada a autora Figura 36 Gráficos mostrando a temperatura nos pontos da barra em vários instantes de tempo Nesta seção estudamos como é o fluxo de calor numa barra metálica Muitos dos problemas na indústria envolvem a equação do calor mas são bidimensionais ou seja em vez de uma barra é estudado o fluxo de calor numa placa metálica Nesse caso a equação toma a forma a2 u u u xx t yy Já vimos em vários exemplos como é o fluxo do calor numa barra Você consegue imaginar o que aconteceria numa placa Sem medo de errar Veremos como resolver a equação u x t u x t xx t u x x x 0 1 2 3 3 2 sen sen p p Reflita U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 149 u t 0 0 u t 1 0 e obter uma solução que descreva o fluxo de calor na barra Observe que como a condição inicial já é uma soma de senos basicamente precisamos entender como é a função T t que multiplica X x na fórmula de separação de variáveis Se verificarmos na expressão da solução geral que obtemos com os autovalores e as autofunções a única possibilidade é que a solução geral seja dada por u x t x exp t x exp t 3 2 1 2 3 9 2 2 sen sen p p p p Agora você já pode montar um pequeno tutorial para a equipe de desenvolvimento explicando como implementar corretamente uma simulação do fluxo de calor no jogo e assim eles poderão dar continuidade ao projeto A figura 37 mostra a evolução da temperatura com o passar do tempo Fonte elaborada pela a autora Figura 37 Gráficos mostrando a temperatura nos pontos da barra com 1 unidade de medida em vários instantes de tempo t0 t01 e t04 Veja que a temperatura tende a zero rapidamente U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 150 Avançando na prática Determinando solução geral da equação do calor Descrição da situaçãoproblema Vamos mostrar como obter a solução geral da equação do calor com um tipo muito comum de condição inicial quando o pico da temperatura inicial está no centro da barra e ela decresce linearmente até os extremos Por exemplo vamos considerar u u t xx com x Î 0 2 e t 0 Vamos supor que as condições iniciais são um pouco diferentes das usuais e são dadas por u t u t x 0 2 0 ou seja a temperatura nos extremos é zero e não há fluxo de calor por ali Suponha ainda que u x x se x Î 0 1 e u x t x 2 se x Î 1 2 Qual é a solução geral deste problema Resolução da situaçãoproblema Note que para resolver a EDP proposta precisamos utilizar o método da separação de variáveis para escrever u x t X x T t e resolver as EDOs resultantes separadamente Obteremos assim X x a kx a kx cos 1 2 sen e aplicando as condições iniciais teremos que a2 0 e que as opções para k são k pi n 4 3 4 5 4 2 1 4 p p p Substituindo esses valores na solução da EDO para t obtemos T t a exp n t 3 2 2 2 1 16 p Multiplicando as funções X x e T t obtemos a solução geral Veja essa evolução de modo dinâmico no site GeoGebra disponível em httpswwwgeogebraorgmUJMYSPpN Acesso em 24 nov 2017 U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 151 u x t a exp n t n x n n 1 2 2 2 1 16 2 1 4 p p sen Para obter a solução particular considerando a solução inicial deveremos calcular os coeficientes an Isso pode ser feito utilizando a teoria de Séries de Fourier Faça valer a pena 1 Considere a equação diferencial de segunda ordem y ay 0 com condições de contorno y 0 0 e y p 0 Para as soluções não triviais são dadas por Marque a alternativa que preenche corretamente as lacunas da frase anterior a a 0 y º 0 b a 0 y x d x d x cos sin 1 2 a a c a 0 y º 0 d a 0 y x d x d x cos sin 1 2 a a e a 0 y º 0 2 Vimos nesta seção como obter soluções da equação do calor para uma barra de comprimento L que é uma EDP da forma u x t u x t xx t juntamente com condições iniciais e de fronteira Considere as seguintes sentenças sobre as soluções desta EDP e julgueas verdadeiras V ou falsas F i Independente das condições iniciais e de fronteira sempre é possível encontrar a solução da equação do calor ii É preciso haver compatibilidade entre as condições iniciais e de fronteira iii Se as condições iniciais e de fronteira são da forma u t u L t 0 0 u x 0 0 então a solução é nula U3 Equações Diferenciais Parciais e a Equação do Calor 152 3 O primeiro passo para procurar soluções para a equação do calor u x t u x t xx t é utilizar o método de separação de variáveis e transformar a EDP em um sistema de EDOs Avalie a veracidade das afirmações sobre as EDOs obtidas após a separação de variáveis i Ao aplicar o método da separação de variáveis obtemos duas equações diferenciais de primeira ordem ii Ao aplicar o método da separação de variáveis obtemos uma equação diferencial de primeira ordem para x e uma equação diferencial de segunda ordem para a variável t iii Ao aplicar o método da separação de variáveis obtemos uma equação diferencial de primeira ordem para t e uma equação diferencial de segunda ordem para a variável x iv O método de separação de variáveis resulta em equações diferenciais ordinárias homogêneas Marque a alternativa correta a Todas as afirmações são verdadeiras b Somente as afirmações i e iii são verdadeiras c Somente as afirmações iii e iv são verdadeiras d Somente as afirmações i e iv são verdadeiras e Nenhuma das afirmações é verdadeira Escolha a opção que contém a ordem correta da classificação das afirmações anteriores conforme elas sejam verdadeiras V ou falsas F a V F V b V V V c F V V d F F F e F V F ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10ª ed Porto Alegre Bookman 2012 BOYCE W E DIPRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 10 ed LTC Editora 2015 680p BRETSCHER O Linear Algebra with Applications 3 ed Upper Saddle River Prentice Hall 2001 COELHO F LOURENÇO M L Um Curso de Álgebra Linear São Paulo EdUSP 2005 GUISARDRESTIVO T A Desenvolvimento de instrumento para a medida de difusividade térmica de materiais pelo método flash In CONGRESSO BRASILEIRO DE CERÂMICA 47 2003 Anais João Pessoa 2003 IÓRIO JUNIOR R IÓRIO V M Equações Diferenciais Parciais uma introdução 3ª ed IMPA 2013 KREITH F BIHN MS MANGLIK R Princípios de Transferência de Calor 7ª ed Boston Cengage Learning 2010 SOUZA R R GUIDI L F Dedução da Equação do Calor Notas de aula 2007 Disponível em httpwwwmatufrgsbrbrietzkeEquacaoDoCalorpdf Acesso em 31 out 2017 Referências Fonte Unidade 4 Na unidade anterior nós aprendemos a reconhecer EDPs e a encontrar soluções para a equação do calor Nesta unidade vamos estudar outros tipos importantes de EDPs a equação da onda e a equação de Laplace Veremos que as soluções dessas equações também fazem uso da estratégia de separação de variáveis mas alguns detalhes são bem diferentes do caso da equação do calor Mas o que é a equação da onda Um modelo simplificado é o movimento das cordas do violão O som é produzido pela vibração das cordas e depende da nota executada a posição em que a corda está presa pelos dedos antes de ser colocada em movimento Você saberia descrever o movimento da corda do violão com o passar do tempo Convite ao estudo Equação da Onda e Equação de Laplace Figura 41 Movimentos realizados pelas cordas de um violão Fonte captura a partir de GUITAR STRINGS OSCILLATING IN HD 60 FPS Brotheroff Youtube 30 jul 2016 1m35s Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8YGQmV3NxMIfeatureyoutu bet74s Acesso em 01 dez 2017 Fonte Se ainda não esse é o momento pois a empresa fabricante de games que contratou você anteriormente para modelar a dissipação de calor está com novos projetos e quer que você auxilie a modelar efeitos de ondas em dois novos games Em um deles você precisa orientar a equipe de desenvolvimento na modelagem de movimentos ondulatórios além de apresentar a solução para a equação diferencial que rege tal fenômeno físico e seus efeitos nas cordas de um violão Para o segundo projeto você precisa fornecer uma solução para a modelagem de uma cama elástica na qual o personagem do jogo fará um movimento