Atividade Vibrações Mecânica

1 EXERCÍCIO Determine o período de pequenas oscilações de um cilindro maciço de raio r que rola sem deslizar numa superfície curva de raio R Valor 30 Rolamento deslizor Pequenas oscilações θ é pequeno Posição do centro de cilindro pRsenθ Rcosθ ṗθRcosθ Rsenθ ṗᵀṗθ²R²cos²θ sen²θ θ²R² Energia Cinética do sistema T12 m ṗᵀṗ 12 J θ² Jmr² Momento de inércia de um cilindro T12 mR² θ 12 mr² θ²12 m R² r²θ² Energia potencial do sistema Vmg Rcosθ potencial gravitacional Equação de Lagrange LTV ddt L θ m R² r² θ L θ mg Rsenθ L 12 mR² r² θ² mg Rsenθ ddt L θ L θ 0 m R² r² θ mg Rsen θ 0 Como θ é pequeno cosθ 1 senθ θ logo θ g RR²r² θ 0 Essa é a equação diferencial de um oscilador harmônico com frequência natural ωn g RR²r² T 2πω período T 2π R²r²g R Outra forma de chegar a essa conclusão é assumir que esse EDO aceita como solução θ cosωn t θ ωn² cosωn t ωn² cosωn t g RR²r² cos ωn t 0 ωn² cosωn t g RR²r² cos ωn t Como tem que ser válido para todo t ωn g RR²r² T 2π R²r²g R ωn2 g2R2σ2 g g1 σ2R2 gσ22R2 ω1 2πτ T1 2πRg