de salto Essa solução será implementada no código fonte do jogo e você deverá proceder de modo semelhante ao utilizado na unidade anterior U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 157 Nesta seção aprenderemos sobre a equação da onda principalmente como deduzila e como reconhecêla A diferença básica entre a equação da onda e a equação do calor estudada na unidade anterior é que agora a EDP envolve uma derivada de segunda ordem também com respeito ao tempo t A equação da onda modela fenômenos que têm características ondulatórias Uma brincadeira de criança que você certamente já fez é atirar pedras em um lago Ao fazermos isso várias ondas são produzidas como na Figura 42 Seção 41 Diálogo aberto Equação da onda modelagem Figura 42 Ondas gerada num recipiente com água Fonte httpsenwikipediaorgwikiCapillarywave Acesso em 29 out 2017 Essas ondas são criadas pela movimentação da água após o contato da pedra A descrição matemática completa da U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 158 movimentação da água de um lago seria muito complicada mas na seção anterior já vimos como modelar ondas bidimensionais em uma membrana que pode ser pensada como uma simplificação do lago No projeto que você está desenvolvendo com a empresa de games em um primeiro momento será necessário apresentar como é o processo físico da oscilação em termos de uma equação diferencial parcial Você deverá explicar como poderia obter uma equação diferencial cuja solução uxt forneça a posição de um ponto x da corda em um tempo t Como você chegaria ao modelo exato da equação que descreve esse movimento da corda Você poderia usar como modelo a equação seguinte u x t u x t xx tt u x x 0 sen p u x t 0 0 para todo x Î 0 10 u t u t 0 10 0 para todo t 0 Como explicála em termos práticos incluindo as condições iniciais e de contorno Não pode faltar Nesta seção vamos introduzir uma equação diferencial parcial cuja solução descreve o movimento de uma corta elástica agindo sob a ação de sua tensão e sua massa que por sua vez depende do material de que a corda é feita Obteremos uma equação similar à equação do calor obtida na primeira seção da unidade anterior mas como vamos conferir nas seções a seguir com soluções bem diferentes Veremos como modelar o problema real de movimentos ondulatórios em um problema na forma matemática Considere uma corta elástica de comprimento L que está presa em ambos os extremos e que esteja um pouco esticada de modo que sua posição em repouso seja como um segmento de reta horizontal Para colocar coordenadas no problema vamos supor que a corta está no eixo x horizontal entre os pontos x 0 e x L como vemos na Figura 43 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 159 Figura 43 Corta elástica minimamente esticada e sua posição no plano cartesiano Fonte elaborada pela autora Atenção Faremos a dedução e a obtenção de soluções para o caso de uma corda unidimensional como explicado no parágrafo anterior mas a equação pode ser usada também para estudar propagação de ondas mecânicas acústicas etc Se a corda não receber impulso ela permanecerá esticada e imóvel ou seja estará em repouso Suponha então que a corda sofra a ação de alguma força externa que a coloque em movimento Por exemplo ela pode ser brevemente puxada para cima ou para baixo em algum ponto como nas forças ilustradas na Figura 44 ou pode ainda sofrer atração magnética no caso de ondas eletromagnéticas U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 160 Figura 44 Representação de uma corda em movimento a força externa age sobre a corda b corda em movimento a espessura da corda diminui para representar a passagem do tempo a b Fonte elaborada pela autora Uma vez puxada a corda quando solta se movimentará Nosso objetivo será encontrar uma função u x t que descreva a posição altura do ponto x L Î 0 passadas t unidades de tempo Essa função u x t será solução da equação da onda que é a equação diferencial parcial de segunda ordem a u x t u x t xx tt 2 com 0 x L e t 0 A constante a dependerá do material de que é feito a corda e de sua tensão com a 2 T r em que T é a tensão e r a densidade da corda Basicamente a constante a 2 representa quão rápido uma onda se propaga na corda As condições iniciais e de contorno para a equação da onda são as descritas anteriormente ou seja como as extremidades estão fixadas deveremos ter u t u L t 0 0 para todo t0 e a corda deve estar em uma posição inicial a partir da qual ela irá se movimentar vamos supor que essa posição inicial é descrita por uma função f x com x L Î 0 ou seja u x f x 0 Além disso existem duas formas de começar o movimento a corta pode ser solta do repouso ou pode ser colocada em movimento por ação de alguma força Vamos supor então que u x g x t 0 para alguma função g L 0 Observamos que assim como na equação do calor as condições iniciais devem ser compatíveis com as condições de contorno portanto deveremos ter f f L 0 0 e g g L 0 0 Em muitas situações a função g x será nula pois a corda será simplesmente solta livremente e seu movimento irá depender somente da posição inicial e de sua tensão U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 161 As soluções da equação a u x t u x t xx tt 2 definida para x L Î 0 e t ³ 0 com as condições iniciais u x f x 0 e u x g x t 0 em que f g L 0 são funções dadas e com as condições de contorno u t u L t 0 0 para todo t ³ 0 descrevem a evolução do movimento de uma corda elástica de comprimento L 0 que é esticada no formato do gráfico da função f x e solta com velocidades iniciais indicadas pela função g x Assimile Como já observamos antes caso o problema seja bidimensional por exemplo vibração em uma membrana a equação tomará a forma a u x y t u x y t u x y t xx yy tt 2 com x y Ω 2 e as condições de contorno também deverão ser generalizadas A equação u x y t u x y t u x y t xx yy tt com a condição inicial u x y x y 0 1 2 2 e as condições de fronteira u a b t 0 e u a b t 0 0 se a b 2 2 1 modelam uma membrana bidimensional circular de raio 1 que inicialmente é esticada para cima por uma pincelada em seu centro ou por alguma força para cima aplicada na parte de baixo da membrana A Figura 45 ilustra este caso Exemplificando Figura 45 Ilustração de uma membrana elástica bidimensional circular inicialmente em repouso e que é puxada para cima O próximo passo é o movimento se iniciar Você pode pensar nessa membrana como o couro de um tambor que foi recentemente tocado Fonte elaborada pela autora U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 162 Antes de estudarmos mais alguns exemplos vamos mostrar como deduzir a equação do calor Em outras palavras vamos dar uma justificativa de que se uma função u x t satisfaz à equação a u x t u x t xx tt 2 com as condições colocadas anteriormente então ela realmente modela o fenômeno físico desejado ou seja descreve a movimentação de um ponto sob a corta elástica Como antes vamos supor que a corda quando esticada está localizada no eixo x entre os pontos x 0 e x L Para deduzir essa equação vamos supor que efeitos externos como resistência do ar podem ser desprezados Veremos como é o efeito de uma pincelada na corda em um trecho pequeno da corda entre os pontos x e x x Como estamos num trecho de corda de comprimento pequeno Dx vamos supor também que o movimento é só vertical Seja u x t a altura atingida pelo ponto x no tempo t Como a corda foi esticada entra em cena a força de tensão que é tangente à curva Vamos supor ainda que r denota a massa do trecho em questão da corda Figura 46 Diagrama representando as forças aplicadas na corda Fonte adaptada de Boyce e DiPrima 2015 p 508 Pela 2a Lei de Newton a componente horizontal da força total no pequeno trecho de corda de comprimento Dx precisa satisfazer T x x t T x t cos cos q q q Note que se H x t denota a componente horizontal da tensão então H x t H t ou seja H não depende de x Para a componente vertical deveremos ter T x x t T x t xu tt x t sen sen θ θ θ ρ em que U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 163 x é o centro de massa do segmento de corda Se denotarmos essa componente vertical por V x t então teremos V x x t V x t x u x t tt r Agora seria uma boa hora para você pesquisar um pouco mais sobre as chamadas Leis de Newton que são as bases da mecânica A Primeira Lei de Newton é a lei da inércia um corpo só entra em movimento se o somatório das forças exercidas sobre ele for diferente de zero A Segunda Lei de Newton diz que a força é proporcional à massa e também à aceleração do corpo resultando na famosa equação F ma A Terceira Lei de Newton é o chamado Princípio da Ação Reação ou seja as forças atuam em pares para cada força positiva existe uma outra força negativa agindo sobre um corpo Seguem duas boas referências NUSSENZVEIG H M Curso de Física Básica 1 Mecânica 5 ed São Paulo Editora Blucher 2013 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Vol 1 Mecânica 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 Disponível na biblioteca virtual httpsintegradaminhabibliotecacombr books9788521632054cfi61442400 Pesquise mais Como Dx é pequeno fazendo x 0 obteremos V x t u x t x tt r ou ainda V x t H t tan H t u x x t q que pode ser reescrita como Hu u xx r tt já que H não depende de x Como o segmento de corda é pequeno podemos trocar H x t T x t cos q por simplesmente H T obtendo assim a equação da onda a u x t u x t xx tt 2 Reflita Fizemos a dedução da equação para um pequeno trecho da equação da corda No entanto a equação da onda também é verdadeira para cordas grandes Você já pensou como colar cada uma das partes U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 164 Vamos agora a um exemplo considerando possibilidades para as condições iniciais e de fronteira Vamos construir a equação da onda para uma corda de 4 metros feita de um material de constante elástica igual a 1 e que inicialmente está esticada por dois pontos de modo que a posição inicial seja dada por segmentos de reta como na figura abaixo Suponha ainda que a corda é colocada em movimento a partir do repouso na posição dada abaixo Exemplificando Figura 47 Posição inicial da corda Fonte elaborada pela autora Para construirmos a equação da onda associada a essa corda vamos primeiro modelar a função que dá a posição inicial Essa função é dada por partes Note que para x Î 0 1 a função é uma reta que une os pontos 0 0 e 11 logo deve ser f x x Para x Î 1 3 a função é constante e vale 1 logo temos g x 1 Para x Î 3 4 é uma reta que une os pontos 3 1 e 4 0 ou seja h x x 4 Deveremos ter então a equação como sendo u x t u x t xx tt já que a constante elástica é igual a 1 Como a corda tem 4 metros e está fixada pelos extremos temos u t u t 0 4 0 para todo t 0 Como a corda é solta do repouso devemos ter u x t 0 0 para todo x Î 0 10 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 165 Para a condição inicial ela é dada por uma função por partes e pode ser escrita como u x f x x 0 0 1 u x g x x 0 1 3 e finalmente u x h x x 0 3 4 Sem medo de errar Vamos obter uma equação cuja solução descreve o movimento da corda Considere uma corda de 10 centímetros que está presa nos extremos e uma constante elástica igual a 1 Vamos supor ainda que a corda tem posição inicial dada pelo gráfico da função f x x sen p com x Î 0 10 conforme Figura 48 Figura 48 Gráfico da função f x x sen p com x Î 0 10 Fonte elaborada pela autora Como a corda está presa nos extremos as condições de fronteira são u t u t 0 10 0 para todo t 0 A condição inicial que a corda está esticada até ficar no mesmo formato da função dada no gráfico anterior ou seja u x x 0 sen p para todo x Î 0 10 Além disso supomos que a corda é solta sem aplicação de nenhuma força ou seja temos também a condição inicial u x t 0 0 para todo x Î 0 10 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 166 Reunindo tudo isso ficamos com a EDP u x t u x t xx tt u x x 0 sen p u x t 0 0 para todo x Î 0 10 u t u t 0 10 0 para todo t 0 que modela a oscilação de uma corda elástica de tamanho 10 centímetros que está presa nos extremos com constante elástica igual a 1 Olhando para as condições de fronteira percebemos que o formato inicial da corta coincide com o da função cosseno e a velocidade inicial é nula Avançando na prática A equação da onda em uma membrana bidimensional Descrição da situaçãoproblema Quando um tambor é tocado o som é produzido pela vibração do couro que é atingido pelas mãos ou por uma baqueta Esse movimento do couro faz com que o ar dentro do tambor também se mova e produza o som que é amplificado pelo formato do tambor Se um tambor tem o formato de um cilindro de altura h e raio r com uma membrana de couro em uma das extremidades supondo que a constante da membrana seja igual a 1 e que a posição inicial da membrana seja como o gráfico de uma função zfxy qual seria a equação da onda associada Resolução da situaçãoproblema Observe que estamos falando da equação da onda bidimensional ou seja da equação u x y t u x y t u x y t xx yy tt Como a disposição inicial da membrana é o gráfico da função fxy temos a condição inicial u x y f x y 0 Para as condições de fronteira note que elas são bidimensionais logo são definidas no U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 167 bordo do círculo de raio r ou seja u a b t 0 e u a b t 0 0 se a b r 2 2 2 A configuração geométrica é como no primeiro exemplo desta seção No caso particular em que f x y x y 1 2 2 temos a configuração inicial como na Figura 49 Figura 49 Gráfico da função f x y x y 1 2 2 Fonte elaborada pela autora Faça valer a pena 1 As soluções da equação da onda uma EDP de segunda ordem descrevem os movimentos de uma corda elástica no decorrer do tempo Considere as quatro equações seguintes 1 u x y t u x y t u x y t xx yy tt 3 2 u x y t u x y t u x y t x y tt 3 u x y t u x y t u x y t xx yt t 4 u x t u x t xx tt 3 0 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 168 3 A equação da onda consiste em uma EDP de segunda ordem com condições iniciais e de fronteira Por exemplo as soluções do sistema 5u x t u x t xx tt u x x x 0 2 u x t 0 0 para todo x Î 0 2 u t u t 0 2 0 para todo t 0 modelam o movimento de uma corda elástica Sobre a corda elástica modelada pela equação anterior é correto afirmar Marque a alternativa que aponta corretamente quais das equações anteriores pode ser usada para modelar o movimento de uma corda ou membrana elástica a Todas as equações b Somente a equação 2 c Equações 1 e 4 d Somente a equação 1 e Somente a equação 3 2 Na dedução da equação onda aplicamos conceitos físicos de conservação de energia a um pequeno trecho da corda elástica e daí a partir do cálculo de alguns limites obtemos a chamada equação da onda como sendo da forma a u x t u x t xx tt 2 Escolha a alternativa que completa corretamente a sentença a seguir Na dedução da equação da onda utilizamos a Lei de Newton para calcular o somatório de forças e obtemos que a componente da força não depende da variável x a Primeira vertical b Segunda horizontal c Segunda vertical d Terceira horizontal e Terceira vertical U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 169 a É uma corda de comprimento 5 cuja posição inicial é uma parábola b É uma corda de comprimento 1 c É uma corda de comprimento 2 cuja posição inicial é como uma parábola d É uma corda de comprimento 2 cuja posição inicial é como um triângulo e É uma corda de comprimento 2 cuja posição inicial é concatenação de semirretas U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 170 Agora que já sabemos a reconhecer a EDP da onda e também modelála considerando as várias possibilidades para condição inicial vamos aprender uma estratégia para resolvêla A estratégia de solução utiliza o método de separação de variáveis novamente A diferença é que agora a equação diferencial parcial será transformada num sistema com duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem ao contrário da equação do calor que era transformada em uma equação de primeira ordem e uma equação de segunda ordem Lembrese de que na seção anterior você orientou a equipe de desenvolvimento do game como que a solução da equação u x t u x t xx tt u x x 0 cos u x t 0 0 para todo x Î 0 10 u t u t 0 10 0 para todo t 0 representa o movimento de uma corda de 10 centímetros cuja posição inicial se parece com a função cosseno e é solta com velocidade inicial nula Agora você deverá explicar à equipe de desenvolvimento do game como resolver esta equação Este é um grande desafio pois explicar com detalhes o processo de obtenção de soluções para uma equipe com baixo conhecimento técnico do assunto é difícil Nossa sugestão é apresentar o problema sempre com muitos gráficos e exemplos particulares Quando finalmente obtiver a solução u x t uma boa estratégia para apresentar a solução é fixar alguns valores de t t 0 e plotar o gráfico da função y u x t 0 que nos dá uma fotografia da corda passadas t0 unidades de tempo Assim você poderá descrever precisamente como a corda irá se movimentar em todo tempo Seção 42 Diálogo aberto Equação da onda soluções U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 171 Não pode faltar Ao longo desta seção vamos fixar a equação da onda como sendo a EDP a u x t u x t xx tt 2 juntamente com um conjunto de condições iniciais e de contorno em que u L 0 0 é uma função com derivadas de segunda ordem contínuas Corda elástica com deslocamento inicial nulo Assim como no caso da equação do calor o primeiro passo para obtermos soluções para a equação da onda é utilizar a técnica de separação de variáveis e transformar a EDP num sistema de EDOs Apesar da técnica de separação de variáveis ser utilizada também na equação da onda o resultado é bem diferente quando comparado ao caso da equação do calor Enquanto lá o sistema era composto por uma equação de primeira ordem e uma de segunda ordem obteremos agora duas equações de segunda ordem Assimile Considere a equação a u x t u x t xx tt 2 e vamos supor que é possível obter uma solução da forma u x t X x T t Reflita Observe que dada uma EDP qualquer nada nos garante que a solução da EDP pode de fato ser decomposta na forma indicada pelo método de separação de variáveis u x t X x T t Historicamente porém sabemos que o método de separação de variáveis funciona muito bem para Equação do Calor Equação da Onda Equação de Laplace que estudaremos na Seção 43 e para a Equação de Schrödinger que não veremos neste livro mas é uma equação muito importante em física quântica Mas fique atento algumas EDPs não podem ser resolvidas por este método Você consegue dar um exemplo de uma EDP que não pode ser resolvida por aplicação do método de separação de variáveis U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 172 Vamos calcular as derivadas parciais de u x t X x T t para depois substituir na equação u x t X x T t x u x t X x T t xx u x t X x T t t u x t X x T t tt Substituindo na equação ficamos com a X x T t a u x t u x t X x T t xx tt 2 2 ou seja a X x T t X x T t 2 Esta última equação pode ser escrita como X x X x a T t T t 1 2 desde que suponhamos que as funções X x e T t não se anulem Observe que como o lado esquerdo da equação anterior só depende de x e o lado direito só depende de t a única forma desta igualdade ser verdadeira é se as funções forem constantes ou seja deverá existir um número real l tal que X x X x l e 1 a2 T t T t l observamos que quando escrevemos l não estamos supondo nada sobre a positividade ou negatividade da constante faremos isto somente para que o sistema fique escrito numa forma mais conveniente Esta construção transforma a equação diferencial parcial a u x t u x t xx tt 2 no sistema a seguir composto por duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem X x X x l 0 e T t a T t l 2 0 Agora que nós já obtivemos o sistema de EDOs veremos como as condições iniciais da equação da onda podem ser convertidas em condições iniciais destas equações U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 173 A equação da onda possui uma condição de contorno da forma u t 0 0 e u L t 0 que é usada para garantir que a corda está fixada em seus extremos Aplicando essas condições na função u x t X x T t obtemos X T t 0 0 e X L T t 0 Como devemos supor que a função T não é identicamente nula caso contrário a solução seria nula restará X 0 0 e X L 0 Na unidade anterior estudamos as soluções das equações de segunda ordem da forma X x X x l 0 com condições de contorno de dois pontos X 0 0 e X L 0 estas soluções não existem para todo valor de l mas somente para os autovalores λ π n n L 2 2 2 que são associados às autofunções X x nx L n sen p Vimos na unidade anterior como resolver equações diferenciais com condição de fronteira de dois pontos ou seja equações da forma y py qy 0 em que p q são números reais No caso da equação da onda por muitas vezes teremos condições de fronteira da forma y 0 0 e y p 0 e também p 0 A existência de solução está condicionada a q 0 e neste caso a solução é dada por y x b nx sen para b Î e n Î Assimile Até aqui o procedimento de encontrar a solução é bem parecido com o da equação do calor Veremos que para encontrar a função T o processo é bem diferente Vamos supor inicialmente que a corda será solta da posição inicial com velocidade zero ou seja nenhuma força externa é utilizada para acelerar o movimento da corda além da força exercida pela tensão da corda Isso é equivalente à condição u x t 0 0 para x L Î 0 Lembrando que u x t X x T t t essa condição é equivalente a X x T 0 0 ou seja T 0 0 já que não queremos que X seja uma função nula U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 174 Considerando os valores de l encontrados na equação envolvendo a variável x podemos escrever a equação para a variável t como T t n a L T t 2 2 2 2 0 p Agora precisamos resolver essa equação Agora é uma boa hora para voltar algumas páginas do livro e rever sobre como encontrar soluções de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem que você encontra na Unidade 2 Você pode já ter feito isso quando estudamos a equação do calor mas é importante reforçar o conhecimento Uma referência tradicional sobre o assunto é o Capítulo 13 de GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um Curso de Cálculo volume 4 5ª ed Rio de Janeiro LTC 2013 disponível na Biblioteca Virtual Pesquise mais A equação característica associada a essa EDO é r n a L 2 2 2 2 2 0 p ou seja r n a L i p Como as raízes da equação característica são números complexos imaginários puros a solução geral da equação diferencial é dada por T t a n a L t a n a L t cos sin 1 2 p p Considerando a condição inicial T 0 0 obtemos que a2 0 logo a função T é dada por T x n a L t cos p Portanto até agora temos que para cada número natural n temos que u x t X t T t n x L n a L t n n sin cos p p é solução U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 175 da EDP Usando o princípio da superposição concluímos que a solução geral da equação da onda é u x t c n x L n a L t n n sin cos p p 1 Veremos agora como ajustar os coeficientes cn para refletir a condição inicial Supomos inicialmente que a condição inicial era dada por uma função f x com u x f x 0 Portanto deveremos ter f x u x c n x L n n sin 0 1 p Observe que como a função f x está escrita como uma soma infinita de funções trigonométricas ela está expressa como sua Série de Fourier Porém para encontrar a solução da equação da onda precisamos saber os valores exatos dos coeficientes cn e isto é feito calculando integrais de f x com funções trigonométricas Note que a integral f x n L x dx L L sin p é igual a f x n L x dx c n x L L L n n sin sin p p 1 L L n n L x dx c k L x m L x sin sin sin p p p L L k dx 1 e que a soma do lado direito é nãonula somente quando k m e neste caso temos que sin sin n L x n L x dx L L L p p portanto a equação anterior fica f x n L x dx c n x L L L n n sin sin p p 1 L L n n L x dx c L sin p e isolando cn obtemos que c L f x n x L dx n L L 1 sin p U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 176 Observe que nos passos anteriores nós utilizamos as propriedades de ortogonalidade das funções sen m L x p e cos n L x p que são as relações sen cos m L x L x dx n L L p p 0 para todo mn cos m L x L x dx n L L p p cos 0 para todo m ¹ n cos n n L x L x dx L L L p p cos para todo n ¹ 0 sen sen m L x L x dx n L L p p 0 para todo m ¹ n e sen sen n n L x L x dx L L L p p para todo n Essas relações podem ser demonstradas utilizando a técnica de integração por partes Resumindo A solução da equação da onda a u x t u x t xx tt 2 com condições iniciais u x f x 0 escrita em Série de Fourier como f x u x c e n x L n n s n 0 1 p e u x t 0 0 com condições de contorno u t u L t 0 0 para todo t 0 Assimile U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 177 é dada por u x t c e n x L n a L t n n s n cos p p 1 em que c L f x e n x L dx n L L 1 s n p Portanto para encontrar a solução da equação da onda supondo que ela é solta sem aplicação nenhuma de força externa u x t 0 0 basta calcular os coeficientes de Fourier cn usando a integral dada no quadro Assimile anterior Considere a equação u x t u x t xx tt com condições de fronteira u t u t 0 1 0 e condições iniciais u x t 0 0 e u x f x x 0 sen p Neste caso basta observar que o único termo da série de Fourier da função f x que não é nulo é o primeiro termo associado a n 1 e neste caso c1 1 Portanto a solução da EDP é dada por u x t e x t s n cos p p Exemplificando Figura 410 Gráfico da função z e x t s n cos p p Fonte elaborada pela autora U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 178 Veremos agora o que acontece no caso em que a corda possui uma velocidade inicial na hora que é solta Para isso vamos considerar a equação a u x t u x t xx tt 2 com condições de fronteira u t u L t 0 0 e condições iniciais u x 0 0 e u x g x t 0 ou seja iremos manter a corda em repouso mas ela será colocada em movimento com uma velocidade inicial dada pela função g x Observe que as condições de contorno continuam iguais mas as condições iniciais mudam Vamos deduzir a solução da equação mas omitiremos alguns detalhes que são idênticos ao caso anterior Suponha novamente que u x t X x T t Utilizando a separação de variáveis obtemos X x X x l 0 e T t a T t l 2 0 Resolvemos incialmente a primeira equação que só tem solução se os autovalores forem λ π n n L 2 2 2 implicando em soluções da forma X x nx L n sen p Olhando para a segunda equação a condição inicial agora implica que T 0 0 portanto a solução para a segunda equação é da forma T x n a L t sen p Aplicando novamente o princípio da superposição e somando todas as soluções obtemos que a solução geral é da forma u x t c n x L n a L t n n sen sen p p 1 Veremos agora como aplicar a condição inicial e calcular os coeficientes cn neste caso U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 179 Como u x g x t 0 é a condição inicial e se usarmos a expressão anterior obtemos u x c n a L n x L t n n 0 1 p p sen Logo g x c n a L n x L n n p p sen 1 e os coeficientes de Fourier de g x são n a L cn p Obtemos assim a solução da equação da onda também neste caso Considere a equação u x t u x t xx tt com condições de fronteira u t u t 0 1 0 e condições iniciais u x g x x t 0 5 sen p e u x f x 0 0 Portanto a corda está inicialmente em repouso mas recebe uma força para ser colocada em movimento força esta que em cada ponto x é da magnitude da função gx Neste caso observe que o único termo da série de Fourier da função g x que não é nulo é o termo associado a n 5 e neste caso c5 1 com coeficiente de Fourier c55p Portanto a solução da EDP é dada por u x t e x e t s n s n 5 5 5 p p p Exemplificando Figura 411 Gráfico da função z x t 5 5 5 p p p sin sin Fonte elaborada pela autora Compare o exemplo anterior e veja como as funções são diferentes U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 180 A solução da equação da onda a u x t u x t xx tt 2 com condições iniciais u x 0 0 e u x g x c n a L n x L t n n 0 1 p p sen com condições de contorno u t u L t 0 0 para todo t 0 é dada por u x t c n x L n a L t n n sen sen p p 1 em que c n g a x n x L dx n L 2 0 p sin p Assimile Passamos finalmente ao caso mais geral quando a equação da onda a u x t u x t xx tt 2 possui condições de fronteira u t u L t 0 0 e condições iniciais u x f x 0 u x g x t 0 Vamos dividir esse problema em dois Primeiro problema a u x t u x t xx tt 2 com condições de fronteira u t u L t 0 0 e condições iniciais u x f x 0 u x t 0 0 seja v x t solução desta EDP Segundo problema a u x t u x t xx tt 2 com condições de fronteira u t u L t 0 0 e condições iniciais u x 0 0 u x g x t 0 seja z x t solução desta EDP Para obter uma solução do problema inicial basta somar as soluções de cada um dos problemas anteriores De fato seja w x t v x t z x t É claro que esta função satisfaz à equação pois cada um dos seus termos satisfaz O mesmo vale para as condições de fronteira Para as condições iniciais note que w x v x z x f x f x 0 0 0 0 e w x v x z x g x g x t t t 0 0 0 0 logo a função w satisfaz à equação do calor U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 181 Considere a equação u x t u x t xx tt com condições de fronteira u t u t 0 1 0 e condições iniciais u x g x x t sin 0 p p e u x f x x 0 sen p Neste caso a solução da EDP será a soma de soluções de dois problemas distintos como vimos O único termo da Série de Fourier da função f x que não é nulo é o primeiro termo associado a n 1 e neste caso c1 1 O mesmo vale para a Série de Fourier de g x Portanto a solução da EDP é dada por u x t x t x t sin cos sin p p p sen p Exemplificando Sem medo de errar Nesta seção aprendemos como resolver a equação da onda e seu desafio agora é apresentar para a equipe de desenvolvimento do jogo a solução do sistema seguinte u x t u x t xx tt u x x 0 cos u x t 0 0 para todo x Î 0 10 u t u t 0 10 0 para todo t 0 Note que a condição inicial é uma função trigonométrica logo esta é a Série de Fourier da condição inicial Portanto podemos calcular diretamente a solução da EDP simplesmente como u x t x t cos cos Você pode verificar que esta é de fato a solução calculando derivadas parciais nas variáveis x e t Observe que essa estratégia é muito boa quando a condição inicial é soma de funções trigonométricas de mesmo argumento então a Série de Fourier da condição inicial na verdade é simplesmente uma soma finita Isso facilita muito o processo de obtenção da solução pois somente uma quantidade finita dos coeficientes de Fourier é não nula Vejamos agora dois gráficos que mostram as soluções da equação da onda para valores diferentes do tempo U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 182 Figura 412 Evolução da equação nos tempos t0 e t5 Fonte elaborada pela autora Avançando na prática Equação da onda com condições iniciais não nulas Descrição da situaçãoproblema Você já explicou para a equipe de desenvolvimento do jogo como resolver a equação da onda no caso em que uma das condições iniciais é nula Agora trabalhando no problema abaixo ensineos a resolver a equação da onda no caso em que as condições inicias são não nulas O ponto principal é explicar que a solução pode ser obtida como soma de soluções de duas EDPs auxiliares Utilize o problema abaixo como modelo u x t u x t xx tt u x x 0 sen u x x t 0 cos para todo x Î 0 2p u t u t 0 2 0 p para todo t 0 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 183 Resolução da situaçãoproblema Vimos que nesse caso a solução será dada como a soma de duas soluções uma do problema trocando a primeira condição inicial por u x 0 0 e outra do problema obtido trocando a segunda condição inicial por u x t 0 0 Para o primeiro caso obteremos a solução w x t x t sen cos No segundo caso obtemos z x t t x cos sen Portanto a solução para a equação é dada por u x t x t t x cos cos sen sen Faça valer a pena 1 Ao aplicar o método de separação de variáveis na equação da onda transformamos uma EDP em um sistema de EDOs Considere a equação u x t u x t xx tt Qual das opções seguintes representa corretamente o sistema de EDOs que obtemos ao aplicar o método de separação de variáveis na EDP anterior a X x X x l 0 T t a T t l 2 0 b X x X x l 0 T t a T t l 2 0 c X x X x l 0 T t a T t l 2 0 d X x X x l 0 T t a T t l 2 0 e X x X x l 0 T t a T t l 2 0 2 Considere a equação da onda u x t u x t xx tt com condições de contorno u t u L t 0 0 e condições de fronteira da forma u x t 0 0 e u x x L sin 0 5 p Considere as afirmações U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 184 3 Nesta unidade nós aprendemos a resolver a equação da onda utilizando basicamente duas técnicas separação de variáveis e Séries de Fourier Considere as afirmações abaixo sobre o processo de obtenção destas soluções I Quando nenhuma das condições iniciais é nula precisamos resolver dois problemas do tipo equação da onda e somar as soluções II Quando nenhuma das condições iniciais é nula a equação da onda não tem solução III O método de separação de variáveis é eficiente para a equação da onda e para qualquer outra EDP IV Se ambas as condições iniciais são nulas então a solução da equação da onda é nula Marque a alternativa que indica as afirmações corretas a somente II está correta b somente IV está correta c I e IV estão corretas d II e IV estão corretas e somente a III está correta I A solução desta equação da onda é uma soma infinita de produtos de funções trigonométricas II A solução desta equação da onda é uma soma finita de produtos de funções trigonométricas III O único termo não nulo na Série de Fourier da solução é o termo que acompanha o 5o coeficiente de Fourier Sobre as afirmações anteriores é correto dizer que a I e III estão corretas b II e III estão corretas c somente III está correta d somente II está correta e todas as afirmações são falsas U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 185 Nesta seção veremos mais um tipo de EDP a equação de Laplace que tem a forma 2 2 2 2 0 u x u y no caso de uma função de duas variáveis u Ω 2 e é também denotada por u 0 Quando a equação de Laplace bidimensional está acompanhada de uma condição de contorno o conjunto é chamado de problema de Dirichlet Observe que a equação de Laplace não admite nenhuma condição inicial pois não existe derivada com respeito a uma variável temporal Nesta seção estudaremos a equação de Laplace com dois tipos de fronteira um retângulo e um círculo A solução da equação de Laplace ou do Problema de Dirichlet é uma função duas vezes diferenciável que satisfaz a equação e também a condição de contorno A equação de Laplace tem muitas aplicações em física Por exemplo quando estudamos potencial eletrostático ou seja a capacidade dos corpos eletrizados de realizar trabalho por meio de atração e repulsão por exemplo a determinação do potencial é feita resolvendo um caso especial da equação de Laplace chamada Equação de Poisson Na última etapa do projeto com a empresa de games é necessário desenvolver um modelo matemático para um jogo em que um personagem pula em uma superfície parecida com uma cama elástica circular em um planeta em que a gravidade é zero logo o movimento não dependerá da passagem do tempo Para tornar o movimento da cama elástica mais real pedem para modelar matematicamente a vibração da superfície Como você explicaria para eles qual o melhor modelo Você deverá utilizar um caso particular da equação de Laplace Seção 43 Diálogo aberto Equação de Laplace U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 186 Observe que o caso da solução de Laplace no caso unidimensional ou seja solução para a equação 2 2 0 g x para uma função g I é simples de obter e pode ser conseguida utilizando as técnicas de cálculo diferencial e integral Aproveite o começo da seção e obtenha a solução para essa equação Não pode faltar Equação de Laplace bidimensional Antes de começar de fato a falar sobre a equação de Laplace vamos introduzir algumas definições que serão necessárias no decorrer do texto Vamos denotar por Ck W o conjunto de todas as funções u Ω 2 em que Ω 2 é um conjunto aberto e conexo e u x y é uma função k vezes diferenciável com k ³ 2 Defina a função L C C k k Ω Ω 2 por L u x y u x x y u y x y 2 2 2 2 ou seja a função L transforma uma função u em uma soma de derivadas de segunda ordem O que iremos chamar de equação de Laplace é aquela da forma L u x y 0 cuja solução é uma função uxy tal que 2 2 2 2 0 u x x y u y x y Uma função que satisfaz à equação de Laplace é chamada de função harmônica Em geral a equação de Laplace é definida em regiões especiais do plano No nosso caso iremos trabalhar com conjuntos abertos e conexos Grosso modo um conjunto V Ì 2 é aberto quando para todo x ÎV existe um número pequeno r 0 tal que o conjunto y y x r 2 está contido em V em que y x é a distância entre os pontos x x x 1 2 e y y y 1 2 ou seja y x y x y x 1 1 2 2 2 2 Pesquise mais U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 187 Figura 413 Conjunto aberto Fonte Elaborada pela autora Um conjunto é dito conexo quando não pode ser decomposto em dois conjuntos abertos com interseção vazia Por exemplo o conjunto x y x 2 0 não é conexo ele pode ser decomposto como x y x y x x 2 2 0 0 mas o conjunto x y c y d a x b 2 é conexo é um retângulo Agora é um bom momento para você pesquisar esses conceitos juntamente com o conceito de função diferenciável Sugerimos para os conceitos de conjunto aberto e de conjunto conexo a referência disponível em httpw3impabrrimforetav14topologiapdf acesso em 10 dez 2017 Já para o conceito de função diferenciável consulte o link disponível em httpwww imeunicampbrolivaineAnaliseRnnotasdeaulaV01pdf acesso em 10 dez 2017 Problema de Dirichlet Quando a equação de Laplace 2 2 2 2 0 u x x y u y x y vem acompanhada de uma condição de contorno ou seja de uma U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 188 condição que nos diga quanto a função uxy vale na fronteira do conjunto Ω 2 então chamaremos o sistema de Problema de Dirichlet 2 2 2 2 0 u x x y u y x y x y Ω u x y f x y x y Ω Reflita No enunciado do Problema de Dirichlet dissemos que a condição u x y f x y vale na fronteira do conjunto W que foi denotada por Ω No caso de W ser um retângulo sua fronteira Ω é a união de seus lados No caso de W ser um disco sua fronteira Ω é a circunferência externa Isso é o que diz o senso comum e coincide com a definição matemática formal de fronteira de um conjunto Um ponto x é dito estar na fronteira de um conjunto W ou seja x Ω quando arbitrariamente próximo de x existem pontos de W e pontos fora de W ou seja para todo e 0 B x e Ω e B x c e Ω Considerando outros tipos de conjuntos pense como seriam suas fronteiras Será que existem conjuntos que são iguais às suas fronteiras Muitos matemáticos famosos trabalharam na solução do Problema de Dirichlet com condições de contorno distintas e também no caso geral O primeiro desses estudos de que se tem notícia é de 1828 feito por George Green nesse mesmo estudo apareceu a primeira demonstração do resultado que conhecemos hoje como Teorema de Green que relacionada integrais de linha e integrais duplas STEWART 2013 Equação de Laplace no retângulo Vamos estudar como resolver a equação de Laplace com condição de fronteira dada sobre um retângulo ou seja vamos considerar a equação u u xx yy 0 no retângulo 0 0 a b com as condições u x u x b x a 0 0 0 0 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 189 u y u a y f y a y b 0 0 em que f b 0 é uma função dada Essas condições significam que a função u x y deve ser nula em três dos lados do retângulo e somente no lado direito vale f y Assim como nas seções anteriores iremos resolver a equação utilizando a técnica de separação de variáveis Vamos supor que u x y X x Y y e calcular as derivadas parciais u X x Y y x y x u x y X x Y y xx u x y X x Y y y u x y X x Y y yy Logo a equação u u xx yy 0 fica escrita como X x Y y X x Y y o que implica que existe um número real l chamado constante de separação tal que X x X x Y y Y y l Então novamente temos duas equações diferenciais ordinárias X x X x l 0 e Y y Y y l 0 Veremos como as condições de contorno ficam quando transformadas nas condições iniciais das EDOs Se u x 0 0 então X x Y 0 0 o que implica Y 0 0 não queremos que Xx seja a função nula Se u x b 0 então X x Y b 0 e daí Y b 0 Analogamente a condição u y 0 0 implica X 0 0 Então a equação diferencial para a função Y y tem a forma Y x Y x l 0 Y Y b 0 0 que é uma equação do tipo fronteira de dois pontos que já estudamos nas seções anteriores Neste caso a única solução possível é Y y n b y n sen p U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 190 autofunção associada aos autovalores λ π n n b 2 do operador S Y Y Y l em que n é um número natural Agora que sabemos quais são os valores possíveis para l vamos resolver a EDO para a função X x A equação característica é dada por r 2 0 l que tem como raízes r n b λ π com n um número natural Desta forma a solução geral da EDO é dada por X x c c c c n x b n x b n exp exp 1 2 1 2 1 2 1 2 p p o que simplificando resulta em X x c n x b c n x b n cosh 1 2 p p senh com n um número natural A solução da EDO associada à função Xx faz uso das funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico Apesar do nome complicado essas funções são simples e definidas por cosh t e e t t 2 e senh t e e t t 2 As funções trigonométricas hiperbólicas satisfazem a identidades parecidas com as funções trigonométricas usuais Por exemplo enquanto cos sin 2 2 1 t t no caso hiperbólico vale cosh 2 2 1 t t senh Que tal tentar encontrar relações entre as funções trigonométricas hiperbólicas e suas derivadas Pesquise mais Vimos que a EDO para a função Xx tem como condição inicial X 0 0 logo c1 0 e daí X x n x b n senh p com n um número natural U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 191 Coletando as expressões obtidas para Xx e para Yy obtemos que a solução para a equação de Laplace é u x y n x b n y b n senh sen p p com n um número natural Utilizando novamente a superposição de funções já que a equação é homogênea obtendo a solução geral u x y b n x b n y b n n senh sen p p 1 Os coeficientes bn podem ser decididos utilizando a única condição de contorno que falta ser utilizada ou seja u a y f y b n a b n y b n n senh sen p p 1 Isso significa que a série de Fourier da função f y tem como coeficientes b n a b n senh p Por outro lado já vimos na seção anterior que os coeficientes de Fourier de uma função f y são dados pela integral 2 b 0 f y sen n y b dy b p Portanto temos que b n a b b f y sen n y b dy n b senh p p 2 0 ou seja b senh n a b b f y sen n y b n p p 1 2 0 b dy e essa é a solução do Problema de Dirichlet no retângulo U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 192 O problema de Dirichlet no retângulo 0 0 a b com condições de contorno u x u x b x a 0 0 0 0 u y u a y f y a y b 0 0 em que f b 0 tem como solução u x y b n x b n y b n n senh sen p p 1 e os coeficientes são dados por b senh n a b b f y sen n y b n p p 1 2 0 b dy Assimile Vamos a um exemplo numérico Vamos considerar o retângulo 0 1 0 1 e as condições de contorno u y 0 0 u x 0 0 u x 1 0 u y f y 1 em que a função f y é dada por f y y y 1 Vimos que a solução desse problema é dada por u x y b n x b n y b n n senh sen p p 1 em que os coeficientes bn são dados por b n a b b f y n y b n senh sen p p 1 2 0 b dy Substituindo os valores das constantes pelos nossos a solução fica Exemplificando U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 193 u x y b n x n y n n cosh senh p p 1 com os coeficientes dados por b senh sen dy n y y n y n 2 1 1 0 1 p p Essa integral pode ser resolvida pelo método de integração por partes obtendo b senh n n n n n n 2 2 2 1 3 3 p p p p p cos sen Observe que se n é ímpar então cos np 1 e sen np 0 Logo se n é ímpar b senh n n n 2 4 1 3 3 p p e se n é par como cos pn 1 e sen n p 0 segue que bn 0 Assim a solução é dada por u x y senh k n k x k y k 2 2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 p p p p senh sen Na dedução da solução do Problema de Dirichlet utilizamos condições de contorno que se anulavam em três dos lados de um retângulo e somente em um dos lados era nãonula igual a uma função f y Esta restrição para um lado específico do retângulo não é tão importante Por exemplo suponha que as condições de contorno sejam u y g y 0 u a y f y u x 0 0 e u x b 0 ou seja a função se anula nos lados superior e inferior do quadrado coincide com a função g y no lado esquerdo e coincide com a função f y no lado direito U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 194 Neste caso poderíamos transformar esse problema em dois com a mesma equação variando as condições de contorno Condições de contorno para a 1a equação u y g y 0 u a y 0 u x 0 0 e u x b 0 Condições de contorno para a 2a equação u y 0 0 u a y f y u x 0 0 e u x b 0 Seja v x y a solução da 1a equação com suas condições de contorno e w x y a solução da 2a equação com suas condições de contorno Assim u x y v x y w x y será a solução para a equação inicial Essa é mais uma aplicação do princípio da superposição Note que cada uma das equações obtidas tem a forma da que usamos para deduzir a solução Deveríamos fazer procedimento semelhante se cada um dos lados tivesse uma condição nãonula Equação de Laplace no disco Veremos agora como encontrar a solução da equação de Laplace u u xx yy 0 no caso em que as condições de fronteira são dadas sobre pontos no disco x y a 2 2 2 Apesar desse disco estar na origem a solução que apresentaremos vale para qualquer disco Vamos supor que a condição de contorno é dada por coordenadas polares u a a theta h cos q q sen com θ Î π 0 2 Para facilitar o processo de encontrar a solução vamos passar a equação de Laplace para coordenadas polares fazendo x r cos q e y r sen q Observe que podemos isolar as variáveis r e q obtendo r x y 2 2 e q arctan y x Utilizando a regra de derivação implícita obtemos x r x r x r r q q q q q cos sin U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 195 y r x r x r r q q q q q sen cos Calculando novamente as derivadas parciais para obter as derivadas parciais de segunda ordem obtemos a equação de Laplace em coordenadas polares 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 x y r r r r q ou seja u r u r u rr r 1 1 0 2 qq Novamente vamos aplicar a técnica da separação de variáveis mas agora note que a função depende das variáveis r e q então vamos escrever u r R r T q q Calculando derivadas parciais e substituindo na equação obtemos R r T R r r T R t r T q q q 2 0 Multiplicando essa equação por r R r T 2 q obtemos r R r R r r R r R T T 2 2 λ θ θ obtendo assim o sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem T T θ λ θ 2 e r R r rR r R r 2 2 l Observe que esse sistema é bem mais complicado de resolver do que os sistemas anteriores que apareciam na equação do calor na equação da onda e até mesmo na equação de Laplace com fronteira sendo um retângulo A primeira equação do sistema tem solução simples T c c cos sin θ λθ λθ 1 2 A segunda equação tem como solução R r d r d r 1 2 l l para l ¹ 0 Se l 0 obtemos R r d r d ln 1 2 Novamente coletando as soluções usando que u r R r T q q e o princípio da superposição obtemos que a solução geral do Problema de Dirichlet no Disco é dada por U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 196 u r c n r d sen n r n n n n n n cos q q q 0 1 em que os coeficientes satisfazem h u a c n a d sen n a n n n n n n cos q q q q 0 1 Para descobrir os coeficientes cn e dn basta calcularmos as integrais de funções do tipo h cosn q q e h sin q q obtendo c h n d n 1 0 2 π θ θ θ π cos d h sen n d n 1 0 2 π θ θ θ π com n ³ 0 Observe que neste caso o somatório começa em n 0 para os coeficientes an no caso dos coeficientes bn se colocarmos n 0 teremos b0 0 Veremos como calcular explicitamente a solução em um exemplo numérico Considere a equação de Laplace no disco unitário x y x y 2 2 1 e com condição de contorno u cos sen q q 1 ou seja h q 1 Acabamos de deduzir que a solução é dada por u r c n r d sen n r n n n n n n cos q q q 0 0 e neste caso os coeficientes são dados por integrais das funções seno e cosseno no intervalo 01 A única dessas integrais que não é nula é justamente no caso n 0 quando c0 1 Logo a funçãosolução é u x y 1 Observe que essa solução é trivial e sempre existe quando a condição na fronteira é constante Exemplificando U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 197 Sem medo de errar No decorrer do texto apresentamos uma estratégia para obter a solução da equação de Laplace tanto quando o domínio é um retângulo quanto no caso em que o domínio é um disco A solução pode ser calculada utilizando uma série de Fourier e pode inclusive ser aproximada numericamente tomando os primeiros termos desta série o que para muitas aplicações já é suficiente Vamos agora resolver um modelo matemático que poderia ser usado para modelar o movimento de vibração da membrana de uma cama elástica circular Para a aplicação da cama elástica vamos considerar a equação de Laplace u u xx yy 0 definida para x y 2 2 1 e com condição de contorno u x y f x y x y 1 5 8 para x y 2 2 1 Ao invés de expandirmos em série de Fourier e calcularmos os coeficientes vamos usar um truque que funciona em muitos casos observar que a função que dá a condição de contorno é harmônica Sempre que isso acontece a condição de contorno é a própria solução De fato seja k x y x y 1 5 8 Então kxx 0 e kyy 0 e podemos tomar u x y k x y x y 1 5 8 como sendo a solução da EDP para todos os pontos x y com x y 2 2 1 Este truque de utilizar a própria condição de contorno como solução da equação de Laplace pode ser utilizado principalmente no caso em que a condição de contorno tiver a forma f x y p x q y ou seja com as variáveis separadas como uma soma e também satisfazem à condição p x q y 0 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 198 Avançando na prática Equação de Laplace em três dimensões Descrição da situaçãoproblema O método anterior para obter a solução da equação de Laplace não se aplica somente para funções de duas variáveis mas também para a equação de Laplace tridimensional Novamente o passo fundamental da obtenção da solução é utilizar o método da separação de variáveis e transformar a EDP em um sistema adequado de EDOs As condições de contorno da equação de Laplace serão as condições iniciais dessas EDOs Considere a equação de Laplace u x y z u x y z u x y z xx yy zz 0 Como seria o sistema de EDOs obtido após uso do método de separação de variáveis Resolução da situaçãoproblema Vamos escrever u x y z X x Y y Z z para certas funções X Y e Z Calculando derivadas parciais obtemos u x y z X x Y y Z z xx u x y z X x Y y Z z yy u x y z X x Y y Z z zz E portanto u x y z u x y z u x y z xx yy zz 0 é equivalente a X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z 0 Note que o artifício que usamos no caso bidimensional não funciona aqui pois não podemos isolar de um lado da igualdade as funções dependendo de uma variável e do outro uma função dependendo de outra variável pois agora temos três variáveis Porém se dividirmos essa equação por obteremos X x X x Y y Y y Z z Z z 0 U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 199 Nessa última igualdade temos uma função que só depende de x outra que só depende de y e outra que só depende de z e que quando somadas resultam em zero A única possibilidade de isso ser verdade é se existirem constantes kx 0 ky 0 e kz 0 tais que X x X x k Y y Y y k Z z Z z k x y z e k k k x y z 0 Portanto o sistema de EDOs em que a equação de Laplace se transforma é X x k X x Y y k Y y Z z k Z z x y z Esse sistema pode ser resolvido da mesma forma que o caso anterior descobrindo as autofunções e os autovalores da primeira equação e depois substituindo nas demais Fazendo isso obteremos que a solução seria da forma u x y z a m x n z y m n n m m n 1 1 sen sen senh α β γ em que α β dependem das condições de contorno bem como am n e gm n depende de m n k k k x y z Faça valer a pena 1 Nesta seção você aprendeu a equação sobre a Laplace desde as definições iniciais até a técnica de solução Sobre a equação de Laplace marque a alternativa que possui uma afirmação falsa a É uma equação diferencial parcial de segunda ordem b É uma equação diferencial parcial nãolinear c O método de separação de variáveis produz um sistema de EDOs de segunda ordem d A equação de Laplace não admite condições iniciais só de contorno e É uma equação homogênea U4 Equação da Onda e Equação de Laplace 200 2 Quando uma função f Ω 2 é solução da equação de Laplace no domínio Ω 2 ela é chamada de função harmônica em W ou seja satisfaz f x y f x y xx yy 0 sempre que x y Ω Note que o fato de ser harmônica depende da região em que consideramos Considere as seguintes funções todas definidas em 2 i f x y x y 2 2 ii g x y x y cos sen iii h x y x x y y 2 2 6 1 iv p x y x y 2 2 Marque a opção que contém as funções que são harmônicas a f e g b h e p c g pois é função trigonométrica d f e p pois só envolvem as variáveis ao quadrado e todas são harmônicas 3 Considere a seguinte equação de Laplace definida no quadrado 0 1 0 1 com condição de contorno u x y x x y 2 2 2 2 sempre que x y estiver na fronteira do quadrado Sobre a solução da equação de Laplace com essa condição de contorno é correto afirmar que a a equação não tem solução nessas condições b solução é nula c solução é um polinômio de grau 2 nas variáveis x e y d solução é uma função trigonométrica da forma A x B y cos sin α β e solução é uma função constante BOYCE W E DI PRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 10 ed São Paulo LTC Editora 2015 BOYCE W E DIPRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 10ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 680 p GUITAR STRINGS OSCILLATING IN HD 60 FPS Brotheroff Youtube 30 jul 2016 1m35s Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8YGQmV3NxMIfeatu reyoutubet74s Acesso em 01 dez 2017 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Vol 1 Mecânica 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 Disponível na biblioteca virtual httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788521632054cfi61442400 IÓRIO JUNIOR R IÓRIO V de M Equações Diferenciais Parciais uma introdução 3 ed Rio de Janeiro Projeto Euclides IMPA 2013 IÓRIO JUNIOR Rafael IÓRIO Valéria de M Equações Diferenciais Parciais uma introdução 3 ed Rio de Janeiro IMPA 2013 IÓRIO JÚNIOR Rafael IÓRIO Valéria de M Equações Diferenciais Parciais uma introdução 3 ed Projeto Euclides Rio de Janeiro IMPA 2013 NUSSENZVEIG H M Curso de Física Básica 1 Mecânica 5 ed Editora Blucher 2013 NUSSENZVEIG H Moysés Curso de Física Básica 1 Mecânica 5 ed São Paulo Editora Blucher 2013 NUSSENZVEIG H Moysés Curso de Física Básica 1 Mecânica 5a ed São Paulo Editora Blucher 2013 STEWART J Cálculo vol 2 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 Referências Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações KLS CIRCUITOS ANALÓGICOS Circuitos Analógicos